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Isometrias porto ed[1]

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Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt




   Uma isometria é uma transformação geométrica que preserva
   a distância entre pontos, isto é, a figura inicial e a sua
   transformada são congruentes.




     Figura inicial      Figura transformada   Figura inicial       Figura transformada
       (objecto)              (imagem)           (objecto)               (imagem)




               É uma isometria.                          Não é uma isometria.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


1. Translação
          Uma translação é uma isometria em que a imagem de um
          objecto se pode obter por um movimento horizontal e outro
          vertical.
          Estes movimentos podem ser descritos por números.

          Os números de unidade de medida podem ser substituídos por
          um vector que normalmente se representa por uma
                                                   
          letraminúscula com uma seta por cima ( u , v , w).


             F    E            F’   E’
                    u u


                  D     C
                                    D’   C’
                        u       u
             A         B       A’        B’
                      u         u
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt



 Propriedades da translação
     Um segmento de recta é
      transformado num segmento de
      recta paralelo e com o mesmo
      comprimento.

     Uma recta ou uma semi-recta é
      transformada numa recta ou
      numa semi-recta paralelas,
      respectivamente.

     Um ângulo é transformado num
      ângulo geometricamente igual e
      com o mesmo sentido.
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt


2. Reflexão
  Dada uma recta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à
  isometria que transforma os pontos de r ou eixo r em si próprios e que, a cada
  ponto P não pertencente a r , faz corresponder um ponto P’ tal que o eixo r é a
  mediatriz do segmento de recta [PP’].




           Q
                          r
                                       Q'



      O           P               P'        O'
                 [
                 [

                      d       d
Maria Augusta Ferreira Neves
 augustaneves@portoeditora.pt



 Propriedades das reflexões
  Um segmento de recta é transformado
   num segmento de recta com o mesmo
   comprimento.

                                                  Q
                                                              r
                                                                           Q'
  Uma recta e uma semi-recta são
   transformadas numa recta e numa
   semi-recta respectivamente.                O       P               P'        O'




                                                      [
                                                      [
                                                          d       d
  Um ângulo orientado é transformado
   num ângulo orientado com a mesma
   amplitude mas com sentido inverso.

  Qualquer ponto do eixo de reflexão
   transforma-se em si próprio.

  A distância de um ponto original ao eixo
   de reflexão é igual à distância da
   imagem desse ponto ao eixo.
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Isometrias porto ed[1]

  • 1. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 2. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Uma isometria é uma transformação geométrica que preserva a distância entre pontos, isto é, a figura inicial e a sua transformada são congruentes. Figura inicial Figura transformada Figura inicial Figura transformada (objecto) (imagem) (objecto) (imagem) É uma isometria. Não é uma isometria.
  • 3. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 1. Translação Uma translação é uma isometria em que a imagem de um objecto se pode obter por um movimento horizontal e outro vertical. Estes movimentos podem ser descritos por números. Os números de unidade de medida podem ser substituídos por um vector que normalmente se representa por uma    letraminúscula com uma seta por cima ( u , v , w). F E   F’ E’ u u D C   D’ C’ u u A  B A’ B’ u u
  • 4. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Propriedades da translação  Um segmento de recta é transformado num segmento de recta paralelo e com o mesmo comprimento.  Uma recta ou uma semi-recta é transformada numa recta ou numa semi-recta paralelas, respectivamente.  Um ângulo é transformado num ângulo geometricamente igual e com o mesmo sentido.
  • 5. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 2. Reflexão Dada uma recta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à isometria que transforma os pontos de r ou eixo r em si próprios e que, a cada ponto P não pertencente a r , faz corresponder um ponto P’ tal que o eixo r é a mediatriz do segmento de recta [PP’]. Q r Q' O P P' O' [ [ d d
  • 6. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Propriedades das reflexões  Um segmento de recta é transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento. Q r Q'  Uma recta e uma semi-recta são transformadas numa recta e numa semi-recta respectivamente. O P P' O' [ [ d d  Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso.  Qualquer ponto do eixo de reflexão transforma-se em si próprio.  A distância de um ponto original ao eixo de reflexão é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo.
  • 7. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 3. Rotação P’ Dado um ponto O, centro de rotação, e a amplitude α , chama-se rotação de centro O e amplitude α à isometria que a um ponto P faz corresponder um ponto P’, tal que: α P • a distância de O a P é igual à distância de O a P’ (imagem de P); O • a amplitude do ângulo orientado definido por P, O, P’ é igual a α , ou seja, OP = OP’ e PÔP = α . C A’x Desenhar a figura transformada da figura dada por uma rotação de centro C’x O e amplitude -900 . A B 1.o Desenham-se [OA], [OB], e [OC] . B’x 2. o Desenham-se os arcos de Ox circunferência ou circunferências de centro O e raios OA , OC , e OB . 3. o Com a ajuda do transferidor medem-se os ângulos de modo que : A’ÔA=900 ; B’ÔB=900 ; C’ÔC=900 . 4. o Desenhar o triângulo [A’B’C’].
  • 8. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Propriedades da rotação  Um segmento de recta é transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento. C A’  Um ângulo é transformado num C’x ângulo com a mesma amplitude e A B com o mesmo sentido. B’x Ox  Uma recta ou uma semi-recta são transformadas numa recta ou numa semi-recta respectivamente.  O centro de rotação é o único ponto que se mantém fixo se o ângulo da rotação não for um múltiplo de 360o
  • 9. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 4. Reflexão deslizante Reflexão deslizante é uma isometria resultante da composição de uma reflexão de eixo r com uma translação cujo o vector (não nulo) é paralelo a r . r Q Q’’ Q’  O P P’’ P’ O’’ O’ u [ [ d d A B O triângulo [O’P’Q’] é uma reflexão deslizante do triângulo [OPQ].
  • 10. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Propriedades da reflexão deslizante  Não existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos do que pertencem ao eixo de reflexão continuam a pertencer- lhe mas são deslocados pelo vector.  Um segmento de recta é transformado noutro segmento de recta, reflectido pelo eixo e deslocado pelo vector. A  Um ângulos orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso.  Uma recta e uma semi-recta são transformadas numa recta B e numa semi-recta respectivamente.  A distância de um ponto ao eixo é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo.
  • 11. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Propriedades das isometrias Em qualquer isometria:  Uma isometria do plano é necessariamente uma translação, uma reflexão, uma rotação ou uma reflexão deslizante  Uma recta é transformada numa recta.  Uma semi-recta é transformada numa semi-recta.  Um segmento de recta é transformado num segmento de recta com o mesmo comprimento.  Um ângulo é transformado num ângulo com a mesma amplitude.
  • 12. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 13. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Simetrias Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria.
  • 14. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 1. Simetrias de reflexão Uma figura tem simetria de reflexão se a sua transfromada por uma reflexão é a própria figura. e1 e5 Esta figura tem cinco e2 simetrias de reflexão. e4 e3
  • 15. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 2. Simetrias de rotação Uma figura tem uma simetria de rotação se a sua Ox transformada por uma rotação, distinta da identidade, é a própria figura Ox Ox Ox Ox Rotação de centro O e Rotação de centro O e Rotação de centro O e Rotação de centro O e medida de amplitude medida de amplitude medida de amplitude medida de amplitude 900. 1800 . 2700 . 3600 . A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600 .
  • 16. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 3. Simetrias de translação      u u u u u  Uma figura tem uma simetria de translação de vector u se o transformado da  figura pela translação associada ao vector u é a própria figura.
  • 17. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt 4. Simetrias de reflexão deslizante Uma figura tem uma simetria de reflexão deslizante se o transformado da figura por uma dada reflexão deslizante é a própria figura.
  • 18. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 19. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 20. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Rosáceas Uma rosácea e uma figura plana com as seguintes características:  Possui um numero finito de simetrias de rotação ou de reflexão.  Todas as rotações que deixam a figura invariante estão centradas num mesmo ponto O.  Todas as simetrias de reflexão estão associadas a uma recta que contem o ponto O.
  • 21. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Simetrias de rotação e simetrias de reflexão 7 simetrias de rotação 6 simetrias de rotação 12 simetrias de rotação 7 simetrias de reflexão 0 simetrias de reflexão 12 simetrias de reflexão 5 simetrias de rotação 8 simetrias de rotação 3 simetrias de rotação 0 simetrias de reflexão 0 simetrias de reflexão 3 simetrias de reflexão
  • 22. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 23. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Frisos Um friso e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação. Os vectores associados a essas translações possuem todos a mesma direcção e são múltiplos  inteiros de um dado vector u não nulo. Nota: As restantes simetrias da figura podem ser rotações de ângulo 180⁰, reflexões ou  reflexões deslizantes relativamente a uma recta paralela a u … …
  • 24. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 25. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Fluxograma de Washburn e Crowe Existe uma reflexão de eixo vertical? Sim Não Existe uma reflexão Existe uma reflexão de eixo horizontal ou de eixo horizontal? uma reflexão deslizante? Sim Não Sim Não pmm2 Existe rotação? Existe uma reflexão Existe uma rotação? (meia-volta) de eixo horizontal? (meia-volta) Sim Não Sim Não Sim Não pma2 pm11 p1m1 p1a1 p112 p111
  • 26. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Simbologia (para frisos cuja recta fixa para todas as simetrias é horizontal) (A) O primeiro símbolo é sempre um p ; (B) O segundo símbolo é: a) 1 – o friso não tem reflexão de eixo vertical b) m – o friso tem reflexão de eixo vertical (C) O terceiro símbolo é: a) m – o friso tem reflexão de eixo horizontal b) a – o friso tem reflexão deslizante c) 1 - não se verifica nem a) nem b). (D) O quarto símbolo é: a) 2 – existe rotação (meia-volta) b) 1 – não existe rotação
  • 27. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Sim pmm2 – Reflexão de eixo vertical Reflexão de eixo horizontal Rotação
  • 28. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Não Existe uma meia-volta? Sim pma2 – Reflexão deslizante Reflexão de eixo vertical Rotação
  • 29. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Não Existe uma meia-volta? Não pm11 – Reflexão de eixo vertical
  • 30. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Não Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante? Sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Sim p1m1 – Reflexão de eixo horizontal
  • 31. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Não Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante? Sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Não p1a1 – Reflexão deslizante
  • 32. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Não Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante? Não Existe uma meia-volta? Não p111 – Translação
  • 33. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Existe uma reflexão de eixo vertical? Não Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante? Não Existe uma meia-volta? Sim p112 – Rotação (meia-volta)
  • 34. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 1 - Gerado por translações
  • 35. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 2 - Gerado por translação e reflexão de eixo horizontal
  • 36. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 3 - Gerado por translação e reflexão de eixo vertical
  • 37. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 4 - Gerado por translação, reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo vertical e rotação de ordem 2 (meia-volta)
  • 38. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 5 - Gerado por translação e rotação de 1800
  • 39. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 6 - Gerado por translação e reflexão deslizante
  • 40. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Sete tipos de frisos … … 7 - Gerado por translação, reflexão de eixo vertical reflexão deslizante e rotação.
  • 41. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt … … … … … … … …
  • 42. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt
  • 43. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Padrão Um padrão e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação em mais do que uma direcção.  Nota: Para alem de translações, um padrão pode ser invariante por reflexões, rotações e reflexões deslizantes.
  • 44. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações
  • 45. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e reflexões
  • 46. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e reflexões deslizantes
  • 47. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 48. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e rotações
  • 49. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 50. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações e reflexões
  • 51. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações rotações e reflexões deslizantes
  • 52. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 53. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e rotações
  • 54. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 55. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 56. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e rotações
  • 57. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 58. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 59. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações e rotações
  • 60. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões Gerado por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes
  • 61. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões
  • 62. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt Tipos de padrões
  • 63. Maria Augusta Ferreira Neves augustaneves@portoeditora.pt