Monografia Candida Finalll-1.pdf

UNIVERSIDADE SAVE
O ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS NO
“ÁBACO DE NÚMEROS INTEIROS”: UM ESTUDO COM ALUNOS DA 8ª CLASSE
DA ESCOLA SECUNDÁRIA 25 DE JUNHO DE MASSINGA
Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitações em Ensino de Física
Cândida Armando Massango
Massinga
2021

UNIVERSIDADE SAVE
FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXACTAS
O ENSINO DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS NO
“ÁBACO DE NÚMEROS INTEIROS”: UM ESTUDO COM ALUNOS DA 8ª CLASSE
DA ESCOLA SECUNDÁRIA 25 DE JUNHO DE MASSINGA
Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitação em Ensino de Física
Massinga
2021
M
Monografia Científica a ser apresentada na
Faculdade de Ciências Naturais e Exactas
para a obtenção do Grau de Licenciatura em
Ensino de Matemática com Habilitação em
Ensino de Física, sob orientação do
Supervisor:
Dr. Jossias Arnaldo Vilanculo

índice
Lista de Figuras..............................................................................................................................iii
Lista de Tabelas ............................................................................................................................. iv
Declaração sob Compromisso de Honra......................................................................................... v
Dedicatória..................................................................................................................................... vi
Agradecimentos ............................................................................................................................vii
Resumo ........................................................................................................................................viii
Abstract.......................................................................................................................................... ix
CAPÍTULO I: INTRODUÇÃO.................................................................................................... 10
1.0. Introdução .............................................................................................................................. 10
1.1.Problematização...................................................................................................................... 11
1.2. Objectivos .............................................................................................................................. 13
1.2.1. Geral.................................................................................................................................... 13
1.2.2.Específicos........................................................................................................................... 13
1.3 Questões de pesquisa .............................................................................................................. 13
1.4. Justificava .............................................................................................................................. 14
1.5. Delimitação do Tema............................................................................................................. 15
CAPÍTULO II: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................................................................... 16
2.0. Fundamentação Teórica......................................................................................................... 16
2.1.Teorias Construtivistas do Ensino e Aprendizagem da Matemática ...................................... 16
2.1.1.Implicações Pedagógicas da Perspectiva Piaget.................................................................. 16
2.1.2. Implicações Pedagógicas na Perspectiva de Ausubel......................................................... 17
2.1.3. Implicações Pedagógicas na Perspectiva de Vygotsky....................................................... 17
2.2. Métodos Activos do Ensino e Aprendizagem da Matemática............................................... 18
2.3. Uso do Ábaco para a Multiplicação dos Números Inteiros ................................................... 18
CAPÍTULO III: METODOLOGIA .............................................................................................. 20
3.0. Metodologia........................................................................................................................... 20
3.1 Classificação da pesquisa quanto à natureza .......................................................................... 20
3.2 Classificação da pesquisa quanto à natureza do problema apresentado. ................................ 20
3.3. Classificação da pesquisa quanto aos objectivos definidos ................................................... 21
3.4. Classificação da pesquisa quanto ao tipo de dados................................................................ 21

iii
3.5. Técnicas de recolha de dados................................................................................................. 21
3.5.1. Observação.......................................................................................................................... 21
3.5.2. Intervenção didáctica .......................................................................................................... 22
3.6. Instrumentos de recolha de dados.......................................................................................... 22
3.6.1 Questionário......................................................................................................................... 22
3.7. Técnicas de análise e interpretação de dados......................................................................... 22
CAPITULO IV: RESULTADOS E DISCUSSÃO DA PESQUISA............................................ 24
4.1. Descrição das dificuldades dos alunos na multiplicação de números inteiros relativos........ 24
4.2 Estratégia didáctica para multiplicação de números inteiros relativos ................................... 25
4.2.1 Análise Comparativa do Plano Proposto e Plano Usado na Escola..................................... 28
4.2.2 Discussão da estratégia didáctica proposta.......................................................................... 28
4.3 Resultados da avaliação do impacto da estratégia usada na sala de aulas.............................. 29
4.3.1. Resultados de pós-teste na turma de controlo..................................................................... 29
4.3.2.Resultados de pós-teste na turma de experimental .............................................................. 29
4.3 Análise da eficiência das estratégias usadas nas turmas de controlo e experimental ............. 30
4.3.1 Teste de normalidade ........................................................................................................... 31
4.3.2. Comparação de pré-teste e pós-teste na turma de controlo................................................. 31
4.3.3. Comparação de pré-teste e pós-teste na turma experimental.............................................. 32
4.3.4. Comparação de pós-teste das duas turmas.......................................................................... 33
CAPITULOV: CONCLUSÃO DA PESQUISA .......................................................................... 35
5. Conclusão da Pesquisa.............................................................................................................. 35
6. Referências Bibliográficas........................................................................................................ 36

iii
Lista de Figuras
Figura 4.1:Dificuldades apresentadas na comparação dos números inteiros................................ 24
Figura 4.2: Dificuldades na colocação do sinal do resultado final ............................................... 24
Figura 4.3: Dificuldade na identificação da operação de multiplicação....................................... 25
Figura 4.4: Dificuldades na identificação do conjunto dos números inteiros relativos................ 25
Figura 4.5: Gráfico dos resultados de pós-teste na turma de controlo.......................................... 29
Figura 4.6: Gráfico dos resultados de pós-teste na turma experimental....................................... 30
Figura 4.7: No lado esquerdo alunos manipulando o ábaco dos inteiros e do direito a autora
ensinando o ábaco na sala de aulas............................................................................................... 30

iv
Lista de Tabelas
Tabela 4.1: Análise comparativa do plano proposto e plano usado na escola.............................. 28
Tabela 4.2: Teste de Normalidade de Shapiro-Wilk..................................................................... 31
Tabela 4.3: Teste T para amostras emparelhadas (turma de controlo) ......................................... 32
Tabela 4.4: Teste T para amostras emparelhadas (turma experimental) ...................................... 33
Tabela 4.5: Teste T para amostras independentes (turma de controlo e turma experimental) ..... 34

v
Declaração sob Compromisso de Honra
Eu, Cândida Armando Massango, declaro por minha honra que este trabalho científico, é
resultado do meu esforço singular e das orientações do meu supervisor Dr. Jossias Arnaldo
Vilanculo, o seu conteúdo é verdadeiro, e todas as fontes consultadas estão devidamente
mencionadas no texto e na bibliografia final.
Declaro ainda que este trabalho, nunca foi apresentado em nenhuma outra instituição para
obtenção de qualquer grau académico.
Massinga aos, 15 de Maio de 2021
____________________________________
Cândida Armando Massango

vi
Dedicatória
Dedico este trabalho de pesquisa em especial á minha família, pelo apoio moral e material
prestado para o término do curso.

vii
Agradecimentos
A Deus todo poderoso, pelo dom da vida e sabedoria para terminar o curso.
Ao meu supervisor Dr. Jossias Arnaldo Vilanculo, pelo acompanhamento, orientação e
disponibilidade oferecido, ao longo da realização desta pesquisa. Por ter depositado confiança
em mim e me ter dado esta oportunidade.
A Universidade Save Extensão Massinga pelo acompanhamento ao longo da formação.
Aos docentes do curso de ensino de Matemática pelo apoio dado durante a instrução para o
término do curso.
À Escola Secundária 25 de Junho de Massinga, por me ter recebido para a realização de trabalho
de campo.

viii
Resumo
A pesquisa visa estudar as metodologias de ensino-aprendizagem para a abordagem de números
inteiros relativos na 8ª classe usando o ábaco dos números inteiros relativos. A mesma, foi
desenvolvida na Escola Secundária 25 de Junho de Massinga com 23 alunos da 8ª classe
provenientes de duas turmas, uma de controlo e outra experimental. As duas turmas foram
inicialmente submetidas a um pré-teste, de seguida houve uma intervenção didáctica onde na
turma experimental foi aplicada a nova metodologia proposta e na turma de controlo usou-se o
método tradicional. A posterior as duas turmas foram submetidas a um pós-teste, constituído
pelas mesmas questões aplicadas no pré-teste. O resultado mostra que na turma experimental
houve uma melhoria significativa no nível de acertos no pós-teste da turma experimental
comparativamente à turma de controlo. Conclui-se então, que o uso do ábaco dos números
inteiros para abordagem de números inteiros relativos é eficiente comparativamente ao método
tradicional usado com maior frequência na Escola Secundária 25 de Junho de Massinga.
Palavras-Chave: Ábaco, Multiplicação, Ensino e Aprendizagem.

ix
Abstract
The research aims to study the teaching-learning methodologies for the approach of relative
integers in grade 8 using the abacus of relative integers. It was developed at the Massinga 25th
of
June Secondary School, with 23 8th grade students from two classes, one of control and the other
experimental. The two classes were initially submitted to a pre-test, then there was a didactic
intervention where in the experimental class the proposed new methodology was applied and in
the control class the traditional method was used. Afterwards, the two groups were submitted to
a post-test, consisting of the same questions applied in the pre-test. The result shows that in the
experimental class there was a significant improvement in the level of correct answers in the
post-test of the experimental class compared to the control class. It is concluded then, that the use
of the whole number abacus to approach relative whole numbers is efficient compared to the
traditional method used more frequently in Massinga 25th
of June Secondary School.
Keywords: Abacus, Multiplication, Teaching and Learning.

10
CAPÍTULO I: INTRODUÇÃO
1.0. Introdução
Esta pesquisa tem em vista estudar o impacto do uso do ábaco na multiplicação de números
relativos no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
De acordo com Edukavita (2012) a multiplicação dos números relativos com o uso do ábaco dos
inteiros é um método que consiste no cálculo que usa contas que deslizam ao longo de duas
hastes de madeira ou seja o uso de material concreto para o incremento do processo de ensino e
aprendizagem da Matemática.
Segundo Neto, Fonseca, Ribeiro e Gomes (2016, p.284) “o ábaco dos inteiros é constituído por
duas hastes, uma para os números positivos e outra para os números negativos.”
O ábaco é um instrumento que serve de auxílio em muitas áreas da Matemática, o que leva a ser
uma ferramenta de grande utilidade para os alunos assim como do professor, surgindo um dilema
da inibição do uso da máquina calculadora na sala de aula por parte dos professores pensando-se
que irá atrasar o processo de ensino e aprendizagem, dificultando assim uma melhor percepção
da matéria, portanto o ábaco vem para mostrar o seu potencial no processo de ensino e
aprendizagem, (Lorente, s/d).
Partindo desta abordagem a autora tem em vista investigar sobre a operação de multiplicação de
números relativos, sua aplicação, nas classes onde são leccionados esses conteúdos e com isso
procurar comparar os métodos de ensino indicados pelo Ministério da Educação e
Desenvolvimento Humano e suas respectivas limitações com o uso do ábaco dos inteiros
buscando explorar as suas potencialidades com vista a propor esta metodologia de ensino da
multiplicação dos números inteiros relativos.
A pesquisa é composta por 6 capítulos, nomeadamente, Capitulo I: Introdução; Capítulo II:
Fundamentação Teórica; Capítulo III: Metodologias da Pesquisa; Capítulo IV: Resultados e
discussão da pesquisa; Capítulo V։ Conclusão.

11
1.1.Problematização
A necessidade de uma proposta alternativa foi motivada pelas dificuldades reveladas pelos
alunos quando o domínio da operação de multiplicação se alarga aos números inteiros relativos,
constatação feita durante estágio pedagógico.
Segundo Viegas e Serra (2015, p.196), “estudos em Educação Matemática têm descrito
dificuldades de professores na utilização de algoritmos no ensino de aritmética nas classes
iniciais, dificuldades que provocam questionamentos quanto à qualidade da formação teórico-
prática oferecida para a docência nessa área”.
De acordo Martins, Farias e Rezende (2015, p.2) para os alunos a multiplicação de números
inteiros relativos é ainda uma grande dificuldade devido a fraca capacidade de memorização com
que o aluno tem com os sinais de posição e de operação, tornando-se preguiçoso e não buscando
aprender, deixando de desenvolver mentalmente operações simples ou ainda deixando de
aprender a realizar manualmente operações de multiplicação de números inteiros relativos.
Portanto, de acordo com Santos, França e Santos (2007), a concepção de que a matemática é de
difícil percepção é ainda incutida até hoje pelos alunos, facto este condicionado pelos professores
de Matemática que nas suas aulas não introduzem o uso do ábaco e outros materiais didácticos,
negando assim o crescimento dinâmico das ferramentas pedagógicas existentes no mundo actual
e isso contribuindo para um fraco desempenho do processo de ensino e aprendizagem do aluno.
De acordo com Martini (2010, p.17) as dificuldades no processo de ensino e aprendizagem dos
números inteiros estão relacionadas com a “diferenciação do sinal das operações do sinal dos
números; resolução das operações de adição e subtracção com inteiros; dificuldade em
representar os problemas práticos através da escrita; dificuldade para comparar os números
inteiros e dificuldade em interpretar problemas”.
Um estudo feito por Glaeser (1985) levanta as seguintes dificuldades na abordagem com os
números inteiros:
a) Incapacidade para manipular quantidades isoladas.
b) Dificuldade em dar um sentido a quantidades negativas isoladas.
c) Dificuldade em unificar a recta numérica. Isto se manifesta, por exemplo, quando
se insiste nas diferenças qualitativas entre as quantidades negativas e os números

12
positivos; ou quando se descreve a recta como uma justaposição de duas semi-rectas
opostas com sinais heterogéneos;
d) A ambiguidade dos dois zeros. (GLAESER, 1985, p.5)
Portanto, pode-se verificar com base neste autor que as dificuldades de compreensão do conjunto
dos números inteiros assim como as operações não são de hoje. Este e outros factores são
importantes para que o professor olhe para o processo de ensino numa outra vertente, isto é,
procurar desenvolver estratégias de ensino e aprendizagem que possam possibilitar o aluno a
compreensão das operações em Z.

13
1.2. Objectivos
1.2.1. Geral
Estudar o impacto do uso do ábaco dos números inteiros na multiplicação de números inteiros
relativos.
1.2.2.Específicos
 Descrever as dificuldades dos alunos na multiplicação dos números inteiros
relativos;
 Desenhar estratégia de superação das dificuldades da multiplicação dos números
inteiros relativos usando ábaco
 Avaliar o impacto do uso do ábaco na sala de aulas para o ensino de multiplicação
dos números inteiros relativos.
1.3 Questões de pesquisa
Para responder os objectivos específicos acima, foram definidas as seguintes questões de
pesquisa:
1) Que tipo de dificuldades os alunos da 8ª classe da Escola Secundária 25 de Junho
de Massinga possuem na multiplicação de números inteiros relativos?
2) De que modo a estratégia do uso de ábaco dos números inteiros relativos pode
proporcionar uma aprendizagem significativa nos alunos?
3) Qual é a eficiência da proposta elaborada na sala de aulas?

14
1.4. Justificava
Apesar de existirem muitas pesquisas sobre o ábaco como metodologia didáctica no processo de
ensino e aprendizagem, em Moçambique são poucas ou não existem publicações sobre este
material didáctico.
Como estudante que está se formando na área de ensino de Matemática, a autora percebe a
necessidade de desenvolver metodologias activas que possam possibilitar um processo de ensino
e aprendizagem significativa através de materiais manipuláveis (ábaco dos inteiros).
O estudo dos números inteiros relativos não poderá, no entanto, restringir-se apenas nas
ideias intuitivas que os alunos já têm sobre os números inteiros, mas incorporar situações
que permitam a compreensão das regras do cálculo. (Silva & Conti, 2016, p.75).
É importante referir ainda que desenvolver esta pesquisa, vai trazer uma imagem mais
aproximada sobre as dificuldades de multiplicação que os alunos enfrentam no processo de
ensino e aprendizagem.
Com o estudo, pode se afirmar que a comunidade académica passará a contar com mais um
documento de utilidade que ajude na compreensão das estratégias de superação de dificuldades
na multiplicação de números inteiros relativos.
Segundo Tabile e Jacometo (2017) este projecto de pesquisa faz parte da actualidade, pois, o
aluno vive numa dinâmica comercial e económica, no qual são usados conhecimentos sobre
multiplicação de números inteiros para resolver diversos problemas e, de alguma maneira deve-
se traçar novos paradigmas educacionais no que diz respeito aos métodos e técnicas adoptados
para o ensino da multiplicação dos números inteiros relativos.

15
1.5. Delimitação do Tema
O tema enquadra-se no SNE, na disciplina de Matemática, 8ª classe na aprendizagem da
multiplicação dos números inteiros relativos que se introduzem no I Trimestre. O distrito de
Massinga é um distrito situado na parte central da província de Inhambane, em Moçambique. A
sua sede é a vila de Massinga. Tem limites geográficos, a norte com os distritos de Vilanculos e
Inhassoro, a leste com o Oceano Índico, a sul com o distrito de Morrumbene e a Oeste com o
distrito de Funhalouro.

16
CAPÍTULO II: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.0. Fundamentação Teórica
2.1.Teorias Construtivistas do Ensino e Aprendizagem da Matemática
Tenório (1997) afirma que o conhecimento é algo que se adquire, por este motivo, a transmissão
do conhecimento é vista como processo privilegiado para a aprendizagem.
O construtivismo, ou aprendizado ocorre não pelo registo (aquisição) da informação
(conhecimento), mas pela interpretação da informação (construção do significado); o
aprendizado é activo e se dá pela construção das estruturas cognitivas, efectuada através
da transformação das estruturas anteriores na sua actuação sobre o meio, (Tenório, 1997,
p. 119-120).
Nas subsecções a seguir fará uma descrição das implicações pedagógicas da perspectiva de
Piaget, Ausubel e Vygostky.
2.1.1.Implicações Pedagógicas da Perspectiva Piaget
A implicação pedagógica que mais se destaca da teoria Piaget é a de que o desenvolvimento
cognitivo depende da acção, em qualquer dos estádios (Ferrari, 2014).
Segundo Coelho (2005, p.11) “para aprender, as crianças precisam de ocupar-se com actividades
apropriadas. Note-se bem a expressão “actividades apropriadas”, devendo entender-se a mesma
no contexto estrutural de cada estádio de desenvolvimento cognitivo”.
Avaliando a capacidade de resolver problemas relacionados com a multiplicação de números
inteiros relativos confrontados com as ideias de Piaget (1994, p.12) da Teoria da Equilibração
podemos afirmar que o estudante pode ser mais capaz de resolver os problemas propostos se ele
consegue passar para a etapa da Equilibração com mais rapidez e segurança, o que depende das
seguintes etapas: Assimilação (capacidade de comparar com o que já conhece) e a Acomodação
(capacidade de assumir o novo conceito ou situação proposta modificando o que já conhece o
que já lhe é familiar).

17
2.1.2. Implicações Pedagógicas na Perspectiva de Ausubel
De acordo com Vilanculo, Mutimucuio e Silva (2020:4) “David Paul Ausubel foi um psicólogo
norte-americano que se ocupou com estudos dos processos de aprendizagem. Desenvolveu uma
teoria que ficou conhecida como a Teoria de Aprendizagem Significativa de Ausubel”.
Ausubel (1982:98) considera que a aprendizagem depende da capacidade de dar significado ao
que se aprende. Para ele, os novos conhecimentos adquiridos devem relacionar-se com o
conhecimento prévio do estudante, exigindo do professor criatividade para apresentar os assuntos
aos estudantes em todas as etapas, inclusive na elaboração e proposição de problemas a serem
resolvidos.
Para Vilanculo, Mutimucuio e Silva (2020):
Ausubel faz destaque ao conhecimento prévio como fundamental para que ocorra uma
Aprendizagem Significativa. De acordo com este psicólogo, o ensino deve-se centrar
naquilo que o aprendiz já sabe, em suas estruturas cognitivas prévias (subfunções), caso
contrário não haverá Aprendizagem Significativa, mas sim Aprendizagem Mecânica,
(Vilanculo, Mutimucuio e Silva, 2020, p.5).
2.1.3. Implicações Pedagógicas na Perspectiva de Vygotsky
Não se pode falar de aprendizagem na contemporaneidade sem tratar das ideias de Vygotsky.
Suas ideias mostram que o melhor ensino é o que estimula o estudante a atingir um nível de
conhecimento que ainda não domina completamente, instigando nela a “criação” de um novo
conhecimento (Ferrari, 2014).
Ensinar a alguém o que ela sabe não a motiva a seguir e ensinar algo que esteja além de sua
capacidade não renderá frutos.
De acordo com (Vygotsky, 1987, p.47) todo aprendizado pode ampliar o conhecimento do
estudante e que ensinar um novo conteúdo é mais do que possibilitar adquirir uma nova
habilidade ou um conjunto de informações, ampliando as estruturas cognitivas da criança (ou do
jovem/adulto).

18
2.2. Métodos Activos do Ensino e Aprendizagem da Matemática
Segundo Ponte (2002) professor assume um papel central nesta dinamização e adequação dos
métodos de ensino, pois é ele que tem a responsabilidade de adoptar este ou aquele método de
ensino e não se esgotar a si mesmo e à disciplina que lecciona no tradicional método expositivo
que tantas críticas levantam desde o movimento da matemática moderna, dos anos 60.
Importa apenas acrescentar, em relação aos métodos de ensino, que é necessário que todos os
actores educativos e, principalmente, os professores, se inteirem das directrizes psicológicas que
os podem suportar, para que estes sejam pensados da forma mais adequada ao desenvolvimento
cognitivo do aluno. Só assim se apresentarão com o potencial pretendido, (Albino, 2008).
2.3. Uso do Ábaco para a Multiplicação dos Números Inteiros
Segundo Rodrigues e Oliveira (2010) o ábaco é um instrumento de cálculo milenar muito
utilizado, principalmente na cultura oriental, como ferramenta no estudo de Matemática é o
ábaco. Em geral, é utilizado para estudar o sistema de numeração decimal e realizar operações
entre números naturais, mas também pode servir como ferramenta no estudo das operações de
multiplicação no conjunto dos números inteiros.
O ábaco de mesa com fichas soltas, segundo Fossa (2010), são os primeiros ábacos verdadeiros,
frequentemente denominados de “tabuleiros de contagem” ou couting boards. Constituído
basicamente de mesas ou pranchas de madeira com várias colunas verticais, cuja cada coluna
representa um agrupamento que geralmente está em potências de base dez. Por último o ábaco de
fichas presas no qual as argolas corriam sobre um fio ou madeira vertical, dividido em duas
partes por um pedaço de madeira, cujas contas eram feitas movimentando as argolas de um lado
para o outro, dependendo do número.
Segundo Coelho (2005) materiais manipuláveis e modelos de representação contribuem para a
integração dos processos na rede conceptual, isto é, para uma compreensão consistente. Além
disso, facilitam a comunicação, ao permitirem que os alunos falem de objectos concretos quando
explicam os seus raciocínios.
Apesar de todas as vantagens que já foram apontadas acerca dos materiais manipuláveis, Johnson
(1971) chama a atenção, porém, para os critérios a ter em conta na escolha ou construção destes

19
materiais: eles devem, entre outras coisas, ajudar o professor a comunicar as ideias e a promover
actividades de descoberta.

20
CAPÍTULO III: METODOLOGIA
3.0. Metodologia
Para a produção de qualquer trabalho científico, é necessário definir métodos para a sua melhor
concretização.
Neste contexto, esta pesquisa é suportada pelo tipo de pesquisa, pelas técnicas e instrumentos de
recolha de dados e técnicas de análise e interpretação de dados.
3.1 Classificação da pesquisa quanto à natureza
A presente pesquisa quanto a natureza é aplicada. De acordo com Geharldt e Silveira (2009,
p.37), uma pesquisa aplicada “objectiva gerar conhecimentos para aplicação prática, dirigidos à
soluções de problemas específicos”.
Logo, a pesquisa é aplicada uma vez que visa desenhar estratégias de ensino e aprendizagem na
multiplicação dos números inteiros relativos na 8ª classe da Escola Secundária 25 de Junho de
Massinga, e propor uma metodologia didáctica para superação de dificuldades enfrentadas pelos
alunos nesse conteúdo.
3.2 Classificação da pesquisa quanto à natureza do problema apresentado.
A presente pesquisa, quanto a natureza do problema apresentado é bibliográfica e de campo. De
acordo com Gil, (2002, p.44), a pesquisa é bibliográfica “quando é elaborada a partir de material
já publicado, constituído principalmente de livros, artigos de periódicos e actualmente com
material disponibilizado na Internet”.
E de acordo com mesmo autor a pesquisa de campo:
É desenvolvida por meio da observação directa das actividades do grupo estudado e de
entrevistas com informantes para captar suas informações e interpretações do que ocorre
no grupo. Esses procedimentos são geralmente conjugados com muitos outros tais como:
a análise de documentos, filmagem e fotografias (Gil, 2002, p.53).
Portanto, esta pesquisa foi desenvolvida com um grupo de 23 alunos da Escola Secundaria 25 de
Junho de Massinga, onde autora observou directamente o comportamento destes no processo de
ensino e aprendizagem da multiplicação de números inteiros relativos através da leccionação das
aulas.

21
3.3. Classificação da pesquisa quanto aos objectivos definidos
Esta pesquisa, quanto aos objectivos é exploratória. De acordo com Vilanculo, Mutimucuio e
Silva (2020, p.521), “as pesquisas exploratórias oferecem informações sobre o assunto, definem
os objectivos da pesquisa e orientam a formulação da hipótese”.
Para Silva e Menezes (2005, p.21), a pesquisa exploratória, “envolve levantamento bibliográfico;
entrevistas com pessoas que tiveram experiências práticas com o problema pesquisado; análise
de exemplos que estimulem a compreensão”.
A presente pesquisa baseou-se na revisão bibliográfica através de levantamento de literatura
sobre dificuldades dos alunos na aprendizagem da multiplicação dos números inteiros relativos e
uso de materiais manipuláveis para a superação destas dificuldades.
3.4. Classificação da pesquisa quanto ao tipo de dados.
Quanto ao tipo de dados, a pesquisa é quantitativa e qualitativa. De acordo com Zanella (2013,
p.35) a “pesquisa quantitativa é aquela que se caracteriza pelo emprego de instrumentos
estatísticos, tanto na colecta como no tratamento dos dados, e que tem como finalidade medir
relações entre as variáveis”. E segundo Silva e Menezes (2005, p.20), na pesquisa qualitativa “ o
ambiente natural é a fonte directa para colecta de dados e o pesquisador é o instrumento-chave”.
Portanto, esta pesquisa é qualitativa uma vez que a autora teve contacto directo com os alunos
através de intervenções didácticas. E é quantitativa na medida em que as respostas dos alunos
foram traduzidas em números e interpretadas através de instrumentos estatísticos como SPSS,
tabelas e gráficos.
3.5. Técnicas de recolha de dados
3.5.1. Observação
Nesta pesquisa, a técnica de recolha de dados utilizada é a observação. De acordo com Zanella
(2013, p.121), “ a observação é uma técnica que utiliza os sentidos para obter informações da
realidade”.
Portanto, durante a pesquisa recorreu-se a observação directa, a qual baseou-se na concentração e
atenção aos fenómenos a pesquisar, isto é, esta técnica assentou-se na assistência de aulas,
leccionação e durante a realização da operação de multiplicação de números inteiros relativos, na

22
8ª classe da Escola Secundaria 25 de Junho de Massinga, para analisar até que ponto os alunos
enfrentam dificuldades de assimilar os conteúdos de matemática.
3.5.2. Intervenção didáctica
Foram leccionadas durante duas semanas 6 aulas sobre multiplicação dos números inteiros
relativos sendo 3 com metodologias tradicionais na turma de controlo e outras 3 com
metodologias inovativas (ábaco dos inteiros) na turma experimental.
3.6. Instrumentos de recolha de dados
3.6.1 Questionário
Nesta pesquisa usou-se questionário como instrumento fundamental na recolha de dados. De
acordo com Zanella (2013, p.110) “o questionário é um instrumento de colecta de dados
constituído por uma série ordenada de perguntas descritivas, comportamentais e preferenciais”.
Portanto, para permitir colher mais informações do tema em estudo, usou-se numa primeira fase
(pré-teste), o qual foi aplicado a 23 alunos com a finalidade de se identificar as dificuldades que
os alunos enfrentam na multiplicação dos números inteiros relativos e decidir qual deve ser a
turma experimental e do controlo.
Finalmente, foi aplicado o mesmo pós-teste nas duas turmas para comparar o grau de
aproveitamento no método tradicional e no uso do material manipulável (ábaco dos inteiros).
De referir que tanto o pré-teste assim como pós-teste foram elaborados pela autora e aprovados
pelo supervisor da pesquisa.
3.7. Técnicas de análise e interpretação de dados
O processo de análise de dados é definido por Kerlinger (1980, p. 353) como “a categorização,
ordenação, manipulação e sumarização de dados”.
Tem por objectivo reduzir grandes quantidades de dados brutos a uma forma interpretável e
mensurável.
De cordo com Zanella (2013, p.123) “o método quantitativo de pesquisa utiliza o conhecimento
estatístico para duas finalidades: descrever e testar hipóteses”.
Para testar a eficiência do ábaco dos inteiros na multiplicação dos números inteiros na 8 classe,
foi usado o teste estatístico t de studant, designado por teste T. Foi aplicado o teste para

23
comparação de médias em amostras independentes no pré teste e pós-teste entre as duas turmas
e, também foi aplicado para comparar amostras emparelhadas entre o pré-teste e pós-teste nas
duas turmas com nível de confiança de 95%. Para tal, recorreu-se a uma ferramenta tecnológica
designada por SPSS.

24
CAPITULO IV: RESULTADOS E DISCUSSÃO DA PESQUISA
4.1. Descrição das dificuldades dos alunos na multiplicação de números inteiros relativos
1. Durante a leccionação foi possível constatar a ausência de domínio do conhecimento sobre a
ordenação do conjunto dos números inteiros, como pode-se constar no exemplo abaixo.
Figura 4.1:Dificuldades apresentadas na comparação dos números inteiros relativos
Fonte: Autora, 2021.
Este tipo de dificuldade coincide a identificada por Oliveira (2019) e Glaeser (1985).
2. Na multiplicação dos números inteiros relativos, os alunos tem dificuldades na colocação do
sinal do resultado final.
Figura4.2: Dificuldades na colocação do sinal do resultado final
Fonte: Autora, 2021
Este tipo de dificuldade, também foi identificado num estudo realizado por Oliveira (2019) com
22 licenciados e no estudo feito por Glaeser (1985), na abordagem dos números inteiros
relativos.

25
3. Além da dificuldade descrita acima, alunos apresentam também a dificuldade identificação do
sinal da operação de multiplicação.
Figura 4.3: Dificuldade na identificação do sinal da operação de multiplicação
Neste caso, tem dificuldades de identificar o sinal de operação. Por exemplo para as alíneas a),
b), d), e f) o aluno confunde a multiplicação com adição; e para a alínea c) confunde a
multiplicação com subtracção dos números inteiros.
Porém a autora desta pesquisa identificou uma nova dificuldade, no que concerne a identificação
do sinal de operação.
4. Outra dificuldade apresentada tem a ver com a identificação do conjunto dos números inteiros
relativos, isto é, os alunos em algum momento afirma que os números inteiros são apenas os
números negativos conforme pode-se ver na figura.
Figura 4.4: Dificuldades na identificação do conjunto dos números inteiros relativos
Este tipo de dificuldade coincide a identificada por Oliveira (2019) e Glaeser (1985).
4.2 Estratégia didáctica para multiplicação de números inteiros relativos
Para a superação de dificuldades que os alunos apresentam na multiplicação de números inteiros,
a autora apresenta a seguir um plano de aula com descrição da aula usando o ábaco dos números
inteiros na operação de multiplicação com este conjunto.

26
Plano de Aula
Escola Secundária 25 de Junho de Massinga Disciplina: Matemática
Classe: 8ª Turma: Experimental Duração: 50 minutos
Objectivos:
No fim da aula o aluno deve ser capaz de:
 Multiplicar números inteiros usando o ábaco;
 Implementar o ábaco dos inteiros para multiplicação dos números inteiros
relativos.
Unidade temática: Números Racionais
Tema: Multiplicação de números inteiros relativos usando o “ábaco dos inteiros”.
Função
didáctica
Te
mp
o
Conteúd
o
Actividades Material
didáctic
o
Método
de
ensino
Professor Aluno
Introduçã
o e
motivação
7’ Controlo
da turma
e canção
relaciona
da com a
aula
- Faz controlo do efectivo
-Orienta a uma canção
sobre multiplicação de
números inteiros;
-Escrever o tema no quadro
-Escuta a chamada
-Canta com
orientação do
professor
-Observa e copia o
tema no caderno
Giz,
quadro,
apagador
Elaboraç
ão
conjunta

27
Mediação
e
assimilaçã
o
18’ Multiplic
ação de
números
inteiros
relativos
usando o
“ábaco
dos
inteiros”
-Apresenta o ábaco dos
inteiro;
-Explica como utilizar o
ábaco dos inteiros
-Explica exemplificando
como o ábaco dos números
inteiros na multiplicação de
números inteiros com os
seguintes exercícios do
livro do aluno
a)( ) ( ) +6
b) ( ) ( ) -8
c) ( ) ( ) -9
d) ( ) ( ) +6
- Observa o
material didáctico
manipulável
- Acompanha a
explicação do
professor
-Resolve os
exercícios usando
material didáctico
manipulável com
orientação do
professor
Ábaco e
livro do
aluno
Elaboraç
ão
conjunta
Domínio
e
consolida
ção
15’
Exercício
s
2-Multiplique usando o
abaco
a) ( ) ( )=-8
b) ( ) ( )=+10
c)( ) ( )=+12
d)( ) ( )=-6
-Resolve o
exercício com
recurso ao
material didáctico
manipulável
Ábaco Elaboraç
ão
conjunta
Controlo
e
avaliação
10’ Resoluçã
o do
exercício
e
marcação
do TPC
-Orienta a resolução do
exercício
-Ajuda os alunos com
dificuldades
-Marca TPC “ Exercícios
propostos no livro”.
-Apresenta a
resolução
explicando como
foi obtido o
resultado usando o
material didáctico
manipulável
-Regista TPC
Ábaco e
livro do
aluno
Elaboraç
ão
conjunta
e
trabalho
indepen
dente

28
4.2.1 Análise Comparativa do Plano Proposto e Plano Usado na Escola
Tabela 4.1: Análise Comparativa do Plano Proposto e Plano Usado na Escola
Plano usado na escola (Tradicional) Plano proposto (Ábaco)
Está mais virado para cálculos abstractos
sem significado para o aluno.
Leva o aluno a compreender, e interpretar e a
dar significado tudo o que aprende. Neste caso
ocorre a aprendizagem significativa. (Ausubel,
1982).
É mais sintético e breve Levar muito tempo pelo facto de conceder
oportunidade para cada aluno expressar suas
ideias e interagir com o material manipulativo.
Neste caso, o aluno aprende melhor com
objectos concretos (Piaget,1994)
Só existe um meio para se chegar à solução Existem diversas formas de manipular o ábaco
para chegar a um determinado resultado.
O professor é o centro do conhecimento O professor é apenas um mediador. Neste caso,
ensinar um novo conteúdo é mais do que
possibilitar adquirir uma nova habilidade ou
um conjunto de informações (Vygostky,1987).
4.2.2 Discussão da estratégia didáctica proposta
De acordo com Ausubel (1982) a aprendizagem depende da capacidade de dar significado ao que
se aprende. Para ele, os novos conhecimentos adquiridos devem relacionar-se com o
conhecimento prévio do estudante, exigindo do professor criatividade para apresentar os assuntos
aos estudantes em todas as etapas, inclusive na elaboração e proposição de problemas a serem
resolvidos.
Portanto, com a estratégia proposta pela autora, o aluno tem possibilidade de dar significado aos
conceitos que aprende sobre a multiplicação de números inteiros relativos, na medida em que o
ábaco dos inteiros permite compreender o significado da conjugação de sinais.

29
4.3 Resultados da avaliação do impacto da estratégia usada na sala de aulas
4.3.1. Resultados de pós-teste na turma de controlo
Na turma de controlo, foram leccionadas três aulas com metodologias tradicionais. Depois da
intervenção didáctica os alunos foram submetidos a um pós-teste para avaliar o nível de
aprendizagem da multiplicação de números inteiros relativos.
Figura 4.5: Gráfico dos resultados de pós-teste na turma de controlo
Conforme pode se observar na figura anterior, mesmo após a leccionação, cerca de 8 alunos o
que equivale a 71,72% ainda permanecem com as dificuldades na operação de multiplicação com
números inteiros relativos. Portanto, apenas 3 alunos equivalentes a 29,28% conseguiram ter
positivas no pós-teste.
4.3.2.Resultados de pós-teste na turma de experimental
A semelhança da turma de controlo, na turma experimental também forma leccionadas três aulas,
porém, usando metodologias inovativas, neste caso o ábaco dos inteiros. Depois das aulas foi
aplicado um pós-teste com objectivo de avaliar o nível de assimilação da multiplicação dos
números inteiros relativos.

30
Figura 4.6: Gráfico dos resultados de pós-teste na turma experimental
Na figura anterior, observa-se que com o uso de ábaco foi possível suprir uma quantidade
significativa das dificuldades que os alunos têm quanto à multiplicação dos números inteiros
relativos. Pode ser ver no entanto que dos 12 alunos que compunham a turma 75% (9 alunos)
conseguiram um bom aproveitamento e apenas 25% (3 alunos) tiveram negativas.
Figura 4.7: No lado esquerdo aluno manipulando o ábaco dos inteiros e do direito a autora ensinando o ábaco na
sala de aulas.
4.3 Análise da eficiência das estratégias usadas nas turmas de controlo e experimental
Nesta secção, será feita a análise dos materiais produzidos, dificuldades identificadas na
multiplicação dos números inteiros, leccionação das aulas e por fim a análise dos resultados
através do teste T de Student com nível de significância de 5%. Para aplicar-se o teste T, as
amostras devem seguir uma distribuição normal, portanto, aplicou-se o teste de normalidade de
Shapiro-Wilk.

31
4.3.1 Teste de normalidade
Tabela 4.2: Teste de Normalidade de Shapiro-Wilk
Shapiro-Wilk
Estatística Df Sig.
Pré teste na turma de controlo 0.944 10 0.600
Pós teste na turma de controlo 0.971 10 0.903
Pré teste na turma
experimental
0.850 10 0.058
Pós teste na turma
experimental
0.883 10 0.142
Já que o valor de sig. é maior que 0,05 para todos casos, pode-se assumir que as amostras
seguem uma distribuição normal.
4.3.2. Comparação de pré-teste e pós-teste na turma de controlo
1º Passo: Determinação das hipóteses do teste
H0: – Não houve melhorias na média das classificações do pós-teste e pré-teste;
Ha: – Houve melhoria na média das classificações do pós-teste
2º Passo: Regra de rejeição
Rejeitar a hipótese nula se o (teste unilateral) for menor que 0,05.

32
3º Passo: Determinação da estatística do teste.
Tabela 4.3: Teste T para amostras emparelhadas (turma de controlo)
Por tratar-se de um teste unilateral, compara-se o valor de
com (nível de significância).
Como não rejeita-se a hipótese nula. Assim, mesmo após a
leccionação não houve melhorias na média das classificações do pós-teste e pré-teste na turma de
controlo. Podendo-se afirmar também que não ocorreu aprendizagem significativa.
4.3.3. Comparação de pré-teste e pós-teste na turma experimental
H0: – Não houve melhorias na média das classificações do pós-teste e pré-teste;
Ha: – Houve melhoria na média das classificações do pós-teste
Rejeitar a hipótese nula se o (teste unilateral) for menor que 0,05.
Diferenças emparelhadas T Df Sig. (2
extremid
ades)
Média Desvio
padrão
Erro
padrão
da
média
95% Intervalo de
confiança da
diferença
Inferior Superior
Par
1
Pré teste na
turma de
controlo - Pôs
teste na turma de
controlo
-
1.10000
3.17805 1.00499 -3.37344 1.17344
-
1.095
9 0.302

33
Tabela 4.4: Teste T para amostras emparelhadas (turma experimental)
Por tratar-se de um teste unilateral, compara-se o valor de
com (nível de significância).
Como há evidência estatística para aceitar a hipótese de que a média
de classificação no pós-teste é maior. Logo, houve aprendizagem significativa na turma
experimental.
4.3.4. Comparação de pós-teste das duas turmas
Ho: – não houve diferença nos resultados do pós-teste nas duas turmas: turma de controlo
( ) e turma experimental ( );
Ha: – houve diferença nos resultados do pós-teste nas duas turmas.
Rejeitar a hipótese nula se o for menor que 0,05 (nível de significância);
Diferenças emparelhadas t Df Sig. (2
extrem
idades)
Média Desvio
padrão
Erro
padrão
da
média
95% Intervalo
de confiança da
diferença
Inferior Superi
or
Par 1
Pré teste na
turma
experimental -
Pós teste na
turma
experimental
-
3.54545
3.93354
1.1860
1
-
6.18804
-
.90287
-2.989 10 0.014

34
Tabela 4.5: Teste T para amostras independentes (turma de controlo e turma experimental)
Teste de
Levene para
igualdade de
variações
teste t para Igualdade de Médias
F Sig. t Df Sig. (2
extre
midad
es)
Difere
nça
média
Erro
padrão
de
difere
nça
95%
Intervalo de
confiança da
diferença
Inferi
or
Superi
or
Notas do posteste
das duas turmas
Variações iguais
assumidas
0.015 .902 -3.943 21 .001
-
5.522
73
1.400
62
-
8.435
48
-
2.6099
8
Variações iguais
não assumidas
-3.953
20.97
2
.001
-
5.522
73
1.397
15
-
8.428
50
-
2.6169
5
Por tratar-se de um teste bilateral, compara-se directamente o valor de com
(nível de significância). Como rejeita-se H0.
Assim, há evidência estatística para rejeitar a hipótese de que a média de classificação nas duas
turmas é igual, sendo assim, pela contradição, o teste mostra melhoria da média de classificação
na turma experimental. Logo, pode se inferir que houve aprendizagem significativa na turma
experimental com aplicação do ábaco.

35
CAPITULOV: CONCLUSÃO DA PESQUISA
5. Conclusão da Pesquisa
Após a pesquisa, foi possível concluir que as dificuldades apresentadas com maior frequência
pelos alunos da Escola Secundaria 25 de Junho de Massinga devido a má interpretação e
domínio do conjunto dos números inteiros relativos. Estão relacionadas com não saber:
a) Comparar os números inteiros relativos
b) Colocar o sinal do resultado final
c) Identificar a operação da multiplicação
d) Identificar o conjunto dos números inteiros relativos
Igualmente, pode se concluir que o uso do material manipulável (ábaco) dos inteiros contribuiu
positivamente na medida em que os alunos compreendiam o significado da conjugação do sinal,
o que ajudou na eliminação de dificuldades que os alunos traziam das aulas anteriores, isso
ajudou na motivação dos alunos que contribuíam com ideais.
Com o efeito da proposta elaborada na sala de aula os alunos tinham possibilidade de dar
significado aos conceitos que aprendiam sobre a multiplicação de números inteiros relativos.

36
6. Referências Bibliográficas
Albino G.M. (2008). Estatística: Técnicas de Amostragem, São Paulo.
Ausubel. D. G. (1982). Aprendizagem Significativa. São Paulo: Ática.
Coelho, M. P. F. (2005). A multiplicação de números inteiros relativos no “ábaco dos inteiros”:
uma investigação com alunos do 7.º ano de escolaridade. Dissertação de Mestrado. Braga:
Universidade do Minho.
Edukavita. (2012). Ábaco - Definição, Conceito, Significado, o Que é Ábaco. Wiki Culturama.
Disponível em: https://edukavita.blogspot.com/2012/10/conceito-de-abaco.html, Aceso em
23 de Nov. 2020.
Ferrari, F. M. (2014). Desenvolvimento cognitivo: as implicações das teorias de Vygotsky e
Piaget no processo de ensino aprendizagem. Medianeira. Disponível em:<
http://repositorio.roca.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/4808/1/MD_EDUMTE_VII_2014_34.
pdf >. Acesso em: 04 de Jun. de 2020.
Fossa, N. J. (2010). Produção do Conhecimento e Interdisciplinaridade. Educação e Realidade.
Porto Alegre, n.2, pg.73-82.
Gerhaldt, T. E. & Silveira, D. T. (2009). Métodos de Pesquisa. Editora, Universidade Federal do
Grande Rio Sul, Brasil.
Gil, A. C. (2002). Como elaborar projetos de pesquisa. 4. ed. São Paulo: Atlas.
Gil, A. C. (2008). Como elaborar projectos de pesquisa. 4ª ed. São Paulo: Atlas.
Glaeser, G. (1985). Epistemologia dos números relativos. Boletim GEPEM, nº17, p. 29- 124.
Glaeser, G. (1985). Epistemologia dos números relativos. Boletim GEPEM, nº17, p. 29- 124.
Johnson, D. A. (1971). Why Use Instructional Materials in the Mathematics Classroom? In
Douglas B. Aichele& Robert E. Reys (Eds.). Readings in Secondary School Mathematics
(pp. 349-351). London; Prindle, Webwr & Schmidt.
Kerlinger, F. N.( 1980). Metodologia da pesquisa em ciências sociais. São.Leonardo, N. S. T. &
Silva, V. G. da. (2013). A relação entre aprendizagem e desenvolvimento na compreensão
de professores do Ensino Fundamental. Psicol. Esc. Educ., Maringá , (17)2, p. 309-317.
Disponível em <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1413-
85572013000200013&lng=en&nrm=iso>. Acesso em: 23 de Nov. 2020.

37
Lorente, F. (s/d). Utilizando a calculadora nas aulas de Matemática. Disponível em:
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/371-4.pdf Acesso em: 26 Set.
2020.
Martini, G. (2010). Estratégias de trabalho para a aprendizagem de operações com números
inteiros. Monografia Científica. Faculdade de Matemática de Porto Alegre, Universidade
Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre.
Martins, E., Farias, D. M. & Rezende, W. M. (2015). Compreendendo os números inteiros e suas
operações. (6). Disponível em:
https://www.ufjf.br/emem/files/2015/10/COMPREENDENDO-OS-N%c3%9aMEROS-
INTEIROS-E-SUAS-OPERA%c3%87%c3%95ES.pdf em: 19 de Set. de 2020.
Neto, G. B. M., Fonseca, R. T., Ribeiro, V. A. & Gomes, A. A. M. (2016). Utilização do Ábaco
no Ensino da Matemática. V Seminário da Pós-Graduação em Educação para Ciências e
Matemática, Jataí.
Oliverira, R. G. de. (2019). Uma referência para a elaboração de saberes docentes a partir da
observação e da reflexão de dificuldades e de erros sobre números inteiros
relativos. Revista de Ensino de Ciências e Matemática, (10) 5, p. 318-332.
Pelizzari, A., Kriegl, M. De L., Baron, M. P., Finck, N. T. L. & Dorocinski, S. I. (2002). Teoria
da aprendizagem significativa segundo Ausubel. Revista PEC, , (2)1, p.37-42. Curitiba.
Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/0000012381.pdf,
Acesso em: 27 de Nov. de 2020.
Piaget, J. (1994). O diálogo com a criança e o desenvolvimento do raciocínio. São Paulo:
Scipione.
Piaget, J. (1994). O juízo moral na criança. Tradução Elzon L. 2ª Ed. São Paulo: Summus.
Ponte, J. P. (2002). Continuidade e mudança no papel do professor. Educação e Matemática,
(69), p.61-64.
Rodrigues, L. R. & Oliveira, T. O. (2010). Operando Números Inteiros com o Ábaco. 2010.
Disponível em: www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/.../operandonumeros.pdf, Acesso em 23
de Out. de 2020.
Santos, J. A., França, K. V. & Santos, L. S. B. (2007). Dificuldades na Aprendizagem de
Matemática. Trabalho de Conclusão de Curso – Centro Universitário Adventista de São
Paulo (UNASP). São Paulo.
Silva, E. G. I. da. & Conti, K. C. (2016). O ábaco dos inteiros: auxílio aos estudantes na
compreensão dos números negativos e suas operações. Revista Electrónica de matemática,
(11)1, p.74-83. Florianópolis. Disponível em:
https://periodicos.ufsc.br/index.php/revemat/article/view/1981-1322.2016v11n1p74/32129.
Acesso em: 24 de Out. de 2020.

38
Silva, E. L. & Menezes, E. M. (2005). Metodologia da pesquisa e elaboração de dissertação. 4.
ed. Florianópolis.
Tabile, A. F. & Jacometo, M. C. D. (2017). Factores influenciadores no processo de
aprendizagem: um estudo de caso. Revista Psicopedagogia, (34)103, p.75-86. São Paulo.
Disponível em <http://pepsic.bvsalud.org/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103
84862017000100008&lng=pt&nrm=iso>. Acesso: em 03 dez. 2020.
Tenório, R.M. (1997.Construtivismo, sociedade e história no ensino da matemática. Rev.
Sitientibus, n.17, p.117-127.
Viegas, E. R. S. & Serra, H. (2015). Usando algoritmos e ábaco no estudo do sistema de
numeração decimal em um curso de Pedagogia. Revista Electrónica de Educação, (9), p.
196-210. Disponível em:
http://www.reveduc.ufscar.br/index.php/reveduc/article/viewFile/987/388. Acesso em: 31
Out. 2020.
Vilanculo, J. A., Mutimucuio, I. V. & Silva, C. S. (2020). Avaliação da Influência das
Concepções Alternativas no Ensino e Aprendizagem da Física: Um Estudo de Caso em
Moçambique. Revista Rede Amazônica Educação em Ciências, Cuiaba, 8(3), p. 515-532.
Vilanculo, J. A., Mutimucuio, I. V. & Silva, Carlos Santos.
Metodologias activas para ensino e aprendizagem da física: Caso de estudo da formulação
dos conceitos de calor e temperatura. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do
Conhecimento. ano 05, ed.09, v. 07, pp. 84-107, Set. 2020. ISSN: 2448-0959, Disponível
em : https://www.nucleodoconhecimento.com.br/educacao/calor-e-temperatura, Acesso em
16 de Out. 2020.
Vygotsky, L.S. ( 1987).Pensamento e linguagem. 1ª Ed, São Paulo: Martins Fontes.
Zanella, L. C. .H. (2013) Metodologia de Pesquisa. 2ª ed., Florianópolis: Departamento de
Ciências da Administração.

Monografia Candida Finalll-1.pdf

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Monografia Candida Finalll-1.pdf

Semelhante a Monografia Candida Finalll-1.pdf (20)

Último

Último (20)

Monografia Candida Finalll-1.pdf