Formação de estruturas

212 visualizações

Publicada em

  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Formação de estruturas

  1. 1. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGForma¸c˜ao de Estruturas no UniversoLeandro Alexandre da SilvaUniversidade do Estado do Rio de JaneiroIFADT - PPGFProcessos Estoc´asticos17/11/2009Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  2. 2. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRG1 Motiva¸c˜ao2 Equa¸c˜oes Hidrodinˆamicas3 Equa¸c˜ao KPZ cosmol´ogica4 Equa¸c˜oes do Grupo de Renormaliza¸c˜aoForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  3. 3. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGModelo Cosmol´ogico Padr˜aoQuest˜ao: Como um universo homogˆeneo descrito pela m´etrica deFRLW evoluiu de tal forma a apresentar as estruturas queobservamos?Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  4. 4. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGModelo Cosmol´ogico Padr˜aoPrinc´ıpio Cosmol´ogico:HomogeneidadeIsotropiaElemento de linhads2= dt2− a(t)2 dr21 − kr2+ r2(dθ2+ sin2θdφ2)Gµν =8πm2plTµννTµν= 0Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  5. 5. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGModelo Cosmol´ogico Padr˜aoEqua¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  6. 6. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGModelo Cosmol´ogico Padr˜aoEqua¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Equa¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi )ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωi ρiForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  7. 7. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGModelo Cosmol´ogico Padr˜aoEqua¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Conserva¸c˜ao de Energia˙ρi = −3H(ρi + pi )Equa¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi )ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωi ρiForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  8. 8. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGModelo Cosmol´ogico Padr˜aoEqua¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Conserva¸c˜ao de Energia˙ρi = −3H(ρi + pi )Parˆametro de densidadeΩi = ρi /ρcEqua¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi )ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωi ρiForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  9. 9. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGModelo Cosmol´ogico Padr˜aoEqua¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Conserva¸c˜ao de Energia˙ρi = −3H(ρi + pi )Parˆametro de densidadeΩi = ρi /ρcEqua¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi )ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωi ρiDensidade Cr´ıticaρc =3m2pl8πH2Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  10. 10. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGInfla¸c˜ao C´osmicaId´eias B´asicas:Corrige falhas do MCPForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  11. 11. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGInfla¸c˜ao C´osmicaId´eias B´asicas:Corrige falhas do MCPProblema: ¨a(t) > 0¨aa= −4π3m2pl(ρ + 3p) → ω < −13Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  12. 12. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGInfla¸c˜ao C´osmicaId´eias B´asicas:Corrige falhas do MCPProblema: ¨a(t) > 0¨aa= −4π3m2pl(ρ + 3p) → ω < −13Solu¸c˜ao: usar um campo escalar (inflaton) para prover aexpans˜ao aceleradaForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  13. 13. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGInfla¸c˜ao C´osmicaId´eias B´asicas:Corrige falhas do MCPProblema: ¨a(t) > 0¨aa= −4π3m2pl(ρ + 3p) → ω < −13Solu¸c˜ao: usar um campo escalar (inflaton) para prover aexpans˜ao aceleradaTransi¸c˜ao de fase p˜oe o inflaton em equil´ıbrio inst´avel:Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  14. 14. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGInfla¸c˜ao C´osmicaCold inflation:Inflaton ´e um campo livreForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  15. 15. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGInfla¸c˜ao C´osmicaCold inflation:Inflaton ´e um campo livredo MCP: fase de radia¸c˜ao precede a domina¸c˜ao por mat´eriaForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  16. 16. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGInfla¸c˜ao C´osmicaCold inflation:Inflaton ´e um campo livredo MCP: fase de radia¸c˜ao precede a domina¸c˜ao por mat´eriaProblema: sem intera¸c˜ao → sem radia¸c˜aoSolu¸c˜ao: postula-se uma fase de reaquecimento para conduzir`a domina¸c˜ao por radia¸c˜aoForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  17. 17. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGInfla¸c˜ao C´osmicaCold inflation:Inflaton ´e um campo livredo MCP: fase de radia¸c˜ao precede a domina¸c˜ao por mat´eriaProblema: sem intera¸c˜ao → sem radia¸c˜aoSolu¸c˜ao: postula-se uma fase de reaquecimento para conduzir`a domina¸c˜ao por radia¸c˜aoEqua¸c˜oes b´asicas:¨φ(t) + 3H(t) ˙φ = −V (φ)ρφ =12˙φ2+ V (φ) , pφ =12˙φ2− V (φ)ωφ ≡12˙φ2− V (φ)12˙φ2 + V (φ).Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  18. 18. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGInfla¸c˜ao C´osmica: Forma¸c˜ao de EstruturasModelo inflacion´ario prevˆe pequenas flutua¸c˜oes detemperatura no universo primordialEssas flutua¸c˜oes de origem quˆantica s˜ao “sementes” dasestruturas que hoje observamosForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  19. 19. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGModelo para Forma¸c˜ao de EstruturasForma¸c˜ao de estruturas no universo pode ser visto como umproblema de crescimento de superf´ıcieOlhar a distribui¸c˜ao inicial de massa como uma superf´ıcie 3DplanaEnrugamento dessa superf´ıcie corresponde a forma¸c˜ao deestruturasForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  20. 20. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGModelo para Forma¸c˜ao de EstruturasForma¸c˜ao de estruturas no universo pode ser visto como umproblema de crescimento de superf´ıcieOlhar a distribui¸c˜ao inicial de massa como uma superf´ıcie 3DplanaEnrugamento dessa superf´ıcie corresponde a forma¸c˜ao deestruturas⇓equa¸c˜ao KPZ cosmol´ogicaForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  21. 21. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGRevis˜ao: Crescimento de Superf´ıcie (Kardar-Parisi-Zhang)Equa¸c˜ao de KPZ: modelo para a evolu¸c˜ao do perfil de umasuperf´ıcie.Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  22. 22. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGRevis˜ao: Crescimento de Superf´ıcie (Kardar-Parisi-Zhang)Equa¸c˜ao de KPZ: modelo para a evolu¸c˜ao do perfil de umasuperf´ıcie.Crescimento determin´ıstico → possui solu¸c˜ao anal´ıtica e exibepadr˜oes de relaxa¸c˜ao n˜ao triviaisCrescimento estoc´astico → estudado via t´ecnicas de grupos derenormaliza¸c˜ao e via mapeamento para a equa¸c˜ao de Burgers.Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  23. 23. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGRevis˜ao: Crescimento de Superf´ıcie (Kardar-Parisi-Zhang)Equa¸c˜ao de KPZ: modelo para a evolu¸c˜ao do perfil de umasuperf´ıcie.Crescimento determin´ıstico → possui solu¸c˜ao anal´ıtica e exibepadr˜oes de relaxa¸c˜ao n˜ao triviaisCrescimento estoc´astico → estudado via t´ecnicas de grupos derenormaliza¸c˜ao e via mapeamento para a equa¸c˜ao de Burgers.∂h(x, t)∂t= ν 2h(x, t) +λ2( h(x, t))2+ η(x, t) (1)η(x, t) = 0η(x, t)η(x , t) = Dδd(x − x )δ(t − t )Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  24. 24. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGRevis˜ao: Crescimento de Superf´ıcie (Kardar-Parisi-Zhang)Edward e Wilkinson → estudaram uma eq. tipo KPZ sem otermo n˜ao-linear. Kardar, Parisi e Zhang mostraram que semesse termo, as propriedades interessantes de crescimento n˜aoaparecem.Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  25. 25. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGRevis˜ao: Crescimento de Superf´ıcie (Kardar-Parisi-Zhang)Edward e Wilkinson → estudaram uma eq. tipo KPZ sem otermo n˜ao-linear. Kardar, Parisi e Zhang mostraram que semesse termo, as propriedades interessantes de crescimento n˜aoaparecem.Termo n˜ao-linear → presente sempre quando crescimentolateral ´e permitido!Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  26. 26. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGRevis˜ao: Crescimento de Superf´ıcie (Kardar-Parisi-Zhang)Mapeamento:Equa¸c˜ao de Difus˜ao:W (x, t) = expλ2νh(x, t)∂W (x, t)∂t= ν 2W (x, t) +λ2νη(x, t)W (x, t) (2)Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  27. 27. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGRevis˜ao: Crescimento de Superf´ıcie (Kardar-Parisi-Zhang)Mapeamento:Equa¸c˜ao de Difus˜ao:W (x, t) = expλ2νh(x, t)∂W (x, t)∂t= ν 2W (x, t) +λ2νη(x, t)W (x, t) (2)Equa¸c˜ao de Burgers:v = − h∂v∂t= ν 2v − λ|v| |v| − η (3)Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  28. 28. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGRevis˜ao: Crescimento de Superf´ıcie (Kardar-Parisi-Zhang)KPZ determin´ıstica (η(x, t) = 0) → estudo da forma¸c˜ao dedendritos. Solu¸c˜ao inst´avel, conduz a uma superf´ıcie planadependendo das C.I.Para h(x, 0) = h0(x),h(x, t) =2νλln∞−∞dd ξ(4πνt)d2exp −(x − ξ)24νt+λ2νh0(ξ)Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  29. 29. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGRevis˜ao: Crescimento de Superf´ıcie (Kardar-Parisi-Zhang)KPZ determin´ıstica (η(x, t) = 0) → estudo da forma¸c˜ao dedendritos. Solu¸c˜ao inst´avel, conduz a uma superf´ıcie planadependendo das C.I.Para h(x, 0) = h0(x),h(x, t) =2νλln∞−∞dd ξ(4πνt)d2exp −(x − ξ)24νt+λ2νh0(ξ)KPZ estoc´astica (η(x, t) = 0) → estudo via grupo derenormaliza¸c˜aoForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  30. 30. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes HidrodinˆamicasPonto de partida: Equa¸c˜oes hidrodinˆamicas n˜ao-relativ´ısticas.Distˆancias envolvidas na forma¸c˜ao de estruturas de mat´eriaap´os o desacoplamento s˜ao menores que o raio de Hubble →Efeitos da RG s˜ao desprez´ıveis.Campo de velocidade da mat´eria c , e a mat´erian˜ao-relativ´ıstica tem papel predominante sobre a radia¸c˜aodurante a forma¸c˜ao de estruturas.Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  31. 31. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes HidrodinˆamicasEvolu¸c˜ao do fator de escala a(t):H2=8πG3b −Ka2+Λ3, b = 0a−3, (4)b → densidade de mat´eriaCampos fundamentais:ou o contraste de densidade δ := ( / b) − 1velocidade peculiar u ≡ uphys − Hracelera¸c˜ao peculiar gravitacional g = gphys + 13 (4πGρb − Λ) rForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  32. 32. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes HidrodinˆamicasOs campos , u e g obedecem as seguintes equa¸c˜oeshidrodinˆamicas:Equa¸c˜ao de continuidade:∂∂t+ 3H +1a· ( u) = 0 ; (5)Equa¸c˜ao de Euler:∂u∂t+1a(u · )u + Hu = g −1ap + s ; (6)Equa¸c˜ao de campo newtoniana:· g = −4πGa( − b) , × g = 0 . (7)Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  33. 33. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes HidrodinˆamicasHip´otese fenomenol´ogica: p = p( )Termo de noise s → d´a conta de processos escondidos devidoa descri¸c˜ao “Coarse-grained” do sistema.s = 0si (x, t)sj (x , t ) = 2Dij (x, x , t, t )Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  34. 34. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes Hidrodinˆamicas→ Estudo do sistema de equa¸c˜oes hidrodinˆamicas ´e bastantecomplicado:hip´otese de paralelismo:g = F(t)u , (8)→ Impor que a velocidade peculiar se mant´em paralela `aacelera¸c˜ao gravitacional peculiarForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  35. 35. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes Hidrodinˆamicas→ Estudo do sistema de equa¸c˜oes hidrodinˆamicas ´e bastantecomplicado:hip´otese de paralelismo:g = F(t)u , (8)→ Impor que a velocidade peculiar se mant´em paralela `aacelera¸c˜ao gravitacional peculiarEqua¸c˜ao de Euler se torna:∂u∂t+1a(u · )u + (H − F)u = −p ( )a+ s , (9)Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  36. 36. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes HidrodinˆamicasA equa¸c˜ao de campo se torna:F · u + 4πGa( − b) = 0 ,o que nos d´a= −F4πGa2u .Finalmente,∂u∂t+1a(u · )u + (H − F)u = ν 2u + s . (10)ν ≡F(t)p ( )4πGa(t)2> 0 → viscosidade cinem´aticaForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  37. 37. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogicaIntroduzindo um potencial ψ(x, t) tal que u ≡ − ψ,∂ψ∂t−12a( ψ)2+ (H − F)ψ ==1a bdyp (y)y− s . (11)assume-se que s ≡ − η, η = 0 eη(x, t)η(x , t ) = 2D(x, x , t, t ) .Se o noise possu´ısse termo n˜ao potencial, geraria vorticidadeno campo de velocidade, o que destruiria a hip´otese deparalelismo.Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  38. 38. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogicaObtemos ent˜ao∂ψ∂t−12a( ψ)2+ (H − F)ψ ==1aδ0dyp ( b(1 + y))1 + y+ η . (12)Reescrevendo a equa¸c˜ao de campo em termos do novo potencial edo contraste δ, obtemosδ(x, t) =F(t)4πGa(t) b(t)2ψ(x, t) .Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  39. 39. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogicaFinalmente,∂ψ∂t−12a( ψ)2+ (H − F)ψ ==1aF4πGa b2ψ0dyp ( b(1 + y))1 + y+ η . (13)Temos uma EDP com 2 fontes de n˜ao-linearidade:o termo ( ψ)2 eo termo integralForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  40. 40. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogicaQual p( )? → Modelo politr´opico: p = κ γForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  41. 41. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogicaQual p( )? → Modelo politr´opico: p = κ γPara o caso particular p = κ 2, obtemos∂ψ∂t−12a( ψ)2+ (H − F)ψ =Fp ( b)4πGa2b2ψ + η . (14)(H − F)ψ nos mostra a competi¸c˜ao entre o amortecimentodas perturba¸c˜oes devido `a expans˜ao cosmol´ogica (Hψ) e oaumento das perturba¸c˜oes devido ao colapso gravitacional(−Fψ).|H − F|−1 → escala de tempo dependente do tempo que ´e aescala de tempo do damping (ou crescimento) dasperturba¸c˜oes em regimes onde a n˜ao-linearidade ´e desprez´ıvel.Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  42. 42. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogicaO termo proporcional ao laplaciano descreve o amortecimentodas perturba¸c˜oes devido a dispers˜ao da velocidadeO efeito do termo n˜ao linear ´e aumentar os picos do campo ψO termo de noise incorpora os efeitos de flutua¸c˜oes dediversas fontes e conduz ao enrugamento espa¸co-temporal docampo ψ `a medida que ele evolui.Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  43. 43. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogicaO termo proporcional ao laplaciano descreve o amortecimentodas perturba¸c˜oes devido a dispers˜ao da velocidadeO efeito do termo n˜ao linear ´e aumentar os picos do campo ψO termo de noise incorpora os efeitos de flutua¸c˜oes dediversas fontes e conduz ao enrugamento espa¸co-temporal docampo ψ `a medida que ele evolui.A equa¸c˜ao obtida ´e uma generaliza¸c˜ao da equa¸c˜ao KPZ da mat´eriacondensada:possui coeficientes dependentes do tempo → consequˆencia daexpans˜ao cosmol´ogicatermo proporcional a ψForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  44. 44. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogica´E poss´ıvel reescrever a eq. KPZ cosmol´ogica com coeficientesconstantes? Sim!Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  45. 45. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogica´E poss´ıvel reescrever a eq. KPZ cosmol´ogica com coeficientesconstantes? Sim!∂ψ∂t= f1(t)ν 2ψ +12f2(t)λ( ψ)2+f3(t)Tψ + η , (15)f1(t) =1νF(t)p ( b(t))4πGa2(t) b(t),f2(t) =1λa(t),f3(t) = [F(t) − H(t)]T .Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  46. 46. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogicaDefinindo uma nova coordenada temporal τ, um novo potencialΨ(x, τ) e um novo noise ˜η(x, τ) viaτ(t) =tt0dyf1(y) , Ψ =f2f1ψ , ˜η =f2f 21η , (16)obtemos∂Ψ∂τ= ν 2Ψ +λ2( Ψ)2− m(τ)Ψ + ˜η , (17)ondem(τ) =1f1(t(τ))df1(t(τ))dτ−1f2(t(τ))df2(t(τ))dτ−−1Tf3(t(τ))f1(t(τ)). (18)Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  47. 47. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜ao KPZ cosmol´ogicam(τ) = 0 → KPZ padr˜aom(τ) > 0 → damping do crescimento da superf´ıciem(τ) < 0 → comportamento inst´avelForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  48. 48. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes do Grupo de Renormaliza¸c˜aoFerramenta que nos mostra como os acoplamentos mudamcom a escalaPrediz que todas as fun¸c˜oes de correla¸c˜ao se comportamcomo lei de potˆencia pr´oximo a um ponto cr´ıtico →comportamento auto-similarM´edia sobre os momentos k no intervalo Λ/s ≤ k ≤ Λseguida por uma dilata¸c˜ao x → sxDefine uma escala abaixo da qual as caracter´ısticasmoleculares se tornam manifestas → limite hidrodinˆamicotorna-se inv´alidoForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  49. 49. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes do Grupo de Renormaliza¸c˜aoCalcula-se os expoentes da lei de potˆencia impondo que aequa¸c˜ao dinˆamica se mantenha invariante sobx → sx t → szt, and Ψ → sχΨ,Eliminando s,Ψ(x, t)Ψ(x , t ) ∝| x − x |2χf| t − t || x − x |z,limu→∞f (u) → u2χ/z,limu→0f (u) → constante.Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  50. 50. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes do Grupo de Renormaliza¸c˜aoA expans˜ao perturbativa da equa¸c˜ao∂Ψ∂τ= ν 2Ψ +λ2( Ψ)2− m(τ)Ψ + ˜η , (19)no espa¸co de Fourier, sujeita aos requerimentos de invariˆancia deforma conduz `as seguintes eqs:Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  51. 51. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes do Grupo de Renormaliza¸c˜aodU0d log s= (2 − d)U0 +U204dV 3[d + 3(dV − 2)]+U2θ4V 3+4θsec(2πθ)(1 + 4θ)+U0Uθ4dV 3+2θ(1 + 2θ) sec(πθ) ×[2d − 8θ + 3((d − 2ρ)V − 2)] (20)dUθd log s= (2 − d + 2ρ + 4θ)Uθ +U0Uθ4dV 3(dV − 2)(3 + 2θ)+U2θ4dV 3+2θ(1 + 2θ) sec(πθ) ×[−8θ + ((d − 2ρ)V − 2)(3 + 2θ)]dVd log s= (V − 1)[2 +14dV 3[(dV − 2)U0+((d − 2ρ)V − 2)V −2θ(1 + 2θ) sec(πθ)Uθ]]Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  52. 52. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes do Grupo de Renormaliza¸c˜aocom˜η(k, ω) = 0,˜η(k, ω)˜η(k , ω ) = 2˜D(k, ω)(2π)d+1δ(k + k )δ(ω + ω ),˜D(k, ω) = D0 + Dθk−2ρω−2θ, (21)e os acoplamentos adimensionais V = 1 + m2νΛ2 ,U0 = λ2D0Kd Λd−2/ν3, e Uθ = λ2DθKd Λd−2−2ρ−4θ/ν3+2ρ.Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  53. 53. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGEqua¸c˜oes do Grupo de Renormaliza¸c˜aoU0, Uθ → medem a intensidade do efeito de enrugamentodevido ao efeito combinado do noise e da n˜ao-linearidade.V mede a competi¸c˜ao entre os termos de difus˜ao e massa.Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  54. 54. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGPontos Cr´ıticos⇒ equa¸c˜oes do RG = 0quando as constantes de acoplamento atingem seuscorrespondentes valores cr´ıticos, a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao entrano regime de lei de potˆenciaForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  55. 55. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGPontos Cr´ıticosUsandoδ(x, t) =F4πGa¯ρ2ψ(x, t),eΨ(x, τ) ≡f2(t(τ))f1(t(τ))ψ(x, t(τ)),obtemosξ(|x − y|, t) ≡ δ(x, t) δ(y, t) (22)=F4πGa¯ρ2f 21f 222x2y Ψ(x, t)Ψ(y, t ) |t =t .Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  56. 56. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGPontos Cr´ıticosUsandoΨ(x, t)Ψ(x , t ) ∝| x − x |2χf| t − t || x − x |z,elimu→0f (u) → constant.obtemosC(|x − y|) ≡ Ψ(x, t)Ψ(y, t) ∼ |x − y|2χ.Portanto,C(r) ∼ r−(d−2+η); ˜C(k) ∼ kη−2(23)η = 2 − d − 2χForma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva
  57. 57. Outline Motiva¸c˜ao Eqs Hidrodinˆamicas KPZ cosmol´ogica DynRGPontos Cr´ıticosPara tempos iguais,ξ(r) ∼ r−(d+2+η), (24)eP(k) ∼ k2+η. (25)→ ξOBS (r) ∼ r−γ, γ = 4 − 2χ(ρ, θ)Noise branco n˜ao reproduz os dados observacionais(1.5<∼ γ<∼ 1.8) para nenhum PRu´ıdo colorido consegue reproduzir o resultado observacionalatrav´es do ajuste do grau de correla¸c˜ao espacial(γ = 4 − 2χ(ρ))Forma¸c˜ao de Estruturas no Universo Leandro Alexandre da Silva

×