Doc estatistica _1198613339

Estatística
amintas paiva afonso

Quando trabalhamos com grandes conjuntos de dados, muitas
vezes é útil organizar e resumir os dados para fornecer
informações úteis e facilitar a sua visualização e seu
entendimento
DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA (EM CLASSE)
Introdução
168 172 170 181 169 173 164 175 182 177
176 173 170 186 183 170 168 166 169 180
175 164 181 179 172 169 174 171 178 166
183 159 168 176 188 165 172 170 166 189
172 185 168 163 188 195 182 176 174 182
Altura (em centímetros) dos atletas de um clube

É um grupamento de dados em classes, exibindo o número ou
porcentagem de observações em cada classe. Uma distribuição
pode ser apresentada em forma gráfica ou tabular.
Classe
Intervalo de
classe
Frequência
(f i)
Frequência
(f r)%
1 0 |------- 2 1 2,77%
2 2 |------- 4 2 5,55,%
3 4 |------- 6 10 27,78%
4 6 |------- 8 6 17%
5 8 |------- 10 17 47,22%
36 100%
Tabela de frequência para as notas de estatística
Total
40
Número de carros
Frequênciaderevendedores
5 10 15 20 25 30
2
4
6
8
10
12
35
Histograma do número de
carros vendido para as
revendedoras
Distribuições de frequências (em classe)

Tabelas de Frequência
“Resumo de dados em Tabelas de frequência”
O número de elementos distintos é
grande, o que dificulta a análise.
Exemplo: Análise da altura da turma.
Notas (X i) Frequência (f i)
0 1
1 0
2 1
3 1
4 1
5 9
6 3
7 3
8 6
9 7
10 4
Tabela de frequência para as
notas de estatística
Classe
Intervalo de
classe
Frequência
(fi)
Frequência
percentual
1 0 |------- 2 1 2,77%
2 2 |------- 4 2 5,55,%
3 4 |------- 6 10 27,78%
4 6 |------- 8 6 17%
5 8 |------- 10 17 47,22%
36 100%
Total
A finalidade é agrupar dados!

Um engenheiro da área de vendas de uma montadora selecionou ao
acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo Brasil
e anotou o número de unidades adquiridas por estes revendedores
no mês de maio. Com estes dados, ele deseja construir um quadro
de frequência.
10 15 25 21 6 23 15 21 26 32
9 14 19 20 32 18 16 26 24 20
7 18 17 28 35 22 19 39 18 21
15 18 22 20 25 28 30 16 12 20
Unidades adquiridas no mês de maio
1º PASSO: Identifique o valor máximo e o valor mínimo para
calcular a amplitude.
R(intervalo total) = Max - Min = 39 - 6 = 33
Passos para a construção de uma Tabela de Frequência

2º PASSO: Escolha do número de classes ou intervalos (k).
- não existe uma regra única para a determinação do tamanho e
quantidade de classes. Alguns autores afirmam que ela deve
variar entre 5 e 25.
- Adotaremos o seguinte cálculo:
32,640 === nk
Importante: o valor de k deve ser um valor inteiro. Assim, neste caso
pode ser: 6 ou 7.
3º PASSO: Determinação da amplitude do intervalo (h)
kk
R
h
33
==
Obs.: Como os dados coletados são
números inteiros, a amplitude também
deve ser um número inteiro.

Assim, o valor da amplitude (R) deve ser acrescido de duas
unidades para que sua divisão pelo número de classes (k =7)
seja um número inteiro.
5
7
3533
====
kk
R
h
4º PASSO: Rever os limites de classe
preliminares. Aqui, o arredondamento
deve ser distribuído igualmente para o
limite inferior da primeira classe e o
limite superior para a última classe.
Classes
Intervalo de classe
ou número de carros
Número de
revendedores
ou frequência
Frequência
percentual
1 5 |-----------
2
3
4
5
6
7 |-------- 40
Total
Tabela de frequência
10 3 7,5%
40
10 |---------- 15 3 7,5%
15 |---------- 20 11 27,5%
20 |----------25 11 27,5%
25 |----------30 6 15%
30 |----------35 4 10%
35 2 5%
100%
5º PASSO:
Montagem
da tabela de
frequência

1 - Dados brutos
10 13 19 17 24
15 18 14 15 18
21 19 16 19 17
14 17 12 18 22
20 23 11 16
3 Proceder a contagem
10 a 13 - ///
13 a 16 - ////
16 a 19
- //// /// 19 a
22 - //// 22
a 25 - ///
4 - Fazer uma tabela de
freqüência
classe nº %
10 a 13 3 12,5
13 a 16 5 20,8
16 a 19 8 33,4
19 a 22 5 20,8
22 a 25 3 12,5
ou
5 - traçar um histograma
Freqüência
classes
2 - Fixar intervalos
de classe
1 - intervalo total= máx-
min
2 -
3 - k
totalervalo
Amplitude
knk
int
255
=
≤≤≈
Distribuições de Frequência

Exercício:
Montar uma tabela de frequência para o
peso dos homens da turma de estatística.
60 58 71 62 85 65 83 68
68 66 60 78 80 60 85 69
75 69 60 90 68 73 59 70
90 73 63 77 68 74 62 80
Tabela de pesos de uma amostra da
turma de estatística
1º PASSO: Encontrar o valor máximo e o valor mínimo para
calcular a amplitude.
R = Max - Min = 90 - 58 = 32
Tabela de Frequência - Exercício

2º PASSO: Escolha do número de classes ou intervalos (k).
6
6
3632
====
kk
R
h
66,532 === nk
Lembrando que: k deve ter um valor
inteiro, este pode ser: 5 ou 6.
3º PASSO: Determinação da amplitude do intervalo (h)
Como os dados são números inteiros
valor de h deve ser um valor inteiro.
Iremos admitir k = 6 e somaremos 4
unidades na amplitude.
4º PASSO: Rever os limites de classe preliminares. Aqui, o
arredondamento deve ser distribuído igualmente para o limite inferior da
primeira classe (58→56) e para o limite superior da última classe
(90→92).

5º PASSO: Montagem da tabela de frequência:
Classes Intervalos
Número de
pessoas ou
frequência
frequência
percentual
(%)
1 56 |------ 62 6 18,75
2 62 |------ 68 5 15,625
3 68 |------ 74 10 31,25
4 74 |------ 80 4 12,5
5 80 |------ 86 5 15,625
6 86 |------ 92 2 6,25
32 100%
Tabela de Frequência
Total
Obs.: Atenção para o
cálculo da frequência.
60 58 71 62 85 65 83 68
68 66 60 78 80 60 85 69
75 69 60 90 68 73 59 70
90 73 63 77 68 74 62 80
Tabela de pesos de uma amostra da
Turma de estatística

Um engenheiro de produção que atuava numa empresa de
manutenção de motores de aviões, observou nos registros da
empresa, que o tempo de mão-de-obra gastos na revisão
completa de um motor apresentava-se na seguinte tabela de
frequência:
Classes
Tempo de mão
de obra (horas)
Número de
motores
1 0 |------ 4 1
2 4 |------ 8 5
3 8 |------ 12 10
4 12 |------ 16 12
5 16 |------ 20 4
32
Tabela de Frequência da
manutenção de motores
Total
Para planejar o orçamento e a
data de entrega de 5 motores,
ele deseja saber o número
médio de horas de mão-de-obra
necessário para a revisão de
cada motor.
∑
∑=
i
ii
f
fx
X
Calculando a média pela Tabela de Frequência

1º PASSO: Calcular o ponto médio de cada classe:
Classes
Tempo de mão
de obra (horas)
Número de
motores
1 0 |------ 4 1
2 4 |------ 8 5
3 8 |------ 12 10
4 12 |------ 16 12
5 16 |------ 20 4
32
Total
2
6
10
14
18
iX
2
2
04
1 =
+
=X
18
2
1620
5 =
+
=X
2º PASSO: Realizar o somatório da multiplicação de cada ponto médio
pela frequência:
Classes
Tempo de mão
de obra (horas)
Número de
motores
1 0 |------ 4 1
2 4 |------ 8 5
3 8 |------ 12 10
4 12 |------ 16 12
5 16 |------ 20 4
32
2
6
10
14
18
iX ii fX
2 X1 =2
6 X5 =30
10X10 =100
14 X12 =168
18x4=72
372=∑ ii fX

horas
f
fx
X
i
ii
625,11
32
372
===
∑
∑
3º PASSO: Realizar o cálculo final do valor médio pela fórmula:
Interpretação do resultado: sabendo que o tempo médio de mão-de-obra
para a manutenção de cada motor é 11,625 horas, o engenheiro pode
realizar os cálculos do orçamento e do prazo de entrega do serviço.
Exercício:
Uma empresa fez um levantamento da venda de seu produto em
vários supermercados da região sudeste obtendo em determinado
mês a tabela:
Classes
Número de
unidades
consumidas
Nº de
supermercados
(f i)
1 0 |------ 1000 10
2 1000 |------ 2000 50
3 2000 |------ 3000 200
4 3000 |------ 4000 320
5 4000 |------ 5000 150
6 5000 |------ 6000 30
Tabela de Frequência de consumo
Determine o consumo médio
do produto por supermercado
pesquisado.
R: 3.342,1 unidades por
supermercado

• As tabelas de frequência serão bem utilizadas quando tivermos uma
grande quantidade de dados, bastante distintos.
Ex.: Diferentes medidas de eixos num lote de fabricação.
• As tabelas de frequência têm a função de condensar um conjunto
de dados e servem como base para a construção de histogramas.
• Pelas tabelas de frequência também é possível calcular as
medidas de tendência central e medidas de dispersão.
Conclusões sobre as Tabelas de Frequência

1- HISTOGRAMA - equivalente de uma tabela de frequência
- Gráfico que possui na sua escala horizontal os valores de dados a
serem apresentados e na escala vertical, as suas freqüências;
- Utilizado para dados contínuos;
Construindo histogramas a partir de uma tabela de frequência
1º Passo: Construímos os
eixos da frequência e
intervalos de classe. Obs.:
atenção para as escalas.
Classe
Intervalo de
classe
Frequência
(fi)
Frequência
percentual
1 0 |------- 2 1 2,27%
2 2 |------- 4 2 5,55,%
3 4 |------- 6 10 27,78%
4 6 |------- 8 6 17%
5 8 |------- 10 17 47,22%
36 100%
Total
Formas gráficas de apresentação de dados

Frequência
2
4
6
8
10
17
Notas
0 2 4 6 8 10
2º Passo: Dispomos os valores
da frequência de cada classe
no gráfico.
3º Passo: Dá-se um nome para o histograma
Histograma das notas de estatística
Classe
Intervalo de
classe
Frequência
(fi)
Frequência
percentual
1 0 |------- 2 1 2,27%
2 2 |------- 4 2 5,55,%
3 4 |------- 6 10 27,78%
4 6 |------- 8 6 17%
5 8 |------- 10 17 47,22%
36 100%
Total

Exercício: Monte o histograma para a tabela de frequência abaixo.
Número de carros
Frequênciaderevendedores
5 10 15 20 25 30
2
4
6
8
10
12
35 40
Histograma do número de carros
vendido para as revendedoras
Classe
Intervalo de classe
ou número de carros
Número de
revendedores
ou frequência
Frequência
percentual
1 5 |-----------
2
3
4
5
6
7 |-------- 40
Total
Tabela de frequência
10 3 7,5%
40
10 |---------- 15 3 7,5%
15 |---------- 20 11 27,5%
20 |----------25 11 27,5%
25 |----------30 6 15%
30 |----------35 4 10%
35 2 5%
100%

Moda - MO
MEDIDAS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Determinação da moda num gráfico
freqüência
classe modal

freqüência
classes
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA
Alternativa ao histograma polígono de freqüência
0,30
0,20
0,10
0,00 3 8 13 18 23 28 33
É um gráfico que se obtém unindo por uma poligonal os pontos
correspondentes às frequências das diversas classes, centradas nos
respectivos pontos médios. Para obter as interseções do polígono com o
eixo, cria-se em cada extremo do histograma uma classe com frequência
nula.

Moda - MO
Às vezes há dois ou mais picos de freqüência. Os dados
provêm de duas ou mais populações.
Distribuição bimodal
classes modais classes modais
MEDIDAS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

2 – DIAGRAMA DE PONTOS
O conjunto de dados relativos à resistência de uma argamassa modificada em
uma indústria de cimento:16,85 ; 16,4 ; 17,21 ; 16,35 ; 16,52 ; 17,04 ; 16,96 ;
17,15 ; 16,59 e 16,57 .
Veja que o meio dos dados (mediana) é muito próximo de 16,8 e que os
valores de resistência caem no intervalo de 16,3 a 17,2 kgf/cm2
argamassa modificada
16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 resistência – kgf/cm2
 Este diagrama é muito útil para apresentar um pequeno conjunto de dados
(até aproximadamente 20 dados)
 Este gráfico nos permite rapidamente e facilmente ver a localização ou a
tendência central nos dados e a variabilidade

2 – DIAGRAMA DE PONTOS
É utilizado freqüentemente para comparar dois ou mais conjuntos de dados
Considere o segundo conjunto de dados de resistência de argamassa: 17,50
; 17,63 ; 18,25 ; 18,00 ; 17,86 ; 17,75 ; 18,22 ; 17,90 ; 17,96 e 18,15 .
argamassa modificada
argamassa não modificada
16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 resistência – kgf/cm2
Imediatamente verifica-se que a argamassa modificada apresenta
resultados com valores menores de resistência
A variabilidade dentro (within) dos grupos é praticamente a mesma
Também é possível ver a freqüência dos dados

3 – DIAGRAMA DE RAMOS E FOLHAS
A tabela de freqüência e o histograma nos dá informações valiosas
sobre a natureza da distribuição dos dados, mas geralmente perdemos
informações sobre os mesmos
O diagrama de ramos e folhas é uma boa maneira de ter uma
informação da natureza da distribuição do conjunto de dados sem perda
de informação
Os dados devem conter pelo menos dois dígitos
Exemplo: O dado 257 é dividido em duas partes: a primeira parte 25
chamada de ramo (stem) é constituída pelo primeiro ou primeiro e
segundo dígitos e a segunda parte 7 chamada de folha (leaf) é
constituído pelo dígito restante.
É usual escolher o número de ramos entre 5 a 20
Formas gráficas apresentação de dados

Considere o conjunto de dados relativos à resistência a compressão de uma liga de alumínio
105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141 245 228 174
199 181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193 194
133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146 218 157 101 171 165 172
ramos folhas freqüência
7 6 1
10 1 5 2
12 1 0 3 3
9 7 1
11 0 5 2
13 1 3 3 4 5 5
14 1 3 6 3
16 0 3 7 7 8 8 6
18 0 0 1 1 3 4 6 7
22 1 8 9 3
20 8 7 2
15 3 4 4 6 7 8 8 7
17 1 2 4 4 6 8 5
19 0 3 4 9 4
21 8 1
23 0
24 5 1
Formas gráficas apresentação de dados

4- GRÁFICO DE BARRAS / COLUNAS
• Tipo de gráfico mais utilizado quando os dados consistem em uma
contagem e não em mensurações em uma escala contínua;
• São mais usados para mostrar diferenças entre categorias, regiões e
etc. Os gráficos de barra também podem mostrar de que forma duas
variáveis se relacionam;
Número de Empresas entrevistadas por Estado
0
10
20
30
40
SP SC RJ PE MG RS BA ES AM
Estados Brasileiros
Númerodeempresas

4.1- DIAGRAMA OU GRÁFICO DE PARETO
• É um gráfico de barras para dados qualitativos, com as barras ordenadas
de acordo com a frequência. A barra mais alta fica à esquerda e as barras
menores na extrema direita.
50
100
Quantidadede
defeitos
Percentagem
Acumulada
Revestimento
inadequado
Trinca Arranhão
Fina ou
Grossa
Não acabada Outros
Quantidade 55 41 12 11 5 3
Percentagem 43,3 32,3 9,4 8,7 3,9 2,4
Percentagem
acumulada
43,3 75,6 85 93,7 97,6 100
20
40
60
80
100
Gráfico de Pareto para os defeitos de lentes

5- GRÁFICO DE SETORES / TORTA OU PIZZA.
• É uma outra alternativa para o gráfico de barras, quando se pretende
mostrar a composição de um total;
• O gráfico é construído
dividindo os 360º graus de um
círculo pela contribuição
relativa de cada categoria;
Fonte: Site da Abinee - 2003.

Uma imagem vale mais do que mil palavras!
Entretanto, ao se construir qualquer tipo de gráfico, é
importante:
1) que o gráfico receba um título adequado;
2) que cada um dos eixos seja rotulado e contenha uma
escala sensata;
• Histogramas são utilizados para identificar o padrão de
variação ao longo de um tempo ou ao longo de um fluxo;
Conclusões

Safra anual de 40 pessegueiros
11,1 12,5 32,4 7,8 21,0 16,4 11,2 22,3
4,4 6,1 27,5 32,8 18,5 16,4 15,1 6,0
10,7 15,8 25,0 18,2 12,2 12,6 4,7 23,5
14,8 22,6 16,0 19,1 7,4 9,2 10,0 26,2
3,5 16,2 14,5 3,2 8,1 12,9 19,1 13,7
O conjunto de dados abaixo, embora pequeno, não permite uma visão
global da safra de pêssegos).
A distribuição de freqüência facilitará a visualização e entendimento.
Fazer a tabela de freqüência e o histograma para o conjunto de dados
abaixo, onde estão relacionados os dados da safra de 40 pessegueiros.
Exercício Resolvido

Etapas para construção
1 - Determinar o intervalo total dos dados;
2 - Determinar o número K de classes;
3 - Calcular a amplitude da classe;
4 - Estabelecer limites de classes preliminares. Rever os limites, que
devem tocar-se mas não intercepta-se;
5 - Relacionar os intervalos e fazer a contagem dos pontos por classe
(a contagem total dever ser igual a n);
6 - Construir uma tabela de freqüências e um histograma de
freqüências ou um polígono de freqüências.

1 - Determinar o intervalo dos dados
Maior safra é 32,8 e a menor é 3,2
2 - Determinar o número K de classes
40No caso dos pessegueiros n = 40, logo = 6,32 que pode ser
arredondado para 6 ou 7
 É aconselhável tomar entre 5 a 25 classes
Regra prática: K = Ajustá-la se for necessárion
adotar k = 6
intervalo é 29,632,8 – 3,2 =

3 - Calcular a amplitude da classe
Amplitude = intervalo / nº de classes (k)
Amplitude = 29,6 / 6 = 30/6 = 5 Amplitude = 5
Certifique-se que k vezes a amplitude é maior que o intervalo, pois, de
outra forma, os valores extremos não serão incluídos;
Houve a necessidade de acrescentar 0,4 ao intervalo para que o valor
desse um número inteiro. Esse valor deve ser distribuído para os limites
inferiores (- 0,2) e superiores (+ 0,2).
6 * 5 = 30
30 > 29,6 - ok

4 - Estabelecer limites de classes preliminares. Rever os limites, que
devem tocar-se mas não interceptar-se
1ª classe ----------- limite inferior 3 limite superior = 3 + 5 = 8
Começando com o primeiro inteiro logo abaixo do menor valor do
conjunto de dados.

É importante que não ocorra lacunas na fixação das classes (deve
haver uma classe para cada valor)
Considerar os intervalos como:
3 a < 8 ou 3 8 8 a < 13 ou 8 13
13 a < 18 ou 13 1 8
23 a < 28 ou 23 28
18 a < 23 ou 18 23
28 a < 33 ou 28 33
Comentários adicionais
As classes não devem interceptar-se (um valor deve pertencer a só uma
classe
A amplitude é igual para todas as classes

conjunto de
dados ordenados
Intervalo = 29,6
min max
3,2 32,8
intervalo de classe ou
amplitude de classe
5
K classes
de dados
K = 6
6*5 = 30
A diferença entre 29,6 e 30 = 0,4 deve ser
distribuída entre a extremidades
3,0 8,0 13,0 18,0 23,0 28,0
DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA

5 – Relacionar os intervalos e fazer a contagem dos pontos por classe (a
contagem total deve ser igual a n)
classe contagem
3 a 8
8 a 13
13 a 18
18 a 23
23 a 28
28 a 33
//// ///
//// ////
//// ////
//// //
////
//
8
10
9
7
4
2
Total n = 40
freqüência

6 – Construir uma tabela de freqüência ou histograma de freqüência
Tabela de freqüência
Número de alqueires Número de árvores
Percentagem de
árvores
3 a < 8
8 a < 13
13 a < 18
18 a < 23
23 a < 28
22 a < 33
8
10
9
7
4
2 2/40 = 0,050
7/40 = 0,175
9/40 = 0,225
10/40 = 0,250
8/40 = 0,200
4/40 = 0,100
totais n = 40 1,000

Distribuição de freqüência relativa (%) para a safra de pêssego.
Poderia ser freqüência absoluta (nº de árvores).
Histograma
freqüência
classes
0,30
0,20
0,10
0,00
3 8 13 18 23 28 33
safras
Percentagemdeárvores

freqüência
relativa ou
absoluta
classes
Deve-se apenas unir os pontos médios das classes do histograma por
segmentos de reta
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA
Alternativa ao histograma polígono de freqüência
0,30
0,20
0,10
0,00
3 8 13 18 23 28 33

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amintas paiva afonso

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