1) O documento apresenta duas questões do Enem que envolvem equações de 2o grau para resolver problemas sobre áreas de terrenos, temperatura de fornos e volumes de reservatórios de leite. 2) Ambas as questões utilizam equações para modelar matematicamente a situação apresentada e resolver para encontrar valores como largura de faixas, tempo mínimo para abrir forno e momento em que volumes são iguais. 3) As equações são igualadas a valores dados no enunciado e resolvidas utilizando fórmula de Bhaskara ou fator

1. 1ª Questão com equação do 2° grau no Enem de 2009
Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para seu filho, que está indicada na
figura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua área total.
Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura.
Figura de questão do Enem 2009
De acordo com a figura acima, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura x
metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x da faixa é
a) 10% (a + b)²
b) 10% (a · b)²
c)
d)
e)
Resolução:
O terreno total do filho tem dimensões de a + x e b + x. Para calcular essa área (A), basta multiplicar essas
medidas dos lados:
A = (a + x) · (b + x)
A = ab + ax + bx + x²
A = x² + x · (a + b) + ab
Se 20% da área total é de reserva legal, então 80% da área total é cultivada. Vamos então aplicar esses 80%
na equação da área:
80% A = 0,8 · [x² + x · (a + b) + ab]
Mas observe que a área cultivada é representada na imagem como o quadrado de dimensões a eb. Facilmente
podemos afirmar que a área desse espaço é de a · b. Vamos substituir essa multiplicação na equação anterior,
em que temos 80% A (área cultivada):
a · b = 0,8 · [x² + x · (a + b) + ab]
ab = 0,8x² + 0,8x · (a + b) + 0,8ab
0,8x² + 0,8x · (a + b) + 0,8ab – ab = 0
0,8x² + 0,8x · (a + b) – 0,2ab = 0
O resultado deu origem a uma equação do 2° grau. Para facilitar nossos cálculos, vamos multiplicar toda a
equação por 5:
4x² + 4(a + b) · x – ab = 0
Resolveremos essa equação através da fórmula de Bhaskara. Para evitar confusão entre os coeficientes da
equação e as letras dessas fórmulas, eles serão colocados em letra maiúscula. Os coeficientes são A = 4, B =
4(a + b) e C = – ab. Substituindo-os na fórmula, teremos:
∆ = B² – 4.A.C
∆ = [4(a + b)]² – 4.4.(– ab)
∆ = 16(a + b)² + 16ab
∆ = 16 [(a + b)² + ab]

2. x = – B ± √∆
2.A
Dividindo o numerador e o denominador por 4:
Essa equação só pode ser simplificada até aqui. A questão pede “o dobro da da largura x”, por isso
multiplicaremos x por 2:
Que equivale a:
O que nos garante que a alternativa correta é a letra d.
2ª Questão com equação do 2° grau no Enem de 2013
A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu
desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão com t em minutos. Por motivos de
segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 ºC. Qual o
tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
a) 19,0.
b) 19,8.
c) 20,0.
d) 38,0.
e) 39,0.
Resolução:
De acordo com o enunciado, temos a equação e a informação de que o forno só pode ser
aberto quando T = 39. Vamos igualar a equação a esse valor:
– t² + 400 = 39
4
Novamente, para facilitar os cálculos, multiplicaremos toda a equação por 4:
– t² + 1600 = 156
– t² = – 1444
Multiplicando toda a equação por (– 1), teremos a seguinte equação do 2° grau incompleta:
t² = 1444
t = √1444
t = ± 38
Como estamos procurando um valor para o “tempo”, podemos desconsiderar a resposta negativa. Portanto, t =
38, e a resposta correta é a alternativa d

3. Questão com Equações no Enem de 2010
Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse
valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que
a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, entretanto, a
cédula dura de oito a onze meses.
Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente,
quantas cédulas a mais?
a) 1 667.
b) 2 036.
c) 3 846.
d) 4 300.
e) 5 882.
Resolução:
De acordo com o texto, gasta-se R$ 0, 26 para produzir uma moeda de um real e apenas R$ 0,17 para produzir
uma nota de mesmo valor. Para saber quantas moedas ou cédulas podem ser produzidas com determinado
valor, basta fazer o quociente entre o valor empregado e o custo da moeda ou da cédula. Claramente podemos
ver que, com um mesmo investimento, podem ser produzidas mais cédulas do que moedas.
Para determinar quantas cédulas seriam produzidas a mais (x), vamos determinar a diferença entre o quociente
das cédulas e das moedas. De forma simplificada, temos a seguinte equação:
x = valor empregado – valor empregado
custo por cédula custo por moeda
O enunciado informa que o valor empregado é de R$ 1 000,00. Já sabemos que o custo por moeda é de R$
0,26 e por cédula é de R$ 0,17. Sendo assim, temos:
x = 1 000 – 1 000
0,17 0,26
x ≈ 5 882,34 – 3 846,14
x ≈ 2 036,2
Portanto, com R$ 1 000,00, podem ser produzidas cerca de 2 036 cédulas a mais do que moedas de um real. A
alternativa que indica a resposta correta é a letra b.
Questão com Equações no Enem de 2010
Um laticínio possui dois reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido por uma torneira acoplada a um
tanque resfriado. O volume, em litros, desses reservatórios depende da quantidade inicial de leite no
reservatório e do tempo t, em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os volumes dos reservatórios são
dados pelas funções V1(t) = 250t³ - 100t + 3000 e V2(t) = 150t³ + 69t + 3000.

4. Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e,
também, no tempo t igual a
a) 1,3 h.
b) 1,69 h.
c) 10,0 h.
d) 13,0 h.
e) 16,9 h.
Resolução:
Para descobrir em qual momento será igual o volume de leite nos dois reservatórios, basta igualarV1(t) e V2(t).
Sendo assim, temos:
250t³ – 100t + 3000 = 150t³ + 69t + 3000
250t³ – 100t = 150t³ + 69t + 3000 – 3000
250t³ – 100t = 150t³ + 69t
Temos aqui uma equação do 3° grau, pois o maior índice da variável t é 3. Como dissemos anteriormente, o
ideal é tentar transformar essa igualdade em uma equação do 2° grau. Para tanto, observe que todos os termos
estão acompanhados de t. Podemos então dividir toda a equação port:
250t³ – 100t = 150t³ + 69t
t t t t
250t² – 100 = 150t²+ 69
250t² – 150t² – 100 – 69 = 0
100t² – 169 = 0
Podemos resolver essa equação do 2° grau de duas formas diferentes. Primeiramente vamos utilizar a fórmula
de Bhaskara, lembrando que a = 100, b = 0 e c = – 169:
∆ = b² – 4.a.c
∆ = 0² – 4.100.(– 169)
∆ = 67600
t = – b ± √∆
2.a
t = – 0 ± √67600
2.100
t = ± 260
200
t1 = 260 = 1,3
200
t2 = – 260 = – 1,3
200

5. Como estamos falando de tempo, podemos descartar o resultado negativo. Sendo assim, t1 = 1,3 h. Portanto,
a resposta correta é a letra a.
Vamos resolver essa equação incompleta do 2° grau de uma forma alternativa, sem utilizar a fórmula de
Bhaskara:
100t² – 169 = 0
100t² = 169
t² = 169
100
t = √169
√100
t = 13
10
t = 1,3
Observe que obtivemos o mesmo resultado, logo, como dito anteriormente, não há uma única forma de resolver
uma equação do 2° grau.
Questão com Equações no Enem
Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu
proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos
100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram
vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em
R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é
A) V=10.000+50x−x2.
B) V=10.000+50x+x2.
C) V=15.000−50x−x2.
D) V=15.000+50x−x2.
E) V=15.000−50x+x2.
Valor arrecadado ( V) = preço do litro * litros vendidos
Preço do litro= 150(obs: coloquei em centavos) - desconto em centavos (x)
Litros vendidos = 100x ( onde x é o valor do desconto) + 10000 ( total de litros fixo, isto é, sem o acréscimo de
litros do desconto )
----> então substituí os valores :
V= (150-x) * (100x+10000)
V=15000x+1500000-100x²-10000x)
V= -100x²+5000x+1500000
----> Simplifiquei a equação dividindo todos por 100 e o resultado obtido foi extamente:
V= -x²+50x+15000