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Sessão nº9

Capacidade de canal e Introdução à
       codificação de canal



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Conceitos básicos da Teoria da Informação


   – Medida de quantidade de informação (entropia).
   – Capacidade de informação dum canal.
   – Codificação:
       • codificação de fonte
       • [cifra]
       • codificação de canal



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                                                                            1
Modelo de canal discreto sem memória

              Fonte                  canal              Destino
                                    c/ ruído
                      X                     Y
Sejam X e Y variáveis aleatórias:
• p(xi) - probabilidade da fonte produzir o símbolo xi para
  transmissão
• p(yj) - probabilidade do símbolo yj ser recebido no destino
• p(xi,yj) - probabilidade conjunta de ser transmitido xi e de ser
  recebido yj
• p(xi|yj) - probabilidade condicionada de ter sido transmitido xi
  dado que foi recebido yj
• p(yj|xi) - probabilidade condicionada de ser recebido yj dado que
  foi transmitido xi
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Informação mútua

• Define-se informação mútua das v.a. X e Y como

I(X;Y) =              ∑ ∑ p(xi ,yj ) log2 p(xi ,yj ) / p(xi) p(yj)
                      xi ∈X yi ∈Y

• Informação mútua é a medida da quantidade de
  informação que a v.a. X contém acerca da v.a. Y;
  redução da incerteza de X por conhecimento de Y
   – I(X;Y) = H(X) - H(X|Y)

   – se X e Y são independentes então
                                    I(X;Y) = 0

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                                                                             2
Relação entre a entropia e a informação mútua

                                           H(X,Y)




                                           I(X;Y)
                      H(X|Y)                           H(Y|X)




                                   H(X)             H(Y)

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Análise do canal binário simétrico - exemplo

                                               Dados:
        p(y0|x0)                                  p(x0) = 1/4, p(x1) = 3/4
                                      y0
 x0       p(y1|x0)                              p(y1|x0) = 1/2, p(y0|x1) = 1/2
          p(y0|x1)                             Verifica-se que
 x1                                   y1
        p(y1|x1)                                    H(X) ≈ 0,81 [bit/símbolo]
                                                    H(Y|X) = 1 [bit/símbolo]
                                                     H(Y) = 1 [bit/símbolo]
 I(X;Y) = ?
                                          I(X;Y) = 0
 não se “ganha” informação acerca do símbolo
 transmitido por observação do símbolo recebido pois X e
 Y são independentes, uma vez que p(x|y) = p(x) ∀x ∀y

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                                                                                      3
Capacidade de canal

• define-se capacidade de canal dum canal discreto e
  sem memória como sendo o máximo da informação
  mútua média I(X;Y), onde a maximização faz-se
  considerando todas as possíveis distribuições de
  probabilidade dos símbolos da fonte


                    Cs = max I(X;Y) [bit/símbolo]
                                   { p(xi ) }




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Capacidade do canal binário simétrico

                                                 p(Y|X)
                                                1- α           y0
                                    x0
                                                   α
                                    x1             α
                                                               y1
                                                1- α

                            Cs = 1 - H(α)                 [bit/símbolo]

• Probabilidade de erro médio
       Pe = p(x0) p(y1|x0) + p(x1) p(y0|x1) = α
  é independente das probabilidades da fonte!

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                                                                                           4
Teorema fundamental para um canal c/ ruído

                                           Canal c/ ruído
   R= r × H(X)                               C= s × Cs
                                   xi                          yj

• R representa a velocidade de informação da fonte
• s representa o ritmo médio de símbolos binários transmitidos
  pelo canal em cada segundo
• C representa a capacidade do canal; expressa em [bit/s]

  Se R ≤ C então existe uma técnica de codificação tal
  que os símbolos produzidos pela fonte podem ser
  transmitidos sobre o canal com uma probabilidade
  de erros arbitrariamente pequena.
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Capacidade do canal telefónico - exemplo

• Considere-se

                B = 3 KHz e S/N=35 dB (garantidos pela PT)

• A capacidade dum canal contínuo com ruído aditivo branco e
  gaussiano (AWGN) é determinada pela lei de Hartley-Shannon,
  por

                                   C = B log2( 1 + S/N )

• então temos

                                    C = 34,88 Kbit/s

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                                                                                     5
Codificação de canal

• Com a codificação de fonte eliminou-se a redundância, pelo
  que idealmente todos os símbolos binários “contêm” um bit de
  informação.
• Mas estes símbolos vão ser transmitidos sobre um canal com
  ruído, logo vai haver perda de informação sempre que existir
  erro num símbolo.
• A solução deste problema consiste em adicionar
  redundância de tal forma que apesar dos erros do
  canal ainda é possível transferir a quantidade de
  informação associada à mensagem; faz-se com a
  codificação de canal.

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Como adicionar redundância?

• forma simples:
   – código de repetição
   – código de bit de paridade


• forma mais elaborada:
   – códigos de bloco lineares
       • Ex. Código de Hamming
       • códigos cíclicos
               – Ex. CRC, BCH, ...
   – códigos convolucionais (orientados ao símbolo)


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                                                                                 6
Probabilidade de erros numa palavra de código

• Se os erros de transmissão são aleatórios e
  independentes, então a probabilidade de existirem i
  erros numa palavra com n bits é dada pela função
  distribuição binomial

                                     P(i,n) = (ni) αi (1- )n-i

     onde
     – α é a probabilidade de erro de 1 bit
     – (ni) = n! / i! (n-i)!

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Conceitos básicos na codificação de canal
• Define-se distância de Hamming entre duas palavras X e Y,
  d(X,Y), como sendo o número de símbolos em que diferem as
  duas palavras.
• Define-se peso de Hamming de uma palavra X, W(X),como
  sendo o número de símbolos diferentes de zero que integram
  essa palavra.
• A distância mínima de um código é determinada pela palavra,
  diferente de zero, com menor peso de Hamming .
•   Um código com palavras de n bits onde k bits são de dados e os restantes
    são redundantes, designa-se por código de bloco linear (n,k) sendo o
    limite superior da distância mínima dado por dmin ≤ 1 + n - q
     – para detectar até l erros dmin ≥ l + 1
     – para corrigir até t erros dmin ≥ 2t + 1
     – para detectar até l erros e corrigir até t erros   dmin ≥ l + t + 1

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                                                                                        7
Códigos de bloco lineares
• Seja X uma palavra do código tal que X = [ 0 0 0 ], por exemplo.
• Um código diz-se linear se for gerado com base numa matriz
  geradora G. Sendo M a matriz que representa a mensagem a
  codificar, então as palavras do código obtêm-se por
                                   X=M×G

• Para garantir que o código seja sistemático, ou seja no bloco
  encontram-se primeiro os bits de dados e depois os redundantes
  (ou vice versa), então deve-se fazer G = [ Ik | P ] sendo P a
  sub-matriz geradora de paridade.
• A matriz de controlo de paridade H definida por H = [ P | In-k ]
  permite verificar se existem erros na palavra recebida Y, através
  do cálculo do sindroma       S = Y × HT

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Códigos de Hamming




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Sessao 9 Capacidade de canal e Introdução a Codificação de canal

  • 1. Sessão nº9 Capacidade de canal e Introdução à codificação de canal CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9-1 Criptografia Computacional Conceitos básicos da Teoria da Informação – Medida de quantidade de informação (entropia). – Capacidade de informação dum canal. – Codificação: • codificação de fonte • [cifra] • codificação de canal CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9-2 Criptografia Computacional 1
  • 2. Modelo de canal discreto sem memória Fonte canal Destino c/ ruído X Y Sejam X e Y variáveis aleatórias: • p(xi) - probabilidade da fonte produzir o símbolo xi para transmissão • p(yj) - probabilidade do símbolo yj ser recebido no destino • p(xi,yj) - probabilidade conjunta de ser transmitido xi e de ser recebido yj • p(xi|yj) - probabilidade condicionada de ter sido transmitido xi dado que foi recebido yj • p(yj|xi) - probabilidade condicionada de ser recebido yj dado que foi transmitido xi CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9-3 Criptografia Computacional Informação mútua • Define-se informação mútua das v.a. X e Y como I(X;Y) = ∑ ∑ p(xi ,yj ) log2 p(xi ,yj ) / p(xi) p(yj) xi ∈X yi ∈Y • Informação mútua é a medida da quantidade de informação que a v.a. X contém acerca da v.a. Y; redução da incerteza de X por conhecimento de Y – I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) – se X e Y são independentes então I(X;Y) = 0 CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9-4 Criptografia Computacional 2
  • 3. Relação entre a entropia e a informação mútua H(X,Y) I(X;Y) H(X|Y) H(Y|X) H(X) H(Y) CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9-5 Criptografia Computacional Análise do canal binário simétrico - exemplo Dados: p(y0|x0) p(x0) = 1/4, p(x1) = 3/4 y0 x0 p(y1|x0) p(y1|x0) = 1/2, p(y0|x1) = 1/2 p(y0|x1) Verifica-se que x1 y1 p(y1|x1) H(X) ≈ 0,81 [bit/símbolo] H(Y|X) = 1 [bit/símbolo] H(Y) = 1 [bit/símbolo] I(X;Y) = ? I(X;Y) = 0 não se “ganha” informação acerca do símbolo transmitido por observação do símbolo recebido pois X e Y são independentes, uma vez que p(x|y) = p(x) ∀x ∀y CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9-6 Criptografia Computacional 3
  • 4. Capacidade de canal • define-se capacidade de canal dum canal discreto e sem memória como sendo o máximo da informação mútua média I(X;Y), onde a maximização faz-se considerando todas as possíveis distribuições de probabilidade dos símbolos da fonte Cs = max I(X;Y) [bit/símbolo] { p(xi ) } CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9-7 Criptografia Computacional Capacidade do canal binário simétrico p(Y|X) 1- α y0 x0 α x1 α y1 1- α Cs = 1 - H(α) [bit/símbolo] • Probabilidade de erro médio Pe = p(x0) p(y1|x0) + p(x1) p(y0|x1) = α é independente das probabilidades da fonte! CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9-8 Criptografia Computacional 4
  • 5. Teorema fundamental para um canal c/ ruído Canal c/ ruído R= r × H(X) C= s × Cs xi yj • R representa a velocidade de informação da fonte • s representa o ritmo médio de símbolos binários transmitidos pelo canal em cada segundo • C representa a capacidade do canal; expressa em [bit/s] Se R ≤ C então existe uma técnica de codificação tal que os símbolos produzidos pela fonte podem ser transmitidos sobre o canal com uma probabilidade de erros arbitrariamente pequena. CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9-9 Criptografia Computacional Capacidade do canal telefónico - exemplo • Considere-se B = 3 KHz e S/N=35 dB (garantidos pela PT) • A capacidade dum canal contínuo com ruído aditivo branco e gaussiano (AWGN) é determinada pela lei de Hartley-Shannon, por C = B log2( 1 + S/N ) • então temos C = 34,88 Kbit/s CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9 - 10 Criptografia Computacional 5
  • 6. Codificação de canal • Com a codificação de fonte eliminou-se a redundância, pelo que idealmente todos os símbolos binários “contêm” um bit de informação. • Mas estes símbolos vão ser transmitidos sobre um canal com ruído, logo vai haver perda de informação sempre que existir erro num símbolo. • A solução deste problema consiste em adicionar redundância de tal forma que apesar dos erros do canal ainda é possível transferir a quantidade de informação associada à mensagem; faz-se com a codificação de canal. CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9 - 11 Criptografia Computacional Como adicionar redundância? • forma simples: – código de repetição – código de bit de paridade • forma mais elaborada: – códigos de bloco lineares • Ex. Código de Hamming • códigos cíclicos – Ex. CRC, BCH, ... – códigos convolucionais (orientados ao símbolo) CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9 - 12 Criptografia Computacional 6
  • 7. Probabilidade de erros numa palavra de código • Se os erros de transmissão são aleatórios e independentes, então a probabilidade de existirem i erros numa palavra com n bits é dada pela função distribuição binomial P(i,n) = (ni) αi (1- )n-i onde – α é a probabilidade de erro de 1 bit – (ni) = n! / i! (n-i)! CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9 - 13 Criptografia Computacional Conceitos básicos na codificação de canal • Define-se distância de Hamming entre duas palavras X e Y, d(X,Y), como sendo o número de símbolos em que diferem as duas palavras. • Define-se peso de Hamming de uma palavra X, W(X),como sendo o número de símbolos diferentes de zero que integram essa palavra. • A distância mínima de um código é determinada pela palavra, diferente de zero, com menor peso de Hamming . • Um código com palavras de n bits onde k bits são de dados e os restantes são redundantes, designa-se por código de bloco linear (n,k) sendo o limite superior da distância mínima dado por dmin ≤ 1 + n - q – para detectar até l erros dmin ≥ l + 1 – para corrigir até t erros dmin ≥ 2t + 1 – para detectar até l erros e corrigir até t erros dmin ≥ l + t + 1 CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9 - 14 Criptografia Computacional 7
  • 8. Códigos de bloco lineares • Seja X uma palavra do código tal que X = [ 0 0 0 ], por exemplo. • Um código diz-se linear se for gerado com base numa matriz geradora G. Sendo M a matriz que representa a mensagem a codificar, então as palavras do código obtêm-se por X=M×G • Para garantir que o código seja sistemático, ou seja no bloco encontram-se primeiro os bits de dados e depois os redundantes (ou vice versa), então deve-se fazer G = [ Ik | P ] sendo P a sub-matriz geradora de paridade. • A matriz de controlo de paridade H definida por H = [ P | In-k ] permite verificar se existem erros na palavra recebida Y, através do cálculo do sindroma S = Y × HT CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9 - 15 Criptografia Computacional Códigos de Hamming CCISEL 99 Teoria Matemática da Comunicação 9 - 16 Criptografia Computacional 8