1. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Para iniciarmos os nossos estudos a respeito de
Operações envolvendo números complexos, vamos
começar com uma breve revisão sobre:
Igualdade de complexos;
Oposto de um número complexo;
Conjugado de um número complexo.
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2. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
IGUALDADE DE COMPLEXOS
Dois números complexos são iguais se, e somente se,
apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte
imaginária.
Assim, se z1= a + bi e z2 = c + di, temos que:
z1 = z2 ⇔ a = c e b = c
3. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO 1
Se x e y são números reais, sob que condições os complexos (x –
1) + (y + 2)i e 3 – 5i são iguais?
Igualando os complexos, temos:
(x – 1) + (y + 2)i = 3 – 5i
⇒ x – 1 = 3 ⇒ x = 4
⇒ y + 2 = –5 ⇒ y = –7
Resolução:
4. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO 2
Determine os valores reais de m e n para que os complexos (m –
5) + ni e (n + 3) + (2m + 1)i sejam iguais?
Igualando os complexos, temos:
(m – 5) + ni = (n + 3) + (2m + 1)i
m – 5 = n + 3
n = 2m + 1
⇒ m – 5 = 2m + 1 + 3 ⇒ – m = 9
⇒ m = – 9
⇒ n = 2(–9) + 1 ⇒ n = – 17
Resolução:
5. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Chama-se oposto ou simétrico de um complexo z o complexo
indicado por –z, assim definido.
z = a + bi ⇒ –z = – (a + bi) = – a – bi
6. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o
número é multiplicado por -1)
a) 3 + 4i =
b) –3 + i =
c) 1 – i =
d) –2 + 5i =
EXEMPLO
– 3 – 4i
3 – i
– 1 + i
2 – 5i
7. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = (a, b), consideremos o par
ordenado simétrico a z em relação ao eixo x.
Tal par é chamado conjugado de z, e é indicado por z.
z = a + bi ⇒ z = a + bi = a – bi
8. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:
(troca-se o sinal da parte imaginária)
a) 3 + 4i =
b) 1 – i =
c) –2 – 5i =
d) 2i =
e) – 8 =
EXEMPLO
3 – 4i
1 + i
– 2+5i
– 2i
– 8
9. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE COMPLEXOS
Para adicionar ou subtrair dois números complexos devemos
adicionar ou subtrair as suas partes reais e imaginárias,
separadamente.
Se z1 = a +bi e z2 = c +di são dois números complexos, então a sua
soma é um outro número complexo dado por z1 + z2 = (a + c) + (b +
d)i e sua diferença é um outro número complexo dado por z1 - z2 =
(a - c) + (b - d)i.
10. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO
Calcule: (somam-se/subtraem-se as partes reais e as partes
imaginárias separadamente)
a) (2 + 5i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + (5i + 4i) = 5 + 9i
b) i + (2 – 5i) = i + 2 – 5i = 2 – 4i
c) (2 + 5i) – (3 + 4i) = 2 + 5i – 3 – 4i = – 1 + i
d) (1 + i) – (1 – i) = 1 + i – 1 + i = 2i
11. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Para as potências do tipo in da unidade imaginária i, n natural,
valem as definições. Para n > 2, valem as propriedades usuais da
potenciação em ℝ.
POTÊNCIAS DE I
i0 = 1
i1 = i
i2 = –1
i3 = i2. i = (–1). i= – i
i4 = i2. i2= (–1).(–1)= 1
i5 = i4. i = (1). i = i
i6 = i4. i2= 1.(–1)= –1
i7 = i4. i3= 1.(–i)= – i
.......
12. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Qualquer potência de in, n natural, pode ser calculada a partir das
quatro primeiras.
i0 = 1 i1 = i i2 = –1 i3 = –i
POTÊNCIAS DE I
O valor de in é o mesmo de ir, sendo r o resto da divisão de n por
4.
14. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Dados dois números complexos, z1 e z2, para obter z3= z1. z2 ,
aplicamos a propriedade distributiva, as potências de i e depois
reduzirmos os “termos semelhantes”.
MULTIPLICAÇÃO ENTRE COMPLEXOS
15. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a
soma ou subtração)
a) (2 + 3i) (3 – 2i)
= (2)(3) – (2)(2i) + (3i)(3) – (3i)(2i)
= 6 – 4i + 9i – 6i2 = 6 + 5i + 6 = 12 + 5i
b) (1 + 3i) (1 + i)
= (1)(1) + (1)(i) + (3i)(1) + (3i)(i)
= 1 + i +3i + 3i2 = 1 + 4i – 3 = – 2 + 4i
EXEMPLO 1
16. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO 2
Determinar o complexo z que satisfaz a igualdade seguinte 2z +
5z = 7 + 6i.
Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos
2z + 5z = 7 + 6i ⇒ 2(a + bi) + 5(a – bi) = 7 + 6i
⇒ 2a + 2bi + 5a – 5bi = 7 + 6i
⇒ 7a – 3bi = 7 + 6i
7a = 7
–3b = 6
⇒ ⇒ a = 1 e b = –2 z = 1 – 2i
⇒
Resolução:
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números complexos
EXEMPLO 3
Obter o complexo z que, multiplicado por 2 – i, resulta 8 + i.
z.(2 – i) = 8 + i
Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos
(a + bi).(2 – i) = 8 + i 2a – ai + 2bi – bi2
⇒ = 8 + i
2a – ai + 2bi + b
⇒ = 8 + i
2a + b + (2b – a)i
⇒ = 8 + i
2a + b = 8
2b – a = 1
⇒
Resolução:
18. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Resolvendo o sistema, chegamos a:
2a + b = 8
2b – a = 1 x (2)
⇒
2a + b = 8
4b – 2a = 2
+
5b = 10 ⇒ b = 2
⇒ 2a + 2 = 8
⇒ a = 3
⇒ z = a + bi
⇒ z = 3 + 2i
19. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Sejam dois números complexos, z1 e z2, com z2 ≠ 0, definimos a
divisão multiplicando ambos os números pelo conjugado do
complexo do denominador.
DIVISÃO ENTRE COMPLEXOS
z1
z2
. z2
. z2
z1
z2
=
21. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Se z é um complexo não-nulo, chamamos de inverso de z o
complexo representado por z–1 e assim definido.
1
z
z–1 =
INVERSO DE UM COMPLEXO
22. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO
Determine o inverso do número complexo z = i.
z–1 =
1
i
(1) . (–i)
(i) . (–i)
–i
–i2
–i
1
– i
z–1 =
z–1 =
z–1 =
z–1 =
23. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE NATURAL)
Se n é um número natural e z é um complexo qualquer, a potência
zn é, por definição, o produto de n fatores iguais a z.
z0 = 1 (z ≠ 0)
z1 = z
zn = z. z.z ... .z
n fatores
25. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO 2
Calcular o valor da constante real k, para que o complexo z = (k +
2i)2 seja imaginário puro.
z = (k + 2i)2 = k2 + 4ki + 4i2
= k2 – 4 + 4ki
z imaginário puro, devemos ter:
Re(z) = 0
Im(z) ≠ 0
⇒
k2 – 4 = 0
4k ≠ 0
⇒ k = ± 2
26. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE INTEIRO
NEGATIVO)
A partir do conceito de inverso de um número complexo, podemos
calcular uma potência com expoente inteiro negativo. Sendo z um
complexo, z ≠ 0 e n um número natural, define-se:
1
z
z–n =
n
27. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO
Sendo z = 1 – i, calcular z–2.
z–1 =
1
z
=
1
1 – i
=
Primeiro vamos calcular z–1; depois z–2.
1 + i
12 – i2
=
1 + i
2
z–2 = (z–1)2 =
1 + i
2
2
=
1 + 2i + i2
4
=
1 + 2i – 1
4
=
2i
4
=
i
2
1 + i
(1 – i).(1 + i)
=
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números complexos
EXERCÍCIOS
http://www.e
urooscar.com/
gifs1/escola1.
htm
1º) (UCSal) - Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real qual deve ser o
valor de “a”?
2º) (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de
a.c + b.
3º) (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... +
i1001.
4º) Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180.
5º) (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m
e n.
i
i
2
15
10
i
i
1
3
1
6º) Efetue as seguintes divisões de números complexos:
a) b)
29. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXTRAS
GEOGEBRA
Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações entre números
complexos.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
SHOW DO MILHÃO
Um jogo com perguntas somente de números complexos e pode ser
obtido no endereço:
https://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/show
-do-milhao/Show%20do%20Milh%C3%A3o.rar?attredirects=0&d=1
30. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
REFERÊNCIAS
Sites:
http://www.alunosonline.com.br/matematica/operacoes-com-numeros-
complexos-na-forma-algebrica.html
http://www.matematicadidatica.com.br/OperacoesNumerosComplexos.aspx
http://www.brasilescola.com/matematica/operacoes-numeros-complexos-na-
forma-trigonometrica.htm
Livros:
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 :
ensino médio – São Paulo : FTD, 2009.
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.
Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.