O documento discute o horizonte ético da mobilização social e apresenta exemplos de resolução de equações. Trata da propriedade transitiva da inclusão de conjuntos e como ela se relaciona com implicações lógicas. Também analisa uma história do livro "O Homem que Calculava" sobre um viajante que realizava cálculos prodigiosos.
Este documento apresenta os conceitos básicos de conjuntos, incluindo:
1) A definição de conjunto como um agrupamento de elementos;
2) As noções de pertinência e inclusão entre conjuntos;
3) As propriedades fundamentais da relação de inclusão.
Buku ini membahas persamaan diferensial mulai dari pengertian dasar, jenis, klasifikasi, orde, solusi, dan contoh-contoh penerapannya dalam ilmu fisika, biologi, dan teknik. Bab demi bab menjelaskan konsep-konsep penting persamaan diferensial orde satu, dua, dan tinggi beserta metode-metode penyelesaiannya.
O documento apresenta 6 exercícios sobre conjuntos e lógica proposicional resolvidos com demonstrações matemáticas. O primeiro exercício pede para provar a recíproca de duas implicações lógicas dadas hipóteses sobre propriedades de elementos de um conjunto. O quarto exercício generaliza o raciocínio para n propriedades. O sexto exercício resolve duas equações radicais e analisa quando as implicações envolvidas são ou não reversíveis.
Material elaborado para a disciplina de Matemática Básica dos cursos de administração e ciências contábeis da Faculdade Salesiana de Vitória / ES - 2013_01
Este documento apresenta os conceitos básicos de conjuntos, incluindo:
1) A definição de conjunto como um agrupamento de elementos;
2) As noções de pertinência e inclusão entre conjuntos;
3) As propriedades fundamentais da relação de inclusão.
Buku ini membahas persamaan diferensial mulai dari pengertian dasar, jenis, klasifikasi, orde, solusi, dan contoh-contoh penerapannya dalam ilmu fisika, biologi, dan teknik. Bab demi bab menjelaskan konsep-konsep penting persamaan diferensial orde satu, dua, dan tinggi beserta metode-metode penyelesaiannya.
O documento apresenta 6 exercícios sobre conjuntos e lógica proposicional resolvidos com demonstrações matemáticas. O primeiro exercício pede para provar a recíproca de duas implicações lógicas dadas hipóteses sobre propriedades de elementos de um conjunto. O quarto exercício generaliza o raciocínio para n propriedades. O sexto exercício resolve duas equações radicais e analisa quando as implicações envolvidas são ou não reversíveis.
Material elaborado para a disciplina de Matemática Básica dos cursos de administração e ciências contábeis da Faculdade Salesiana de Vitória / ES - 2013_01
O documento explica o sistema de coordenadas cartesianas criado por Descartes para localizar pontos em um plano formado por dois eixos perpendiculares. As coordenadas cartesianas são representadas por pares ordenados (x;y) que indicam a posição de um ponto em relação aos eixos x e y.
Sistem Persamaan linier dua variabel dan tiga variabelnurindah_nurisa
Kelompok 2 terdiri dari 4 anggota yang mengerjakan soal matriks dan sistem persamaan linear. Dokumen ini menjelaskan penyelesaian SPL menggunakan matriks, seperti menggunakan invers matriks dan determinan matriks. [/ringkuman]
aplikasi persamaan differensial biasa orde 2Hendri saputra
Teks tersebut membahas tentang penerapan persamaan diferensial biasa orde kedua dalam konteks gerak pegas dan rangkaian listrik. Pada bagian pegas, persamaan diferensial digunakan untuk menggambarkan gerak partikel yang tergantung pada pegas setelah dilepaskan. Pada bagian rangkaian listrik, hukum Kirchhoff dijabarkan secara matematis menggunakan persamaan diferensial untuk menggambarkan hubungan antara arus, muatan
Makalah ptik 5 penggunaan ti di jurusan matematikaasmir57
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan teknologi informasi khususnya aplikasi Mathcad di jurusan Matematika. Mathcad dapat digunakan untuk mempermudah dan mempercepat perhitungan matematika secara akurat. Aplikasi ini juga bermanfaat untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika secara lebih cepat dibandingkan cara manual.
Dokumen tersebut membahas kriteria penilaian estimator dan sifat-sifatnya untuk ukuran sampel besar. Beberapa kriteria yang dijelaskan adalah estimator tak bias, variansi minimum, dan batas Cramer-Rao. Dokumen ini juga medefinisikan konsep konsistensi, tak bias asimtotik, dan efisiensi relatif estimator.
Este documento explica o que são inequações e como resolvê-las. Uma inequação expressa desigualdades ao invés de igualdades e usa símbolos como >, <, ≥ e ≤. Para resolver uma inequação, aplicamos os mesmos passos de uma equação e o conjunto solução contém todos os valores da variável que satisfazem a desigualdade.
Dokumen tersebut membahas metode-metode integrasi numerik untuk menyelesaikan integral, yaitu metode trapezoidal, Simpson, dan Gauss. Metode trapezoidal memodelkan daerah luas sebagai jumlah luas trapesium, Simpson menggunakan persamaan polynomial derajat tiga, sedangkan Gauss memodelkan fungsi sebagai polynomial derajat tinggi dan menentukan koefisien polynomialnya.
O documento descreve que o vetor (1, 0, 0) gera o subespaço unidimensional correspondente à reta horizontal no plano cartesiano R2. Além disso, explica que qualquer vetor em R3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base canônica {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
O documento discute funções exponenciais e logarítmicas. É dividido em duas seções principais: a primeira seção explica a definição, domínio, gráfico e imagem da função exponencial, além de fornecer exemplos. A segunda seção trata de equações e desigualdades exponenciais e como encontrar suas soluções.
Resolver problemas conducentes a uma inequação linearJeremias Manhica
O documento descreve como traduzir problemas verbais em linguagem matemática usando inequações lineares. Dois exemplos são dados: no primeiro, a soma de um número com 20 é maior que o dobro da sua diferença com três, resultando na inequação X + 20 > 2x - 3. No segundo, a diferença entre a terça parte de um número e 5 é inferior ao seu dobro, resultando na inequação 1/3x - 5 < 2x.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan riil dan kompleks. Bilangan kompleks didefinisikan sebagai bilangan berbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan riil dan i^2 = -1. Bilangan kompleks dapat digambarkan secara geometris sebagai titik pada bidang kompleks dan operasi aljabar bilangan kompleks memiliki interpretasi geometris.
O documento discute o horizonte ético da mobilização social e implicações lógicas na resolução de equações. Trata-se de uma aula sobre como propriedades lógicas como implicação e equivalência são usadas na resolução de equações algébricas, e como isso se relaciona com mobilização social e ética. O documento também analisa uma história do livro "O Homem que Calculava" para ilustrar esses pontos.
O documento apresenta os conceitos de autovalor e autovetor e métodos para solução do problema do autovalor. Dois teoremas sobre limites de autovalores são descritos, incluindo o Teorema de Gerschgorin que fornece uma estimativa dos autovalores de uma matriz a partir de discos centrados nos elementos da diagonal principal. Exemplos ilustram a aplicação destes conceitos em problemas de vibrações mecânicas e modelos econômicos.
O documento explica o sistema de coordenadas cartesianas criado por Descartes para localizar pontos em um plano formado por dois eixos perpendiculares. As coordenadas cartesianas são representadas por pares ordenados (x;y) que indicam a posição de um ponto em relação aos eixos x e y.
Sistem Persamaan linier dua variabel dan tiga variabelnurindah_nurisa
Kelompok 2 terdiri dari 4 anggota yang mengerjakan soal matriks dan sistem persamaan linear. Dokumen ini menjelaskan penyelesaian SPL menggunakan matriks, seperti menggunakan invers matriks dan determinan matriks. [/ringkuman]
aplikasi persamaan differensial biasa orde 2Hendri saputra
Teks tersebut membahas tentang penerapan persamaan diferensial biasa orde kedua dalam konteks gerak pegas dan rangkaian listrik. Pada bagian pegas, persamaan diferensial digunakan untuk menggambarkan gerak partikel yang tergantung pada pegas setelah dilepaskan. Pada bagian rangkaian listrik, hukum Kirchhoff dijabarkan secara matematis menggunakan persamaan diferensial untuk menggambarkan hubungan antara arus, muatan
Makalah ptik 5 penggunaan ti di jurusan matematikaasmir57
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan teknologi informasi khususnya aplikasi Mathcad di jurusan Matematika. Mathcad dapat digunakan untuk mempermudah dan mempercepat perhitungan matematika secara akurat. Aplikasi ini juga bermanfaat untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika secara lebih cepat dibandingkan cara manual.
Dokumen tersebut membahas kriteria penilaian estimator dan sifat-sifatnya untuk ukuran sampel besar. Beberapa kriteria yang dijelaskan adalah estimator tak bias, variansi minimum, dan batas Cramer-Rao. Dokumen ini juga medefinisikan konsep konsistensi, tak bias asimtotik, dan efisiensi relatif estimator.
Este documento explica o que são inequações e como resolvê-las. Uma inequação expressa desigualdades ao invés de igualdades e usa símbolos como >, <, ≥ e ≤. Para resolver uma inequação, aplicamos os mesmos passos de uma equação e o conjunto solução contém todos os valores da variável que satisfazem a desigualdade.
Dokumen tersebut membahas metode-metode integrasi numerik untuk menyelesaikan integral, yaitu metode trapezoidal, Simpson, dan Gauss. Metode trapezoidal memodelkan daerah luas sebagai jumlah luas trapesium, Simpson menggunakan persamaan polynomial derajat tiga, sedangkan Gauss memodelkan fungsi sebagai polynomial derajat tinggi dan menentukan koefisien polynomialnya.
O documento descreve que o vetor (1, 0, 0) gera o subespaço unidimensional correspondente à reta horizontal no plano cartesiano R2. Além disso, explica que qualquer vetor em R3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base canônica {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
O documento discute funções exponenciais e logarítmicas. É dividido em duas seções principais: a primeira seção explica a definição, domínio, gráfico e imagem da função exponencial, além de fornecer exemplos. A segunda seção trata de equações e desigualdades exponenciais e como encontrar suas soluções.
Resolver problemas conducentes a uma inequação linearJeremias Manhica
O documento descreve como traduzir problemas verbais em linguagem matemática usando inequações lineares. Dois exemplos são dados: no primeiro, a soma de um número com 20 é maior que o dobro da sua diferença com três, resultando na inequação X + 20 > 2x - 3. No segundo, a diferença entre a terça parte de um número e 5 é inferior ao seu dobro, resultando na inequação 1/3x - 5 < 2x.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan riil dan kompleks. Bilangan kompleks didefinisikan sebagai bilangan berbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan riil dan i^2 = -1. Bilangan kompleks dapat digambarkan secara geometris sebagai titik pada bidang kompleks dan operasi aljabar bilangan kompleks memiliki interpretasi geometris.
O documento discute o horizonte ético da mobilização social e implicações lógicas na resolução de equações. Trata-se de uma aula sobre como propriedades lógicas como implicação e equivalência são usadas na resolução de equações algébricas, e como isso se relaciona com mobilização social e ética. O documento também analisa uma história do livro "O Homem que Calculava" para ilustrar esses pontos.
O documento apresenta os conceitos de autovalor e autovetor e métodos para solução do problema do autovalor. Dois teoremas sobre limites de autovalores são descritos, incluindo o Teorema de Gerschgorin que fornece uma estimativa dos autovalores de uma matriz a partir de discos centrados nos elementos da diagonal principal. Exemplos ilustram a aplicação destes conceitos em problemas de vibrações mecânicas e modelos econômicos.
Equação de Laplace em Coordenadas Polares.pdfmikaelg3
1) O documento apresenta a expressão do laplaciano em coordenadas polares.
2) É mostrado que o laplaciano em coordenadas polares é dado por ∆u = urr + 1r ur + 1r2 uθθ.
3) Dois exemplos são resolvidos usando esta expressão para problemas de Dirichlet em regiões polares.
O documento apresenta quatro questões de geometria analítica resolvidas. A primeira questão classifica uma cônica em coordenadas polares como uma parábola e a parametriza. A segunda questão analisa uma hipérbole dada em coordenadas cartesianas, encontrando seus elementos característicos. A terceira questão delineia a região delimitada por dois sistemas de desigualdades. A quarta questão verifica a simetria de pontos em relação a retas e um ponto.
Formula Luderiana Racional para Equacao do 2o Grauludenir
A Fórmula de Bhaskara não é o único método de resolvermos uma equação do 2o grau. As Formulas Luderianas Racionais permitem resolver equações do grau 2, 3, 4, 5, etc. Descoberta por Ludenir Santos, Rio Grande, RS (Brazil).
[1] O documento apresenta um resumo sobre cadeias de Markov, que são processos estocásticos onde a probabilidade do estado atual depende apenas do estado anterior e não dos estados anteriores. [2] É definido o que são sequências aleatórias e variáveis aleatórias discretas. [3] São apresentados exemplos de como calcular as probabilidades de transição entre estados em cadeias de Markov de primeiro e segundo passo.
1) O documento apresenta anotações sobre números complexos, definindo-os formalmente como pares ordenados de números reais e estabelecendo suas propriedades algébricas como um corpo.
2) Os números complexos podem ser representados na forma algébrica z = x + yi, onde x e y são números reais e i2 = -1.
3) Propriedades como soma, produto, conjugado e módulo de números complexos são definidas algebraicamente e geometricamente no plano complexo.
Este documento resume os principais tópicos da teoria de matrizes, incluindo sistemas lineares, subespaços fundamentais, autovalores e autovetores, traço de matrizes, forma quadrática e sinais de matrizes.
O documento discute a solução de equações polinomiais. Para grau 1 e 2, existem fórmulas para determinar uma ou mais raízes reais. Para grau maior que 2, o teorema fundamental da álgebra garante n raízes complexas, mas a resolução prática depende da forma da equação. Quando não há solução algébrica, pode-se tentar reduzir o grau da equação encontrando um fator que a divida. O exemplo mostra como dividir o polinômio por um possível fator para obter uma equação de grau
O documento discute a história da resolução de equações ao longo dos séculos, desde os egípcios até os árabes. Os egípcios resolviam equações de forma complexa através de métodos geométricos. Os árabes progrediram na resolução de equações ao denominar o valor desconhecido de "coisa", dando origem ao símbolo x. O Papiro de Rhind, do antigo Egito, contém os primeiros registros de equações na forma escrita, resolvidas por métodos como a "regra da falsa posição".
Equações: História , Contextualização e Aplicaçãoinechidias
O documento discute a história da álgebra, desde os problemas em forma de equações encontrados no Papiro de Rhind no Antigo Egito até o desenvolvimento de métodos como a regra da falsa posição pelos matemáticos egípcios e babilônios. Também aborda o uso da interpolação linear e da regra da dupla falsa posição para resolver equações lineares e não lineares ao longo da história.
Este documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Aborda equações diferenciais lineares e não lineares, sistemas autônomos e não autônomos, existência e unicidade de soluções, dependência das soluções em relação às condições iniciais e parâmetros, e elementos da teoria qualitativa de equações diferenciais como campos vetoriais e fluxos.
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...leosilveira
O documento aborda a história das equações do segundo grau desde a antiguidade, destacando que os babilônios foram os primeiros a registrar tais equações e resolvê-las por métodos geométricos semelhantes aos atuais. Posteriormente, gregos, hindus e chineses também estudaram e resolveram equações polinomiais do segundo grau.
1) O documento deriva a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas, resultando na equação (10).
2) A equação é simplificada para problemas com simetria axial, resultando na equação (11).
3) O documento usa este resultado para resolver o problema do potencial elétrico entre dois hemisférios carregados.
Este documento apresenta uma introdução concisa à lógica proposicional e lógica de predicados, incluindo:
1) A linguagem e semântica da lógica proposicional e de predicados.
2) Propriedades semânticas e métodos para determinar propriedades semânticas de fórmulas nestas lógicas.
3) Sistemas axiomáticos e de dedução natural para a lógica proposicional.
4) Aplicações como tableaux semânticos e resolução na lógica
Este documento apresenta uma revisão de conceitos estatísticos aplicados às finanças. Introduz variáveis aleatórias discretas e contínuas e suas respectivas funções de probabilidade e densidade de probabilidade. Explica como calcular probabilidades através da área sob a curva da função densidade entre intervalos.
1) Explica como resolver equações polinomiais de 1o e 2o grau, e que equações de grau superior a 2 são mais complexas de resolver;
2) Diz que o Teorema Fundamental da Álgebra afirma que toda equação polinomial tem exatamente n raízes complexas, mas o número de raízes reais depende da forma da equação;
3) Explica que para graus maiores que 4 não há fórmulas gerais, mas podemos tentar reduzir o grau encontrando um fator que divida o polinômio.
O documento resume os principais conjuntos numéricos e suas propriedades, incluindo números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Também aborda representações decimais de números racionais, coordenadas cartesianas, distância entre pontos e equações de circunferências. Exemplos e exercícios são fornecidos para revisar os conceitos.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
Semelhante a 2º encontro do profap 2012 - Matemática (20)
O documento discute os conceitos de juros compostos, incluindo:
1) A definição de juros compostos e como eles se acumulam de forma exponencial ao longo do tempo;
2) Fórmulas para calcular o montante e o valor presente a juros compostos;
3) O conceito de equivalência de capitais e a equação de valor.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, 2) variável discreta, 3) variável contínua. Fornece fórmulas para calcular a variância e desvio padrão para populações e amostras, e exemplos ilustrativos para cada caso.
O documento introduz conceitos sobre medidas de dispersão e descreve o cálculo da amplitude total e do desvio médio simples. Apresenta três casos para o cálculo destas medidas: 1) variável discreta com dados brutos, 2) variável discreta, e 3) variável contínua. Fornece exemplos detalhados para cada caso.
O documento explica o conceito e cálculo de medidas separatrizes como quartis, quintis, decis e percentis. Descreve três casos para o cálculo: 1) dados brutos ou rol, 2) variável discreta, 3) variável contínua. Fornece fórmulas e exemplos para ilustrar o cálculo destas medidas a partir de diferentes tipos de dados.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, onde calcula a variância e desvio padrão de uma série de dados; 2) variável discreta, onde mostra como calcular essas medidas para dados com repetições; 3) variável contínua, explicando o cálculo para dados agrupados em classes.
O documento discute o cálculo e interpretação da variância e desvio padrão. Apresenta três casos: 1) dados brutos ou rol, onde calcula a variância e desvio padrão de uma série de dados; 2) variável discreta, onde mostra como calcular essas medidas para dados com repetições; 3) variável contínua, explicando o cálculo para dados agrupados em classes.
MEDIDAS DE DISPERSÃO introduz medidas de dispersão absoluta como amplitude total e desvio médio simples. A amplitude total é a diferença entre o maior e menor valor da série. O desvio médio simples é a média aritmética dos desvios de cada elemento em relação à média da série. O documento explica o cálculo destas medidas para variáveis discretas e contínuas.
Este documento apresenta os conceitos e cálculos de medidas separatrizes em estatística. Explica medidas como quartis, quintis, decis e percentis, e fornece três casos para o cálculo destas medidas em dados brutos, variáveis discretas e contínuas, ilustrando com exemplos em cada caso.
Este documento trata sobre congruencias matemáticas. Explica la definición formal de congruencia y que define una relación de equivalencia. Presenta teoremas sobre operaciones con congruencias y aplicaciones como el Pequeño Teorema de Fermat. Incluye ejemplos y problemas para ilustrar los conceptos.
O documento discute sequências matemáticas, especificamente progressões aritméticas e geométricas. Apresenta definições, fórmulas e exemplos de sequências finitas e infinitas, progressões aritméticas e suas classificações, além de fornecer exercícios sobre o assunto.
O documento apresenta 4 exercícios matemáticos sobre equações modulares, determinação de valores, conjuntos solução e intervalos, que devem ser resolvidos em grupo de até 5 alunos.
O documento contém 10 exercícios de geometria sobre volumes e áreas de figuras geométricas como prisma, pirâmide, cubo e cilindro. As respostas incluem expressões algébricas e cálculos numéricos para determinar medidas como volume, área lateral, distância entre faces e altura.
Este documento descreve dois jogos matemáticos utilizando palitos de fósforo e um tabuleiro para ensinar adição e subtração de números inteiros. No primeiro jogo, os alunos resolvem enigmas movendo um ou dois palitos. No segundo jogo, eles avançam ou recuam casas em um tabuleiro lançando dois dados, aprendendo sobre os resultados das operações. O documento fornece instruções passo a passo e sugestões de perguntas para os alunos.
O documento discute diferentes formas de contar permutações circulares e combinações completas. Explica que o número de modos de colocar n objetos em um círculo é dado por (PC)n, e que (PC)n é diferente de Pn. Também mostra que o número de modos de escolher p objetos entre n é dado por nC p.
A agenda anuncia os eventos de uma greve de professores durante a semana de 22 a 26 de abril. Inclui visitas a escolas e municípios para divulgação da greve, o início da greve na terça-feira com a inauguração da sede do sindicato, e atos públicos de panfletagem e blitz nas escolas durante a semana.
O documento apresenta a agenda da greve do Núcleo Açailândia com as atividades planejadas entre os dias 22 a 26 de abril, incluindo visitas às escolas, início da greve no dia 23, inauguração da sede sindical, panfletagem no centro da cidade e blitz nas escolas.
A agenda anuncia os eventos de uma greve de professores durante a semana de 22 a 26 de abril. Inclui visitas a escolas e municípios no dia 22, início da greve e inauguração da sede sindical no dia 23, panfletagem no centro da cidade no dia 24, reunião interna no dia 25 e blitz nas escolas no dia 26.
O documento apresenta a agenda da greve do Núcleo Açailândia com as atividades planejadas entre os dias 22 a 26 de abril, incluindo visitas às escolas, início da greve no dia 23, inauguração da sede sindical, panfletagem no centro da cidade e blitz nas escolas.
O documento discute intervalos reais, definindo-os como subconjuntos da reta real delimitados por desigualdades. Intervalos podem ser fechados, abertos ou semiabertos dependendo se incluem ou não os extremos, e são representados graficamente e por notação matemática. Exemplos ilustram como realizar operações com intervalos como interseção, união e diferença.
1. HORIZONTE ETICO
DA MOBILIZAÇAO
SOCIAL
FORMADORES:JOSIVALDO PASSOS E ENY PRATES
Daremos aqui prosseguimento ao tema do encontro anterior, bem como, trabalharemos :
1. O Horizonte ético da Mobilização Social;
2. Implicações lógicas e resolução de equações;
3. Analisaremos uma pequena historinha retirada do livro de Malba Tahan – O Homem
que Calculava.
2. Implicações lógicas e resolução de equações.
Como já comentamos, a propriedade transitiva da inclusão de conjuntos constitui a base do
raciocínio dedutivo em Matemática. De fato, esta propriedade pode ser expressa em termos de
implicações lógicas.
Se P, Q e R são três afirmações, temos:
Se P Q e Q R, então P R
A resolução de uma equação é um caso típico em que se tem uma sequência de implicações
lógicas.
Exemplo:
Para resolver a equação x 2 x 2 0 , podemos seguir os passos abaixo:
( P) x 2 x 2 0;
(Q) ( x 2).( x 1) 0;
( R) x 2 ou x 1;
( S ) x {1, 2}
Se chamarmos respectivamente de P, Q, R e S as condições impostas sobre o número x em cada
uma das linhas acima, os passos que acabamos de seguir significam que
PQ RS
Isto é, se o número x satisfaz P então satisfaz Q e assim por diante. Por transitividade, a
conclusão a tirar é P S , ou seja,
Se x 2 x 2 0 , então x {1, 2} .
No exemplo acima, estritamente falando, a afirmação a que chegamos não significa que as
raízes da equação x 2 x 2 0 são 2 e -1 . O que está dito acima é que se houver raízes
desta equação elas devem pertencer ao conjunto x {1, 2} . No caso desse exemplo, não é
difícil ver que todos os passos acima podem ser revertidos. Isto é, valem as implicações
recíprocas S R Q P . Logo, S P . Concluímos que P S , ou seja, 2 e -1 são
de fato as (únicas) raízes da equação x 2 x 2 0 .
Quando se resolve uma equação, é importante ter em mente que cada passo do processo
representa uma implicação lógica. Pode acontecer dessas implicações não poderem ser
revertidas, isto é, de suas recíprocas não serem verdadeiras. Nesses casos, o conjunto obtido no
final apenas contém (mas não é igual a) o conjunto das raízes, este último, podendo até mesmo
ser vazio. Ilustremos esta possibilidade com um exemplo.
Considere a equação x 2 1 0 . Sabemos que ela não possui soluções reais. Na sequência
abaixo, cada uma das letras P, Q, R e S representa a condição sobre o número x expressa na
igualdade ao lado:
( P) x 2 1 0 (multiplicando por x 2 1 )
(Q) x 4 1 0
( R) x 4 1
( S ) x {1, 1}
1
3. Evidentemente, tem-se P Q R S , logo P S . Ou seja, toda raiz real da equação
x 2 1 0 pertence ao conjunto {1, 1} .
O raciocínio é absolutamente correto. Porém, a conclusão que se pode tirar é que, se houver
raízes reais da equação x 2 1 0 , então elas pertencerão ao conjunto {1, 1} , e nada mais.
Na verdade, a implicação P Q não pode ser revertida: sua recíproca é falsa. Sabemos que o
conjunto das soluções reais da equação é vazio. Assim, a dedução acima apenas ilustra o fato de
que {1, 1} . Como sabemos, o conjunto vazio está contido em qualquer outro!
Vejamos como se dão as resoluções das equações irracionais
Considere a equação x 2 x , vejamos as implicações lógicas na sua resolução. Na
sequência abaixo, cada uma das letras P, Q, R, S, T, U e V representa a condição sobre o
número x expressa na igualdade ao lado:
(P) x 2 x
(Q) x x2
(R) x 2
x 2
2
(S) x x 2 4 x 4
(T) x 2 5 x 4 0
(U) x 1 ou x 4
(V) x {1, 4}
Claramente, temos que P Q R S T U V , porém, uma verificação fácil
mostra que x 1 á não é raiz da nossa equação. Isso se explica, pois a implicação Q R não
é reversível. Explique.
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Vejamos outro exemplo:
Considere as seguintes (aparentes) equivalências lógicas:
x 1 x 2 2 x 1 0 x 2 2.1 1 0 x 2 1 0 x 1
Conclusão (?): x 1 x 1 . Onde está o erro?
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Pratiquemos um pouco:
Escreva as implicações lógicas que correspondem à resolução das equações a seguir. Verifique
quais são reversíveis e explique, caso haja, o aparecimento de raízes estranhas.
a) x 2 7 x 10
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b) x 12 x
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2
5. CAPÍTULO I
No qual encontro, durante uma excursão,
singular viajante. Que fazia o viajante e quais
as palavras que ele pronunciava.
4
6. Em nome de Alá, Clemente e Misericordioso!
Voltava eu, certa vez, ao passo lento do meu camelo, pela estrada de Bagdá, de uma
excursão à famosa cidade de Samarra, nas margens do Tigre, quando avistei, sentado numa
pedra, um viajante, modestamente vestido, que parecia repousar das fadigas de alguma viajem.
Dispunha-me a dirigir ao desconhecido o sala trivial dos caminhantes quando, com
grande surpresa, o vi levantar-se e pronunciar vagarosamente:
- Um milhão, quatrocentos e vinte e três mil, setecentos e quarenta e cinco!
Sentou-se em seguida e quedou em silêncio, a cabeça apoiada nas mãos, como se
estivesse absorto em profunda meditação.
Parei a pequena distância e pus-me a observá-lo, como faria diante de um monumento
histórico dos tempos lendários.
Momentos depois o homem levantou-se novamente e, com voz clara e pausada,
enunciou outro número igualmente fabuloso:
- Dois milhões, trezentos e vinte e um mil, oitocentos e sessenta e seis!
E assim, várias vezes, o esquisito viajante pôs-se de pé, disse em voz alta um número
de vários milhões, sentando-se em seguida, na pedra tosca do caminho.
Sem poder refrear a curiosidade que me espicaçava, aproximei-me do desconhecido e,
depois de saudá-lo em nome de Allah (com Ele a oração e a glória), perguntei-lhe a significação
daqueles números que só poderiam figurar em gigantescas proporções.
- Forasteiro – respondeu o Homem que Calculava -, não censuro a curiosidade que te
levou a perturbar a marcha de meus cálculos e a serenidade de meus pensamentos. E já que
soubesse ser delicado no falar e no pedir, vou atender ao teu desejo. Para tanto preciso, porém,
contar-te a história de minha vida!
E narrou o seguinte:
5
7. CAPÍTULO II
Neste capítulo Beremiz Samir, o Homem que
Calculava, conta à história de sua vida.
Como fiquei informado dos cálculos
prodigiosos que realizava e porque nos
tornamos companheiros de jornada.
6
8. Chamo-me Beremiz Samir e nasci na pequenina aldeia de Khói, na Pérsia, à sombra da
pirâmide imensa formada pelo Ararat. Muito moço ainda, empreguei-me, como pastor, a serviço
de um rico senhor de Khamat.
Todos os dias, ao nascer do sol, levava para o campo o grande rebanho e era obrigado a
trazê-lo ao abrigo antes de cair à noite. Com receio de perder alguma ovelha tresmalhada e ser,
por tal negligência, severamente castigado, contava-as várias vezes durante o dia.
Fui, assim, adquirindo, pouco a pouco, tal habilidade em contar que, por vezes, num
relance calculava sem erro o rebanho inteiro. Não contente com isso passei a exercitar-me
contando os pássaros quando, em bandos, voavam, pelo céu afora. Tornei-me habilíssimo nessa
arte.
Ao fim de alguns meses – graças a novos e constantes exercícios – contando formigas e
outros pequeninos insetos, cheguei a praticar a proeza incrível de contar todas as abelhas de um
enxame! Essa façanha de calculista, porém, nada viria a valer, diante das muitas outras que mais
tarde pratiquei! O meu generoso amo possuía, em dois ou três oásis distantes, grandes
plantações de tâmaras e, informado de minhas habilidades matemáticas, encarregou-me de
dirigir a venda de seus frutos, por mim contados nos cachos, um a um. Trabalhei, assim, ao pé
das tamareiras, cerca de dez anos. Contente com os lucros que obteve, o meu bondoso patrão,
acaba de conceder-me quatro meses de repouso e vou, agora, a Bagdá, pois tenho desejo de
visitar alguns parentes e admirar as belas mesquitas e os suntuosos palácios da cidade famosa. E
para não perder tempo, exercito-me durante a viajem, contando as árvores que ensombram esta
região, as flores que a perfumam, os pássaros que voam no céu entre nuvens.
E, apontando para uma velha grande figueira que se erguia à pequena distância,
prosseguiu:
- Aquela árvore, por exemplo, tem duzentas e oitenta e quatro ramos. Sabendo-se que
cada ramo tem, em média, trezentas e quarenta e sete folhas, é fácil concluir que aquela árvore
tem um total de noventa e oito mil, quinhentas e quarenta e oito folhas! Estará certo, meu
amigo?
- Que maravilha! – exclamei atônito. – É inacreditável possa um homem contar, em
rápido volver d’olhos, todos os galhos de uma árvore e as flores de um jardim! Tal habilidade
pode proporcionar, a qualquer pessoa, seguro meio de ganhar riquezas invejáveis!
- Como assim? – estranhou Beremiz. – Jamais me passou pela ideia que se pudesse
ganhar dinheiro, contando aos milhões folhas de árvores e enxames de abelhas! Quem poderá
interessar-se pelo total de ramos de uma árvore ou pelo número do passaredo que cruza o céu
durante o dia?
- A vossa admirável habilidade – expliquei – pode ser empregada em vinte mil casos
diferentes. Numa grande capital, como Constantinopla, ou mesmo Bagdá, sereis auxiliar
precioso para o governo. Podereis calcular populações, exércitos e rebanhos. Fácil vos será
avaliar os recursos do país, o valor das colheitas, os impostos, as mercadorias e todos os
recursos do Estado. Asseguro-vos – pelas relações que mantenho, pois sou bagdáli – que não
vos será difícil obter lugar de destaque junto ao glorioso califa Al Motacém (nosso amo e
senhor). Podeis talvez exercer o cargo de vizir-tesoureiro ou desempenhar as funções de
secretário da Fazenda muçulmana.
- Se assim é, ó jovem – respondeu o calculista -, não hesito. Vou contigo para Bagdá.
E sem mais preâmbulos, acomodou-se como pode em cima do meu camelo (único que
possuíamos), e pusemo-nos a caminhar pela larga estrada em direção à gloriosa cidade.
E daí em diante, ligados por este encontro casual em meio da estrada agreste, tornamo-
nos companheiros e amigos inseparáveis.
Beremiz era de gênio alegre e comunicativo. Muito moço ainda – pois não completara
vinte e seis anos -, era dotado de inteligência extremamente viva e notável aptidão para a ciência
dos números.
Formulava, às vezes, sobre os acontecimentos mais banais da vida, comparações
inesperadas que denotavam grande agudeza de espírito e raro talento matemático. Sabia,
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9. também, contar histórias e narrar episódios que muito ilustravam suas palestras, já de si
atraentes e curiosas.
Às vezes punha-se várias horas, em silêncio, num silêncio maníaco, a meditar sobre
cálculos prodigiosos. Nessas ocasiões esforçava-me por não o perturbar. Deixava-o sossegado, a
fim de que ele pudesse fazer com os recursos de sua memória privilegiada, descobertas
retumbantes nos misteriosos arcanos da Matemática, a ciência que os árabes tanto cultivaram e
engrandeceram.
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11. CAPÍTULO III
Onde é narrada a singular aventura dos
35 camelos que deviam ser repartidos por
três árabes. Beremiz Samir efetua uma divisão
que parecia impossível, contentando
plenamente os três querelantes. O lucro
inesperado que obtivemos com a transação.
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12. Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura
digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as
suas habilidades de exímio algebrista.
Encontramos perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens que
discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos.
Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:
- Não pode ser!
- Isto é um roubo!
- Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
- Somos irmãos – esclareceu o mais velho – e recebemos como herança esses 35
camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed
Namir uma terça parte, e, ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos,
porém, como dividir dessa forma 35 camelos, e, a cada partilha proposta segue-se a recusa dos
outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça e a nona parte de
35 também não são exatas?
- É muito simples – atalhou o Homem que Calculava. – Encarrego-me de fazer com
justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que
em boa hora aqui nos trouxe!
Neste ponto, procurei intervir na questão:
- Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viajem se
ficássemos sem o camelo?
- Não te preocupes com o resultado, ó Bagdali! – replicou-me em voz baixa Beremiz –
Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero
chegar.
Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o
meu belo jamal, que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos
três herdeiros.
- Vou, meus amigos – disse ele, dirigindo-se aos três irmãos -, fazer a divisão justa e
exata dos camelos que são agora, como veem em número de 36.
E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
- Deverias receber meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de
36, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
- E tu, Hamed Namir, deverias receber um terço de 35, isto é 11 e pouco. Vais receber
um terço de 36, isto é 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na
transação.
E disse por fim ao mais moço:
E tu jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, deverias receber uma nona
parte de 35, isto é 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, isto é,
O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado!
E concluiu com a maior segurança e serenidade:
- Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir – partilha em que todos três saíram
lucrando – couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um
resultado (18+12+4) de 34 camelos. Dos 36 camelos, sobram, portanto, dois.
Um pertence como sabem ao bagdáli, meu amigo e companheiro, outro toca por direito
a mim, por ter resolvido a contento de todos o complicado problema da herança!
- Sois inteligente, ó Estrangeiro! – exclamou o mais velho dos três irmãos. – Aceitamos
a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e equidade!
E o astucioso Beremiz – o Homem que Calculava – tomou logo posse de um dos mais
belos “jamales” do grupo e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:
- Poderás agora, meu amigo, continuar a viajem no teu camelo manso e seguro! Tenho
outro, especialmente para mim!
E continuamos nossa jornada para Bagdá.
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