Mecânica dos Sólidos - Unidade 01

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Mecânica dos Sólidos - Unidade 01

1 - Notação Indicial
2 - Tensores
3 - Cálculo Tensorial

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Mecânica dos Sólidos - Unidade 01

  1. 1. Mecˆanica dos S´olidos I – MAC-005 Unidade 01 Luis Paulo S. Barra Leonardo Goliatt Departamento de Mecˆanica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora v. 14.09 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 1 / 46
  2. 2. Livro Texto Livro texto: I Introduction to Continuum Mechanics I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 2 / 46
  3. 3. Programa 1 Notac¸ ˜ao Indicial 2 Revisa˜o de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 3 / 46
  4. 4. Programa 1 Notac¸ ˜ao Indicial Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 4 / 46
  5. 5. Notac¸ ˜ao indicial Eixos Coordenados Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem como unit´arios e1,e2 e e3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 4 / 46
  6. 6. Notac¸ ˜ao indicial Eixos Coordenados Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem como unit´arios e1,e2 e e3 Regra da Soma, ´Indices Mudos A soma s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn = Xn i=1 aixi Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 4 / 46
  7. 7. Notac¸ ˜ao indicial Eixos Coordenados Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem como unit´arios e1,e2 e e3 Regra da Soma, ´Indices Mudos A soma s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn = Xn i=1 aixi ´e representada por s = aixi = amxm onde i ´e conhecido como ´ındice mudo. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 4 / 46
  8. 8. Notac¸ ˜ao indicial Eixos Coordenados Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem como unit´arios e1,e2 e e3 Regra da Soma, ´Indices Mudos A soma s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn = Xn i=1 aixi ´e representada por s = aixi = amxm onde i ´e conhecido como ´ındice mudo. Em problemas tridimensionais ´e assumido n = 3. Um vetor n pode ser representado como: n = niei Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 4 / 46
  9. 9. Notac¸ ˜ao indicial ´Indices Mudos (cont.) Somat´orios duplos: aijxixj = X3 i=1 X3 j=1 aijxixj = a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3 a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3 a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 5 / 46
  10. 10. Notac¸ ˜ao indicial ´Indices Mudos (cont.) Somat´orios duplos: aijxixj = X3 i=1 X3 j=1 aijxixj = a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3 a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3 a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3 O somat´orio: X3 i=1 aibixi deve manter o s´ımbolo de somat´orio, uma vez que: o produto aibixi n˜ao ´e definido nesta notac¸ ˜ao. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 5 / 46
  11. 11. Notac¸ ˜ao indicial ´Indices Livres Considere o sistema de equac¸ ˜oes: b1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 b2 = a21x1 + a22x2 + a23x3 b3 = a31x1 + a32x2 + a33x3 Usando a regra da soma, podem ser escritas como: b1 = a1mxm b2 = a2mxm b3 = a3mxm Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 6 / 46
  12. 12. Notac¸ ˜ao indicial ´Indices Livres Podem ser ainda mais compactadas: bi = aimxm; i = 1; 2; 3 Na notac¸ ˜ao indicial s˜ao escritas simplesmente como: bi = aimxm Um ´ındice livre aparece uma vez em cada termo de uma express˜ao. As express˜oes abaixo n˜ao s˜ao definidas: ai = bj Tij = Tik Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 7 / 46
  13. 13. Notac¸ ˜ao indicial Delta de Kronecker O delta de Kronecker, denotado por ij, ´e definido por ij = ( 1 se i = j 0 se i , j ou seja 11 = 22 = 33 = 1 12 = 13 = 21 = 23 = 31 = 31 = 0 Ainda observamos que: ii = 1 + 1 + 1 = 3 1mam = 11a1 + 12a2 + 13a3 imTmj = Tij Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.09 8 / 46
  14. 14. Notac¸ ˜ao indicial S´ımbolo de Permutac¸ ˜ao O s´ımbolo de permutac¸ ˜ao, denotado por ijk, ´e definido por ijk = 8: +1

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