Derivadas e Identidades
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Tabela de derivadas para cálculo
![Tabela de Derivadas
Propriedades Operatórias:
Sejam as funções 𝑢 e 𝑣 e as constantes
reais a e b,
1) 𝐷[𝑎𝑢 + 𝑏𝑣] = 𝑎𝐷[𝑢] + 𝑏𝐷[𝑣]
2) 𝐷[𝑢 ⋅ 𝑣] = 𝐷[𝑢]𝑣 + 𝑢𝐷[𝑣]
3) 𝐷 [
𝑢
𝑣
] =
𝐷[𝑢]𝑣−𝑢𝐷[𝑣]
𝑣2
Seja 𝑢 uma função qualquer,
1) 𝐷[𝑢 𝑝] = 𝑝𝑢 𝑝−1
𝐷[𝑢]
2) 𝐷[ln(𝑢)] =
1
𝑢
𝐷[𝑢]
3) 𝐷[𝑎 𝑢] = ln(𝑎) 𝑎 𝑢
𝐷[𝑢]
4) 𝐷[𝑒 𝑢] = 𝑒 𝑢
𝐷[𝑢]
5) 𝐷[sin(𝑢)] = cos(𝑢) 𝐷[𝑢]
6) 𝐷[cos(𝑢)] = − sin(𝑢) 𝐷[𝑢]
7) 𝐷[tan(𝑢)] = sec2(𝑢) 𝐷[𝑢]
8) 𝐷[𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑢)] = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑢)𝐷[𝑢]
9) 𝐷[sec(𝑢)] = sec(𝑢) tan(𝑢) 𝐷[𝑢]
10) 𝐷[𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑢)] =
−𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑢)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑢)𝐷[𝑢]
11) 𝐷[arctan(𝑢)] =
1
𝑢2+1
𝐷[𝑢]
12) 𝐷[arcsin(𝑢)] =
1
√1−𝑢2
𝐷[𝑢]
13) 𝐷[arccos(𝑢)] =
−1
√1−𝑢2
𝐷[𝑢]
Identidades Trigonométricas
1) sin2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1
2) tan(𝜃) =
sin(𝜃)
cos(𝜃)
3) 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) =
cos(𝜃)
sin(𝜃)
4) sec(𝜃) =
1
cos(𝜃)
5) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝜃) =
1
sin(𝜃)
6) 1 + tan2(𝜃) = sec2(𝜃)
7) 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝜃) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2
(𝜃)
8) sin2(𝜃) =
1 − cos(2𝜃)
2
9) cos2(𝜃) =
1 + cos(2𝜃)
2
10) cos(2𝜃) = cos2(𝜃) − sin2(𝜃)
11) sin(2𝜃) = 2 sin(𝜃) cos(𝜃)
Derivada Total
Seja 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tal que 𝑥 = ℎ(𝑡) e 𝑦 =
𝑔(𝑡) então
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
Derivada Direcional
Seja a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e o versor do
vetor 𝑢⃗
𝐷 𝑢⃗⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑈𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑈 𝑦
onde 𝑈⃗⃗ =
𝑢⃗⃗
|𝑢⃗⃗ |
.
Vetor Gradiente
∇⃗⃗ 𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗](https://image.slidesharecdn.com/tabeladederivadas-190416183748/85/Tabela-de-derivadas-1-320.jpg)
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- 1. Tabela de Derivadas Propriedades Operatórias: Sejam as funções 𝑢 e 𝑣 e as constantes reais a e b, 1) 𝐷[𝑎𝑢 + 𝑏𝑣] = 𝑎𝐷[𝑢] + 𝑏𝐷[𝑣] 2) 𝐷[𝑢 ⋅ 𝑣] = 𝐷[𝑢]𝑣 + 𝑢𝐷[𝑣] 3) 𝐷 [ 𝑢 𝑣 ] = 𝐷[𝑢]𝑣−𝑢𝐷[𝑣] 𝑣2 Seja 𝑢 uma função qualquer, 1) 𝐷[𝑢 𝑝] = 𝑝𝑢 𝑝−1 𝐷[𝑢] 2) 𝐷[ln(𝑢)] = 1 𝑢 𝐷[𝑢] 3) 𝐷[𝑎 𝑢] = ln(𝑎) 𝑎 𝑢 𝐷[𝑢] 4) 𝐷[𝑒 𝑢] = 𝑒 𝑢 𝐷[𝑢] 5) 𝐷[sin(𝑢)] = cos(𝑢) 𝐷[𝑢] 6) 𝐷[cos(𝑢)] = − sin(𝑢) 𝐷[𝑢] 7) 𝐷[tan(𝑢)] = sec2(𝑢) 𝐷[𝑢] 8) 𝐷[𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑢)] = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑢)𝐷[𝑢] 9) 𝐷[sec(𝑢)] = sec(𝑢) tan(𝑢) 𝐷[𝑢] 10) 𝐷[𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑢)] = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑢)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑢)𝐷[𝑢] 11) 𝐷[arctan(𝑢)] = 1 𝑢2+1 𝐷[𝑢] 12) 𝐷[arcsin(𝑢)] = 1 √1−𝑢2 𝐷[𝑢] 13) 𝐷[arccos(𝑢)] = −1 √1−𝑢2 𝐷[𝑢] Identidades Trigonométricas 1) sin2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 2) tan(𝜃) = sin(𝜃) cos(𝜃) 3) 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) = cos(𝜃) sin(𝜃) 4) sec(𝜃) = 1 cos(𝜃) 5) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝜃) = 1 sin(𝜃) 6) 1 + tan2(𝜃) = sec2(𝜃) 7) 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝜃) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 (𝜃) 8) sin2(𝜃) = 1 − cos(2𝜃) 2 9) cos2(𝜃) = 1 + cos(2𝜃) 2 10) cos(2𝜃) = cos2(𝜃) − sin2(𝜃) 11) sin(2𝜃) = 2 sin(𝜃) cos(𝜃) Derivada Total Seja 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tal que 𝑥 = ℎ(𝑡) e 𝑦 = 𝑔(𝑡) então 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Derivada Direcional Seja a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e o versor do vetor 𝑢⃗ 𝐷 𝑢⃗⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑈𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑈 𝑦 onde 𝑈⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ |𝑢⃗⃗ | . Vetor Gradiente ∇⃗⃗ 𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑗