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Cap´ıtulo 1
Campo El´etrico
1.1 Prel´udio
• O Eletromagnetismo ´e o estudo i) da gera¸c˜ao e da propaga¸c˜ao de campos el´etricos e
magn´eticos por cargas el´etricas e ii) da dinˆamica de cargas em resposta a estes campos.
• A gera¸c˜ao de campos por cargas ´e descrita pelas Equa¸c˜oes de Maxwell e, em casos parti-
culares, por leis simples como a Lei de Coulomb e a Lei de Biot-Savart.
• Uma vez criados, os campos se propagam como ondas no espa¸co com uma velocidade constante
e igual `a velocidade da luz.
• Na presen¸ca de campos el´etricos e magn´eticos, cargas sofrem for¸cas el´etricas e magn´eticas de
acordo com a For¸ca de Lorentz.
• Todos os fenˆomenos eletromagn´eticos s˜ao descritos de uma forma ou outra pelas Equa¸c˜oes de
Maxwell e pela For¸ca de Lorentz. Elas, respectivamente, dizem `as cargas como gerar campos,
e aos campos como afetar as cargas.
• O eletromagnetismo tem grande importˆancia pr´atica, pois as intera¸c˜oes eletromagn´eticas des-
crevem ´atomos, mol´eculas, propriedades dos materiais, aparelhos eletrˆonicos, etc.
• Na F´ısica, busca-se a unifica¸c˜ao de leis fundamentais, o que significa que leis descrevendo
fenˆomenos aparentemente distintos podem ser combinadas em uma descri¸c˜ao mais ampla e
´unica dos fenˆomenos. O eletromagnetismo ´e o grande exemplo de unifica¸c˜ao de leis f´ısicas.
• Veremos que fenˆomenos el´etricos e fenomˆenos magn´eticos, iniciamente pensados como dis-
tintos, est˜ao na verdade relacionados por um ´unico formalismo, o Eletromagnetismo. Essa
unifica¸c˜ao vai al´em desses fenˆomenos, e unifica tamb´em a ´Otica como parte do eletromag-
netismo. Como veremos, a luz nada mais ´e do que ondas de campos eletromagn´eticos se
auto-criando e propagando; por isso chamamos a luz de radia¸c˜ao eletromagn´etica. Essa uni-
fica¸c˜ao gerou um grande debate no final do s´eculo XIX: se os campos se propagam com a
velocidade da luz, com rela¸c˜ao a que referencial deve ser medida essa velocidade? Essa quest˜ao
foi o que levou Einstein a propor em 1905 a Relatividade Especial, que revolucionou as
no¸c˜oes cl´assicas de espa¸co-tempo.
9
10 CAP´ITULO 1. CAMPO EL´ETRICO
• Outro exemplo de unifica¸c˜ao: a intera¸c˜ao eletro-fraca, em que os fenˆomenos eletromagn´eticos
e a intera¸c˜ao nuclear fraca s˜ao descritos por um formalismo ´unico (prˆemio Nobel de F´ısica de
1979). Um dos grandes desafios da f´ısica moderna ´e unificar todas as intera¸c˜oes da natureza
em um formalismo ´unico; o eletromagnetismo ´e o maior exemplo que inspira essa busca.
• Embora a dinˆamica de gal´axias no universo seja governada basicamente pela gravidade, v´arios
efeitos eletromagn´eticos s˜ao tamb´em importantes. Al´em disso, a maneira como astrˆonomos
estudam gal´axias tamb´em se relaciona com o eletromagnetismo. Afinal de contas, a ´unica
fonte de informa¸c˜ao que temos das gal´axias ´e a luz que elas nos enviam. Por meio desta
radia¸c˜ao, devemos descobrir todas as propriedades da gal´axia relevantes para estudos as-
trof´ısicos e cosmol´ogicos. Esssa propriedades incluem o tamanho da gal´axia, o seu tipo,
a sua morfologia, os elementos qu´ımicos que a compoem, sua temperatura, sua massa e sua
distˆancia at´e n´os; tudo isso tem que ser inferido pelos f´otons de luz enviados pelas g´alaxias.
• Portanto, os efeitos eletromagn´eticos s˜ao de grande importˆancia sob v´arias perspectivas. Eles
descrevem a estrutura da mat´eria, permeiam a tecnologia de ponta e tem profunda rela¸c˜ao
com outros t´opicos da f´ısica moderna e outras ´areas da ciˆencia.
1.2 Carga El´etrica
• A carga el´etrica q ´e uma propriedade intr´ınseca fundamental das part´ıculas.
• Existem dois tipos de carga el´etrica: positiva e negativa.
• Cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinal oposto se atraem mutuamente.
• A unidade de carga ´e o Coulomb, denotado C.
• O n´ucleo atˆomico ´e composto por pr´otons (part´ıculas de carga positiva) e neutrons (part´ıculas
sem carga, i.e. eletricamente neutras). Os el´etrons (part´ıculas de carga negativa) orbitam
os n´ucleos atˆomicos devido `a atra¸c˜ao eletromagn´etica. As cargas do pr´oton e do el´etron s˜ao
idˆenticas e opostas, com magnitude |qe| = 1.6 × 10−19C.
• A carga el´etrica ´e conservada. Em qualquer processo f´ısico, a carga total antes e depois ´e a
mesma, i.e. cargas totais n˜ao s˜ao criadas nem destru´ıdas. Se uma carga desaparece em algum
local, ela deve re-aparecer em outro. Veremos que a conserva¸c˜ao de cargas ´e automaticamente
garantida pelas Equa¸c˜oes de Maxwell e n˜ao precisa ser assumida independentemente.
• A carga el´etrica ´e quantizada. Todas as cargas s˜ao m´ultiplos da carga do el´etron, i.e. Q = nqe
para algum n inteiro. Paul Dirac mostrou que, se existissem cargas magn´eticas na natureza,
isso explicaria por que a carga el´etrica ´e quantizada. Infelizmente, cargas magn´eticas nunca
foram observadas e a quantiza¸c˜ao da carga continua sendo um fato basicamente emp´ırico.
1.3 For¸ca El´etrica: Lei de Coulomb
• Uma carga pontual q1 separada por uma distˆancia r de uma segunda carga q2, exerce sobre
esta uma for¸ca el´etrica F12 m´utua. A for¸ca ´e proporcional ao produto das cargas q1q2 e
inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia r, sendo dada pela Lei de Coulomb:
F12 =
q1q2
4πǫ0r2
ˆr12 , (Lei de Coulomb) (1.1)
1.4. CAMPO EL´ETRICO 11
onde ǫ0 = 8.85×10−12 C2/Nm2 ´e a permissividade el´etrica no v´acuo e ˆr12 ´e um vetor unit´ario
na dire¸c˜ao das cargas. A constante de proporcionalidade ´e dada pela combina¸c˜ao
k ≡
1
4πǫ0
= 9 × 109
Nm2
/C2
(1.2)
Figura 1.1: For¸ca el´etrica. (Serway)
• O sentido da for¸ca depende do produto das cargas
q1q2. Para cargas de mesmo sinal, esse produto ´e
positivo e temos for¸ca repulsiva. Para cargas de sinal
oposto, o produto ´e negativo e temos for¸ca atrativa.
• A carga q2, por sua vez, exerce sobre a carga q1 uma
for¸ca F21 de igual magnitude e dire¸c˜ao oposta, con-
forme a 3a Lei de Newton
F21 = −F12
1.4 Campo El´etrico
• Uma maneira conveniente de interpretar a intera¸c˜ao eletromagn´etica das duas cargas q e q0,
´e pensar que a carga q gera no espa¸co ao seu redor um campo el´etrico E
Figura 1.2: Campo el´etrico. (Serway)
E =
q
4πǫ0r2
ˆr (1.3)
• O sentido do campo el´etrico em r ´e para fora da
carga q, se q > 0 e para dentro da carga se q < 0.
• Pode-se pensar ent˜ao que a for¸ca que uma carga q0
sofre ao ser posicionada pr´oxima `a carga q resulta
da intera¸c˜ao de q0 com o campo el´etrico E criado
por q. A for¸ca Fe fica ent˜ao:
Fe = q0E (1.4)
• Campo: for¸ca por unidade de carga: E = Fe/q0.
• A vantagem dessa descri¸c˜ao ´e que o campo E existe, mesmo na ausˆencia da carga teste q0.
Se perturbarmos a carga q, o campo n˜ao muda instantaneamente no espa¸co. A mudan¸ca se
propaga com a velocidade da luz c, e somente ap´os um tempo t = r/c, a perturba¸c˜ao chega
`a distˆancia r. O campo passa a ter vida pr´opria e se torna um ente com propriedades f´ısicas,
como energia, momento, etc. Portanto, o campo n˜ao ´e apenas um truque matem´atico para
calcular for¸cas, mas uma entidade f´ısica real.
12 CAP´ITULO 1. CAMPO EL´ETRICO
• N˜ao ´e coincidˆencia que mudan¸cas nos campos se progagam com a velocidade da luz. Como
veremos adiante, a luz nada mais ´e do que campos el´etricos e magn´eticos se propagando no
espa¸co-tempo.
• Na descri¸c˜ao quˆantica do eletromagnetismo, part´ıculas de luz chamadas f´otons propagam
a intera¸c˜ao eletromagn´etica entre cargas, viajando `a velocidade da luz. Tanto a descri¸c˜ao
cl´assica (campos), quanto a quˆantica (f´otons) s˜ao corretas. Elas expressam a dualidade onda-
part´ıcula da natureza. Aqui focaremos na descri¸c˜ao cl´assica.
• Campos el´etricos satisfazem o princ´ıpio da superposi¸c˜ao. O campo total Etot
e de um
conjunto de cargas qi com i = 1, ..., N ´e dado pela soma vetorial dos campos de cada uma
das cargas individuais:
Etot =
N
i=1
Eqi (1.5)
• Para distribui¸c˜oes cont´ınuas de carga, somas s˜ao substitu´ıdas por integrais.
1.5 Linhas de Campo
Figura 1.3: Linhas de campo el´etrico devido a cargas pontuais. (Serway)
• Linhas de Campo: representa¸c˜ao g´rafica do campo el´etrico no espa¸co, tais que:
– O campo el´etrico E ´e sempre tangente `a linha de campo.
– A densidade de linhas ´e proporcional `a intensidade do campo.
– Linhas de campo n˜ao se cruzam, pois o campo el´etrico ´e ´unico em um ponto.
1.6. EXEMPLOS 13
• Na Fig 1.3 , est˜ao mostradas linhas de campo de certas configura¸c˜oes de cargas pontuais. As
linhas saem de cargas positivas e se entram em cargas negativas. Naturalmente, a densidade
de linhas ´e maior pr´oximo `as cargas.
1.6 Exemplos
Com o princ´ıpio de superposi¸c˜ao em mente, vamos calcular o campo el´etrico em algumas confi-
gura¸c˜oes de cargas. Para distribui¸c˜oes de carga, usamos cargas diferenciais dq = λdx = σdA = ρdV ,
onde λ, σ e ρ s˜ao densidades linear, superficial e volum´etrica de carga, respectivamente, e dx, dA
e dV s˜ao correspondentes elementos infinitesimais de comprimento, ´area e volume.
1.6.1 Carga Pontual
Como visto acima, para uma carga pontual q, o campo ´e simplesmente dado pela Lei de Coulomb
Eq =
q
4πǫ0r2
ˆr (1.6)
Uma carga pontual configura um monopolo el´etrico.
1.6.2 Dipolo
Figura 1.4: Campo el´etrico de um dipolo
el´etrico. (Halliday)
Considere o dipolo el´etrico, formado por duas cargas,
sendo uma delas positiva de carga +q e a outra nega-
tiva de carga −q, separadas por uma distancia d. Pelo
princ´ıpio da superposi¸c˜ao, o campo el´etrico total em um
ponto P no eixo do dipolo, a uma distˆancia z do seu cen-
tro conforme a Fig 1.4, ´e dado por
E = E+ − E−
=
q
4πǫ0r2
+
−
q
4πǫ0r2
−
=
q
4πǫ0z2 1 − d
2z
2 −
q
4πǫ0z2 1 + d
2z
2
=
q
4πǫ0z2
2d/z
[1 − ( d
2z )2]2
=
qd
2πǫ0z3
1
[1 − ( d
2z )2]2
(1.7)
Para P distante do dipolo, i.e. para z ≫ d, podemos
desprezar o termo d/2z entre parˆenteses, e obtemos:
E =
qd
2πǫ0z3
=
p
2πǫ0z3
(Dipolo El´etrico) (1.8)
onde p = qd ´e o momento de dipolo. Pode-se mostrar
que, ao longo do eixo perpendicular ao do dipolo, o campo
tamb´em varia com a distˆancia ao cubo, e portanto isso vale para qualquer ponto distante do dipolo.
14 CAP´ITULO 1. CAMPO EL´ETRICO
Quando discutirmos potencial el´etrico, veremos que para calcular o campo de um dipolo em
um ponto geral, ´e mais f´acil calcular primeiro o potencial el´etrico e obter o campo el´etrico como o
gradiente do potencial.
1.6.3 Anel de carga
Figura 1.5: Anel carregado.
(Halliday)
Considere um anel carregado conforme a Fig 1.5. A carga dq contida
em um elemento de comprimento infinitesimal ds ´e dada por
dq = λds
Essa carga diferencial pode ser tratada como uma carga pontual e
gera um campo infinitesimal dE
dE =
dq
4πǫ0r2
=
λds
4πǫ0r2
O campo el´etrico total ´e dado somando (integrando) a contribui¸c˜ao de
todos os elementos infinitesimais. Por simetria, o campo deve apontar
na dire¸c˜ao z, pois contribui¸c˜oes na dire¸c˜ao radial se cancelam em pares
simetricamente opostos. Temos ent˜ao:
E =
anel
dE cos θ =
anel
λds
4πǫ0r2
z
r
=
λ
4πǫ0r2
z
r
2πR
0
ds
=
zλ(2πR)
4πǫ0r3
Finalmente, usando q = λ2πR e r =
√
z2 + R2, temos
E =
qz
4πǫ0(z2 + R2)3/2
(1.9)
Uma outra forma de escrever esse resultado ´e
E =
q
4πǫ0r2
z
r
=
q
4πǫ0r2
cos θ (1.10)
que ser´a util quando considerarmos uma casca esf´erica. Note que quando R → 0 ou z → ∞, temos
E ≈
qz
4πǫ0z3
=
q
4πǫ0z2
,
como esperado para uma carga pontual.
1.6.4 Disco de carga
Considere agora um disco carregado conforme a Fig 1.6. Neste caso podemos considerar um anel
de raio (vari´avel) r e espessura dr como um elemento infinitesimal do disco. Como acabamos de
descobrir o campo gerado por um anel, temos
dE =
zdq
4πǫ0(z2 + r2)3/2
A carga dq contida em um elemento de ´area infinitesimal dA = (2πr)dr ´e dada por
dq = σdA = σ(2πr)dr
1.6. EXEMPLOS 15
Figura 1.6: Disco carregado.
(Halliday)
Portanto, o campo total ´e dado por
E =
disco
dE =
disco
zdq
4πǫ0(z2 + r2)3/2
=
zσ(2πr)dr
4πǫ0(z2 + r2)3/2
=
zσ
4ǫ0
R
0
2r dr
(z2 + r2)3/2
Fazendo a substitui¸c˜ao u = z2 + r2, du = 2r dr, temos
E =
zσ
4ǫ0
R
0
2r dr
(z2 + r2)3/2
=
zσ
4ǫ0
z2+R2
z2
du
u3/2
=
zσ
4ǫ0
−
2
u1/2
z2+R2
z2
=
zσ
4ǫ0
−
2
√
z2 + r2
R
0
=
zσ
4ǫ0
2
z
−
2
√
z2 + R2
ou seja
E =
σ
2ǫ0
1 −
z
√
z2 + R2
(1.11)
Note que quando R → ∞, temos que o campo de uma placa infinita ´e constante:
E =
σ
2ǫ0
(1.12)
Por outro lado, para R → 0 ou z → ∞, podemos fazer uma expans˜ao binomial, obtendo
z
√
z2 + R2
=
1
1 + R
z
2
≈ 1 −
R2
2z2
Neste caso, como a carga total do disco q = σ(πR2), temos
E =
σ
2ǫ0
R2
2z2
=
σ(πR2)
4πǫ0z2
=
q
4πǫ0z2
(1.13)
Ou seja, como esperado, nesse limite o disco parece uma carga pontual.
16 CAP´ITULO 1. CAMPO EL´ETRICO
Figura 1.7: Linha carregada. (Young & Freedman)
1.6.5 Linha de carga
Considere agora o campo em um ponto x devido a uma linha de carga Q, comprimento 2a e
densidade linear de carga constante λ = dQ/dy = Q/2a como mostrado na Fig. 1.7
Por simetria, temos que Ey = 0, pois elementos opostos se cancelam. Mas vamos mostrar que
isso resulta matematicamente tamb´em. A magnitude da contribui¸c˜ao diferencial dE devido ao
elemento dQ ´e
dE =
dQ
4πǫ0r2
=
λdy
4πǫ0(x2 + y2)
temos
dEx = dE cos α =
λdy
4πǫ0(x2 + y2)
x
r
=
λx
4πǫ0
dy
(x2 + y2)3/2
dEy = dE sin α =
λdy
4πǫ0(x2 + y2)
y
r
=
λ
4πǫ0
ydy
(x2 + y2)3/2
A integral em dEy ´e idˆentica ao do problema de um disco carregado. Obtemos
Ey = dEy =
λ
4πǫ0
a
−a
ydy
(x2 + y2)3/2
=
λ
4πǫ0
−
1
x2 + y2
a
−a
= 0 (1.14)
como esperado. Para Ex obtemos
Ex = dEx =
λx
4πǫ0
a
−a
dy
(x2 + y2)3/2
Precisamos calcular a integral
dy
(x2 + y2)3/2
=
1
x3
dy
(1 + (y/x)2)3/2
1.6. EXEMPLOS 17
Fazendo y
x = tan α, temos dy = xd tan α
dα dα = x(1 + tan2 α)dα = xdα
cos2 α
e portanto
dy
(x2 + y2)3/2
=
1
x3
xdα
cos2 α (cos−2 α)3/2
=
1
x2
du cos α =
sin α
x2
Imaginando um triˆangulo retˆangulo de catetos y e x e hipotenusa x2 + y2, como tan α = y/x,
segue que sin α = y√
x2+y2
. Portanto:
dy
(x2 + y2)3/2
=
y
x2 x2 + y2
(1.15)
e temos finalmente
Ex =
λx
4πǫ0
a
−a
dy
(x2 + y2)3/2
=
λx
4πǫ0
y
x2 x2 + y2
a
−a
=
λx
4πǫ0
2a
x2
√
x2 + a2
=
λ2a
4πǫ0
1
x2 1 + (a/x)2
(1.16)
Novamente, no limite em que x → ∞ ou a → 0, usando Q = λ2a, a linha parece uma carga pontual:
Ex =
Q
4πǫ0x2
(1.17)
Por outro lado, para a → ∞, temos uma linha infinita de carga e o campo ´e dado por
Ex =
λ2a
4πǫ0
1
x2(a/x)
=
λ
2πǫ0x
(1.18)
1.6.6 Casca Esf´erica e Esfera
Considere agora uma casca esf´erica carregada dada na Fig 1.8. Vamos considerar primeiro o campo
Figura 1.8: Casca esf´erica carregada. Campo fora da casca.
em um ponto m fora da casca esf´erica. O elemento infinitesimal indicado na figura ´e um anel com
carga diferencial dq. Por simetria, o campo aponta ao longo da dire¸c˜ao r, e o m´odulo ´e dado por
dEr = dE cos φ =
dq
4πǫ0s2
cos φ
18 CAP´ITULO 1. CAMPO EL´ETRICO
O elemento de carga dq ´e dado por
dq = σ(2πR sin θ)(Rdθ)
e portanto
Er =
dq
4πǫ0s2
cos φ =
σ(2πR2)
4πǫ0
sin θ cos φ
s2
dθ
Como s e φ s˜ao fun¸c˜oes de θ, ´e conveniente fazer a integra¸c˜ao em s. Usando a lei dos cossenos para
φ e θ temos
s2
= r2
+ R2
− 2rR cos θ
R2
= r2
+ s2
− 2rs cos φ
Destas rela¸c˜oes, temos
2sds = 2rR sin θdθ → sin θdθ =
sds
rR
cos φ =
r2 + s2 − R2
2rs
Figura 1.9: Casca esf´erica carre-
gada. Campo dentro da casca.
e o campo se torna
Er =
σ(2πR2)
4πǫ0
sds
rR
r2 + s2 − R2
2rs
1
s2
=
σ(πR)
4πǫ0r2
ds
r2 + s2 − R2
s2
=
σ(πR)
4πǫ0r2
ds 1 +
r2 − R2
s2
=
σ(πR)
4πǫ0r2
s −
r2 − R2
s
r+R
r−R
=
σ(πR)
4πǫ0r2
(r + R) − (r − R) − (r2
− R2
)
1
r + R
−
1
r − R
=
σ(πR)
4πǫ0r2
2R − (r2
− R2
)
(r − R) − (r + R)
(r + R)(r − R)
=
σ(πR)
4πǫ0r2
[2R + 2R] =
σ(4πR2)
4πǫ0r2
=
q
4πǫ0r2
(1.19)
Portanto, o campo de uma casca esf´erica ´e o mesmo de uma carga pontual com carga q localizada
no centro da casca esf´erica.
Para pontos dentro da casca esf´erica, o c´alculo ´e idˆentico, mas de acordo com a Fig 1.9. os
1.7. ESFERA S ´OLIDA 19
limites de integra¸c˜ao s˜ao s = R − r e s = R + r, o que resulta
Er =
σ(πR)
4πǫ0r2
s −
r2 − R2
s
R+r
R−r
=
σ(πR)
4πǫ0r2
(R + r) − (R − r) − (r2
− R2
)
1
(R + r)
−
1
R − r
=
σ(πR)
4πǫ0r2
2r + (R2
− r2
)
(R − r) − (R + r)
(R + r)(R − r)
=
σ(πR)
4πǫ0r2
[2r − 2r]
= 0 (1.20)
i.e. o campo ´e nulo dentro da casca esf´erica. Esses resultados na casca esf´erica foram primeiro
mostrados por Newton na teoria da gravita¸c˜ao, que tambem decae com o quadrado da distˆancia.
1.7 Esfera S´olida
Resultados similares aos da casca esf´erica se aplicam a uma esfera s´olida. Para pontos fora da
esfera, cada casca esf´erica infinitesimal pode ser substituida por uma carga pontual no centro da
esfera. Somando a contribui¸c˜ao de todas as cascas, conclui-se que pode-se tamb´em substituir a
esfera por uma carga pontual em seu centro com a carga total da esfera.
Para pontos dentro da esfera, cascas esf´ericas fora do ponto n˜ao contribuem. Pelo argumento do
par´agrafo anterior, a esfera imagin´aria delimitada pelo ponto pode ser substitu´ıda por uma carga
pontual com carga igual `a carga interna Q′ (e n˜ao a carga total Q).
Essa carga interna ´e dada por Q′ = (r/R)3Q. Portanto o campo ´e dado por
Er =
Q′
4πǫ0r2
=
Qr
4πǫ0R3
(1.21)
i.e. o campo cresce linearmente com a distˆancia r.
1.8 Movimento de Carga em um Campo El´etrico
Considere uma carga q sob a¸c˜ao de um campo el´etrico uniforme, como e.g. o campo criado por
uma placa infinita. A segunda lei de Newton nos d´a Fe = qE = ma, e a cinem´atica da carga ´e
dada ent˜ao pelas equa¸c˜oes usuais da mecˆanica para uma acelera¸c˜ao constante
a =
qE
m
(1.22)
x = x0 + v0t +
at2
2
(1.23)
v = v0 + at (1.24)

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Cap1

  • 1. Cap´ıtulo 1 Campo El´etrico 1.1 Prel´udio • O Eletromagnetismo ´e o estudo i) da gera¸c˜ao e da propaga¸c˜ao de campos el´etricos e magn´eticos por cargas el´etricas e ii) da dinˆamica de cargas em resposta a estes campos. • A gera¸c˜ao de campos por cargas ´e descrita pelas Equa¸c˜oes de Maxwell e, em casos parti- culares, por leis simples como a Lei de Coulomb e a Lei de Biot-Savart. • Uma vez criados, os campos se propagam como ondas no espa¸co com uma velocidade constante e igual `a velocidade da luz. • Na presen¸ca de campos el´etricos e magn´eticos, cargas sofrem for¸cas el´etricas e magn´eticas de acordo com a For¸ca de Lorentz. • Todos os fenˆomenos eletromagn´eticos s˜ao descritos de uma forma ou outra pelas Equa¸c˜oes de Maxwell e pela For¸ca de Lorentz. Elas, respectivamente, dizem `as cargas como gerar campos, e aos campos como afetar as cargas. • O eletromagnetismo tem grande importˆancia pr´atica, pois as intera¸c˜oes eletromagn´eticas des- crevem ´atomos, mol´eculas, propriedades dos materiais, aparelhos eletrˆonicos, etc. • Na F´ısica, busca-se a unifica¸c˜ao de leis fundamentais, o que significa que leis descrevendo fenˆomenos aparentemente distintos podem ser combinadas em uma descri¸c˜ao mais ampla e ´unica dos fenˆomenos. O eletromagnetismo ´e o grande exemplo de unifica¸c˜ao de leis f´ısicas. • Veremos que fenˆomenos el´etricos e fenomˆenos magn´eticos, iniciamente pensados como dis- tintos, est˜ao na verdade relacionados por um ´unico formalismo, o Eletromagnetismo. Essa unifica¸c˜ao vai al´em desses fenˆomenos, e unifica tamb´em a ´Otica como parte do eletromag- netismo. Como veremos, a luz nada mais ´e do que ondas de campos eletromagn´eticos se auto-criando e propagando; por isso chamamos a luz de radia¸c˜ao eletromagn´etica. Essa uni- fica¸c˜ao gerou um grande debate no final do s´eculo XIX: se os campos se propagam com a velocidade da luz, com rela¸c˜ao a que referencial deve ser medida essa velocidade? Essa quest˜ao foi o que levou Einstein a propor em 1905 a Relatividade Especial, que revolucionou as no¸c˜oes cl´assicas de espa¸co-tempo. 9
  • 2. 10 CAP´ITULO 1. CAMPO EL´ETRICO • Outro exemplo de unifica¸c˜ao: a intera¸c˜ao eletro-fraca, em que os fenˆomenos eletromagn´eticos e a intera¸c˜ao nuclear fraca s˜ao descritos por um formalismo ´unico (prˆemio Nobel de F´ısica de 1979). Um dos grandes desafios da f´ısica moderna ´e unificar todas as intera¸c˜oes da natureza em um formalismo ´unico; o eletromagnetismo ´e o maior exemplo que inspira essa busca. • Embora a dinˆamica de gal´axias no universo seja governada basicamente pela gravidade, v´arios efeitos eletromagn´eticos s˜ao tamb´em importantes. Al´em disso, a maneira como astrˆonomos estudam gal´axias tamb´em se relaciona com o eletromagnetismo. Afinal de contas, a ´unica fonte de informa¸c˜ao que temos das gal´axias ´e a luz que elas nos enviam. Por meio desta radia¸c˜ao, devemos descobrir todas as propriedades da gal´axia relevantes para estudos as- trof´ısicos e cosmol´ogicos. Esssa propriedades incluem o tamanho da gal´axia, o seu tipo, a sua morfologia, os elementos qu´ımicos que a compoem, sua temperatura, sua massa e sua distˆancia at´e n´os; tudo isso tem que ser inferido pelos f´otons de luz enviados pelas g´alaxias. • Portanto, os efeitos eletromagn´eticos s˜ao de grande importˆancia sob v´arias perspectivas. Eles descrevem a estrutura da mat´eria, permeiam a tecnologia de ponta e tem profunda rela¸c˜ao com outros t´opicos da f´ısica moderna e outras ´areas da ciˆencia. 1.2 Carga El´etrica • A carga el´etrica q ´e uma propriedade intr´ınseca fundamental das part´ıculas. • Existem dois tipos de carga el´etrica: positiva e negativa. • Cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinal oposto se atraem mutuamente. • A unidade de carga ´e o Coulomb, denotado C. • O n´ucleo atˆomico ´e composto por pr´otons (part´ıculas de carga positiva) e neutrons (part´ıculas sem carga, i.e. eletricamente neutras). Os el´etrons (part´ıculas de carga negativa) orbitam os n´ucleos atˆomicos devido `a atra¸c˜ao eletromagn´etica. As cargas do pr´oton e do el´etron s˜ao idˆenticas e opostas, com magnitude |qe| = 1.6 × 10−19C. • A carga el´etrica ´e conservada. Em qualquer processo f´ısico, a carga total antes e depois ´e a mesma, i.e. cargas totais n˜ao s˜ao criadas nem destru´ıdas. Se uma carga desaparece em algum local, ela deve re-aparecer em outro. Veremos que a conserva¸c˜ao de cargas ´e automaticamente garantida pelas Equa¸c˜oes de Maxwell e n˜ao precisa ser assumida independentemente. • A carga el´etrica ´e quantizada. Todas as cargas s˜ao m´ultiplos da carga do el´etron, i.e. Q = nqe para algum n inteiro. Paul Dirac mostrou que, se existissem cargas magn´eticas na natureza, isso explicaria por que a carga el´etrica ´e quantizada. Infelizmente, cargas magn´eticas nunca foram observadas e a quantiza¸c˜ao da carga continua sendo um fato basicamente emp´ırico. 1.3 For¸ca El´etrica: Lei de Coulomb • Uma carga pontual q1 separada por uma distˆancia r de uma segunda carga q2, exerce sobre esta uma for¸ca el´etrica F12 m´utua. A for¸ca ´e proporcional ao produto das cargas q1q2 e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia r, sendo dada pela Lei de Coulomb: F12 = q1q2 4πǫ0r2 ˆr12 , (Lei de Coulomb) (1.1)
  • 3. 1.4. CAMPO EL´ETRICO 11 onde ǫ0 = 8.85×10−12 C2/Nm2 ´e a permissividade el´etrica no v´acuo e ˆr12 ´e um vetor unit´ario na dire¸c˜ao das cargas. A constante de proporcionalidade ´e dada pela combina¸c˜ao k ≡ 1 4πǫ0 = 9 × 109 Nm2 /C2 (1.2) Figura 1.1: For¸ca el´etrica. (Serway) • O sentido da for¸ca depende do produto das cargas q1q2. Para cargas de mesmo sinal, esse produto ´e positivo e temos for¸ca repulsiva. Para cargas de sinal oposto, o produto ´e negativo e temos for¸ca atrativa. • A carga q2, por sua vez, exerce sobre a carga q1 uma for¸ca F21 de igual magnitude e dire¸c˜ao oposta, con- forme a 3a Lei de Newton F21 = −F12 1.4 Campo El´etrico • Uma maneira conveniente de interpretar a intera¸c˜ao eletromagn´etica das duas cargas q e q0, ´e pensar que a carga q gera no espa¸co ao seu redor um campo el´etrico E Figura 1.2: Campo el´etrico. (Serway) E = q 4πǫ0r2 ˆr (1.3) • O sentido do campo el´etrico em r ´e para fora da carga q, se q > 0 e para dentro da carga se q < 0. • Pode-se pensar ent˜ao que a for¸ca que uma carga q0 sofre ao ser posicionada pr´oxima `a carga q resulta da intera¸c˜ao de q0 com o campo el´etrico E criado por q. A for¸ca Fe fica ent˜ao: Fe = q0E (1.4) • Campo: for¸ca por unidade de carga: E = Fe/q0. • A vantagem dessa descri¸c˜ao ´e que o campo E existe, mesmo na ausˆencia da carga teste q0. Se perturbarmos a carga q, o campo n˜ao muda instantaneamente no espa¸co. A mudan¸ca se propaga com a velocidade da luz c, e somente ap´os um tempo t = r/c, a perturba¸c˜ao chega `a distˆancia r. O campo passa a ter vida pr´opria e se torna um ente com propriedades f´ısicas, como energia, momento, etc. Portanto, o campo n˜ao ´e apenas um truque matem´atico para calcular for¸cas, mas uma entidade f´ısica real.
  • 4. 12 CAP´ITULO 1. CAMPO EL´ETRICO • N˜ao ´e coincidˆencia que mudan¸cas nos campos se progagam com a velocidade da luz. Como veremos adiante, a luz nada mais ´e do que campos el´etricos e magn´eticos se propagando no espa¸co-tempo. • Na descri¸c˜ao quˆantica do eletromagnetismo, part´ıculas de luz chamadas f´otons propagam a intera¸c˜ao eletromagn´etica entre cargas, viajando `a velocidade da luz. Tanto a descri¸c˜ao cl´assica (campos), quanto a quˆantica (f´otons) s˜ao corretas. Elas expressam a dualidade onda- part´ıcula da natureza. Aqui focaremos na descri¸c˜ao cl´assica. • Campos el´etricos satisfazem o princ´ıpio da superposi¸c˜ao. O campo total Etot e de um conjunto de cargas qi com i = 1, ..., N ´e dado pela soma vetorial dos campos de cada uma das cargas individuais: Etot = N i=1 Eqi (1.5) • Para distribui¸c˜oes cont´ınuas de carga, somas s˜ao substitu´ıdas por integrais. 1.5 Linhas de Campo Figura 1.3: Linhas de campo el´etrico devido a cargas pontuais. (Serway) • Linhas de Campo: representa¸c˜ao g´rafica do campo el´etrico no espa¸co, tais que: – O campo el´etrico E ´e sempre tangente `a linha de campo. – A densidade de linhas ´e proporcional `a intensidade do campo. – Linhas de campo n˜ao se cruzam, pois o campo el´etrico ´e ´unico em um ponto.
  • 5. 1.6. EXEMPLOS 13 • Na Fig 1.3 , est˜ao mostradas linhas de campo de certas configura¸c˜oes de cargas pontuais. As linhas saem de cargas positivas e se entram em cargas negativas. Naturalmente, a densidade de linhas ´e maior pr´oximo `as cargas. 1.6 Exemplos Com o princ´ıpio de superposi¸c˜ao em mente, vamos calcular o campo el´etrico em algumas confi- gura¸c˜oes de cargas. Para distribui¸c˜oes de carga, usamos cargas diferenciais dq = λdx = σdA = ρdV , onde λ, σ e ρ s˜ao densidades linear, superficial e volum´etrica de carga, respectivamente, e dx, dA e dV s˜ao correspondentes elementos infinitesimais de comprimento, ´area e volume. 1.6.1 Carga Pontual Como visto acima, para uma carga pontual q, o campo ´e simplesmente dado pela Lei de Coulomb Eq = q 4πǫ0r2 ˆr (1.6) Uma carga pontual configura um monopolo el´etrico. 1.6.2 Dipolo Figura 1.4: Campo el´etrico de um dipolo el´etrico. (Halliday) Considere o dipolo el´etrico, formado por duas cargas, sendo uma delas positiva de carga +q e a outra nega- tiva de carga −q, separadas por uma distancia d. Pelo princ´ıpio da superposi¸c˜ao, o campo el´etrico total em um ponto P no eixo do dipolo, a uma distˆancia z do seu cen- tro conforme a Fig 1.4, ´e dado por E = E+ − E− = q 4πǫ0r2 + − q 4πǫ0r2 − = q 4πǫ0z2 1 − d 2z 2 − q 4πǫ0z2 1 + d 2z 2 = q 4πǫ0z2 2d/z [1 − ( d 2z )2]2 = qd 2πǫ0z3 1 [1 − ( d 2z )2]2 (1.7) Para P distante do dipolo, i.e. para z ≫ d, podemos desprezar o termo d/2z entre parˆenteses, e obtemos: E = qd 2πǫ0z3 = p 2πǫ0z3 (Dipolo El´etrico) (1.8) onde p = qd ´e o momento de dipolo. Pode-se mostrar que, ao longo do eixo perpendicular ao do dipolo, o campo tamb´em varia com a distˆancia ao cubo, e portanto isso vale para qualquer ponto distante do dipolo.
  • 6. 14 CAP´ITULO 1. CAMPO EL´ETRICO Quando discutirmos potencial el´etrico, veremos que para calcular o campo de um dipolo em um ponto geral, ´e mais f´acil calcular primeiro o potencial el´etrico e obter o campo el´etrico como o gradiente do potencial. 1.6.3 Anel de carga Figura 1.5: Anel carregado. (Halliday) Considere um anel carregado conforme a Fig 1.5. A carga dq contida em um elemento de comprimento infinitesimal ds ´e dada por dq = λds Essa carga diferencial pode ser tratada como uma carga pontual e gera um campo infinitesimal dE dE = dq 4πǫ0r2 = λds 4πǫ0r2 O campo el´etrico total ´e dado somando (integrando) a contribui¸c˜ao de todos os elementos infinitesimais. Por simetria, o campo deve apontar na dire¸c˜ao z, pois contribui¸c˜oes na dire¸c˜ao radial se cancelam em pares simetricamente opostos. Temos ent˜ao: E = anel dE cos θ = anel λds 4πǫ0r2 z r = λ 4πǫ0r2 z r 2πR 0 ds = zλ(2πR) 4πǫ0r3 Finalmente, usando q = λ2πR e r = √ z2 + R2, temos E = qz 4πǫ0(z2 + R2)3/2 (1.9) Uma outra forma de escrever esse resultado ´e E = q 4πǫ0r2 z r = q 4πǫ0r2 cos θ (1.10) que ser´a util quando considerarmos uma casca esf´erica. Note que quando R → 0 ou z → ∞, temos E ≈ qz 4πǫ0z3 = q 4πǫ0z2 , como esperado para uma carga pontual. 1.6.4 Disco de carga Considere agora um disco carregado conforme a Fig 1.6. Neste caso podemos considerar um anel de raio (vari´avel) r e espessura dr como um elemento infinitesimal do disco. Como acabamos de descobrir o campo gerado por um anel, temos dE = zdq 4πǫ0(z2 + r2)3/2 A carga dq contida em um elemento de ´area infinitesimal dA = (2πr)dr ´e dada por dq = σdA = σ(2πr)dr
  • 7. 1.6. EXEMPLOS 15 Figura 1.6: Disco carregado. (Halliday) Portanto, o campo total ´e dado por E = disco dE = disco zdq 4πǫ0(z2 + r2)3/2 = zσ(2πr)dr 4πǫ0(z2 + r2)3/2 = zσ 4ǫ0 R 0 2r dr (z2 + r2)3/2 Fazendo a substitui¸c˜ao u = z2 + r2, du = 2r dr, temos E = zσ 4ǫ0 R 0 2r dr (z2 + r2)3/2 = zσ 4ǫ0 z2+R2 z2 du u3/2 = zσ 4ǫ0 − 2 u1/2 z2+R2 z2 = zσ 4ǫ0 − 2 √ z2 + r2 R 0 = zσ 4ǫ0 2 z − 2 √ z2 + R2 ou seja E = σ 2ǫ0 1 − z √ z2 + R2 (1.11) Note que quando R → ∞, temos que o campo de uma placa infinita ´e constante: E = σ 2ǫ0 (1.12) Por outro lado, para R → 0 ou z → ∞, podemos fazer uma expans˜ao binomial, obtendo z √ z2 + R2 = 1 1 + R z 2 ≈ 1 − R2 2z2 Neste caso, como a carga total do disco q = σ(πR2), temos E = σ 2ǫ0 R2 2z2 = σ(πR2) 4πǫ0z2 = q 4πǫ0z2 (1.13) Ou seja, como esperado, nesse limite o disco parece uma carga pontual.
  • 8. 16 CAP´ITULO 1. CAMPO EL´ETRICO Figura 1.7: Linha carregada. (Young & Freedman) 1.6.5 Linha de carga Considere agora o campo em um ponto x devido a uma linha de carga Q, comprimento 2a e densidade linear de carga constante λ = dQ/dy = Q/2a como mostrado na Fig. 1.7 Por simetria, temos que Ey = 0, pois elementos opostos se cancelam. Mas vamos mostrar que isso resulta matematicamente tamb´em. A magnitude da contribui¸c˜ao diferencial dE devido ao elemento dQ ´e dE = dQ 4πǫ0r2 = λdy 4πǫ0(x2 + y2) temos dEx = dE cos α = λdy 4πǫ0(x2 + y2) x r = λx 4πǫ0 dy (x2 + y2)3/2 dEy = dE sin α = λdy 4πǫ0(x2 + y2) y r = λ 4πǫ0 ydy (x2 + y2)3/2 A integral em dEy ´e idˆentica ao do problema de um disco carregado. Obtemos Ey = dEy = λ 4πǫ0 a −a ydy (x2 + y2)3/2 = λ 4πǫ0 − 1 x2 + y2 a −a = 0 (1.14) como esperado. Para Ex obtemos Ex = dEx = λx 4πǫ0 a −a dy (x2 + y2)3/2 Precisamos calcular a integral dy (x2 + y2)3/2 = 1 x3 dy (1 + (y/x)2)3/2
  • 9. 1.6. EXEMPLOS 17 Fazendo y x = tan α, temos dy = xd tan α dα dα = x(1 + tan2 α)dα = xdα cos2 α e portanto dy (x2 + y2)3/2 = 1 x3 xdα cos2 α (cos−2 α)3/2 = 1 x2 du cos α = sin α x2 Imaginando um triˆangulo retˆangulo de catetos y e x e hipotenusa x2 + y2, como tan α = y/x, segue que sin α = y√ x2+y2 . Portanto: dy (x2 + y2)3/2 = y x2 x2 + y2 (1.15) e temos finalmente Ex = λx 4πǫ0 a −a dy (x2 + y2)3/2 = λx 4πǫ0 y x2 x2 + y2 a −a = λx 4πǫ0 2a x2 √ x2 + a2 = λ2a 4πǫ0 1 x2 1 + (a/x)2 (1.16) Novamente, no limite em que x → ∞ ou a → 0, usando Q = λ2a, a linha parece uma carga pontual: Ex = Q 4πǫ0x2 (1.17) Por outro lado, para a → ∞, temos uma linha infinita de carga e o campo ´e dado por Ex = λ2a 4πǫ0 1 x2(a/x) = λ 2πǫ0x (1.18) 1.6.6 Casca Esf´erica e Esfera Considere agora uma casca esf´erica carregada dada na Fig 1.8. Vamos considerar primeiro o campo Figura 1.8: Casca esf´erica carregada. Campo fora da casca. em um ponto m fora da casca esf´erica. O elemento infinitesimal indicado na figura ´e um anel com carga diferencial dq. Por simetria, o campo aponta ao longo da dire¸c˜ao r, e o m´odulo ´e dado por dEr = dE cos φ = dq 4πǫ0s2 cos φ
  • 10. 18 CAP´ITULO 1. CAMPO EL´ETRICO O elemento de carga dq ´e dado por dq = σ(2πR sin θ)(Rdθ) e portanto Er = dq 4πǫ0s2 cos φ = σ(2πR2) 4πǫ0 sin θ cos φ s2 dθ Como s e φ s˜ao fun¸c˜oes de θ, ´e conveniente fazer a integra¸c˜ao em s. Usando a lei dos cossenos para φ e θ temos s2 = r2 + R2 − 2rR cos θ R2 = r2 + s2 − 2rs cos φ Destas rela¸c˜oes, temos 2sds = 2rR sin θdθ → sin θdθ = sds rR cos φ = r2 + s2 − R2 2rs Figura 1.9: Casca esf´erica carre- gada. Campo dentro da casca. e o campo se torna Er = σ(2πR2) 4πǫ0 sds rR r2 + s2 − R2 2rs 1 s2 = σ(πR) 4πǫ0r2 ds r2 + s2 − R2 s2 = σ(πR) 4πǫ0r2 ds 1 + r2 − R2 s2 = σ(πR) 4πǫ0r2 s − r2 − R2 s r+R r−R = σ(πR) 4πǫ0r2 (r + R) − (r − R) − (r2 − R2 ) 1 r + R − 1 r − R = σ(πR) 4πǫ0r2 2R − (r2 − R2 ) (r − R) − (r + R) (r + R)(r − R) = σ(πR) 4πǫ0r2 [2R + 2R] = σ(4πR2) 4πǫ0r2 = q 4πǫ0r2 (1.19) Portanto, o campo de uma casca esf´erica ´e o mesmo de uma carga pontual com carga q localizada no centro da casca esf´erica. Para pontos dentro da casca esf´erica, o c´alculo ´e idˆentico, mas de acordo com a Fig 1.9. os
  • 11. 1.7. ESFERA S ´OLIDA 19 limites de integra¸c˜ao s˜ao s = R − r e s = R + r, o que resulta Er = σ(πR) 4πǫ0r2 s − r2 − R2 s R+r R−r = σ(πR) 4πǫ0r2 (R + r) − (R − r) − (r2 − R2 ) 1 (R + r) − 1 R − r = σ(πR) 4πǫ0r2 2r + (R2 − r2 ) (R − r) − (R + r) (R + r)(R − r) = σ(πR) 4πǫ0r2 [2r − 2r] = 0 (1.20) i.e. o campo ´e nulo dentro da casca esf´erica. Esses resultados na casca esf´erica foram primeiro mostrados por Newton na teoria da gravita¸c˜ao, que tambem decae com o quadrado da distˆancia. 1.7 Esfera S´olida Resultados similares aos da casca esf´erica se aplicam a uma esfera s´olida. Para pontos fora da esfera, cada casca esf´erica infinitesimal pode ser substituida por uma carga pontual no centro da esfera. Somando a contribui¸c˜ao de todas as cascas, conclui-se que pode-se tamb´em substituir a esfera por uma carga pontual em seu centro com a carga total da esfera. Para pontos dentro da esfera, cascas esf´ericas fora do ponto n˜ao contribuem. Pelo argumento do par´agrafo anterior, a esfera imagin´aria delimitada pelo ponto pode ser substitu´ıda por uma carga pontual com carga igual `a carga interna Q′ (e n˜ao a carga total Q). Essa carga interna ´e dada por Q′ = (r/R)3Q. Portanto o campo ´e dado por Er = Q′ 4πǫ0r2 = Qr 4πǫ0R3 (1.21) i.e. o campo cresce linearmente com a distˆancia r. 1.8 Movimento de Carga em um Campo El´etrico Considere uma carga q sob a¸c˜ao de um campo el´etrico uniforme, como e.g. o campo criado por uma placa infinita. A segunda lei de Newton nos d´a Fe = qE = ma, e a cinem´atica da carga ´e dada ent˜ao pelas equa¸c˜oes usuais da mecˆanica para uma acelera¸c˜ao constante a = qE m (1.22) x = x0 + v0t + at2 2 (1.23) v = v0 + at (1.24)