1) O documento apresenta notas de aula sobre interações fundamentais e carga elétrica. 2) Aborda os quatro tipos de interações fundamentais da natureza, a lei de Coulomb sobre força entre cargas elétricas e o conceito de campo elétrico. 3) Explica exemplos como dipolo elétrico para ilustrar o princípio de superposição no cálculo do campo elétrico.

1. Notas de aula para o curso de F´
ısica 3
Fernando T. Brandt (professor),
Alessandro M. Marques, Bertha M. Cuadros-Melgar, Edgar R. R. Sanabria,
Luciano B. de Lemos e Manuel A. Espinoza (monitores)
27 de setembro de 2000
1 Primeira aula
1.1 Intera¸oes fundamentais da natureza
c˜
As intera¸oes entre os constituintes mais elementares da mat´ria, conhecidos
c˜ e
at´ o presente, podem ser classificadas em 4 tipos (em ordem crescente da
e
intensidade da intera¸ao)
c˜
• Gravitacional
• Nuclear fraca
• Eletromagn´tica
e
• Nuclear forte
As intera¸oes nucleares operam somente na escala microsc´pica (nuclear
c˜ o
e sub-nuclear), decaindo muito rapidamente para grandes distˆncias. Fe-
a
nˆmenos macrosc´picos no dom´
o o ınio da f´ısica cl´ssica, podem ser estudados
a
levando-se em conta somente as intera¸oes gravitacional e eletromagn´tica.
c˜ e
Embora estas duas intera¸oes possuam certas semelhan¸as qualitativas for-
c˜ c
mais, do ponto de vista quantitativo elas diferem em v´rias ordens de gran-
a
deza. De fato, considerando a intera¸ao entre, por exemplo, dois el´trons,
c˜ e
Atra¸ao gravitacional
c˜ 1
= .
Repuls˜o el´trica
a e 4, 17 × 1042
1

2. + +
- -
+ -
Figura 1: Tipos de cargas
Apesar desta gigantesca diferen¸a, os efeitos da intera¸ao gravitacional
c c˜
nos parecem mais percept´ ıveis do que a intera¸ao eletromagn´tica. Isto ocorre
c˜ e
porque a for¸a el´trica pode ser tanto atrativa como repulsiva. J´ a gravita¸ao
c e a c˜
atua em todos os corpos materiais (na verdade, em qualquer forma de energia)
sempre de maneira atrativa. Entretanto, este mascaramento da intera¸ao c˜
eletromagn´tica, relativamente a gravitacional, desaparece totalmente (na
e `
verdade ele se inverte) quando consideramos efeitos n˜o est´ticos, como a
a a
intera¸ao da mat´ria com ondas eletromagn´ticas.
c˜ e e
1.2 Carga el´trica
e
A existˆncia de atra¸ao e repuls˜o foi descrita pela primeira vez em ter-
e c˜ a
mos de cargas el´tricas por Charles Fran¸ois de Cisternay du Fay em 1773.
e c
Investigando-se a eletriza¸ao por atrito concluiu-se que existem dois tipos de
c˜
carga: carga positiva e carga negativa, como mostra a figura 1.
1.2.1 Conserva¸˜o da carga
ca
Normalmente um corpo ´ neutro por ter quantidades iguais de cargas positi-
e
vas e negativas. Quando o objeto I transfere carga de um dado sinal para o
objeto II, o objeto I fica carregado com carga de mesmo valor absoluto, mas
de sinal contr´rio. Esta hip´tese, formulada pela primeira vez por Benjamin
a o
Franklin, ´ considerada a primeira formula¸ao da lei de conserva¸ao de carga
e c˜ c˜
el´trica.
e
2

3. 1.2.2 Quantiza¸˜o da carga
ca
Em diversos problemas que ser˜o abordados neste curso, assumiremos a
a
existˆncia de cargas distribu´
e ıdas continuamente no espa¸o, do mesmo modo
c
como ocorre com a massa de um corpo. Isto pode ser considerado somente
uma boa aproxima¸ao para diversos problemas macrosc´picos. De fato, sa-
c˜ o
bemos que todos os objetos diretamente observados na natureza possuem
cargas que s˜o m´ ltiplos inteiros da carga do el´tron
a u e
e = 1, 602177 × 10−19 C,
onde a unidade de carga C, o coulomb, ser´ definida mais adiante. Este fato
a
experimental foi observado pela primeira vez por Millikan em 1909.
1.3 A Lei de Coulomb
A primeira constata¸ao de que a intera¸ao entre cargas el´tricas obedece a
c˜ c˜ e `
lei de for¸a
c
1
F ∝ 2, (1)
r
onde r ´ a distˆncia entre as cargas e F ´ o m´dulo da for¸a, foi feita por
e a e o c
Priestley em 1766. Priestley observou que um recipiente met´lico carregado,
a
n˜o possui cargas na superf´ interna, 1 , n˜o exercendo for¸as sobre uma
a ıcie a c
carga colocada dentro dele. A partir deste fato experimental, pode-se dedu-
zir matematicamente a validade de (1) O mesmo tipo de dedu¸ao pode ser
c˜
feita na gravita¸ao, para mostrar que dentro de uma cavidade n˜o h´ for¸a
c˜ a a c
gravitacional.
Medidas diretas da lei (1) foram realizadas em 1785 por Coulomb, utili-
zando um aparato denominado balan¸a de tor¸ao. Medidas modernas mos-
c c˜
tram que supondo uma lei dada por
1
F ∝ , (2)
r 2+
ent˜o | | < 3 × 10−16 [6].
a
O resultado completo obtido por Coulomb pode ser expresso como
q1 q2
F2 1 = k r12 ,
ˆ
(r12 )2
3

4. F
12 r F21
12
q1 q2
r
12
Figura 2: For¸a entre duas cargas
c
onde a nota¸ao est´ explicada na figura 2. Um outro fato experimental ´ a
c˜ a e
validade da terceira lei de Newton,
F2 1 = − F1 2 .
1.3.1 Sistema de unidades
No sistema MKSA a carga el´trica ´ medida em unidades de coulomb (C) e
e e
a constante de Coulomb k ´ dada por
e
k = 8, 9875 × 109 N · m2 /C 2
´
E conveniente definir tamb´m a constante de permissividade do v´cuo, 0
e a
dada por
1
0 = (3)
4πk
A unidade de carga C ´ definida em termos da unidade de corrente, o amp`re,
e e
A; em um segundo, a quantidade de carga que atravessa uma se¸ao transversal
c˜
de um fio, por onde flui uma corrente de 1 A ´ 1 C.
e
1.4 Princ´
ıpio de superposi¸˜o
ca
Em situa¸oes mais gerais, quanto existem mais de duas cargas no v´cuo, a
c˜ a
experiˆncia mostra que vale o princ´pio de superposi¸ao, ou seja, a for¸a sobre
e ı c˜ c
cada carga ´ a soma vetorial das suas intera¸oes com cada uma das outras
e c˜
cargas. Portanto,
qj
Fi = Fi j = kqi r ,
ˆ
2 ji
(4)
j=i j=i (rji )
1´
E por esta raz˜o que as pessoas dentro de um avi˜o que atravessa uma tempestade,
a a
n˜o morrem eletrocutadas!
a
4

5. 1.5 O Campo
Consideremos a equa¸ao (4) aplicada a for¸a sentida por uma carga q 0 , devida
c˜ ` c
a N cargas q1 · · · qN
`
N
qj
F = q0 k r,
ˆ
2 j
(5)
j=1 (rj )
onde rj ´ a distˆncia desde a carga qj at´ o ponto do espa¸o onde se encontra
e a e c
a carga q0 e rj ´ o vetor unit´rio apontando na dire¸ao da linha que une
ˆ e a c˜
as cargas qj e q0 , no sentido de qj para q0 . Esta equa¸ao pode ser escrita
c˜
formalmente como
N
F = q0 Ej = q0 E, (6)
j=1
onde
N N
qj
E= Ej = k r.
ˆ
2 j
j=1 j=1 (rj )
A grandeza E ´ denominada campo el´trico e est´ definida em todos os pontos
e e a
do espa¸o. Para que possamos observar, ou seja, medir, o campo el´trico E,
c e
´ preciso posicionar uma carga em um determinado ponto do espa¸o, medir
e c
a for¸a sentida por esta carga e calcular a raz˜o
c a
F
.
q0
Estamos supondo uma situa¸ao idealizada, onde a carga q0 n˜o altera o
c˜ a
campo produzido pelas outras cargas.
A id´ia de se introduzir campos na f´
e ısica constitui um passo importante
para uma descri¸ao onde as intera¸oes s˜o entendidas sem a introdu¸ao de
c˜ c˜ a c˜
a¸ao a distˆncia. Na presente descri¸ao, a intera¸ao entre duas cargas se d´
c˜ ` a c˜ c˜ a
em duas etapas. Primeiro a carga q1 cria o campo E, e em seguida, a carga
q2 interage com o campo E. Este detalhamento, que por enquanto parece um
luxo desnecess´rio, ´ de fundamental importˆncia em problemas dependentes
a e a
do tempo, tendo em vista que os sinais eletromagn´ticos propagam-se, no
e
v´cuo, com a velocidade da luz
a
c = 2, 99792458 × 108 m/s
5

6. E1
y
E
P
E2
r
θ θ
+ x
q1 q2
2a
Figura 3: Dipolo el´trico
e
1.6 Campo de um dipolo
Um dos exemplos mais simples do campo el´trico de mais de uma carga ´ o
e e
caso do chamado dipolo el´trico, mostrado na figura 3.
e
Um dipolo el´trico nada mais ´ do que duas cargas de sinais opostos
e e
separadas por uma certa distˆncia, que aqui vale 2a. Supondo que as duas
a
cargas se encontram sobre o eixo x, ambas a uma distˆncia a da origem,
` a
vamos calcular o campo el´trico devido a elas em um ponto que se encontra
e `
sobre o eixo y. Supondo tamb´m que as duas cargas tenham m´dulos iguais,
e o
|q1 | = |q2 | = q ent˜o
a
q
|E 1 | = | E 2 | = k 2 .
r
Note que, devido a geometria do problema e a condi¸ao acima, as componen-
` ` c˜
tes y de E1 e E2 s˜o iguais em m´dulo mas com sentidos opostos e portanto
a o
a componente y da resultante E1 + E2 ´ nula. A componente x ´ dada por
e e
q a 2kaq 2kaq
E1x + E2x = |E1 | cos θ + |E2 | cos θ = 2k = 3 =
r 2r r (y 2 + a2 )3/2
Uma situa¸ao de especial interesse ´ quando a separa¸ao entre as cargas ´
c˜ e c˜ e
6

7. ∆q i ^
ri
P
∆Ei
Figura 4: Distribuic˜o continua de carga
a
muito menor que a distˆncia at´ o ponto de observa¸ao P
a e c˜
y a.
Neste caso, podemos desprezar a no denominador da equa¸ao anterior, ob-
c˜
tendo
p
E1x + E2x = k 3 ,
y
na qual
p ≡ 2qa (7)
´ o chamado momento de dipolo.
e
Situa¸oes de interesse f´sico e tecnol´gico onde aparece o momento de
c˜ ı o
dipolo ocorrem tanto em sistemas atˆmicos como em antenas.
o
2 Segunda aula
2.1 Campo de uma distribui¸˜o cont´
ca ınua de cargas
Em v´rias situa¸oes de interesse pr´tico, podemos desprezar a granularidade
a c˜ a
da carga el´trica e calcular o campo el´trico, assumindo a continuidade da
e e
distribui¸ao. Este procedimento envolve os seguintes passos:
c˜
• Dividimos o volume em peda¸os ∆Vi , cada um possuindo carga ∆qi ,
c
conforme a figura 4.
7

8. • Calculamos o campo el´trico produzido por ∆qi no ponto P ,
e
∆qi
∆E i = k ri
ˆ
(ri )2
• Usamos o princ´
ıpio de superposi¸ao para calcular o campo total em P
c˜
∆qi
E = lim ∆Ei = k lim ri
ˆ
∆qi →0
i
∆qi →0
i (ri )2
Ap´s tomarmos o limite indicado nas express˜es acima, obtemos a se-
o o
guinte express˜o para o campo
a
dq
E=k r,
ˆ
V r2
onde V denota a regi˜o onde a distribui¸ao de cargas ´ n˜o nula.
a c˜ e a
´ conveniente distinguirmos os seguintes tipos de distribui¸oes de cargas:
E c˜
dq
• Carga distribu´ em um volume V com densidade ρ =
ıda dV
.
dq
• Carga distribu´ em uma superf´ A com densidade σ =
ıda ıcie dA
dq
• Carga distribu´ em ao longo de uma linha l com densidade λ =
ıda dl
.
Veremos a seguir alguns exemplos simples de distribui¸oes cont´
c˜ ınuas.
2.2 Campo de um bast˜o carregado
a
Consideremos um bast˜o de comprimento l possuindo carga Q, positiva,
a
uniformemente distribu´da. Vamos calcular o campo el´trico em um ponto
ı e
P , localizado a uma distˆncia d da extremidade esquerda do bast˜o, como
a a
mostra a figura 5.
O elemento de comprimento dx possui carga
Q
dq = λdx; λ= .
l
Cada elemento de carga dq produz um campo el´trico em P , apontando
e
sempre no sentido negativo do eixo x. De acordo com a lei de Coulomb,
dq dx
dE = −ˆ 2 = −ˆ
ik ikλ 2 ,
x x
8

9. y
l
P
¡
¤
¥
¡ ¢
¤
¥ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£
x
E ¦
§
¦
§
dx
d
Figura 5: Bast˜o carregado
a
onde ˆ ´ o versor na dire¸ao x. O campo el´trico total em P ´ dado pela
i e c˜ e e
superposi¸ao dos campos infinitesimais
c˜
d+l dx 1 1 kQ
E = −ˆ
i dE = ˆ
ikλ 2
= −ˆ
ikλ − = −ˆ
i
d x d d+l d (d + l)
Note que para d l
Q
|E| ≈ k
,
d2
que ´ o campo de uma carga puntiforme.
e
Para um fio de comprimento infinito, ou seja, l d, mas com densidade
λ finita,
1
|E| ≈ kλ .
d
2.3 Campo de um anel carregado
Consideremos um anel uniformemente carregado, possuindo carga total Q,
positiva. Queremos determinar o campo el´trico em um ponto P , que est´
e a
a uma distˆncia z do plano do anel, situado no eixo do anel, conforme a
a
figura 6. Note que a soma vetorial das componentes do campo el´trico or-
e
togonais ao eixo z ´ nula. De fato, para cada elemento de carga dq, existe
e
outro, diametralmente aposto, produzindo uma componente ortogonal com
sinal oposto. Esta equivalˆncia entre os elementos de cargas diametralmente
e
opostos ´ denominada uma simetria do sistema; uma simetria nada mais ´ do
e e
que uma equivalˆncia, neste caso geom´trica, entre uma parte de um sistema
e e
e sua contra-parte reversa, neste caso o ponto oposto em rela¸ao ao centro do
c˜
9

10. dE dE
P
dE
r
θ
z
dq
a
y
x
Figura 6: Anel carregado
anel. Simetrias s˜o muito uteis pois costumam facilitar bastante a solu¸ao
a ´ c˜
de problemas mais complicados.
As componentes paralelas ao eixo z s˜o dadas por
a
dq z
dE|| = z k
ˆ 2
cos θ = z kdq 3 .
ˆ
r r
Note que a grandeza rz3 assume sempre o mesmo valor quando percorremos
os pontos do anel. Logo,
z z z z
E|| = dE|| = z k
ˆ ˆ
dq = z k 3 dq = k Q = z kQ
ˆ (8)
r 3 r r 3
(a2 + z 2 )3/2
Para z a a express˜o acima comporta-se como
a
kQ
E|| ≈ z
ˆ ,
z2
que ´ o campo de uma carga puntiforme.
e
10

11. P
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
r
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
R
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
y
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
x
Figura 7: Disco carregado
2.4 Campo de um disco carregado
Consideremos agora um disco uniformemente carregado possuindo carga total
Q, conforme a figura 7. Queremos calcular o campo el´trico em um ponto
e
P situado no eixo do disco, a uma distˆncia z do plano do disco. Utilizando
a
o princ´pio de superposi¸ao, o campo produzido em P ´ a soma (integral)
ı c˜ e
dos campos produzidos por an´is de raio r, com r variando entre 0 e R. De
e
acordo com a equa¸ao (8),
c˜
z
dE|| = z k
ˆ dq, (9)
(r 2 + z 2 )3/2
onde dq ´ a carga contida em um anel infinitesimal de raio r e espessura dr.
e
Ou seja,
dq = σdA = σ2π r dr. (10)
Substituindo (10) em (9) e integrando, teremos
R rdr z z
ˆ
E|| = z 2π k σ z = z 2π k σ
ˆ −√ 2 . (11)
0 (r 2 + z 2 )3/2 |z| R + z2
11

12. E
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
E
Figura 8: Plano infinito carregado
Nas proximidades do disco, z R, o segundo termo em (11) pode ser
desprezado. Neste caso, teremos
z σ
E|| ≈ z 2π k σ
ˆ =z
ˆ sinal(z), (12)
|z| 20
aqui usamos a equa¸ao (3). A fun¸ao sinal(z) ´ definida como
c˜ c˜ e
−1 se z < 0 ,
sinal(z) = (13)
1 se z > 0 .
Este limite nos d´ o campo el´trico de uma plano infinito carregado, como
a e
est´ ilustrado na figura 8.
a
3 Terceira aula
3.1 Linhas de campo
Nos exemplos vistos anteriormente, o campo el´trico foi calculado em um
e
unico ponto P do espa¸o. Antes de partirmos para o c´lculo em pontos ar-
´ c a
bitr´rios, ´ conveniente que tenhamos uma visualiza¸ao qualitativa do campo
a e c˜
el´trico. Esta visualiza¸ao pode ser feita introduzindo-se as chamadas linhas
e c˜
de campo. Na figura 9 foram desenhadas algumas destas linhas, possuindo
as seguintes propriedades:
12

13. E
Figura 9: Linhas de campo
• As linhas s˜o tangentes, em cada ponto, a dire¸ao do campo el´trico
a ` c˜ e
neste ponto.
• A intensidade do campo ´ proporcional ao n´mero de linhas por uni-
e u
dade de area de uma superf´ perpendicular as linhas.
´ ıcie `
Na figura 10 est˜o representadas as linhas as linhas de campo de uma
a
carga puntiforme positiva e de uma carga puntiforme negativa negativa. As
linhas do campo de um dipolo est˜o representadas na figura 11.
a
3.1.1 Consistˆncia com a Lei de Coulomb
e
Podemos verificar que a visualiza¸ao em termos de linhas de for¸a ´ consis-
c˜ c e
tente com a lei de Coulomb. Para isso, devemos notar que, por simetria, a
intensidade do campo deve ser a mesma em todos os pontos de uma superf´cie
ı
esf´rica de raio r. Sendo N o n´ mero de linhas que originam-se na carga,
e u
ent˜o o n´mero de linhas por unidade de area da superf´ esf´rica ´
a u ´ ıcie e e
N
.
4π r 2
De acordo com a visualiza¸ao em termos de linhas de for¸a,
c˜ c
N
E∝ ,
4π r 2
o que est´ de acordo com a lei de Coulomb.
a
13

14. + −
Figura 10: Linhas do campo de uma carga puntiforme
+ _
Figura 11: Linhas do campo de um dipolo
14

15. 3.2 Fluxo e Lei de Gauss
3.2.1 Fluxo
De acordo com a no¸ao qualitativa de linhas de campo, vista na se¸ao 3.1, a
c˜ c˜
intensidade do campo el´trico ´ proporcional ao n´mero de linhas que atra-
e e u
vessam uma superf´cie ortogonal as linhas. Para estudarmos, de maneira
ı `
quantitativa, as rela¸oes entre a intensidade do campo e superf´
c˜ ıcies quaisquer,
vamos agora introduzir a grandeza Φ, denominada fluxo do campo el´trico e
atrav´s de uma superf´cie. Vejamos inicialmente dois exemplos simples.
e ı
• Campo uniforme E atravessando uma superf´ ortogonal de area A
ıcie ´
Φ = EA
• Campo uniforme E atravessando uma superf´
ıcie, cuja normal forma
um angulo θ com a dire¸ao do campo
ˆ c˜
Φ = EA cos θ = E · A, (14)
onde A ≡ An; n ´ o vetor unit´rio normal a superf´
ˆe a ` ıcie.
Em situa¸oes mais gerais, o campo ´ n˜o uniforme, e a superf´ pode
c˜ e a ıcie
ter uma forma qualquer, como ilustra a figura 12. Em pequenas regi˜es dao
superf´
ıcie, podemos utilizar a express˜o (14). Devemos subdividir a superf´
a ıcie
em pequenos elementos de area ∆Ai . Para cada um destes elementos, teremos
´
um fluxo elementar dado por
Φi = Ei · ∆Ai = Ei ∆Ai cos θi .
Somando todos os elementos de area e tomando o limite ∆Ai → 0, teremos
´
a seguinte express˜o para o fluxo total atrav´s de uma superf´cie arbitr´ria
a e ı a
Φ = lim E i · ∆A i = E · dA
∆Ai →0 superf´
ıcie
Um caso de especial interesse ´ quando a superf´ sobre a qual esta-
e ıcie
mos integrando, ´ fechada. Uma superf´ fechada divide o espa¸o em uma
e ıcie c
regi˜o interna e uma regi˜o externa a superf´
a a ` ıcie. Um exemplo deste tipo de
superf´
ıcie, denominada superf´cie gaussiana, ´ mostrado na figura 13. Neste
ı e
15

16. ∆ Ai
θ Ei
Ej
θ
∆ Aj
Figura 12: Fluxo atrav´s de uma superficie gen´rica
e e
∆ Ai
θ
Ei
Figura 13: Superf´ gaussiana
ıcie
16

17. caso, convenciona-se que o vetor n aponta no sentido da regi˜o interna para
ˆ a
a regi˜o externa. O fluxo atrav´s de uma superf´ fechada ´ ent˜o dado por
a e ıcie e a
Φc = E · dA = En dA,
ˆ
onde
En = E · n
ˆ ˆ
´ a componente do campo el´trico na dire¸ao da normal a superf´
e e c˜ ` ıcie.
Estude o exemplo 24.1 do livro texto [5].
3.2.2 Lei de Gauss
Consideremos o campo el´trico de uma carga puntiforme. De acordo com a
e
lei de Coulomb, em um ponto localizado a uma distˆncia r da origem,
a
q r ˆ
E= .
4π 0 r 2
Imaginemos agora uma superf´ gaussiana arbitr´ria, abrangendo uma regi˜o
ıcie a a
qualquer do espa¸o. O fluxo de E atrav´s de um elemento de area dA = ndA
c e ´ ˆ
desta superf´ imagin´ria ´
ıcie a e
q dA cos θ
dΦ = , (15)
4π 0 r2
onde usamos n · r = cos θ.
ˆ ˆ
Digress˜o sobre ˆngulo s´lido
a a o
Na figura 14 ∆A ´ o elemento de area de uma superf´ qualquer, ∆Σ e
e ´ ıcie
∆Ω s˜o elementos de area de esferas de raio r e de raio 1, respectivamente.
a ´
A grandeza ∆Ω ´ o elemento de angulo s´lido subentendido pelo elemento
e ˆ o
de superf´ ∆A. Note que
ıcie
∆Σ ∆A cos θ
∆Ω = 2
=
r r2
Portanto, somar sobre
∆A cos θ
,
r2
´ o mesmo que somar sobre ∆Ω. Devemos agora considerar duas possibili-
e
dades.
17

18. ∆A
∆Σ
1
∆Ω
P
O r
θ
θ
r
n
ˆ
Figura 14: Angulo S´lido
o
• A origem O est´ dentro da superf´cie gaussiana. Neste caso,
a ı
dΩ = 4π (O interno), (16)
onde usamos o resultado para a area de uma superf´ esf´rica de raio
´ ıcie e
unit´rio.
a
• A origem O est´ fora da superf´cie gaussiana. Neste caso, os elementos
a ı
de angulo s´lido cancelam-se mutuamente, resultando em
ˆ o
dΩ = 0 (O externo). (17)
Fim da Digress˜o sobre ˆngulo s´lido
a a o
A equa¸ao (15) pode agora ser expressa como
c˜
q
dΦ = dΩ, (18)
4π 0
´
onde dΩ ´ o angulo s´lido subentendido por dA, visto da posi¸ao da carga q. E
e ˆ o c˜
importante notar que o fluxo do campo proporcional ao angulo s´lido, ´ uma
ˆ o e
18

19. consequˆncia direta da lei do inverso quadrado da distˆncia. A mesma forma
e a
seria obtida se estiv´ssemos considerando o fluxo do campo gravitacional
e
newtoniano, produzido por uma massa puntiforme.
Utilizando as equa¸oes (16) e (17), teremos para o fluxo total,
c˜
 q
 se a carga q estiver dentro de A
q


0
Φ= dΩ =
4π 0 

0 se a carga q estiver fora de A

Uma distribui¸ao qualquer de cargas pode ser decomposta em elementos
c˜
de cargas, cada um comportando-se como uma carga puntiforme. O princ´
ıpio
de superposi¸ao nos d´ o campo resultante como a soma dos campos pro-
c˜ a
duzidos por cada elemento de carga. Assim, obtemos a Lei de Gauss na
forma
qin
E · dA = , (19)
0
onde qin ´ a carga contida dentro da superf´ A.
e ıcie
A Lei de Gauss est´ expressa na equa¸ao (19) na forma integral. Esta
a c˜
´ uma das quatro equa¸oes de Maxwell do eletromagnetismo. Veremos que
e c˜
existe uma forma equivalente em termos de uma equa¸ao diferencial, e que
c˜
esta lei permanece v´lida mesmo quando as distribui¸oes de cargas n˜o s˜o
a c˜ a a
est´ticas, ou seja, quando as cargas possuem um movimento qualquer.
a
H´ uma interessante analogia entre as linhas de campo el´trico e linhas
a e
de velocidade de um fluido. Cargas positivas (negativas) s˜o an´logas as
a a `
´
fontes (sorvedouros) de um fluido. E por esta raz˜o que as cargas el´tricas
a e
s˜o consideradas como fontes do campo eletrost´tico [4].
a a
4 Quarta aula
4.1 Exemplos simples de aplica¸oes da Lei de Gauss
c˜
A lei de Gauss n˜o ´ somente uma forma elegante de expressar os fenˆmenos
a e o
´
eletrost´ticos. E tamb´m uma ferramenta util para o c´lculo do campo de
a e ´ a
distribui¸oes de cargas possuindo elementos de simetria. De maneira geral,
c˜
sempre que for poss´ identificar uma superf´cie gaussiana tal que o campo
ıvel ı
el´trico tenha o mesmo valor em todos os seus pontos, ent˜o o c´lculo do
e a a
fluxo torna-se elementar
Φ= E · dA = EA, (20)
19

20. onde E ´ a intensidade do campo e A ´ a area da superf´
e e ´ ıcie. Note que E pode
ser positivo ou negativo, dependendo se as linhas de campo est˜o entrando
a
ou saindo da superf´ıcie. Vejamos alguns exemplos.
4.1.1 Campo de uma carga puntiforme
Devemos determinar a superf´ ıcie gaussiana tal que o fluxo do campo de
uma carga puntiforme adquira a forma simples dada por (20). O campo
produzido por uma carga puntiforme deve possuir simetria esf´rica. Ou seja,
e
sua intensidade n˜o varia quando percorremos a superf´ de uma esfera
a ıcie
imagin´ria de raio r, a qual possui area
a ´
A = 4π r 2
Portanto, utilizando a rela¸ao (20), teremos
c˜
Φ = E4π r 2 .
Finalmente, aplicando a lei de Gauss dada por (19), teremos
q
E=
4π 0 r 2
4.1.2 Campo de uma esfera isolante possuindo densidade de carga
uniforme e raio a.
Novamente temos uma configura¸ao possuindo simetria esf´rica. Ou seja, o
c˜ e
fluxo do campo el´trico a uma distˆncia r do centro da esfera ´
e ` a e
Φ = E4π r 2 .
Para r > a, toda a carga da esfera est´ contida no interior da superf´
a ıcie
gaussiana. Logo, de acordo com a lei de Gauss,
Q
E= ; r > a,
4π 0 r 2
onde Q ´ a carga total da esfera.
e
Para r < a, a carga que est´ contida no interior da superf´ gaussiana ´
a ıcie e
4
q = ρ πr 3 ,
3
20

21. Figura 15: Soluc˜o do problema (24.63) do Serway
a
onde ρ ´ a densidade uniforme de carga da esfera isolante,
e
Q
ρ= 4 . (21)
3
πa3
Aplicando a lei de Gauss,
q 1 Qr 3 Q
E= 2
= 3 2
= 3 r; r < a.
0 4πr a 4π 0 r a 4π 0
Note que nos pontos internos a esfera o campo varia linearmente com r,
`
tendendo a zero quando r → 0.
`
Como uma aplica¸ao deste resultado, vamos fazer o problema (24.63) do
c˜
livro texto [5]. A solu¸ao gr´fica deste problema ´ mostrada na figura 15.
c˜ a e
4.1.3 Campo de uma casca esf´rica delgada
e
Consideremos uma casca esf´rica delgada, possuindo raio a e uma carga Q
e
uniformemente distribu´ sobre sua superf´
ıda ıcie. Novamente temos uma si-
metria esf´rica. Para pontos externos a casca esf´rica, imaginamos uma
e ` e
superf´ gaussiana possuindo raio r > a. Aplicando a lei de Gauss, teremos
ıcie
Q
E= ; r > a. (22)
4π 0 r 2
21

22. Note que para pontos externos a distribui¸ao de cargas, os campos dados por
` c˜
(21) e (22) comportam-se como se toda a carga estivesse concentrada num
unico ponto na origem.
´
Para pontos internos a casca esf´rica, a carga no interior da superf´
` e ıcie
gaussiana imagin´ria ´ nula. Logo,
a e
E = 0; r < a.
4.1.4 Distribui¸˜o de cargas com simetria cil´
ca ındrica
Certas distribui¸oes de carga exibem simetria cil´ndrica, ou seja, podemos
c˜ ı
antecipar que o campo produzido por estas distribui¸oes tem a mesma inten-
c˜
sidade em todos os pontos pertencentes a uma superf´cie cil´ndcdrica ima-
` ı ı
gin´ria. Podemos decompor o fluxo total atrav´s do cilindro como
a e
Φ= En dA =
ˆ En1 dA −
ˆ En1 dA + En2 (2πrl),
ˆ ˆ (23)
topo base
onde r ´ o raio do cilindro, l ´ sua altura e os vetores unit´rios n1 e n2
e e a ˆ ˆ
s˜o mutuamente ortogonais apontando para cima e para fora da superf´
a ıcie
lateral, respectivamente.
Suponhamos a distribui¸ao de cargas seja um fio de comprimento infinito,
c˜
uniformemente carregado com densidade linear de carga λ. Por simetria,
as linhas de campo s˜o direcionadas radialmente, de modo que En1 = 0 e
a ˆ
En2 = E, sendo E a intensidade do campo. Usando a lei de Gauss, e a
ˆ
express˜o (23) teremos
a
qin 1 λ
En 2 =
ˆ = , (24)
0 (2πrl) 2π 0 r
onde usamos qin = λl.
4.1.5 Plano uniformemente carregado
Neste caso, podemos antecipar que o campo el´trico E ter´ o mesmo valor
e a
em todos os pontos dos planos paralelos ao plano da distribui¸ao de cargas,
c˜
sendo paralelo a normal exterior de dois planos quaisquer que contenham
`
o plano de cargas entre eles (sanduiche). Constru´ımos ent˜o uma superf´
a ıcie
gaussiana, adicionando quatro planos de maneira a formar um paralelep´pedo.
ı
O fluxo atrav´s das 4 faces laterais do paralelep´
e ıpedo ´ nulo, j´ que o campo
e a
22

23. ´ ortogonal a normal destes 4 planos. Como o vetor E tem sentidos opostos
e `
acima e abaixo do plano de cargas, ent˜o
a
Φ = EA + EA = 2EA
Usando a lei de Gauss,
qin σ
E= = ,
2A 0 20
onde usamos qin = σA. Note que j´ hav´
a ıamos obtido este resultado (veja a
equa¸ao (12)), a partir do limite de pequenas distˆncias do campo do disco
c˜ a
uniformemente carregado. Note tambem que este campo n˜o depende do
a
ponto do espa¸o; ´ um campo uniforme.
c e
4.1.6 Equil´
ıbrio no campo eletrost´tico
a
A lei de Gauss tamb´m permite a demonstra¸ao de certas propriedades gerais
e c˜
em eletrost´tica. Uma destas propriedades diz respeito a n˜o existˆncia de
a ` a e
pontos de equil´brio est´vel em um campo eletrost´tico. Um ponto P0 ´ de
ı a a e
equil´
ıbrio est´vel se, ao deslocarmos uma carga q0 em qualquer dire¸ao, a
a c˜
partir do ponto P0 , as for¸as eletrost´ticas tender˜o a puxar a carga q0 de
c a a
volta para o ponto P0 . Para que isto ocorra, as linhas de campo el´trico
e
devem todas convergir para o ponto P0 . Mas, neste caso, o fluxo do campo
atrav´s de uma pequena superf´ gaussiana, contendo o ponto P0 em seu
e ıcie
interior, ser´ n˜o nulo. De acordo com a lei de Gauss, isto n˜o ´ poss´vel,
a a a e ı
uma vez que n˜o existe uma carga q (fonte do campo el´trico) em P0 .
a e
5 Quinta aula
5.1 Condutores
As cargas el´tricas (el´trons) podem se mover no interior de um meio condu-
e e
tor, mas n˜o podem escapar espontaneamente deste meio. Na eletrost´tica,
a a
estamos descrevendo situa¸oes onde as cargas encontram-se em repouso. Ad-
c˜
mitindo que as cargas ja se deslocaram para uma configura¸ao de equil´brio
c˜ ı
−16
(em um bom condutor, o equil´ ıbrio ´ atingido em cerca de 10 s), n˜o pode
e a
haver campo el´trico no interior do condutor, pois, se houvesse, as cargas
e
ainda estariam se movendo sob a a¸ao deste campo. Logo, no equil´brio
c˜ ı
eletrost´tico,
a
23

24. Figura 16: Condutor Carregado
o campo el´trico ´ nulo no interior do condutor.
e e
A figura 16 mostra um condutor carregado, ou seja, n˜o neutro, onde a
a
linha tracejada em vermelho representa uma superf´ gaussiana cujo interior
ıcie
cont´m o volume interno do condutor. Uma vez que, no equil´
e ıbrio, o campo
el´trico ´ nulo no interior do condutor, ent˜o o fluxo do campo atrav´s da
e e a e
superf´ gaussiana ´ nulo. Logo, de acordo com a lei de Gauss, n˜o h´
ıcie e a a
cargas no interior do condutor. Do ponto de vista macrosc´pico, a solu¸ao
o c˜
de equil´brio eletrost´tico ´ tal que
ı a e
a carga localiza-se na superf´ ıcie do condutor.
Na parte externa do condutor, existe um campo el´trico produzido pelas
e
cargas superficiais. Como estas cargas n˜o possuem movimento ao longo da
a
superf´ do condutor (solu¸ao est´tica), ent˜o
ıcie c˜ a a
a componente do campo tangencial ` superf´ a ıcie externa do condutor deve ser nula
Para determinar a componente normal a superf´
` ıcie, constru´
ımos uma su-
perf´ gaussiana em forma de caixa cil´
ıcie ındrica como mostra a figura 17
Na face lateral da caixa cil´
ındrica o fluxo do campo ´ nulo, pois n˜o existe
e a
componente tangencial. Na base do cilindro, que est´ dentro do condutor, o
a
campo el´trico ´ nulo. Logo, s´ h´ fluxo atrav´s do topo do cilindro, e este
e e o a e
fluxo ´ dado por
e
Φ = EdA,
onde dA ´ a area do topo do cilindro, que ´ idˆntica a area de se¸ao do
e ´ e e ` ´ c˜
24

25. E
Figura 17: Superf´ gaussiana para o condutor
ıcie
cilindro com a superf´ do condutor. Portanto, usando a Lei de Gauss,
ıcie
dqin σ
E= = ,
0 dA 0
dq
onde usamos σ = dA .
Estude o exemplo (24.7) do livro texto.
5.2 Potencial Eletrost´tico
a
Sabemos que uma part´ ıcula carregada, possuindo carga q0 , sob a a¸ao de um
c˜
campo eletrost´tico ser´ acelerada por uma for¸a
a a c
F = q0 E.
Em consequˆncia, a energia cin´tica ser´ aumentada ou diminu´
e e a ıda. De onde
vem a energia adquirida ou perdida pela part´
ıcula? A resposta a esta quest˜o
` a
nos leva a introduzir o conceito de energia na descri¸ao dos fenˆmenos ele-
c˜ o
tromagn´ticos.
e
5.2.1 Campos conservativos
A figura 18 [1] ilustra o movimento de uma carga q0 , na presen¸a do campo
c
eletrost´tico produzido por outra carga q. O trabalho realizado sobre a carga
a
25

26. q0 , num deslocamento infinitesimal ds ´
e
dW = q0 E · ds.
Consideremos inicialmente o trecho 1 → 2. A varia¸ao da energia cin´tica
c˜ e
da carga q0 neste trecho ´
e
2 2 ˆ
r · ds 2 dr 1 1
T2 − T 1 = q0 E · ds = kq0 q = kq0 q = −kq0 q − .
1 1 r2 1 r 2 r2 r1
Suponhamos agora que a carga q0 percorra todo o trajeto mostrado na figura
18, retornando ao ponto 1 de partida. Caso sua energia cin´tica fosse, por
e
exemplo, maior que a inicial, ter´
ıamos uma forma de produzir energia do
nada! Sabemos que isto n˜o ´ poss´
a e ıvel, pois n˜o existe um moto perp´tuo.
a e
Portanto, devemos ser capazes de demonstrar que
o trabalho realizado ao longo de qualquer trajet´ria fechada ´ nulo
o e
(Caso uma determinada trajet´ria resultasse em um trabalho negativo
o
(diminuindo a energia cin´tica da carga q0 ), poder´
e ıamos inverter o sentido
da trajet´ria obtendo assim um ganho de energia cin´tica.)
o e
Vamos primeiro mostrar que o trabalho ´ de fato nulo para a trajet´ria
e o
simples mostrada na figura 18.
Note que, nos trechos 2 → 3, 4 → 5, 6 → 7 e 8 → 1, a carga q0 desloca-se
perpendicularmente a dire¸ao do campo radial E. Portanto, o trabalho ´ nulo
` c˜ e
nestes trechos (dW = E · ds = 0). Nos trechos onde o trabalho ´ n˜o nulo
e a
temos
2 dr 1 1
W12 = kq0 q = −kq0 q − ,
1 r2 r2 r1
4 dr 1 1
W34 = kq0 q 2
= −kq0 q − ,
3 r r4 r3
6 dr 1 1
W56 = kq0 q 2
= −kq0 q − ,
5 r r6 r5
8 dr 1 1
W78 = kq0 q 2
= −kq0 q − .
7 r r8 r7
26

27. 1
q0
8
2 7
q 5
3 6
4
Figura 18: Trajet´ria num campo conservativo
o
27

28. O trabalho total ´ a soma dos trabalhos em cada trecho;
e
1 1 1 1 1 1 1 1
W = −kq0 q − + − + − + − .
r2 r1 r4 r3 r6 r5 r8 r7
Conclu´ ımos facilmente que W = 0, notando que r2 = r3 , r4 = r5 , r6 = r7 e
r1 = r 8 .
A curva utilizada na figura 18 pode parecer muito especial. Vamos agora
verificar o que acontece em uma situa¸ao mais geral, como a mostrada na
c˜
figura 19 (escolhemos uma for¸a repulsiva, mas o mesmo poderia ser deduzido
c
com uma for¸a atrativa). A amplia¸ao de um dos trechos da trajet´ria,
c c˜ o
mostra uma aproxima¸ao em termos de dente de serra. Estamos portanto
c˜
reduzindo uma trajet´ria qualquer ao caso considerado na figura 18, onde j´
o a
demonstramos que o trabalho ´ nulo quando percorremos o circuito fechado.
e
Tomando dentes suficientemente pequenos, como ´ mostrado na amplia¸ao
e c˜
seguinte, tudo o que precisamos mostrar ´ que, para um dente qualquer, o
e
trabalho Wac ´ o mesmo que a soma dos trabalhos Wab e Wbc . No trecho
e
a → c o trabalho ´ e c
Wca = F · ds = F s cos θ,
a
pois a for¸a ´ constante ao longo do trecho infinitesimal. No trecho horizontal,
c e
c
Wab = F · ds = F x.
a
No trecho vertical Wbc = 0, visto que a for¸a ´ perpendicular ao deslocamento.
c e
Como s cos θ = x, conclu´ ımos que Wac = Wab + Wbc . Portanto, o trabalho
ao longo de uma trajet´ria qualquer ´ o mesmo que o trabalho ao logo de
o e
uma trajet´ria em forma de dente de serra, que por sua vez ´ nula para um
o e
circuito fechado.
For¸as possuindo a propriedade demonstrada acima, s˜o chamadas de
c a
for¸as conservativas. Note que esta propriedade ´ comum a qualquer for¸a
c e ` c
que dependa somente da distˆncia radial, ou seja, for¸as centrais.
a c
Uma consequˆncia imediata do anulamento do trabalho em um circuito
e
fechado ´ que o trabalho realizado entre dois pontos A e B quaisquer, n˜o
e a
depende do caminho entre A e B. Para mostrar isto, considere as duas
trajet´ria exibidas na figura 20. Partindo do ponto A e percorrendo as duas
o
trajet´rias no sentido hor´rio, teremos
o a
AB BA
Wvermelho + Wazul = 0.
28

29. q
c
F
s
y
. θ .
a x b
Figura 19: Trajet´ria geral num campo conservativo
o
29

30. A
B
Figura 20: Diferentes caminhos entre A e B
30

31. BA AB
Como Wazul = −Wazul , obtemos
AB AB
Wvermelho = Wazul .
Portanto, para calcular W AB , podemos escolher qualquer trajet´ria. Uma
o
trajet´ria conveniente ´ aquela mostrada em verde, na figura 20. No trecho
o e
semi-circular desta trajet´ria, sabemos que n˜o h´ trabalho realizado. No
o a a
trecho que vai de rA at´ rB , o trabalho ´
e e
B dr 1 1
W AB = kq0 q 2
= −kq0 q − , (25)
A r rB rA
Esta propriedade pode ser equivalentemente expressa dizendo que
o trabalho realizado por uma for¸a conservativa
c
s´ depende da posi¸˜o dos pontos inicial e final
o ca
No caso de um campo eletrost´tico produzido por uma distribui¸ao qual-
a c˜
quer de cargas, podemos invocar o princ´pio de superposi¸ao, subdividindo a
ı c˜
distribui¸ao de cargas em elementos de carga puntiforme, cada um dos quais
c˜
produzindo um campo coulombiano, portanto conservativo. Naturalmente,
a soma de campos conservativos ´ um campo conservativo.
e
5.2.2 Diferen¸a de potencial eletrost´tico
c a
Consideremos dois pontos A e B de uma regi˜o do espa¸o onde existe um
a c
campo el´trico E e uma carga q0 que pode ocupar qualquer destes pontos.
e
Definimos a diferen¸a de energia potencial eletrost´tica deste sistema como
c a
B
∆U = UB − UA = −q0 E · ds. (26)
A
Note que ∆U ´ o trabalho realizado sobre q0 entre A e B, com sinal trocado.
e
Se imaginarmos um agente externo deslocando a carga q0 entre A e B, sem
alterar sua energia cin´tica, ent˜o a equa¸ao (26) ´ idˆntica ao trabalho re-
e a c˜ e e
alizado pelo agente externo. Sabemos da se¸ao anterior que ∆U ´ de fato
c˜ e
uma grandeza que depende somente da posi¸ao dos pontos A e B. Podemos
c˜
portanto utilizar qualquer caminho ligando os ponto A e B, para calcular a
integral de linha na equa¸ao (26).
c˜
Podemos tamb´m definir a grandeza, denominada diferen¸a de potencial
e c
entre os pontos A e B, como
UB − U A B
∆V = =− E · ds.
q0 A
31

32. Note que esta grandeza depende somente das propriedades do campo el´trico.
e
Escolhendo arbitrariamente um ponto de referˆncia, P0 , onde V (P0 ) = 0,
e
teremos o potencial em qualquer ponto do espa¸o
c
P
V (P ) = − E · ds. (27)
P0
Frequentemente, o ponto P0 ´ tomado a uma distˆncia infinita das distri-
e ` a
bui¸oes de carga.
c˜
5.2.3 Cargas puntiformes
Vimos que o trabalho realizado pela for¸a eletrost´tica de uma carga q sobre
c a
outra carga q0 ´ dado pela equa¸ao (25). Utilizando a defini¸ao geral de
e c˜ c˜
diferen¸a potencial eletrost´tico, dada por (5.2.2), teremos
c a
B dr 1 1
VB − VA = −kq 2
= kq − , (28)
A r rB rA
Convencionando-se que o valor do potencial ´ zero em rA = ∞, podemos
e
falar em potencial em cada ponto produzido por uma carga puntiforme, como
sendo dado por
q
V =k .
r
Note que este potencial n˜o muda de valor nos pontos de superf´
a ıcies esf´ricas
e
de raio r. Em geral, superf´
ıcies onde o potencial tem sempre o mesmo valor
s˜o denominadas
a
Superf´
ıcies Equipotenciais
Utilizando o princ´ ıpio de superposi¸ao, o potencial produzido por N car-
c˜
gas puntiformes, q1 , · · · qN , ´ dado por
e
N
qi
V =k ,
i=1 ri
onde o potencial, de cada carga, no infinito, foi posto igual a zero.
`
32

33. 5.2.4 Energia potencial de part´
ıculas carregadas
Uma carga q1 est´ produzindo um potencial
a
q1
V1 = k
r12
em um ponto que est´ a uma distˆncia r12 de q1 . Da defini¸ao de potencial,
a a c˜
sabemos que o trabalho realizado por um agente externo para deslocar, sem
acelera¸ao, uma segunda carga q2 , desde o infinito at´ a distˆncia r12 ´
c˜ e a e
q 2 V1 .
Este trabalho ´ definido como a energia potencial U do sistema de cargas.
e
Ou seja,
q1 q2
U =k .
r12
Para um sistema constitu´ de N cargas, devemos somar as energias poten-
ıdo
ciais associadas a cada par de cargas. Ou seja,
qi qj
U =k .
i>j rij
5.2.5 Distribui¸oes cont´
c˜ ınuas de cargas
Utilizando o princ´pio de superposi¸ao, o potencial de uma distribui¸ao con-
ı c˜ c˜
t´
ınua ´ dado pela soma dos potenciais
e
dq
dV = k
r
produzidos por elementos de carga dq. Ou seja,
dq
V =k .
r
Estamos convencionando que o potencial ´ nulo em pontos situados a uma
e
distˆncia infinita da distribui¸ao de cargas.
a c˜
33

34. P
r’’
r
φ r’d θ
θ r
’
r ’ sen θ d φ d r’
Figura 21: Esfera uniformemente carregada
6 Sexta aula
6.1 Potencial de uma esfera uniformemente carregada
A figura 21 mostra uma esfera possuindo carga total Q, uniformemente dis-
tribu´da em todo o seu volume.
ı
Um elemento de carga dq = ρdv (o volume dv est´ mostrado na figura),
a
produz um potencial
dq dv
dV = k = kρ
r r
num ponto P situado a uma distˆncia r do centro da esfera. Tamb´m esta
a e
indicada na figura, a distˆncia r , que vai do centro da esfera at´ o volume
a e
dv. Podemos expressar r em termos de r e r , observando que
r = (r senθ)2 + (r − r cos θ)2 = r 2 + r 2 − 2rr cos θ
As dimens˜es do elemento de volume dv s˜o r senθdφ, r dθ e dr . Portanto,
o a
dv = (r senθdφ)(r dθ)(dr ).
34

35. O potencial total em P ´ obtido integrando em r , θ e φ
e
2π π ρ senθ r 2R
V =k dφ dθ dr √
.
0 0 0 r 2 + r 2 − 2rr cos θ
Como a densidade de carga ρ ´ constante e o resto do integrando n˜o depende
e a
de φ, podemos imediatamente integrar em φ, resultando em
π R ρ senθ r 2
V = kρ(2π) dθ dr √ .
0 0 r 2 + r 2 − 2rr cos θ
Fazendo a mudan¸a de vari´vel
c a
senθdθ = −d(cos θ) = −du,
teremos
R r2 1
V = kρ(2π) du √ 2 dr .
0 −1 r + r 2 − 2rr u
Fazendo uma segunda mudan¸a de vari´vel
c a
2
x = r + r 2 − 2rr u; dx = −2rr du,
teremos
R (r−r )2 dx r 2
V = kρ(2π) dr √
0 (r+r )2 (−2rr ) x
kρ(2π) R
= − r (|r − r | − |r + r |) dr
r 0
Devemos agora distinguir duas situa¸oes:
c˜
ponto P fora da distribui¸˜o de cargas
ca
Neste caso, |r − r | − |r + r | = −2r . Logo,
kρ(4π) R3 kQ
V = = (29)
r 3 r
ponto P dentro da distribui¸˜o de cargas
ca
Devemos, neste caso, separar a regi˜o de integra¸ao em duas partes. Uma,
a c˜
de 0 at´ r, onde |r − r | − |r + r | = −2r . Outra, de r at´ R, onde |r − r | −
e e
|r + r | = −2r. Logo
kρ(4π) r 3 R2 r 2 kQ r2
V = +r − = 3− 2 (30)
r 3 2 2 2R R
35

36. s
ds E
θ
Figura 22: Campo el´trico de uma carga teste
e
6.2 C´lculo do campo el´trico a partir do potencial
a e
Consideremos uma carga teste q0 movendo-se ao longo da dire¸ao s, mostrada
c˜
na figura 22. As linhas tracejadas representam superf´ıcies equipotenciais. Ao
atravessar uma diferen¸a de potencial dV , ´ realizado um trabalho
c e
dW = −q0 dV = q0 E · ds = q0 E ds cos θ.
Portanto,
dV
E cos θ = − .
ds
Ou seja,
∂V
(Componente de E ao longo de s) = −
∂s
O eixo s poderia ter sido escolhido ao longo de qualquer um dos 3 eixos x,
36

37. y ou z. Neste caso, ter´
ıamos as componentes cartesianas do vetor campo
el´trico dadas por
e
∂V ∂V ∂V
Ex = − , Ey = − , Ez = − . (31)
∂x ∂y ∂z
6.3 Potencial de um condutor carregado
J´ sabemos que o campo el´trico ´ nulo no interior de um condutor. Usando-
a e e
se as equa¸oes (31), chega-se a conclus˜o de que
c˜ ` a
o potencial no interior do condutor ´ constante.
e
Como o campo el´trico ´ sempre normal a superf´cie do condutor, pode-
e e ` ı
mos facilmente deduzir que em dois pontos A e B quaisquer, na superf´ıcie
do condutor, o potencial ´ o mesmo. De fato,
e
B
VB − V A = − E · ds = 0.
A
Portanto, o condutor ´ uma regi˜o equipotencial
e a
A figura 23 mostra os gr´ficos do potencial e do campo el´trico de uma
a e
esfera condutora carregada.
6.4 Condutor possuindo uma cavidade - Blindagem
A figura 24 mostra o corte de um condutor carregado possuindo uma cavi-
dade, no interior da qual n˜o h´ carga l´
a a ıquida. Queremos determinar o campo
el´trico no interior da cavidade e a distribui¸ao de cargas na superf´ in-
e c˜ ıcie
terna. Na figura 25 constru´ ımos uma superf´ (linha tracejada), passando
ıcie
pelo interior do meio condutor, e envolvendo toda a cavidade. Como E = 0
no condutor, a lei de Gauss nos d´ a
qin
E · da = 0 = .
0
Portanto, toda a informa¸ao que a lei de Gauss nos d´, ´ que a carga l´quida
c˜ a e ı
na superf´ da cavidade ´ nula.
ıcie e
Admitindo que as cargas teriam se distribu´ na superf´ da cavidade,
ıdo ıcie
como na figura 26 (sabemos que num condutor tal configura¸ao n˜o seria
c˜ a
est´vel), ter´
a ıamos um campo el´trico n˜o nulo no interior da cavidade. Mas
e a
37

38. + +
+
+ +
+ +
+ +
R
+ +
+ +
+ + +
V
kQ
R
kQ
r
r
E
kQ
r2
r
Figura 23: Potencial e campo el´trico de uma esfera carregada
e
E=0
Q =0
Q= 0
E=?
E=0
Figura 24: Condutor possuindo uma cavidade
38

39. Superficie gaussiana
−−
−
?
+
++
Figura 25: Superf´ gaussiana envolvendo a cavidade
ıcie
- -
-
+
++
Γ
Figura 26: Distribuic˜o de cargas na cavidade
a
39

40. esta suposi¸ao nos leva a uma contradi¸ao, uma vez que a integral de linha
c˜ ` c˜
do campo el´trico, ao longo da curva fechada Γ, indicada na figura, seria n˜o
e a
nula;
E · ds = 0,
Γ
o que ´ um absurdo. Logo,
e
n˜o h´ campo el´trico no interior de uma cavidade de um condutor
a a e
´
E por esta raz˜o que circuitos el´tricos sens´
a e ıveis (como a placa m˜e de um
a
computador) s˜o blindados por um gabinete met´lico. Note que se a lei de
a a
Gauss n˜o fosse verdadeira, a blindagem n˜o ocorreria, mesmo que o campo
a a
fosse conservativo.
7 S´tima aula
e
7.1 Capacitores
Capacitores s˜o utilizados em diversos dispositivos tais como:
a
• “Flash” de m´quina fotogr´fica.
a a
• Sintonizador de radio.
• Filtros.
• Capacitores microsc´picos em mem´ria RAM de computadores.
o o
Basicamente, um capacitor ´ um armazenador de energia potencial el´-
e e
trica. Um capacitor t´ ıpico ´ formado por dois condutores possuindo cargas
e
iguais e opostas (estas cargas podem ser fornecidas por uma bateria), sepa-
rados por um isolante.
De acordo com o princ´pio de superposi¸ao, a superposi¸˜o de duas con-
ı c˜ ca
figura¸oes idˆnticas a mostrada na figura 27 (mesma disposi¸ao geom´trica e
c˜ e ` c˜ e
mesmo isolante), ser´ uma nova configura¸ao possuindo o dobro da carga; o
a c˜
campo el´trico ser´ dobrado em cada ponto do espa¸o, o que por sua vez far´
e a c a
com que o trabalho para transportar uma carga teste seja tamb´m dobrado.
e
Portanto, conclu´ımos que o m´dulo da carga el´trica Q deve ser proporcional
o e
ao m´dulo da diferen¸a de potencial V , ou seja,
o c
Q = CV.
40

41. Condutor
+Q
-Q
Condutor
Isolante
Bateria
Figura 27: Capacitor
41

42. Q
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + d
+
- - - - -
- E
- - - -
- - - - -
Figura 28: Capacitor de placas paralelas
Note que a rela¸ao acima n˜o depende da validade da lei de Coulomb. Ela
c˜ a
´ uma consequˆncia somente do princ´
e e ıpio de superposi¸ao e do fato de ser
c˜
o campo el´trico um campo conservativo (deriv´vel de um potencial). A
e a
constante C ´ chamada de capacitˆncia e V ´ denominado voltagem.
e a e
A unidade de capacitˆncia ´ o farad.
a e
C
[C] = = F.
V
Um capacitor t´ ıpico possui capacitˆncia variando entre 1µ F = 10−6 F at´
a e
−12
1pF = 10 F .
Como um exemplo, vamos calcular a capacitˆncia de uma esfera condu-
a
tora. Sabemos que a voltagem ´ V = kQ/R, onde R ´ o raio da esfera (o
e e
outro condutor ´ uma casa esf´rica met´lica a uma distˆncia praticamente
e e a ` a
infinita da esfera). Portanto,
Q Q R
C= = kQ = = 4π 0 R. (32)
V R
k
Para uma esfera de 10 cm de raio,
C = 4π 0 (0, 1) = 4π 8, 85 × 10−12 × 0, 1 = 11, 1 pF
7.1.1 Capacitor de placas paralelas
O potencial entre as placas ´
e
−
V = E · ds. (33)
+
42

43. y
−
+ + + + + + + +
−
−
−
−
−
−
−
x
Figura 29: Distorc˜o das linhas de campo nas bordas
a
Desconsiderando a pequena distor¸ao das linhas de campo nas proximidades
c˜
das bordas (veja a figura 29), teremos
 σˆ


 i entre as placas.
0
E= (34)


0 em qualquer outro ponto.

Substituindo (34) em (33), teremos
− σ d σd
V = E · ds = dx = . (35)
+ 0 0 0
Portanto,
Q 0Q 0A
C= = = ,
V σd d
onde utilizamos
Q
. σ=
A
Exerc´ıcio: Calcule a area das placas paralelas de um capacitor possuindo
´
capacitˆncia C = 1 F e distˆncia entre as placas de um mil´
a a ımetro.
43

44. b
a
+Q
L
−Q
Figura 30: Capacitor Cil´
ındrico
7.1.2 Capacitor cil´
ındrico
A figura 30 mostra um condutor cil´ ındrico de raio a, comprimento L
b, e carga +Q, coaxial com uma casca cil´ ındrica de raio b > a, tamb´m e
condutora, e possuindo carga −Q. Tomando superf´ ıcies gaussianas cil´
ındricas
de comprimento l L, a lei de Gauss nos d´
a
qin 1 λ

r=
ˆ r
ˆ para a < r < b


(2πrl) 2π 0 r


0
E= , (36)




0 em qualquer outro ponto.
onde λ ´ a carga por unidade de comprimento do cilindro. O potencial ´
e e
− λ b dr λ b
V = E · ds = = ln .
+ 2π 0 a r 2π 0 a
Portanto, a capacitˆncia ´
a e
Q λL 2π 0 L
C= = = b .
V V ln a
7.1.3 Capacitor esf´rico
e
O capacitor esf´rico ´ constitu´ por uma esfera met´lica de raio a e carga
e e ıdo a
+Q, concˆntrica com uma casca esf´rica met´lica de raio b > a e carga
e e a
44