1) O documento discute conceitos geométricos como volume e área de sólidos, planos e retas no espaço. 2) Inclui definições de esferas, cilindros, pirâmides e cones, além de suas fórmulas de volume e área. 3) Explica critérios de paralelismo, perpendicularidade e posições relativas entre retas e planos.

1. numerosnamente 1
Volume e Área de Sólidos
- Esfera
.Área da superfície esférica =
.Volume da esfera =
Exemplo:
Calcule o volume da esfera na figura.
Resolução:
( )
-Sólidos com duas bases
.O volume deste sólidos é sempre igual ao produto da área da base pela altura.
.A área total é igual à soma da área lateral com a área das bases
.Área lateral nos poliedros é igual à soma das áreas das faces laterais. Pode-se também
calcular esta área, através do produto entre o perímetro da base pela altura.
A planificação de um cilindro é:

2. numerosnamente 2
Exemplo:
Calcule o volume e a área lateral da figura.
Resolução:
.Área da base = ( ) ( )
.Perímetro da base = ( )
.Volume = ( )
.Área lateral = ( )
-Sólidos com uma base
.O volume destes sólidos é sempre igual a do produto da área da base pela altura.
.Volume =
.A área total é igual á soma da área da base com a área lateral
. =
.Numa pirâmide, a área lateral é igual à soma da área das faces laterais que são triangulares.
.Num cone, a área lateral é igual a:

3. numerosnamente 3
Exemplo:
Considere o cone da figura. Determine a sua área lateral sabendo que o cone tem 3cm de raio
e 8 cm de geratriz?
Resolução:
( )
.
Quadro Resumo

4. numerosnamente 4
Planos e Retas
Critério de Paralelismo
Critério de Perpendicularidade
.Dois pontos definem uma reta.
Temos de atender que a reta passa pelos dois pontos e deve ter a inclinação do vetor definido
pelos dois pontos.
.Três pontos não colineares definem um plano.
.Uma reta com dois pontos num plano está contida nesse plano.
Várias maneiras de definir um Plano
1- Três pontos não colineares definem um plano

5. numerosnamente 5
2- Uma reta e um ponto exterior a essa reta definem um plano
3- Duas retas concorrentes definem um plano
4- Duas retas paralelas definem um plano
Posição relativa da reta em relação ao um plano
1- Uma reta r é paralela ao plano
Uma reta “r” é paralela a um plano “ ” se não tem com ele nenhum ponto comum.

6. numerosnamente 6
2- Uma reta s é secante ao plano
Uma reta “s” é secante a um plano “ ” se tiver com este um único ponto comum (I).
3- A reta a é oposta ou está contida no plano
Um reta “a” é oposta a um plano “ ” se e só se pertence ao plano “ ”.
Posição relativa de dois planos
1- Os dois planos e , são paralelos.
Dois planos “ ” e “ ”são paralelos se não têm nenhum ponto comum (não há intersecção
entre eles).
2- Os planos e , são secantes (concorrentes).
Dois planos “ ” e “ ” são concorrentes quando a sua intersecção tem como resultado uma
única reta.

7. numerosnamente 7
3- Dois planos e , são coincidentes.
Dois planos “ ” e “ ” são coincidentes quando têm todos os pontos comuns.
Posição relativa das retas no Espaço
1- As retas r e s não são complanares.
As retas “r” e “s” não são complanares quando não são paralelas e quando não têm nenhum
ponto em comum.
2- As retas r e s são concorrentes ou secantes.
As duas retas (secantes ou concorrentes) “r” e “s” intersectam-se num ponto (A). Portanto têm
um único ponto em comum.
3- As retas r e s são paralelas.
As retas “r” e “s” são paralelas e complanares quando não têm nenhum ponto em comum.

8. numerosnamente 8
4- As retas r e s são coincidentes.
As retas “r” e “s” coincidentes têm uma infinidade de pontos comuns.
Critérios de Paralelismo e Perpendicularidade
1- Paralelismo entre reta e plano
Temos um plano “ ” com uma reta “b” paralela a uma dada reta “a” que não está contida
nesse plano, então essa reta “a” é paralela ao plano “ ”.
2- Paralelismo entre planos
Se tivermos duas retas “a” e “b” concorrentes num plano “ ”, essas retas são paralelas a outro
plano “ ”, então os planos “ ” e “ ”, são paralelos.

9. numerosnamente 9
3- Perpendicularidade entre reta e plano
Uma reta “t” é perpendicular a duas retas “c” e “b” concorrentes de um plano “ ”, então a
reta “t” é perpendicular ao plano “ ”.
4- Perpendicularidade entre planos
Se tivermos num plano “ ” uma reta “t” contida nesse plano “ ” mas essa reta “t” é
perpendicular a um outro plano “ ”, então os dois planos “ ” e “ ” são perpendiculares.
Exemplo:
Considere o prisma reto de base hexagonal regular. Utilize as
letras da figura para indicar:
a) duas retas paralelas que contenham duas arestas laterais
que não pertençam à mesma face?
Por exemplo: IB e LE ou JC e GF
b) uma reta e um plano perpendiculares?
Por exemplo: plano ABC e reta IB
c) dois planos paralelos?
Por exemplo: plano ABC e plano HIJ
d) uma reta oposta a um plano?
Por exemplo: reta LK e o plano LKJ