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Controle Estatístico de Qualidade
Capítulo 5
(montgomery)

Gráficos de Controle para Variáveis
Relembrando
– Dois objetivos do CEP:
Manter o processo operando em condição estável durante maior
parte do tempo;
Reduzir a sua variabilidade
– As Cartas de Controle (introduzidas por Shewhart na década
de 20) são ferramentas para alcançar tais objetivos.
– Além disso, o uso de cartas de controle facilita:
Reconhecer desvios em relação ao comportamento normal;
Identificação de oportunidades de melhoria;
Verificação da eficácia das ações tomadas com o intuito de
corrigir esses desvios.

Introdução
– No contexto do Controle de Qualidade, uma
característica da qualidade que é medida em uma
escala numérica é chamada variável.
Ex: Tamanho, Largura, Temperatura, Volume, etc;
– Os gráficos e R foram desenvolvidos por
Shewhart para monitorar a média e a variabilidade
de variáveis numéricas.
– Posteriormente, serão introduzidas algumas
variações destes gráficos.
X

Base Estatística dos Gráficos e R
– Suponha que a característica de interesse, X, é
normalmente distribuída com média µ e desvio
X
normalmente distribuída com média µ e desvio
padrão σ, conhecidos;
– Seja x1, ..., xn uma amostra de tamanho n, então a
média amostral é dada por
– Também sabemos que é normalmente distribuído
com média µ e desvio padrão σ/√n
n
x
x
n
i i
∑=
= 1
x

– Além disso, há uma probabilidade de 1-α de
qualquer média amostral cair entre
X
qualquer média amostral cair entre
– Assim, se µ e σ são conhecidos, podemos usar a
expressão acima para obter os LIC e LSC em um
gráfico de controle para média amostral.
– Vimos também que é comum utilizar Zα/2 = 3.
n
Z
σ
µ α
2
±

– Se uma média amostral cair fora desses limites,
X
– Se uma média amostral cair fora desses limites,
isso é uma indicação que a média do processo não
é mais igual a µ.
– Vale ressaltar que os resultados acima ainda
continuam aproximadamente corretos, mesmo na
hipótese de não-normalidade da variável X, devido
ao Teorema Central do Limite.

X
X
1 2 3 4 5 6 7 Amostra
n
/
3
LIC 0
0 σ
−
µ
=
0
LM µ
=
n
/
3
LSC 0
0 σ
+
µ
=

– No entanto, na prática µ
µ
µ
µ e σ
σ
σ
σ são desconhecidos e
X
precisam ser estimados a partir de amostras ou
subgrupos, coletados quando o processo estava
sob controle.
– Shewhart sugere a coleta de m subgrupos (20 a 25)
de tamanho n pequeno (4, 5, ou 6 cada),
objetivando a construção de subgrupos racionais
com baixo custo de amostragem.

Gráfico
– Sejam as médias de cada uma das
amostras, em m subgrupos. Então, o melhor
X
m
x
x
x ,
,
, 2
1 K
amostras, em m subgrupos. Então, o melhor
estimador para média do processo (µ
µ
µ
µ) é dado por
– onde, é a média amostral do i-ésimo subgrupo.
– Logo, deverá ser usado como a linha central do
gráfico
m
x
x
m
i i
∑=
= 1
x
X
i
x

Gráfico
– Para construir os limites de controle, precisamos de
um estimador para σ
σ
σ
σ
X
um estimador para σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ pode ser estimado pelos desvios-padrões ou pelas
amplitudes das m amostras;
– No momento, vamos optar pelas amplitudes. Defina
a amplitude de uma amostra por
R = xmax - xmin
– Seja as amplitudes das m amostras,
temos que a amplitude média é dada por
– .
m
R
R
R ,
,
, 2
1 K
m
R
R
m
i i
∑=
= 1

Gráfico
– Apresentamos a seguir as expressões para construção dos
limites de controle para o gráfico
X
X
limites de controle para o gráfico
A constante A2 encontra-se no Apêndice VI do livro:
Introd. ao Controle de Qualidade - Montgomery (4ª Ed.)
X
R
A
x
LIC
x
LM
R
A
x
LSC
2
2
−
=
=
+
=

Gráfico R
– A variabilidade do processo pode ser monitorada através das
amplitudes amostrais R, em um gráfico de controle:
amplitudes amostrais R, em um gráfico de controle:
– Lembrando que o estimador não viesado para σ é dado por
As constantes D3 e D4 encontram-se no Apêndice VI do livro:
R
D
LIC
R
LM
R
D
LSC
3
4
=
=
=
2
ˆ
d
R
=
σ

Limites de Controle Tentativos
– Quando amostras preliminares são usadas para a
construção dos gráficos, é comum tratar os limites
de controles obtidos como limites de controle
tentativos.
– Se todos os pontos caem dentro dos limites de
controle e não se observa nenhum comportamento
sistemático, conclui-se que o processo estava sob
controle no passado e que os limites tentativos
são apropriados

Limites de Controle Tentativos
– Caso algum ponto se configure fora de controle
quando comparado com os limites tentativos,
quando comparado com os limites tentativos,
torna-se necessária uma revisão de tais limites.
– Revisão
1. Identificar uma causa atribuível;
2. Se não for encontrada uma causa, eliminar o ponto
supondo que o mesmo provem de um processo fora de
controle ou
3. Não eliminar o ponto, caso ele não altere
significativamente os valores dos limites de controle.

Revisão dos Limites Tentativos e Linhas Centrais
– Em geral, todos os gráficos de controle
necessitam uma revisão periódica dos limites
necessitam uma revisão periódica dos limites
tentativos e linhas centrais
A cada: semana, mês, 25, 50 ou 100 amostras.
– Na revisão lembre-se de usar pelo menos 25
amostras ou subgrupos.

Desenvolvimento e Uso dos
Gráficos e R
– Na construção dos gráficos e R é aconselhável
iniciar com o gráfico R.
– Como os limites de controle do gráfico dependem
X
X
X
– Como os limites de controle do gráfico dependem
da variabilidade do processo, tais limites não serão
significativos no caso da variabilidade do processo
não estar sob controle.
– Dicas
O gráfico monitora a média da característica da
qualidade de um processo
O gráfico R monitora a variabilidade dessa característica.
Nunca tente interpretar o gráfico quando o gráfico R
indicar alguma condição fora de controle
X
X
X

Gráficos e R
Exemplo
– Anéis de pistão para motores de automóveis são
X
– Anéis de pistão para motores de automóveis são
fabricados por um processo. Deseja-se estabelecer
um controle estatístico para o diâmetro interno dos
anéis.
– 25 amostras (m), cada uma de tamanho 5 (n),
foram extraídas quando o mesmo estava sob
controle.
– As medidas são exibidas a seguir

Gráficos e R
Exemplo – Anéis de Pistão
Construção do gráfico R
X
– A linha central do gráfico R é obtida por
onde Ri = xmax – xmin, i = 1, ..., m
– Para n = 5, obtemos do Apêndice VI os valores D3 =
0 e D4 = 2,115.
– Logo,
023
,
0
25
581
,
0
25
1
=
=
=
∑
=
m
R
R i
i
049
,
0
)
115
,
2
.(
023
,
0
0
)
0
.(
023
,
0
4
3
=
=
=
=
=
=
D
R
LSC
D
R
LIC

Gráficos e R
X
Nenhum ponto fora dos limites de controle
Nenhum padrão não aleatório foi identificado

Gráficos e R
Construção do gráfico
– Como o gráfico R indica que a variabilidade do
X
X
– Como o gráfico R indica que a variabilidade do
processo está sob controle, podemos agora
construir o gráfico
– A linha central do gráfico é obtida por
– Para n = 5, obtemos do Apêndice VI A2 = 0,577.
– Logo,
001
,
74
25
0294
,
1850
25
1
=
=
=
∑
=
m
x
x i
i
014
,
74
)
023
,
0
.(
577
,
0
001
,
74
988
,
73
)
023
,
0
.(
577
,
0
001
,
74
2
2
=
+
=
+
=
=
−
=
−
=
R
A
x
LSC
R
A
x
LIC
X

Gráficos e R
X
74.015
74.010
74.005
n
UCL=74.01444
Xbar Chart
25
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
74.005
74.000
73.995
73.990
Sample
Sample
Mean
_
_
X=74.00118
LCL=73.98791

Gráficos e R
– Conclusão
X
– Conclusão
Como ambos os gráficos exibem controle, podemos
concluir que o processo está sob controle nos níveis
estabelecidos e adotar os limites tentativos para um
controle estatístico on-line do processo

Estimando a Capacidade do Processo
Os gráficos de controle fornecem informação sobre o
desempenho do processo. Uma forma de expressar a capacidade
do processo é em termos da razão (ou índice) da capacidade do
processo (RCP) C , definida para uma característica da qualidade
processo (RCP) Cp, definida para uma característica da qualidade
com limites superior e inferior de especificação LSE e LIE como
em que
σ
ˆ
6
ˆ LIE
LSE
Cp
−
=
2
ˆ
d
R
=
σ

A RCP Cp pode ser interpretado de uma outra forma. A
quantidade
é simplesmente a percentagem da faixa de especificação usada
pelo sistema.
%
100
ˆ
1
ˆ








=
p
C
P

Os gráficos de controle pode ser usado para descrever a capacidade do processo
de produzir peças relativa as especificações. No exemplo dos pistões temos que
. = 74,001 mm. O desvio padrão pode ser estimado por
023
,
0
ˆ =
=
=
R
σ
x
Os limites de especificação para os anéis de pistão são 74 ± 0,05 mm. Supondo
que o diâmetro dos anéis de pistão seja uma variável aleatória normalmente
distribuída, com média 74,001 e desvio padrão 0,0099, podemos estimar a fração
de anéis não-conformes como
Isto é, cerca de 0,002% [20 partes por milhão (ppm)] dos anéis produzidos estará
fora das especificações.
00002
,
0
99998
,
0
1
0
)
04
,
4
(
1
)
15
,
5
(
0099
,
0
001
,
74
05
,
74
1
0099
,
0
001
,
74
95
,
73
)
05
,
74
(
)
95
,
73
(
)
( =
−
+
=
Φ
−
+
−
Φ
=





 −
Φ
−
+





 −
Φ
=

+

= X
P
X
P
NC
P
0099
,
0
326
,
2
023
,
0
ˆ
2
=
=
=
d
R
σ

Para o exemplo dos anéis, temos:
95
,
73
05
,
74 −
68
,
1
0099
,
0
6
95
,
73
05
,
74
ˆ =
×
−
=
p
C
%
5
,
59
%
100
68
,
1
1
ˆ =






=
P

Gráficos e R
Limites de Controle e Limites de
Especificação
X
Especificação
– Não existe nenhuma relação entre os limites de
controle e os limites de especificação do
processo
– Limites de Controle (ou limites naturais de
tolerância): são guiados pela variabilidade
natural do processo (medido pelo desvio
padrão)

Gráficos e R
Limites de Controle e Limites de
Especificação
X
Especificação
– Limites de Especificação: são determinados
externamente, ou seja, podem ser especificados
pela gerência, engenheiros, clientes, etc.
– Não há relação matemática ou estatística entre
limites de controle e especificação
– O objetivo do CEP, é manter os limites de
controle dentro dos limites de especificação

Gráficos e R
Limites Naturais de Tolerância
X
– São determinados pela variabilidade natural do
processo.
– É definido como os limites 3σ acima (LSNT) e
abaixo (LINT) da média do processo.

Limites de Controle, Limites de
Especificação e Limites Naturais de Tolerância

Gráficos e R
Efeito da Não-Normalidade nos Gráficos
– A suposição de normalidade é fundamental no
desenvolvimento dos gráficos de controle.
X
desenvolvimento dos gráficos de controle.
– Uma saída caso se conheça que a distribuição
amostral da média e da amplitude não é normal, é
utilizar limites probabilísticos para os gráficos de
controle.
– No entanto, mesmo para populações não-normais,
vários autores atestam que a utilização de amostras
de tamanho (n3) já são suficientes para garantir
robustez em relação a hipótese de normalidade para o
gráfico (Teorema Central do Limite)
X

Gráficos e R
Efeito da Não-Normalidade nos Gráficos
– Em relação ao gráfico R é importante ressaltar que:
X
– Em relação ao gráfico R é importante ressaltar que:
Mesmo que a característica da qualidade tenha
distribuição normal, o risco α
α
α
α para esse gráfico não
será 0,0027. Isso deve ao fato da distribuição de R não
ser simétrica . Além disso, note que o gráfico R não é
contemplado pelo Teorema Central do Limite.
Dessa forma, os limites 3σ
σ
σ
σ para esse gráfico são
apenas aproximações.
Segundo Montgomery, o gráfico R é mais sensível que
o gráfico a desvios da normalidade.
X

Função Característica da Operação
– A habilidade dos gráficos e R em detectar
mudanças na qualidade do processo é descrita
pelas curvas característica de operação (CO).
X
pelas curvas característica de operação (CO).
– Considere o gráfico com σ conhecido e
constante. Suponha que a média µ0 desloca-se
para outro valor µ1 = µ0 + kσ
– A probabilidade (ou risco) de NÃO se detectar
esse deslocamento na 1ª amostra subseqüente é:
X
)
|
( 0
1 σ
µ
µ
µ
β k
LSC
x
LIC
P +
=
=
≤
≤
=

Como
n
L
LSC
n
L
LIC
n
N
X
/
/
)
/
,
(
~
0
2
σ
µ
σ
µ
σ
µ
+
=
−
=
temos que
n
L
LSC /
0 σ
µ +
=
)
|
( 0
1 σ
µ
µ
µ
β k
LSC
x
LIC
P +
=
=
≤
≤
=





 +
−
Φ
−





 +
−
Φ
=
n
k
LIC
n
k
LSC
/
)
(
/
)
( 0
0
σ
σ
µ
σ
σ
µ
β
.
/
)
(
/
/
)
(
/ 0
0
0
0







 +
−
−
Φ
−







 +
−
+
Φ
=
n
k
n
L
n
k
n
L
σ
σ
µ
σ
µ
σ
σ
µ
σ
µ

Logo
Onde Φ denota a distribuição acumulada da normal padrão.
)
(
)
( n
k
L
n
k
L −
−
Φ
−
−
Φ
=
β
Onde Φ denota a distribuição acumulada da normal padrão.
Exemplo
– Suponha que estamos usando um gráfico com
L=3 (limites usuais), tamanho de amostra n=5 e
queremos determinar a probabilidade de detectar
um deslocamento para µ1 = µ0 + 2σ na primeira
amostra.
– Logo, temos L=3, n=5 e k=2
X

– Logo
)
(
)
( −
−
Φ
−
−
Φ
= n
k
L
n
k
L
β
– Essa é a probabilidade (ou risco) de NÃO detectar
tal deslocamento.
– A probabilidade desse deslocamento ser detectado
na primeira amostra é
0708
,
0
)
37
,
7
(
)
47
,
1
(
)
5
2
3
(
)
5
2
3
(
≅
−
Φ
−
−
Φ
=
=
−
−
Φ
−
−
Φ
=
9292
,
0
0708
,
0
1
1 =
−
=
− β

Curvas Característica de Operação
para o Gráfico com limites 3σ
σ
σ
σ
β
X
k
Prob. de Não
detectar um
deslocamento na
média de “kσ
σ
σ
σ” na 1ª
amostra

– Devido a suposição de independência, a probabilidade
de que o deslocamento seja detectado na r-ésima
amostra (subgrupo) é simplesmente (1-β) vezes a
probabilidade de não detecta-lo em cada uma das r-1
amostras iniciais.
– O comprimento médio da sequência (CMS) é dado por
1/p, onde p = probabilidade que um ponto exceda os
limites de controle. Logo, teremos que
)
1
(
1
β
β −
−
r
α
1
0 =
CMS
)
1
(
1
1
β
−
=
CMS
Processo sob controle Processo fora de controle

Base Estatística dos Gráficos e S
– Os gráficos e S são preferidos quando:
Tamanho de Amostra n 10 (moderadamente grande)
X
X
Tamanho de Amostra n 10 (moderadamente grande)
Tamanho de Amostra n é variável
– A construção de tais gráfico seguem a mesma
sequência usada na construção dos anteriores.
– Na prática µ
µ
µ
µ e σ
σ
σ
σ são desconhecidos e precisam
ser estimados a partir de amostras ou subgrupos,
coletados quando o processo estava sob
controle.

Dedução dos Limites no Gráfico
– Portanto, para µT e σT desconhecidos, temos os limites do
gráfico de controle dados por
X
– Fazendo na expressão acima, obtemos
n
Z
x
σ
α
)
2
±
n
c
Z
A
4
2
3
α
=
S
A
x
LIC
x
LM
S
A
x
LSC
3
3
−
=
=
+
=

Dedução dos Limites no Gráfico
– A média dos desvios padrões nas m amostras é
definida por
X
m
definida por
– onde
m
S
S
m
i
i
∑
=
= 1
1
)
(
1
2
−
−
=
∑
=
n
x
x
S
n
i
i
i

Gráfico S
– Assim, os parâmetros do gráfico S são obtidos por:
S
B
LSC =
onde:
As constantes B3 e B4 encontram-se no Apêndice VI do livro:
S
B
LIC
S
LM
S
B
LSC
3
4
=
=
=
2
4
4
3 1
3
1 c
c
B −
−
= 2
4
4
4 1
3
1 c
c
B −
+
=

Gráfico
– Consequentemente, obtemos os novos limites de controle
necessários para construção do gráfico
X
X
S
A
x
LSC +
=
– Lembrando que o estimador não viesado para σ é dado por
As constantes A3 e c4 encontram-se no Apêndice VI do livro:
S
A
x
LIC
x
LM
S
A
x
LSC
3
3
−
=
=
+
=
4
c
S
=
σ
)

Exemplo: Anéis de Pistão
0094
,
0
25
2350
,
0
25
1
=
=
=
∑
=
m
S
S i
i
001
,
74
25
0294
,
1850
25
1
=
=
=
∑
=
m
x
x i
i
0094
,
0
25
=
=
=
m
S
0196
,
0
)
089
,
2
.(
0094
,
0
0
)
0
.(
0094
,
0
4
3
=
=
=
=
=
=
B
S
LSC
B
S
LIC
001
,
74
25
=
=
=
m
x
014
,
74
)
0094
,
0
.(
427
,
1
001
,
74
988
,
73
)
0094
,
0
.(
427
,
1
001
,
74
3
3
=
+
=
+
=
=
−
=
−
=
S
A
x
LSC
S
A
x
LIC

– Considerações
Os limites de controle do gráfico , construído a partir do
X
Os limites de controle do gráfico , construído a partir do
desvio padrão (S), podem coincidir com os limites obtidos
com base na amplitude amostral (R). No entanto,
normalmente os limites são um pouco diferentes.
A interpretação do gráfico e também da curva
Características de Operação (CO) são idênticas as dos
gráficos anteriores
X

Gráficos e S com tamanho de amostra
variável
– São relativamente simples de usar
X
– São relativamente simples de usar
– A linha central dos gráficos será uma média
ponderada em função do tamanho ni de cada
amostra.
∑
∑
=
=
−
−
= m
i
i
m
i
i
i
m
n
S
n
S
1
1
2
)
1
(
∑
∑
=
=
= m
i
i
m
i
i
i
n
x
n
x
1
1

Gráficos e S com tamanho de amostra
variável
– Os limites de controle continuam sendo calculados através
X
– Os limites de controle continuam sendo calculados através
das expressões
– No entanto, as constantes A3, B3 e B4 vão depender do
tamanho de amostra usado em cada subgrupo individual.
S
A
x
LIC
x
LM
S
A
x
LSC
3
3
−
=
=
+
=
S
B
LIC
S
LM
S
B
LSC
3
4
=
=
=

Exemplo
Os dados a seguir
são uma
são uma
modificação dos
dados sobre anéis
de pistão usados
anteriormente

Modificado
001
,
74
113
075
,
8362
5
3
5
)
998
,
73
(
5
)
996
,
73
(
3
)
010
,
74
(
5
1
=
=
+
+
+
+
+
+
=
=
∑
∑
=
L
L
m
i
m
i
i
i
n
x
n
x
0098
,
0
88
008426
,
0
25
5
3
5
)
0162
,
0
(
4
)
0046
,
0
(
2
)
0148
,
0
(
4
)
1
( 2
2
2
1
1
2
=
=
=
−
+
+
+
+
+
+
=
−
−
=
∑
∑
=
=
L
L
m
i
i
m
i
i
i
m
n
S
n
S
1
∑
=
i
i
n

Modificado
– Para ilustrar, considere a primeira amostra onde n1 = 5.
Logo,
020
,
0
)
089
,
2
.(
0098
,
0
0
)
0
.(
0098
,
0
4
3
=
=
=
=
=
=
B
S
LSC
B
S
LIC
015
,
74
)
0098
,
0
.(
427
,
1
001
,
74
987
,
73
)
0098
,
0
.(
427
,
1
001
,
74
3
3
=
+
=
+
=
=
−
=
−
=
S
A
x
LSC
S
A
x
LIC
– Os limites para segunda amostra devem ser calculados
levando em conta que n2 = 3, e assim sucessivamente.

– Considerações
Uma alternativa para o uso de limites de controle variáveis
nos gráficos e S é tomar como base um tamanho de
amostra médio .
X
amostra médio .
Tal abordagem pode ser satisfatória se os ni não são muito
diferentes.
No entanto, como média dos ni pode não ser um número
inteiro, uma saída é construir tais limites baseando-se no
tamanho de amostra modal (mais frequente).
Montgomery comenta que tal abordagem pode ser útil em
algumas situações como, por exemplo, numa
apresentação dos gráficos a gerência.
n

Gráficos de Controle Shewhart para
Amostras Individuais
– Existem situações onde o tamanho da amostra para
monitoramento do processo é n=1.
– Por exemplo:
– Por exemplo:
Utilização de inspeção e medição automática de modo que
toda unidade fabricada é inspecionada;
Taxa de produção muito lenta torna inconveniente
acumular tamanhos de amostras n 1;
Medidas sobre algum parâmetro diferem muito pouco e
produzem um desvio padrão muito pequeno.
Entre outros
– Em tais situações o gráfico de controle para
unidades individuais é útil.

– A variabilidade do processo é
estimada através da amplitude
móvel, definida por:
Lote Viscosidade (x) MR
1 33.75 -
2 33.05 0.70
Viscosidade da Tinta de Base para Aviões
MRi = | xi – xi-1 |
– No exemplo a seguir ilustramos o
procedimento para construção dos
gráficos de controle para a
amplitude móvel e para medidas
individuais
2 33.05 0.70
3 34.00 0.95
4 33.81 0.19
5 33.46 0.35
6 34.02 0.56
7 33.68 0.34
8 33.27 0.41
9 33.49 0.22
10 33.20 0.29
11 33.62 0.42
12 33.00 0.62
13 33.54 0.54
14 33.12 0.42
15 33.84 0.72
Média 33.52 0.48

– Os limites de controle são adaptações dos
utilizados nos gráficos e R, sendo calculados
através das expressões
X
através das expressões
– As constantes d2, D3 e D4 são obtidas no Apêndice
VI.
2
2
3
3
d
R
M
x
LIC
x
LM
d
R
M
x
LSC
−
=
=
+
=
R
M
D
LIC
R
M
LM
R
M
D
LSC
3
4
=
=
=

– Note que no exemplo usamos uma amplitude móvel
de tamanho 2, logo n será igual 2 no Apêndice VI.
– Os limites de controle para o gráfico da amplitude
– Os limites de controle para o gráfico da amplitude
móvel serão:
00
,
0
)
48
,
0
(
0
48
,
0
57
,
1
)
48
,
0
(
267
,
3
3
4
=
=
=
=
=
=
=
=
R
M
D
LIC
R
M
LM
R
M
D
LSC

– Os limites para o gráfico de controle das medidas
individuais serão:
24
,
32
128
,
1
48
,
0
3
52
,
33
3
52
,
33
80
,
34
128
,
1
48
,
0
3
52
,
33
3
2
2
=
−
=
−
=
=
=
=
+
=
+
=
d
R
M
x
LIC
x
LM
d
R
M
x
LSC

34.5
34.0
33.5
33.0
Indiv
idual
V
alue
_
X=33.523
U C L=34.802
I-MR Charts
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
32.5
O bser vation
I
LC L=32.245
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
O bser vation
M
oving
Range
__
M R=0.481
U C L=1.571
LC L=0

35
34
33
ndividual
Value
_
X=33.523
UC L=34.802
1
1
I-MR Chart - Full Dataset
Banco de Dados Completo – Processo fora de Controle
28
25
22
19
16
13
10
7
4
1
32
Observation
In
LC L=32.245
28
25
22
19
16
13
10
7
4
1
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
Observation
M
oving
Range
__
MR=0.481
UC L=1.571
LC L=0

– Considerações
O gráfico para observações individuais é interpretado de
maneira análoga ao gráfico .
X
Alguns analistas recomendam que não se use o gráfico
das amplitudes móveis, visto que elas são
correlacionadas.
Segundo Montgomery, gráficos para amostras individuais
são extremamente sensíveis a dados não normais ou
mesmo com um moderado desvio na normalidade.
Uma saída seria determinar os limites com base na
distribuição amostral (ao menos 100 observações).
Outra saída seria transformar a variável original em uma
nova variável aproximadamente normal.

Exercício
Amostras de n=5 unidades são tiradas de um processo a cada hora. Os
valores de e R para uma determinada característica da qualidade são
calculados. Depois de 25 amostras serem coletadas, obtemos = 20 e
. =4,56.
X
x
R
. =4,56.
a) Quais são os limites três-sigma para e R?
b) Ambos os gráficos exibem controle. Estime o desvio padrão do
processo.
c) Suponha que a saída do processo seja normalmente distribuída. Se as
especificações são 19 ± 5, quais são as suas conclusões com respeito
à capacidade do processo?
d) Se a média do processo se desloca para 24, qual é a probabilidade de
não se detectar esse deslocamento na amostra subsequente?
X
R

Exercício
Amostras de n=6 itens são retiradas de um processo de manufatura em
intervalos irregulares. Uma característica da qualidade, normalmente
distribuída, é medida e valores de e S são calculados para cada
amostra. Depois de 50 subgrupos serem analisados, obtém-se
X
amostra. Depois de 50 subgrupos serem analisados, obtém-se
a) Calcule os limites de controle para os gráficos de controle e S.
b) Quais são os limites naturais de tolerância do processo?
c) Se os limites de especificação são 19 ± 4, quais são as suas conclusões com relação à
habilidade do processo em produzir itens de acordo com essas especificações?
d) Supondo que, se um item excede o limite superior de especificação ele pode ser
retrabalhado e se ele está abaixo do limite inferior de especificação ele tem que ser
sucateado. Qual a percentagem de sucata e retrabalho que o processo está
produzindo?
e) Se o processo centrado em µ=19, qual seria o efeito sobre as percentagens de sucata e
retrabalho?
X
∑ ∑
= =
=
=
50
1
50
1
75
e
1000
i i
i
i S
x

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