A Fórmula Luderiana Universal de 2a Ordem permite calcular a raiz n-ésima de números complexos de forma algebrática. A fórmula é apresentada junto com exemplos de cálculo da raiz cúbica, sétima e para radicandos complexos. Uma aproximação inicial "k" é obtida para garantir a convergência para uma das raízes do número.

1. Fórmula Luderiana Universal de 2a Ordem
Autoria de Ludenir Santos, Rio Grande - RS (Brazil)
March 4, 2018
Permite-nos calcular a raiz n-ésima de um número complexo. Convergên-
cia garantida para uma das raízes do radicando informado - seja este real ou
complexo. Para facilitar o entendimento, começo com casos particulares que
vão deste a raiz cúbica até a raiz sétima e, nalmente, apresento a Fórmula
Luderiana Universal de 2a Ordem. Normalmente, obtem-se 6 decimais exatas
em apenas 2 iterações, 12 decimais exatas em 3 iterações etc - o valor inicial
k é obtido através da Aproximação Luderiana para Radicando Complexo.
Outra grande vantagem em utilizar a Fórmula Luderiana Universal de 2a Or-
dem está no caso de um radicando complexo porque a operação mais complexa
desta fórmula é a raiz quadrada, para a qual é possível extrairmos a raiz de um
radicando complexo algebricamente. Portanto, não depende de trigonometria
para calcular a raiz n-ésima de um radicando complexo.
3
√
c =
√
12kc−3k4+3k2
6k
4
√
c =
√
24k2c−8k6+8k3
12k2
5
√
c =
√
40k3c−15k8+15k4
20k3
6
√
c =
√
60k4c−24k10+24k5
30k4
7
√
c =
√
84k5c−35k12+35k6
42k5
n
√
c =
√
(2n2−2n)k(n−2)c−(n2−2n)k(2n−2)+(n2
−2n)k(n−1)
(n2−n)k(n−2)
Onde:
n é o índice do radical;
c é o radicando;
k é uma aproximação qualquer. Podendo ser um número real ou complexo.
1

2. Raiz Quadrada de Números Complexos
Na internet, está disponível uma variedade de material que ensina como extrair
a raiz quadrada de números complexos, algebricamente. Por diversão, decidi
investir na construção de uma fórmula. Portanto, considerando que c + di é a
raiz quadrada de a+bi, ou seja,
√
a + bi = c+di, seguem as fórmulas que acabei
redescobrindo e que servem para extrair a raiz quadrada de números complexos:
c = ± a±
√
a2+b2
2
d = b
2c
Exemplos:
Calcular
√
4 + 3i
a = 4 e b = 3
c = ± a±
√
a2+b2
2
c = ± 4±
√
42+32
2
c = ± 4±5
2
Portanto, tem-se:
c = ± 9
2 . Esta resposta é, prontamente, aceita porque gera um número
real - isto facilita os cálculos.
c = ± −1
2 . Embora esta resposta também chegue ao resultado esperado,
normalmente, é descartada porque obriga-nos a trabalhar com números com-
plexos - dicultando os cálculos.
Logo, c = ± 9
2 então c = ±2, 12132. Assim, c1 = 2, 121320 e c2 = −2, 121320
Aplicaremos estas respostas na fórmula abaixo:
d = b
2c
d1 = 3
2(2,121320) = 0, 707106
d2 = 3
2(−2,12132) = −0, 707106
Portanto, as raízes de 4+3i são 2, 121320+0, 707106i e −2, 121320−0, 707106i
2

3. Fórmula Luderiana Universal de 2a Ordem
(exemplos)
a) Calcular
3
√
61
k3
0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Primeiramente, identicaremos na tabela acima, o k3
mais próximo de c e,
em seguida, o valor de k
No caso, c = 61 então k3
= 64, k = 4
Assim, basta aplicarmos estes valores na fórmula, abaixo:
3
√
c =
√
12kc−3k4+3k2
6k
3
√
61 =
√
12(4)(61)−3(4)4+3(4)2
6(4)
3
√
61 = 3, 93649167310371
Para uma segunda iteração, vamos considerar k = 3, 93649167310371
3
√
c =
√
12kc−3k4+3k2
6k
3
√
61 =
√
12(3,93649167310371)(61)−3(3,93649167310371)4+3(3,93649167310371)2
6(3,93649167310371)
3
√
61 = 3.93649718310217
3

4. b) Calcular
3
√
33143428
k3
0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Primeiramente, separa-se os digitos do radicando em classes com 3 digitos,
do nal para o inicio:
3
√
33.143.428
Encontra-se a raiz cúbica aproximada, apenas para a 1a classe.
Para cada uma das demais classes, atribui-se zero.
No exemplo,
3
√
33.143.428 podemos considerar k = 300
Para a primeira classe, identicou-se na tabela acima, o k3
(27) mais próximo
de c (33) e, em seguida, tem-se o valor de k (3) e para as demais classes adotou-se
(0). Logo, k = 300
Assim, basta aplicarmos estes valores na fórmula, abaixo:
3
√
c =
√
12kc−3k4+3k2
6k
3
√
33143428 =
√
12(300)(33143428)−3(300)4+3(300)2
6(300)
3
√
33143428 = 321.248448492566
Para uma segunda iteração, vamos considerar k = 321, 248448492566
3
√
c =
√
12kc−3k4+3k2
6k
3
√
33143428 =
√
12(321,248448492566)(33143428)−3(321,248448492566)4+3(321,248448492566)2
6(321,248448492566)
3
√
33143428 = 321.217458588052
4

5. c) Calcular
7
√
331484284342
k7
0 1 128 2187 16384 78125 279936 823543 2097152 4782969
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Primeiramente, separa-se os digitos do radicando em classes com 7 digitos,
do nal para o inicio:
7
√
33148.4284342
Encontra-se a raiz sétima aproximada, apenas para a 1a classe.
Para cada uma das demais classes, atribui-se zero.
No exemplo,
7
√
33148.4284342, olhando apenas para a 1a classe, podemos
considerar k = 4, 5 porque 33148 está aproximadamente no meio caminho entre
16384 e 78125.
Como tem-se duas classes então ao invés de 0 na segunda classe deve-se
adotar 5 (a parte decimal de 4,5). Portanto, na verdade, considera-se k = 45
Assim, basta aplicarmos estes valores na fórmula, abaixo:
7
√
c =
√
84k5c−35k12+35k6
42k5
7
√
331484284342 =
√
84(45)5(331484284342)−35(45)12+35(45)6
42(45)5
7
√
331484284342 = 44, 2352623874468
Para uma segunda iteração, vamos considerar k = 44, 2352623874468
7
√
c =
√
84k5c−35k12+35k6
42k5
7
√
331484284342 =
√
84(44,2352623874468)5(331484284342)−35(44,2352623874468)12+35(44,2352623874468)6
42(44,2352623874468)5
7
√
331484284342 = 44, 2364656005123
5

6. d) Calcular 6
√
35 + 87i
6
√
c = 6
√
35 + 87i, c = 35 + 87i, a = 35, b = 87, i é a unidade imaginária.
Aplica-se o método Aproximação Luderiana para Radicando Complexo - vide
slideshare para maiores detalhes ... Especicamente para a raiz sexta, considera-
se:
6
√
1 = 1 (utiliza-se quando |a||b| e a0)
6
√
−1 = −0, 866 ± 0, 5i (utiliza-se quando |a||b| e a0)
6
√
i = 0, 259 + 0, 966i(utiliza-se quando |b||a| e b0)
6
√
−i = 0, 259 − 0, 966i(utiliza-se quando |b||a| e b0)
O método diz que se extrairmos a raiz (sexta) do maior valor absoluto do radi-
cando complexo 35 + 87i, ou seja,
6
|87| e multiplicarmos pela raiz da unidade
imaginária,
6
√
i = 0, 259+0, 966i então teremos o valor da aproximação luderiana
k:
k = 6
|b|. 6
√
i
k = 6
|87|. 6
√
i
k = 2, 105 × (0, 259 + 0, 966i)
k = 0, 545 + 2, 033i
Agora, basta aplicarmos estes valores na fórmula, abaixo:
6
√
c =
√
60k4c−24k10+24k5
30k4
6
√
35 + 87i =
√
60(0,545+2,033i)4(35+87i)−24(0,545+2,033i)10+24(0,545+2,033i)5
30(0,545+2,033i)4
6
√
35 + 87i = 0.680118042454 + 2.018710033887i
Para uma segunda iteração, vamos considerar k = 0.680118042454+2.018710033887i
6
√
c =
√
60k4c−24k10+24k5
30k4
6√
35 + 87i =
√
60(0.680118042454+2.018710033887i)4(35+87i)−24(0.680118042454+2.018710033887i)10+24(0.680118042454+2.018710033887i)5
30(0.680118042454+2.018710033887i)4
6
√
35 + 87i = 0.681706858734 + 2.019530259780i
6

7. e) Calcular 58
√
25 − 89i
58
√
c = 58
√
25 − 89i, c = 25 − 89i, a = 25, b = −89, i é a unidade imaginária.
O método diz que se extrairmos a raiz (58a) do maior valor absoluto do rad-
icando complexo 25 − 89i, ou seja,
58
| − 89| e multiplicarmos pela raiz da
unidade imaginária negativa,
58
√
−i = 0, 0270 − 0, 9996i então teremos o valor
da aproximação luderiana k:
k = 58
|b|. 58
√
−i
k = 58
| − 89|. 58
√
−i
k = 1, 0804 × (0, 0270 − 0, 9996i)
k = 0, 0291708 − 1, 07996784i
Como não temos a fórmula para raiz 58a então iremos contruí-la, a partir
da Fórmula Luderiana Universal de 2a Ordem. A saber:
n
√
c =
√
(2n2−2n)k(n−2)c−(n2−2n)k(2n−2)+(n2
−2n)k(n−1)
(n2−n)k(n−2)
58
√
c =
√
6612k56c−3248k114+3248k57
3306k56
58
√
25 − 89i =
√
6612(0,0291708−1,07996784i)56(25−89i)−3248(0,0291708−1,07996784i)114+3248(0,0291708−1,07996784i)57
3306(0,0291708−1,07996784i)56
58
√
25 − 89i = 0.0343295492 − 1.0805886129i
Para uma segunda iteração, vamos considerar k = 0.0343295492−1.0805886129i
58
√
c =
√
6612k56c−3248k114+3248k57
3306k56
58√
25 − 89i =
√
6612(0.0343295492−1.0805886129i)56(25−89i)−3248(0.0343295492−1.0805886129i)114+3248(0.0343295492−1.0805886129i)57
3306(0.0343295492−1.0805886129i)56
58
√
25 − 89i = 0.0343798940225818−1.08062454023801i
7