Supercondutividade II

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Supercondutividade II

  1. 1. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauSupercondutividadeLeandro AlexandreUniversidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto de F´ısicaEletromagnetismo28 de agosto de 2007Supercondutividade Leandro Alexandre
  2. 2. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-Landau1 Introdu¸c˜ao2 Modelo de London3 Modelo de Ginzburg-LandauSupercondutividade Leandro Alexandre
  3. 3. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauSuperfluidez na Natureza:´Atomos num BEC: He4 com T < 2, 17K, Na23, Rb87Supercondutividade Leandro Alexandre
  4. 4. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauSuperfluidez na Natureza:´Atomos num BEC: He4 com T < 2, 17K, Na23, Rb87F´ermions neutros: He3 com T < 1mK, f´ermions atˆomicos(Li6, K40), nˆeutrons em estrelas de nˆeutrons.Supercondutividade Leandro Alexandre
  5. 5. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauSuperfluidez na Natureza:´Atomos num BEC: He4 com T < 2, 17K, Na23, Rb87F´ermions neutros: He3 com T < 1mK, f´ermions atˆomicos(Li6, K40), nˆeutrons em estrelas de nˆeutrons.F´ermions carregados: supercondutores (el´etrons num metal,pr´otons em estrelas de nˆeutrons)Supercondutividade Leandro Alexandre
  6. 6. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividadeSupercondutividade Leandro Alexandre
  7. 7. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividade1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interiordo SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜aopr´oxima a sua superf´ıcie.Supercondutividade Leandro Alexandre
  8. 8. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividade1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interiordo SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜aopr´oxima a sua superf´ıcie.1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livrede um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagemtermodinˆamica)Supercondutividade Leandro Alexandre
  9. 9. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividade1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interiordo SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜aopr´oxima a sua superf´ıcie.1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livrede um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagemtermodinˆamica)1935: Modelo dos irm˜aos London (modelo fenomenol´ogico -abordagem eletromagn´etica)Supercondutividade Leandro Alexandre
  10. 10. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividade1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interiordo SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜aopr´oxima a sua superf´ıcie.1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livrede um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagemtermodinˆamica)1935: Modelo dos irm˜aos London (modelo fenomenol´ogico -abordagem eletromagn´etica)1950: Teoria de Gizburg-Landau → fun¸c˜ao de onda complexacomo parˆametro de ordemSupercondutividade Leandro Alexandre
  11. 11. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauBreve Hist´orico da Supercondutividade (SC)1911: Onnes descobre a supercondutividade1933: Efeito Meissner → fluxo magn´etico exclu´ıdo do interiordo SC, a menos de uma pequena regi˜ao de penetra¸c˜aopr´oxima a sua superf´ıcie.1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livrede um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagemtermodinˆamica)1935: Modelo dos irm˜aos London (modelo fenomenol´ogico -abordagem eletromagn´etica)1950: Teoria de Gizburg-Landau → fun¸c˜ao de onda complexacomo parˆametro de ordem1957: Teoria BCS → forma¸c˜ao de estado ligadoel´etron-el´etron (teoria padr˜ao da supercondutividade)BCS → Bardeen-Cooper-SchriefferSupercondutividade Leandro Alexandre
  12. 12. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauFatos Experimentais: Resistividadeρ(T) ∼ T2, para f´ermions normaisSupercondutividade Leandro Alexandre
  13. 13. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauFatos Experimentais: Calor Espec´ıficoCV ∼ exp −aTSupercondutividade Leandro Alexandre
  14. 14. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauFatos Experimentais: Efeito MeissnerSupercondutividade Leandro Alexandre
  15. 15. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauFatos Experimentais: H aplicadoSupercondutividade Leandro Alexandre
  16. 16. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisTentativa de explicar o efeito Meissner → foco naspropriedades magn´eticas do SCSupercondutividade Leandro Alexandre
  17. 17. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisTentativa de explicar o efeito Meissner → foco naspropriedades magn´eticas do SCUtiliza as equa¸c˜oes de Maxwell usuais, complementadas porcondi¸coes espec´ıficas para o SCSupercondutividade Leandro Alexandre
  18. 18. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisTentativa de explicar o efeito Meissner → foco naspropriedades magn´eticas do SCUtiliza as equa¸c˜oes de Maxwell usuais, complementadas porcondi¸coes espec´ıficas para o SCId´eia b´asica: descrever a SC por meio de 2 fluidosSupercondutividade Leandro Alexandre
  19. 19. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisTentativa de explicar o efeito Meissner → foco naspropriedades magn´eticas do SCUtiliza as equa¸c˜oes de Maxwell usuais, complementadas porcondi¸coes espec´ıficas para o SCId´eia b´asica: descrever a SC por meio de 2 fluidosImpor que mesmo quando T < Tc, nem todos os el´etrons decondu¸c˜ao do material participam da ScorrenteSupercondutividade Leandro Alexandre
  20. 20. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisTentativa de explicar o efeito Meissner → foco naspropriedades magn´eticas do SCUtiliza as equa¸c˜oes de Maxwell usuais, complementadas porcondi¸coes espec´ıficas para o SCId´eia b´asica: descrever a SC por meio de 2 fluidosImpor que mesmo quando T < Tc, nem todos os el´etrons decondu¸c˜ao do material participam da Scorrenten ≡ n´umero total de el´etrons por unidade de volumenS (T) ≡ n´umero de el´etrons da Scorrente por unidade de volumenS (T)n≡ fra¸c˜ao de el´etrons na Scorrenten − nS (T) ≡ n´umero de el´etrons de condu¸c˜ao normalSupercondutividade Leandro Alexandre
  21. 21. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisT Tc, ns(T) → 0T Tc, ns(T) → nDensidade de corrente no material:J = Jn + JS + JDJn = sEJS → densidade de ScorrenteJD =∂D∂tSupercondutividade Leandro Alexandre
  22. 22. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisAplicando E a um material Scondutor:el´etrons Scondutores: acelerados livrementeel´etrons de condu¸c˜ao normal: sujeitos a um termo dissipativoSupercondutividade Leandro Alexandre
  23. 23. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisAplicando E a um material Scondutor:el´etrons Scondutores: acelerados livrementeel´etrons de condu¸c˜ao normal: sujeitos a um termo dissipativoF =dpdt→ qE = mdvSdt→ −eE = mdvSdtA corrente circulante ´e dada pori = ρAvaˆρ → densidade de carga por unidade de volumeva → velocidade de arraste das cargasA → ´area por onde as cargas fluemˆ → versor na dire¸c˜ao de ESupercondutividade Leandro Alexandre
  24. 24. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisiS = enS AvSJS =iSA= enS vSvS = −JSenSSupercondutividade Leandro Alexandre
  25. 25. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisiS = enS AvSJS =iSA= enS vSvS = −JSenSDa equa¸c˜ao de movimento−eE = mdvSdt,temosdJSdt=e2nS (T)mESupercondutividade Leandro Alexandre
  26. 26. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisUsando a lei de Faraday × E = −∂B∂t ,× E =me2nS (T)×dJSdt×˙JS = −e2nS (T)m˙BDa lei de Amp`ere-Maxwell sem corrente de deslocamento:∂∂t( × B) = µ0∂JS∂t˙JS = −1µ0×˙BSupercondutividade Leandro Alexandre
  27. 27. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisJuntando os 2 resultados:× ( ×˙B) = −µ0e2nS (T)m˙B( .˙B) − 2 ˙B = −µ0e2nS (T)m˙B2 ˙B =µ0e2nS (T)m˙BSupercondutividade Leandro Alexandre
  28. 28. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas Fundamentaismaterial Scondutor preenche a regi˜ao z > 0 e sendo˙By = ˙Bz = 0,2 ˙B =µ0e2nS (T)m˙B →d2 ˙Bxdz2=µ0e2nS (T)m˙BxAn´alise dimensional:µ0e2nS (T)m= L−2Supercondutividade Leandro Alexandre
  29. 29. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas Fundamentaismaterial Scondutor preenche a regi˜ao z > 0 e sendo˙By = ˙Bz = 0,2 ˙B =µ0e2nS (T)m˙B →d2 ˙Bxdz2=µ0e2nS (T)m˙BxAn´alise dimensional:µ0e2nS (T)m= L−2l ≡µ0e2nS (T)mSupercondutividade Leandro Alexandre
  30. 30. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas Fundamentais∴d2 ˙Bxdz2= l2 ˙Bx → ˙Bx = Aelz+ Be−lz˙Bx (z) = Be−lzSupercondutividade Leandro Alexandre
  31. 31. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas Fundamentais∴d2 ˙Bxdz2= l2 ˙Bx → ˙Bx = Aelz+ Be−lz˙Bx (z) = Be−lz1l → distˆancia medida a partir de z = 0 dentro da qual o campo´e apreci´avelSupercondutividade Leandro Alexandre
  32. 32. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisVoltando `a eq.×˙JS = −e2nS (T)m˙B,∂∂t× JS +e2nS (T)mB = 0∴ × JS +e2nS (T)mB = 0Supercondutividade Leandro Alexandre
  33. 33. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisVoltando `a eq.×˙JS = −e2nS (T)m˙B,∂∂t× JS +e2nS (T)mB = 0∴ × JS +e2nS (T)mB = 0Efeito Meissner: Campo interno a um SC = 0,independentemente de como B varie no tempoSupercondutividade Leandro Alexandre
  34. 34. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisContribui¸c˜ao dos London: compatibilizar a lei de Farady como efeito MeissnerDefinindoλL =mµ0e2nS (T),Temos2B =1λ2LB,que junto com× JS +e2nS (T)mB = 0,formam as chamadas equa¸c˜oes de London.Supercondutividade Leandro Alexandre
  35. 35. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisAplicando × `a restri¸c˜ao de London, obtemos:2JS =1λ2LJS .Supercondutividade Leandro Alexandre
  36. 36. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisAplicando × `a restri¸c˜ao de London, obtemos:2JS =1λ2LJS .A densidade de Scorrente circula pelo material at´e umaprofundidade λLSupercondutividade Leandro Alexandre
  37. 37. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisNovamente,Bx (z) = B exp −µ0e2nS (T)mzSupercondutividade Leandro Alexandre
  38. 38. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauCaracter´ısticas FundamentaisNovamente,Bx (z) = B exp −µ0e2nS (T)mzT Tc, nS (T) → 0. ∴ B(z) = B = cteSupercondutividade Leandro Alexandre
  39. 39. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauExemplo:Fio cil´ındrico muito longo de raio R, portando uma Scorrente IPara ρ > R:Bf =µ0I2πρˆφHf =I2πρˆφPara ρ < R: lei de Amp`ere n˜ao aplic´avel diretamente2JS =1λ2LJSSupercondutividade Leandro Alexandre
  40. 40. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauExemplo:Simetrias do problema:Bd = Bφ(ρ)ˆφ,o que simplifica a eq de London2B =1λ2LB.Supercondutividade Leandro Alexandre
  41. 41. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauExemplo:Simetrias do problema:Bd = Bφ(ρ)ˆφ,o que simplifica a eq de London2B =1λ2LB.→d2Bφdρ2+1ρdBφdρ−1ρ2+1λ2LBφ = 0Supercondutividade Leandro Alexandre
  42. 42. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauExemplo:Simetrias do problema:Bd = Bφ(ρ)ˆφ,o que simplifica a eq de London2B =1λ2LB.→d2Bφdρ2+1ρdBφdρ−1ρ2+1λ2LBφ = 0α =ρλLSupercondutividade Leandro Alexandre
  43. 43. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauExemplo:→d2Bφdα2+1αdBφdα− 1 +1αBφ = 0Supercondutividade Leandro Alexandre
  44. 44. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauExemplo:→d2Bφdα2+1αdBφdα− 1 +1αBφ = 0↑eq de Bessel modificadaSupercondutividade Leandro Alexandre
  45. 45. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauExemplo:→d2Bφdα2+1αdBφdα− 1 +1αBφ = 0↑eq de Bessel modificadaBd = aJ1iρλLˆφSupercondutividade Leandro Alexandre
  46. 46. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauExemplo:Contorno:ˆρ × Bf = ˆρ × BdSupercondutividade Leandro Alexandre
  47. 47. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauExemplo:Contorno:ˆρ × Bf = ˆρ × Bdˆρ ×µ0I2πρˆφ = ˆρ × aJ1iρλLˆφa =µ0I2πR1J1iRλL∴ Bd =µ0I2πR1J1iRλLJ1iρλLˆφSupercondutividade Leandro Alexandre
  48. 48. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauExemplo:J1iρλL= iI1ρλLpara ρλL1,I1 →1Γ(2)ρλLρ → 0, Bd → 0Supercondutividade Leandro Alexandre
  49. 49. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauConsidera¸c˜oes IniciaisEnergia livre (F) como um funcional de um campo ψSupercondutividade Leandro Alexandre
  50. 50. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauConsidera¸c˜oes IniciaisEnergia livre (F) como um funcional de um campo ψψ deve descrever as poss´ıveis fases do sistemaSupercondutividade Leandro Alexandre
  51. 51. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauConsidera¸c˜oes IniciaisEnergia livre (F) como um funcional de um campo ψψ deve descrever as poss´ıveis fases do sistemaψ → parˆametro de ordem do sistema:ψ = 0 na fase de alta temperatura (T > Tc)ψ = 0 para T < TcSupercondutividade Leandro Alexandre
  52. 52. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauConsidera¸c˜oes IniciaisModelo de Ising:H(σ, . . . , σN) = −I σi σj − µB σi ; σk = ±1Supercondutividade Leandro Alexandre
  53. 53. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauConsidera¸c˜oes IniciaisModelo de Ising:H(σ, . . . , σN) = −I σi σj − µB σi ; σk = ±1campo m´edio:σi σk = σi σk + σk σi − σi σk + (σi − σi )(σk − σk )HMF(σ, . . . , σN) = Iq2N σ 2− µ(BMF+ B) σiSupercondutividade Leandro Alexandre
  54. 54. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauConsidera¸c˜oes IniciaisModelo de Ising:H(σ, . . . , σN) = −I σi σj − µB σi ; σk = ±1campo m´edio:σi σk = σi σk + σk σi − σi σk + (σi − σi )(σk − σk )HMF(σ, . . . , σN) = Iq2N σ 2− µ(BMF+ B) σiσ → parˆametro de ordemT > Tc, σ = 0 : fase de maior simetria do sistemaT = Tc, simetria quebradaT < Tc, σ = 0Supercondutividade Leandro Alexandre
  55. 55. Outline Introdu¸c˜ao Modelo de London Modelo de Ginzburg-LandauConsidera¸c˜oes IniciaisSupercondutividade Leandro Alexandre

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