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Estatística Descritiva

1.Diagrama de Barras
2.Diagrama Circular
3.Gráfico das freqüências acumuladas
Exemplos: 1)Dados a seguir apresentam a formação
específica de graduação dos 135 candidatos a vagas em
um curso de MBA.
    Formação          Número de Pessoas
                      Freqüências       %
    Engenheiros           38          28,1
    Economistas           30          22,2
    Administradores       35          25,9
    Contadores            15          11,1
    Outros                17          12,7
    Total                 135         100,0
2)Dados a seguir representam os valores da variável
“número de defeitos por unidade”, obtidos a partir de
aparelhos retirados de uma linha de montagem.
    2 4 2 1 2
    3 1 0 5 1
    0 1 1 2 0
    1 3 0 1 2
A distribuição de freqüências é dada na tabela

    0       4     0,20
    1       7     0,35
    2       5     0,25
    3       2     0,10
    4       1     0,05
    5       1     0,05
Freqüências e freqüências relativas acumuladas

     0      4      0,20
     1      11     0,55
     2      16     0,80
     3      18     0,90
     4      19     0,95
     5      20     1,00
P/ Variáveis Contínuas
Diâmetro de peças produzidas:
21.5     21.4    21.8    21.5      21.6
21.7     21.6    21.4    21.2      21.7
21.3     21.5    21.7    21.4      21.4
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21.4     21.5    21.6    21.9      21.5
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21,5       7        15      0,28      0,60
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21,8       1        23      0,04      0,92
21,9       2        25      0,08      1,00
           25               1,00



4.Histograma
5.Polígono de Freqüências
6.Polígono de freqüências relativas acumuladas
7.diagrama de Pareto (Curva ABC Enga. de Produção)


Revisão de exercícios para a prova:
1)A probabilidade de encontrar aberto o semáforo é 0,2,
qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo
local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira
vez? E pela segunda vez?
2)Pequenos motores são guardados em caixas de 50. Um
inspetor de qualidade examina cada caixa testando 5
motores. Se pelo menos 1 for defeituoso, todos os 50
motores são testados. Supondo que há 6 motores
defeituosos em cada caixa, qual a probabilidade de que
seja necessário examinar todos os motores desta caixa?
3)Numa linha adutora de água, de 60km de extensão,
ocorrem, em média, 30 vazamentos no período de um
mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês,
pelo menos 3 vazamentos num trecho de 3km.
4)Verificar se     é uma função densidade de
probabilidade (
a)
               0
b)

         0
Qual o valor de k que tornaria     uma
5)Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua
fabricação têm duração normal com média de 150.000
km e desvio padrão de 5.000 km. Qual a probabilidade de
que um carro, escolhido ao acaso, tenha um motor que
dure:
a)menos de 170.000 km?
b)entre 140.000 e 165.000 km?
c)Se a fábrica substituir o motor que durar menos do que
a garantia, qual deve ser esta garantia para que seja
necessário substituir menos de 0,2% dos motores?




                      Amostragem
Estatística indutiva é a ciência que busca tirar conclusões
probabilísticas sobre as populações, com base em
resultados verificados em amostras retiradas destas
populações.


Conceitos:
População: Conjunto de elementos com pelo menos uma
característica comum (N)
Amostra: Qualquer subconjunto formado exclusivamente
por seus elementos ( para denotar tamanho)
Amostragem: Processo de seleção de uma amostra, que
possibilita o estudo das características da população
Erro Amostral: Erro que ocorre justamente pelo uso da
amostra
Parâmetro (θ): Medida usada para descrever uma
característica numérica populacional (Ex: média (μ),
variância (     coeficiente de correlação (ρ))
Estimador     : Estatística amostral de um parâmetro
populacional (Ex: média amostral ( , variância amostral
( ), coeficiente de correlação amostral
Estimativa       : valor numérico determinado pelo
estimador
Erro amostral:
                              Casual        Viés, desvio




Tipos de Amostragem
Para que as amostras sejam eficientes e representativas
da população é preciso tomar muito cuidado na seleção
da metodologia de amostragem (evitar viés; experiência)
Amostragens Probabilísticas
 Todos os elementos da população tem a probabilidade
conhecida, e diferente de zero, de pertencer à amostra.
Caso contrário, é não-probabilística.
Tipos:
  a) Casual simples: equivalente a um sorteio lotérico.
     (todos os elementos têm igual probabilidade de ser
     sorteado) (uso de números aleatórios para o sorteio)
  b) Sistemática: elementos da população ordenados
     randomicamente e a retirada dos elementos da
     amostra se dá seguindo uma periodicidade.(sorteia
     1o elemento e o resto segue a periodicidade)
  c) Estratificada; divide a população em estratos
     homogêneos e distintos entre si. (Procedimento
     ótimo seria fazer o sorteio procurando manter a
     proporção dos estratos na população e
     considerando a variância dentro de cada estrato).
  d) Conglomerados: subdivisão em pequenos grupos e
     amostragem passa a ser feita dentro de cada grupo
     (muitas vezes por motivos práticos e econômicos)
e) Múltipla : amostragem em etapas sucessivas.
   (analise dos resultados para identificar a
   necessidade de continuar ou não)
Amostragem não-probabilística
Maioria das vezes é devida à impossibilidade de se
fazer amostragem probabilística. Tipos:
inacessibilidade a toda a população; a esmo ou sem
norma; população formada por material contínuo;
amostragens intencionais (ex: elementos julgados mais
representativos da população); por voluntários (ex:
experiência com remédios)
Distribuição amostral de
Usando a notação :
 = parâmetro a ser estimado;     = um estimador de ;
e = uma dada estimativa.
Podemos definir as propriedades dos estimadores
como sendo:
Justeza ou não-tendenciosidade
Dizemos que um estimador     é justo se:
Consistência
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E p/ caso de estimador justo


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Dados dois estimadores,      , de um mesmo
parâmetro . Diremos que é mais eficiente que
se, para o mesmo tamanho de amostra,


Isto é, se     forem estimadores justos de , o
estimador mais eficiente será aquele com menor
variância.
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possível de informação com referência ao parâmetro
por ele estimado
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4 estatística descritiva

  • 1. Estatística Descritiva 1.Diagrama de Barras 2.Diagrama Circular 3.Gráfico das freqüências acumuladas Exemplos: 1)Dados a seguir apresentam a formação específica de graduação dos 135 candidatos a vagas em um curso de MBA. Formação Número de Pessoas Freqüências % Engenheiros 38 28,1 Economistas 30 22,2 Administradores 35 25,9 Contadores 15 11,1 Outros 17 12,7 Total 135 100,0 2)Dados a seguir representam os valores da variável “número de defeitos por unidade”, obtidos a partir de aparelhos retirados de uma linha de montagem. 2 4 2 1 2 3 1 0 5 1 0 1 1 2 0 1 3 0 1 2
  • 2. A distribuição de freqüências é dada na tabela 0 4 0,20 1 7 0,35 2 5 0,25 3 2 0,10 4 1 0,05 5 1 0,05 Freqüências e freqüências relativas acumuladas 0 4 0,20 1 11 0,55 2 16 0,80 3 18 0,90 4 19 0,95 5 20 1,00 P/ Variáveis Contínuas Diâmetro de peças produzidas: 21.5 21.4 21.8 21.5 21.6 21.7 21.6 21.4 21.2 21.7 21.3 21.5 21.7 21.4 21.4 21.5 21.9 21.6 21.3 21.5 21.4 21.5 21.6 21.9 21.5
  • 3. 21,2 1 1 0,04 0,04 21,3 2 3 0,08 0,12 21,4 5 8 0,20 0,32 21,5 7 15 0,28 0,60 21,6 4 19 0,16 0,76 21,7 3 22 0,12 0,88 21,8 1 23 0,04 0,92 21,9 2 25 0,08 1,00 25 1,00 4.Histograma 5.Polígono de Freqüências 6.Polígono de freqüências relativas acumuladas 7.diagrama de Pareto (Curva ABC Enga. de Produção) Revisão de exercícios para a prova: 1)A probabilidade de encontrar aberto o semáforo é 0,2, qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? E pela segunda vez?
  • 4. 2)Pequenos motores são guardados em caixas de 50. Um inspetor de qualidade examina cada caixa testando 5 motores. Se pelo menos 1 for defeituoso, todos os 50 motores são testados. Supondo que há 6 motores defeituosos em cada caixa, qual a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores desta caixa? 3)Numa linha adutora de água, de 60km de extensão, ocorrem, em média, 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num trecho de 3km. 4)Verificar se é uma função densidade de probabilidade ( a) 0 b) 0 Qual o valor de k que tornaria uma 5)Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média de 150.000 km e desvio padrão de 5.000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, tenha um motor que dure:
  • 5. a)menos de 170.000 km? b)entre 140.000 e 165.000 km? c)Se a fábrica substituir o motor que durar menos do que a garantia, qual deve ser esta garantia para que seja necessário substituir menos de 0,2% dos motores? Amostragem Estatística indutiva é a ciência que busca tirar conclusões probabilísticas sobre as populações, com base em resultados verificados em amostras retiradas destas populações. Conceitos: População: Conjunto de elementos com pelo menos uma característica comum (N) Amostra: Qualquer subconjunto formado exclusivamente por seus elementos ( para denotar tamanho) Amostragem: Processo de seleção de uma amostra, que possibilita o estudo das características da população
  • 6. Erro Amostral: Erro que ocorre justamente pelo uso da amostra Parâmetro (θ): Medida usada para descrever uma característica numérica populacional (Ex: média (μ), variância ( coeficiente de correlação (ρ)) Estimador : Estatística amostral de um parâmetro populacional (Ex: média amostral ( , variância amostral ( ), coeficiente de correlação amostral Estimativa : valor numérico determinado pelo estimador Erro amostral: Casual Viés, desvio Tipos de Amostragem Para que as amostras sejam eficientes e representativas da população é preciso tomar muito cuidado na seleção da metodologia de amostragem (evitar viés; experiência)
  • 7. Amostragens Probabilísticas Todos os elementos da população tem a probabilidade conhecida, e diferente de zero, de pertencer à amostra. Caso contrário, é não-probabilística. Tipos: a) Casual simples: equivalente a um sorteio lotérico. (todos os elementos têm igual probabilidade de ser sorteado) (uso de números aleatórios para o sorteio) b) Sistemática: elementos da população ordenados randomicamente e a retirada dos elementos da amostra se dá seguindo uma periodicidade.(sorteia 1o elemento e o resto segue a periodicidade) c) Estratificada; divide a população em estratos homogêneos e distintos entre si. (Procedimento ótimo seria fazer o sorteio procurando manter a proporção dos estratos na população e considerando a variância dentro de cada estrato). d) Conglomerados: subdivisão em pequenos grupos e amostragem passa a ser feita dentro de cada grupo (muitas vezes por motivos práticos e econômicos)
  • 8. e) Múltipla : amostragem em etapas sucessivas. (analise dos resultados para identificar a necessidade de continuar ou não) Amostragem não-probabilística Maioria das vezes é devida à impossibilidade de se fazer amostragem probabilística. Tipos: inacessibilidade a toda a população; a esmo ou sem norma; população formada por material contínuo; amostragens intencionais (ex: elementos julgados mais representativos da população); por voluntários (ex: experiência com remédios) Distribuição amostral de Usando a notação : = parâmetro a ser estimado; = um estimador de ; e = uma dada estimativa. Podemos definir as propriedades dos estimadores como sendo: Justeza ou não-tendenciosidade Dizemos que um estimador é justo se:
  • 9. Consistência Estimador é consistente se: E p/ caso de estimador justo (ex: → Eficiência Dados dois estimadores, , de um mesmo parâmetro . Diremos que é mais eficiente que se, para o mesmo tamanho de amostra, Isto é, se forem estimadores justos de , o estimador mais eficiente será aquele com menor variância.
  • 10. Suficiência Um estimador é suficiente se contém o máximo possível de informação com referência ao parâmetro por ele estimado Critérios para a escolha dos estimadores: Método da máxima verossimilhança; Método dos momentos; Método de Bayes. Estimativa por Ponto Fornecer a melhor estimativa possível para o parâmetro. Estimação por Intervalo → Intervalo de confiança