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Inflação estocástica não-isentrópica (defesa de tese)

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Inflação estocástica não-isentrópica (defesa de tese)

  1. 1. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosInfla¸c˜ao Estoc´astica N˜ao-Isentr´opicaLeandro Alexandre da SilvaUniversidade do Estado do Rio de JaneiroPrograma de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısicaDefesa de Tese18/03/2013
  2. 2. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´arios1 Por que Infla¸c˜ao?2 Infla¸c˜ao fria3 Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica4 Estendendo Starobinsky I: an´alise perturbativa5 Contato com as observa¸c˜oes6 Estendendo Starobinsky II: grandes escalas7 Coment´arios finais
  3. 3. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?O modelo cosmol´ogico padr˜ao (MCP)As leis f´ısicas s˜ao universaisHomogeneidade e isotropia em grandes escalasUniverso expande a partir de um estado quente e densoElemento de linhads2= dt2− a(t)2 dr21 − kr2+ r2(dθ2+ sin2θdφ2)Gµν =8πm2plTµννTµν= 0
  4. 4. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?Equa¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2
  5. 5. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?Equa¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Equa¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi)ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωiρi
  6. 6. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?Equa¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Conserva¸c˜ao de Energia˙ρi = −3H(ρi + pi)Equa¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi)ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωiρi
  7. 7. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?Equa¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Conserva¸c˜ao de Energia˙ρi = −3H(ρi + pi)Parˆametro de densidadeΩi = ρi/ρcEqua¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi)ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωiρi
  8. 8. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?Equa¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Conserva¸c˜ao de Energia˙ρi = −3H(ρi + pi)Parˆametro de densidadeΩi = ρi/ρcEqua¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi)ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωiρiDensidade Cr´ıticaρc =3m2pl8πH2
  9. 9. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?MCP: boa descri¸c˜ao para t 1sNucleoss´ıntese primordialRecombina¸c˜aoDesacoplamentoPrevis˜ao da radia¸c˜ao c´osmica de fundoProblemas (limita¸c˜oes) do MCPPlanitudeHomogeneidadeSingularidade inicialHorizonteMonopolosetc
  10. 10. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?Id´eias B´asicas:Corrige (ou alivia) falhas do MCP
  11. 11. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?Id´eias B´asicas:Corrige (ou alivia) falhas do MCPProblema: ¨a(t) > 0¨aa= −4π3m2pl(ρ + 3p) → ω < −13
  12. 12. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?Id´eias B´asicas:Corrige (ou alivia) falhas do MCPProblema: ¨a(t) > 0¨aa= −4π3m2pl(ρ + 3p) → ω < −13Solu¸c˜ao: usar um campo escalar (inflaton) para prover aexpans˜ao acelerada
  13. 13. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosPor que Infla¸c˜ao?Id´eias B´asicas:Corrige (ou alivia) falhas do MCPProblema: ¨a(t) > 0¨aa= −4π3m2pl(ρ + 3p) → ω < −13Solu¸c˜ao: usar um campo escalar (inflaton) para prover aexpans˜ao aceleradaTransi¸c˜ao de fase p˜oe o inflaton em equil´ıbrio inst´avel:
  14. 14. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosInfla¸c˜ao fria:Inflaton ´e um campo n˜ao interagente
  15. 15. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosInfla¸c˜ao fria:Inflaton ´e um campo n˜ao interagentedo MCP: fase de radia¸c˜ao precede a domina¸c˜ao por mat´eria
  16. 16. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosInfla¸c˜ao fria:Inflaton ´e um campo n˜ao interagentedo MCP: fase de radia¸c˜ao precede a domina¸c˜ao por mat´eriaProblema: sem intera¸c˜ao → sem radia¸c˜aoSolu¸c˜ao: fase de reaquecimento para conduzir `a domina¸c˜aopor radia¸c˜ao
  17. 17. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosInfla¸c˜ao fria:Inflaton ´e um campo n˜ao interagentedo MCP: fase de radia¸c˜ao precede a domina¸c˜ao por mat´eriaProblema: sem intera¸c˜ao → sem radia¸c˜aoSolu¸c˜ao: fase de reaquecimento para conduzir `a domina¸c˜aopor radia¸c˜aoEqua¸c˜oes b´asicas:¨φ(t) + 3H(t) ˙φ = −V (φ)ρφ =12˙φ2+ V (φ) , pφ =12˙φ2− V (φ)ωφ ≡12˙φ2 − V (φ)12˙φ2 + V (φ).
  18. 18. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosQuanta Infla¸c˜ao?e-folds:Ne ≡ lna(tf )a(ti)= −8πm2plφfφ0VVdφ > 60 ,
  19. 19. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosQuanta Infla¸c˜ao?e-folds:Ne ≡ lna(tf )a(ti)= −8πm2plφfφ0VVdφ > 60 ,↓Restri¸c˜oes sobre a forma do potencial:(φ) ≡m2pl16πVV21 ,|η(φ)| ≡m2pl8πVV1 .
  20. 20. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosRegime de rolamento lentoEqua¸c˜oes aproximadas:3H ˙φ ≈ −V (φ) ,H2≈8π3m2plV (φ) .Ex:V (φ) = m2φ2/2a(t) = a0 exp4π3mmplφ0 −mmplt√48πtφ(t) = φ0 −mmplt√12πφf =mpl2√π, φ0 > 3.1mpl
  21. 21. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosQuest˜ao:Sistemas na natureza = isolados⇓Intera¸c˜ao com um meio, p.ex um banho t´ermico⇓Coarse-graining conduz `a dissipa¸c˜ao e efeitos estoc´asticos⇓Dinˆamica via eq. tipo Langevin
  22. 22. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosIntera¸c˜ao sistema-banhoExemplo padr˜ao em mecˆanica estat´ıstica:
  23. 23. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosIntera¸c˜ao sistema-banhoExemplo padr˜ao em mecˆanica estat´ıstica:Exemplo:Modelo de Caldeira-LeggettSistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :H =p22+ V (q) +12Nα=1p2αmα+ mαωα xα −cαmαω2αF(q)2
  24. 24. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosIntera¸c˜ao sistema-banhoExemplo padr˜ao em mecˆanica estat´ıstica:Exemplo:Modelo de Caldeira-LeggettSistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :H =p22+ V (q) +12Nα=1p2αmα+ mαωα xα −cαmαω2αF(q)2Tomando a intera¸c˜ao sistema-banho como sendo linear (∼ qxα⇒ F(q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:
  25. 25. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosIntera¸c˜ao sistema-banho¨q(t) +t0dt Λ(t − t ) ˙q(t ) + V [q(t)] = ξ(t)Λ(t − t ) = Θ(t − t )1MNα=1c2αmαω2αcos(ωαt)⇒ Equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana (kernel n˜ao-local Λ(t − t ), possuimem´oria da hist´oria passada) com ru´ıdo gaussiano e colorido:ξ(t) ρ(0)B= 0, ξ(t)ξ(t ) ρ(0)B= kBTΛ(t − t )
  26. 26. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosIntera¸c˜ao sistema-banhoTQC:L[φ, χ, σ] = L[φ] + L[χ] + L[σ] + Lint[φ, χ] + Lint[χ, σ]φ → campo em cuja dinˆamica estamos interessadosχ → campo intermedi´ario que se acopla `a σ e φσ → campo em equil´ıbrio t´ermico `a temperatura T
  27. 27. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosIntera¸c˜ao sistema-banhoTQC:L[φ, χ, σ] = L[φ] + L[χ] + L[σ] + Lint[φ, χ] + Lint[χ, σ]φ → campo em cuja dinˆamica estamos interessadosχ → campo intermedi´ario que se acopla `a σ e φσ → campo em equil´ıbrio t´ermico `a temperatura TProcedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.Dinˆamica fora do equil´ıbrio → Formalismo de tempo real
  28. 28. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosIntera¸c˜ao sistema-banhoTQC:L[φ, χ, σ] = L[φ] + L[χ] + L[σ] + Lint[φ, χ] + Lint[χ, σ]φ → campo em cuja dinˆamica estamos interessadosχ → campo intermedi´ario que se acopla `a σ e φσ → campo em equil´ıbrio t´ermico `a temperatura TProcedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.Dinˆamica fora do equil´ıbrio → Formalismo de tempo realAproxima¸c˜ao markoviana (dissipa¸c˜ao local) → Escala de tempo dosistema escala de tempo de relaxa¸c˜ao
  29. 29. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosIntera¸c˜ao sistema-banhoTQC:L[φ, χ, σ] = L[φ] + L[χ] + L[σ] + Lint[φ, χ] + Lint[χ, σ]φ → campo em cuja dinˆamica estamos interessadosχ → campo intermedi´ario que se acopla `a σ e φσ → campo em equil´ıbrio t´ermico `a temperatura TProcedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.Dinˆamica fora do equil´ıbrio → Formalismo de tempo realAproxima¸c˜ao markoviana (dissipa¸c˜ao local) → Escala de tempo dosistema escala de tempo de relaxa¸c˜aoEqua¸c˜ao de Movimento Efetiva:∂2∂t2+ (3H + Υ)∂∂t−1a22Φ +∂Veff(Φ)∂Φ= ξT
  30. 30. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica:Mesmos mecanismos b´asicos da infla¸c˜ao padr˜ao
  31. 31. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica:Mesmos mecanismos b´asicos da infla¸c˜ao padr˜aoInflaton interage com outros campos → produ¸c˜ao de radia¸c˜aodurante infla¸c˜ao
  32. 32. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica:Mesmos mecanismos b´asicos da infla¸c˜ao padr˜aoInflaton interage com outros campos → produ¸c˜ao de radia¸c˜aodurante infla¸c˜aoN˜ao necessita de uma fase de reaquecimentoTransi¸c˜ao “suave” para a fase de radia¸c˜ao
  33. 33. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica:Mesmos mecanismos b´asicos da infla¸c˜ao padr˜aoInflaton interage com outros campos → produ¸c˜ao de radia¸c˜aodurante infla¸c˜aoN˜ao necessita de uma fase de reaquecimentoTransi¸c˜ao “suave” para a fase de radia¸c˜aoEqua¸c˜oes b´asicas:∂2∂t2+ (3H + Υ)∂∂t−1a22Φ +∂V (Φ)∂Φ= ξTξT (x, t)ξT (x , t ) = 2ΥTa−3δ(x − x )δ(t − t )¨a = −8π3m2plρr + ˙Φ2− V (Φ) a˙ρΦ = −3˙aa˙Φ2− Υ ˙Φ2+ ξT˙Φ , ˙ρr = −4˙aaρr + Υ ˙Φ2− ξT˙Φ
  34. 34. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica:=m2pl16πVV2, η =m2pl8πVV, β =m2pl8πΥ VΥV< 1 + Q, η < 1 + Q e β < 1 + Q , Q ≡Υ3H
  35. 35. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´arios1 Por que Infla¸c˜ao?2 Infla¸c˜ao fria3 Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica4 Estendendo Starobinsky I: an´alise perturbativa5 Contato com as observa¸c˜oes6 Estendendo Starobinsky II: grandes escalas7 Coment´arios finais
  36. 36. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosContribui¸c˜oes para o espectro de potˆenciaImportante caracter´ıstica dos modelos inflacion´arios: mecanismo naturalpara a gera¸c˜ao de perturba¸c˜oes de densidade aproximadamenteinvariantes de escala, o que concorda com as observa¸c˜oes.Infla¸c˜ao fria: contribui¸c˜ao proveninente das flutua¸c˜oes quˆanticasInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica: contribui¸c˜ao proveninente das flutua¸c˜oest´ermicas
  37. 37. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosContribui¸c˜oes para o espectro de potˆenciaImportante caracter´ıstica dos modelos inflacion´arios: mecanismo naturalpara a gera¸c˜ao de perturba¸c˜oes de densidade aproximadamenteinvariantes de escala, o que concorda com as observa¸c˜oes.Infla¸c˜ao fria: contribui¸c˜ao proveninente das flutua¸c˜oes quˆanticasInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica: contribui¸c˜ao proveninente das flutua¸c˜oest´ermicas⇓casos extremos... Quest˜oes:Como descrever flutua¸c˜oes t´ermicas e quˆanticas dentro de ummesmo quadro geral?Em que circunstˆancias as flutua¸c˜oes t´ermicas se tornam dominantessobre as quˆanticas?Como as restri¸c˜oes observacionais impostas sobre a infla¸c˜ao friarespondem `a presen¸ca de flutua¸c˜ao t´ermica e dissipa¸c˜ao?
  38. 38. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosA abordagem estoc´astica para a infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opicaPoss´ıvel resposta: Infla¸c˜ao estoc´astica n˜ao-isentr´opicaExtens˜ao do programa denominado “infla¸c˜ao estoc´astica”(Starobinsky ∼ 1987)Leva em conta explicitamente flutua¸c˜oes quˆanticas e t´ermicasde uma maneira transparenteRecupera os resultados canˆonicos da infla¸c˜ao tomando-selimites apropriados
  39. 39. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosAbordagem original de StarobinskyId´eia central da abordagem de Starobinsky:Φ(x, t) → Φ>(x, t) + Φ<(x, t)Separa¸c˜ao implementada atrav´es de uma fun¸c˜ao janela oufiltro: W(k, t) ≡ θ(k − aH)Objetivo: dinˆamica efetiva para os modos de grandecomprimento de onda ( k kh ≈ aH)Φ<(x, t) ≡ φq(x, t) =d3k(2π)3/2W(k, t) φk(t)e−ik·xˆak + φ∗k(t)eik·xˆa†kφk(t)H√2kτ − i1ke−ikτ, φ∗k(t)H√2kτ + i1keikτ
  40. 40. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosAbordagem original de Starobinsky∂2Φ>∂t2+ 3H∂Φ>∂t−1a22Φ> + V,φ(Φ>) = ξq ,ξq = −∂2∂t2+ 3H∂∂t−1a22+ V,φφ(Φ>) φq .ξq(x, t), ξq(x , t ) = 0 ⇒ c-numberCorrela¸c˜ao:ξq(x, t)ξq(y, t ) =H34π2δ(t − t )sin τ | x − y |τ | x − y |.
  41. 41. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaNovo split:Φ(x, t) = ϕ(t) + δϕ(x, t) + φq(x, t) ,ondeϕ(t) =1Ω Ωd3xΦ(x, t) ,e denovo,φq(x, t) =d3k(2π)3/2W(k, t) φk(t)e−ik·xˆak + φ∗k(t)eik·xˆa†kEqua¸c˜ao mais geral para os modos:φk(τ) =H√π2(|τ|)3/2H(1)µ (k|τ|) ,onde µ = 9/4 − 3η.
  42. 42. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativa∂2ϕ∂t2+ [3H + Υ(ϕ)]∂ϕ∂t+ V,ϕ(ϕ) = 0 ,∂2∂t2+ [3H + Υ(ϕ)]∂∂t−1a22+ Υ,ϕ(ϕ) ˙ϕ + V,ϕϕ(ϕ) δϕ = ˜ξq + ξT ,˜ξq = −∂2∂t2+ [3H + Υ(ϕ)]∂∂t−1a22+ Υ,ϕ(ϕ) ˙ϕ + V,ϕϕ(ϕ) φq ,˜ξq → termo de ru´ıdo quˆantico modificado˜ξq(x, t), ˜ξq(x , t ) = 0 → comportamento cl´assico mantidoEqua¸c˜ao de movimento em termos de z = k/(aH):δϕ (k, z) −1z(3Q + 2)δϕ (k, z) + 1 + 3η − βQ/(1 + Q)z2δϕ(k, z) =1H2z2ξT (k, z) + ˜ξq(k, z) .
  43. 43. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaAtrav´es da solu¸c˜ao, definimos o espectro de potˆencia do inflaton:Pδϕ =k32π2d3k(2π)3δϕ(k, z)δϕ(k , z) = P(th)δϕ (z) + P(qu)δϕ (z) .P(th)δϕ (z) =ΥTπ2∞zdz z 2−4νG(z, z )2, P(qu)δϕ = [2n(k) + 1]k32π2|Fk(z)|2
  44. 44. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaAtrav´es da solu¸c˜ao, definimos o espectro de potˆencia do inflaton:Pδϕ =k32π2d3k(2π)3δϕ(k, z)δϕ(k , z) = P(th)δϕ (z) + P(qu)δϕ (z) .P(th)δϕ (z) =ΥTπ2∞zdz z 2−4νG(z, z )2, P(qu)δϕ = [2n(k) + 1]k32π2|Fk(z)|2Fk(z) =π3/2zνH4k3/2∞zdz (z )3/2−ν[Jα(z)Yα(z ) − Jα(z )Yα(z)]×βQ1 + QW,z (z )H(1)µ (z ) + z W,z (z )H(1)µ−1(z )−3QzβQ1 + Q+ η W(z )H(1)µ (z ) − 3QW(z )H(1)µ−1(z )−π3/2zνH4k3/2∞zdz (z )5/2−ν[Jα(z)Yα−1(z ) − Jα−1(z )Yα(z)] W,z (z )H(1)µ (z )
  45. 45. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaAspectro da filtragem com W(k, t) = 1 − exp − k22( aH)2 :Figure: Linhas pontilhada, tracejada e cheia indicam, respectivamente,um parˆametro igual a 0.1, 0.3 e 0.5.
  46. 46. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaUsando o filtro step:Fk(z) ≈ −iz3/2−µH√2k3/21 + O( 2)
  47. 47. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaUsando o filtro step:Fk(z) ≈ −iz3/2−µH√2k3/21 + O( 2)Fraca dependˆencia emFraca dependˆencia em Q: O( 3)
  48. 48. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaPδϕ(z) ≈HT4π23Q2√π22αz2ν−2α Γ (α)2Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)Γ ν − 12 Γ (α + ν − 1/2)+HTcothzH2Tz2η,ondeν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +3βQ1 + Q− 3η
  49. 49. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaPδϕ(z) ≈HT4π23Q2√π22αz2ν−2α Γ (α)2Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)Γ ν − 12 Γ (α + ν − 1/2)+HTcothzH2Tz2η,ondeν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +3βQ1 + Q− 3ηTodos os fatores obtidos diretamente, sem a necessidade de ajustesad hoc como ´e usual (ex: Graham and Moss JCAP07(2009)013)Aproximadamente invariante de escala, como esperado
  50. 50. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaPδϕ(z) ≈HT4π23Q2√π22αz2ν−2α Γ (α)2Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)Γ ν − 12 Γ (α + ν − 1/2)+HTcothzH2Tz2η,ondeν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +3βQ1 + Q− 3ηTodos os fatores obtidos diretamente, sem a necessidade de ajustesad hoc como ´e usual (ex: Graham and Moss JCAP07(2009)013)Aproximadamente invariante de escala, como esperadoDeriva¸c˜ao alternativa para o termo de enhancement, encontrado porMohanty et al (Phys. Rev. Lett. 97, 251301 (2006)) em umcontexto similar
  51. 51. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaPδϕ(z) ≈HT4π23Q2√π22αz2ν−2α Γ (α)2Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)Γ ν − 12 Γ (α + ν − 1/2)+HTcothzH2Tz2η,ondeν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +3βQ1 + Q− 3ηRecupera todos os resultados da infla¸c˜ao fria e n˜ao-isentr´opica:
  52. 52. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaPδϕ(z) ≈HT4π23Q2√π22αz2ν−2α Γ (α)2Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)Γ ν − 12 Γ (α + ν − 1/2)+HTcothzH2Tz2η,ondeν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +3βQ1 + Q− 3ηRecupera todos os resultados da infla¸c˜ao fria e n˜ao-isentr´opica:Q 1 e T H ⇒ Pδϕ ∝ HT (Berera and Fang, Phys. Rev.Lett. 74, 1912-1915 (1995))
  53. 53. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaPδϕ(z) ≈HT4π23Q2√π22αz2ν−2α Γ (α)2Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)Γ ν − 12 Γ (α + ν − 1/2)+HTcothzH2Tz2η,ondeν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +3βQ1 + Q− 3ηRecupera todos os resultados da infla¸c˜ao fria e n˜ao-isentr´opica:Q 1 e T H ⇒ Pδϕ ∝ HT (Berera and Fang, Phys. Rev.Lett. 74, 1912-1915 (1995))Q 1 e T H ⇒ Pδϕ ∝ T√HΥ (Hall, Moss and Berera,Phys. Rev. D 69, 083525 (2004) )
  54. 54. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaPδϕ(z) ≈HT4π23Q2√π22αz2ν−2α Γ (α)2Γ (ν − 1) Γ (α − ν + 3/2)Γ ν − 12 Γ (α + ν − 1/2)+HTcothzH2Tz2η,ondeν = 3(1 + Q)/2 , α = ν2 +3βQ1 + Q− 3ηRecupera todos os resultados da infla¸c˜ao fria e n˜ao-isentr´opica:Q 1 e T H ⇒ Pδϕ ∝ HT (Berera and Fang, Phys. Rev.Lett. 74, 1912-1915 (1995))Q 1 e T H ⇒ Pδϕ ∝ T√HΥ (Hall, Moss and Berera,Phys. Rev. D 69, 083525 (2004) )Q 1 e T H ⇒ Pδϕ ∝ H2(infla¸c˜ao fria)
  55. 55. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky I: an´alise perturbativaV (φ) =λM4plpφMplp, Υ(φ, T) = Cφφ2aTcm2bX, c + 2a − 2b = 1Figure: linhas azuis, Υ(φ), vermelhas Υ = cte. Linhas tracejadas p = 2,cheias p = 4, pontilhadas p = 6
  56. 56. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´arios1 Por que Infla¸c˜ao?2 Infla¸c˜ao fria3 Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica4 Estendendo Starobinsky I: an´alise perturbativa5 Contato com as observa¸c˜oes6 Estendendo Starobinsky II: grandes escalas7 Coment´arios finais
  57. 57. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosParˆametros cosmol´ogicosAmplitude das perturba¸c˜oes de curvatura∆2R =H2˙φ2Pδϕ = ∆2R(k0)kk0ns−1∆2h =8M2plH24π2´Indice espectral (e running ns):ns − 1 =d ln ∆2Rd ln kns ≡dnsd ln kRaz˜ao tensorial para escalar:r ≡∆2h∆2R=4 H2(1 + Q)2π2Pδϕ
  58. 58. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosParˆametros cosmol´ogicosAmplitude das perturba¸c˜oes de curvatura∆2R =H2˙φ2Pδϕ = ∆2R(k0)kk0ns−1∆2h =8M2plH24π2cothz∗H2T´Indice espectral (e running ns):ns − 1 =d ln ∆2Rd ln kns ≡dnsd ln kRaz˜ao tensorial para escalar:r ≡∆2h∆2R=4 H2(1 + Q)2π2Pδϕcothz∗H2T
  59. 59. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosParˆametros cosmol´ogicosAlguns limites interessantes:´Indice espectral:Q → 0 e T → 0 ⇒ ns = 1 + 2η − 6εQ 1 e T H ⇒ns = 1 +1Q−94ε −94β +32η + O(1/Q3/2) + O(1/(Q3/2T2))(Hall, Moss and Berera, Phys. Rev. D 69, 083525 (2004) )Q 1 e T H ⇒ ns = 1 + 2η − 6ε + (8ε − 2η)Q + O(Q2)
  60. 60. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosParˆametros cosmol´ogicosAlguns limites interessantes:Raz˜ao tensorial para escalar:Q 1 e T H ou T H ⇒ r ≈ 16Q 1 e T H ⇒ r ≈32√3πQ5/2Q 1 e T H ( sem enhancement) ⇒ r ≈16 H√3πTQ5/2(Hall, Moss and Berera, Phys. Rev. D 69, 083525 (2004) )
  61. 61. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosParˆametros cosmol´ogicos: WMAP-9yr (arXiv:1212.5226)Figure: Regi˜ao verde, eCMB, regi˜ao vermelha, eCMB+BAO+H0. Coresclaras → 95% CL, regi˜oes escuras → 68% CL.
  62. 62. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosParˆametros cosmol´ogicos: WMAP-9yr (arXiv:1212.5226)
  63. 63. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosResultados: V ∝ φ268%CL
  64. 64. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosResultados: V ∝ φ268%CL (sem enhancement)
  65. 65. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosResultados: V ∝ φ495%CL
  66. 66. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosResultados: V ∝ φ495%CL (sem enhancement)
  67. 67. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosResultados: V ∝ φ695%CL
  68. 68. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosResultados: V ∝ φ695%CL (sem enhancement)
  69. 69. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´arios1 Por que Infla¸c˜ao?2 Infla¸c˜ao fria3 Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica4 Estendendo Starobinsky I: an´alise perturbativa5 Contato com as observa¸c˜oes6 Estendendo Starobinsky II: grandes escalas7 Coment´arios finais
  70. 70. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasPrescri¸c˜ao semelhante: Φ(x, t) = ϕ(x, t) + φq(x, t)Grandes escalas ( H−1): dinˆamica ≈ homogˆenea, ¨Φ ≈ 0(rolamento lento)Equa¸c˜ao de movimento resultante:˙ϕ = −V,ϕ(ϕ)3H(1 + Q)+ η(x, t) ,η(x, t) ≡∂∂t−13H(1 + Q)2a2φq(x, t) .Fun¸c˜ao de dois pontos:η(t)η(t ) =H34π21 +2eH/T − 1δ(t − t ) .
  71. 71. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasT H:η(t)η(t ) T H =H34π2δ(t − t ) ,T H:η(t)η(t ) T H =H2T2π2δ(t − t ) .
  72. 72. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasEqua¸c˜ao de Fokker-Planck associada:∂∂tP(ϕ, t) = −∂∂ϕD(1)P(ϕ, t) +12∂2∂ϕ2D(2)P(ϕ, t)≡ LFP P(ϕ, t)Coeficientes de arraste e de difus˜ao:D(1)= −V,ϕ(ϕ)3H(1 + Q)≡ −f(ϕ) ,D(2)=H34π21 +2eH/T − 1.
  73. 73. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasInfla¸c˜ao eterna:Processo inflacion´ario n˜ao tem um fim globalPresen¸ca de regime de auto-reprodu¸c˜ao de regi˜oes-H:f(ϕ)H(ϕ)D(2)H(ϕ)→TH4π2M2pε/H2Q2
  74. 74. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasSolu¸c˜ao estacion´aria:Pst(ϕ) ∝8π2H3 1 +2eH/T − 1exp− dϕ8π23H4(1 + Q)V,ϕ(ϕ)1 +2eH/T − 1Q → 0 e T → 0:Pst(ϕ) ∝8π2H3exp − dϕ8π23H4V,ϕ(ϕ)Solu¸c˜ao geral:P(ϕ, t) =nCnPn(ϕ)eΛntLFP Pn(ϕ) = ΛnPn(ϕ)
  75. 75. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasσ →dϕD(2)(ϕ)∂∂ϕ→1D(2)(ϕ)∂∂σPn(ϕ) →1D(2)(ϕ)−3/4exp12dϕD(1)(ϕ)D(2)(ϕ)ψn(ϕ) ,Eq. tipo Schr¨odinger−∂2∂σ2ψn(σ) + VS(σ)ψn(σ) = −Λnψn(σ) ,comVS(σ) =316(D(2),ϕ )2D(2)−D(2),ϕϕ4−D(2),ϕ D(1)2D(2)+D(1),ϕ2+(D(1))24D(2).
  76. 76. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasDistribui¸c˜ao de probabilidades com´ovel:P(ϕ, t)
  77. 77. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasDistribui¸c˜ao de probabilidades com´ovel:P(ϕ, t)Distribui¸c˜ao de probabilidades f´ısica: PV (ϕ, t)∂PV∂t= [LFP +3H] PVVS(σ) =316(D(2),ϕ )2D(2)−D(2),ϕϕ4−D(2),ϕ D(1)2D(2)+D(1),ϕ2+(D(1))24D(2)−3H .
  78. 78. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasDistribui¸c˜ao de probabilidades com´ovel:P(ϕ, t)Distribui¸c˜ao de probabilidades f´ısica: PV (ϕ, t)∂PV∂t= [LFP +3H] PVVS(σ) =316(D(2),ϕ )2D(2)−D(2),ϕϕ4−D(2),ϕ D(1)2D(2)+D(1),ϕ2+(D(1))24D(2)−3H .D(1)= −V,ϕ(ϕ)3H(1 + Q)≡ −f(ϕ) ,D(2)=H34π21 +2eH/T − 1.
  79. 79. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasPrimeira aproxima¸c˜ao: H ≈ cte, Q ≈ cteϕn≡φplφfdϕϕnP(φ, t)∂∂tϕn= n(n − 1)H38π21 +2eH/T − 1ϕn−2−n3H(1 + Q)ϕn−1(t)V,ϕ(ϕ)Ex: n = 2 e potencial com p = 2ϕ2(t) =38π2H4(1 + Q)λM2p1 +2eH/T − 11 − exp −2λM2p3H(1 + Q)t+ ϕ(0)2exp −2λM2p3H(1 + Q)tTomando o limite frio:ϕ2(t) =3H48π2λM2p1 − exp −2λM2p3Ht (Phys.Rev.D 50, 6357-6368 (1994))
  80. 80. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasEq. tipo Schr¨odinger se reduz a:−12∂2∂ϕ2+ VS(ϕ) ψn(ϕ) = Λnψn(ϕ)onde
  81. 81. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasEq. tipo Schr¨odinger se reduz a:−12∂2∂ϕ2+ VS(ϕ) ψn(ϕ) = Λnψn(ϕ)ondeVS(ϕ) =12v(ϕ) 2− v(ϕ) ,v(ϕ) =4π23H4(1 + Q) 1 +2eH/T − 1V (ϕ) ,Λn =4π2H3 1 +2eH/T − 1Λn .
  82. 82. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasUsando o potencial quadr´atico:VS(ϕ) =ω22ϕ2−ω2, ω ≡4π2λM2p3H4(1 + Q) 1 +2eH/T − 1Definindo os operadores de aniquila¸c˜ao e cria¸c˜aob =√22∂∂χ+ χ , b†=√22−∂∂χ+ χ , χ ≡√ωϕ
  83. 83. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosEstendendo Starobinsky II - Grandes escalasUsando o potencial quadr´atico:VS(ϕ) =ω22ϕ2−ω2, ω ≡4π2λM2p3H4(1 + Q) 1 +2eH/T − 1Definindo os operadores de aniquila¸c˜ao e cria¸c˜aob =√22∂∂χ+ χ , b†=√22−∂∂χ+ χ , χ ≡√ωϕ⇒ Oscilador harmˆonicoAutovalores: Λn = nω, com n ∈ Z+.Autoestados: ψn(ϕ) = ωπ1/4 1√2nn!Hn(χ)e−χ2/2
  84. 84. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´arios1 Por que Infla¸c˜ao?2 Infla¸c˜ao fria3 Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica4 Estendendo Starobinsky I: an´alise perturbativa5 Contato com as observa¸c˜oes6 Estendendo Starobinsky II: grandes escalas7 Coment´arios finais
  85. 85. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosComent´arios finaisGeneralizamos os resultados j´a obtidos para o espectro de potˆenciado inflaton. Infla¸c˜ao fria e n˜ao-isentr´opica → casos particularesA forma geral do espectro foi obtida de maneira direta, sem anecessidade de ajustes posteriores de parˆametros.Obtivemos a dependˆencia em T na parte quˆantica do espectro, oque condiz com o resultado obtido, de maneira alternativa, porMohanty et al.Mostramos que o espectro quˆantico depende fracamente tanto doparˆametro que aparece na fun¸c˜ao filtro, quanto de Q.
  86. 86. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosComent´arios finaisRegi˜ao de domina¸c˜ao das flutua¸c˜oes t´ermicas e t´ermicas s˜ao poucodependentes de V (ϕ) e da forma de Υ.Contrastamos os resultados te´oricos com as observa¸c˜oes: dissipa¸c˜aoe banho t´ermico torna potenciais polinomiais compat´ıveis com osparˆametros cosmol´ogicos.Estendemos alguns resultados relacionados ao cen´ario da infla¸c˜aoeterna. Introduzimos efeitos dissipativos na dinˆamica de grandeescala do inflaton e obtivemos as modifica¸c˜oes necess´arias nasequa¸c˜ao de Langevin e de Fokker-Planck usuais, originalmentedesenvolvidas no contexto da infla¸c˜ao fria.
  87. 87. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosComent´arios finaisRegi˜ao de domina¸c˜ao das flutua¸c˜oes t´ermicas e t´ermicas s˜ao poucodependentes de V (ϕ) e da forma de Υ.Contrastamos os resultados te´oricos com as observa¸c˜oes: dissipa¸c˜aoe banho t´ermico torna potenciais polinomiais compat´ıveis com osparˆametros cosmol´ogicos.Estendemos alguns resultados relacionados ao cen´ario da infla¸c˜aoeterna. Introduzimos efeitos dissipativos na dinˆamica de grandeescala do inflaton e obtivemos as modifica¸c˜oes necess´arias nasequa¸c˜ao de Langevin e de Fokker-Planck usuais, originalmentedesenvolvidas no contexto da infla¸c˜ao fria.Programa desenvolvido ´e facilmente extens´ıvel para outras formasde potencial e dissipa¸c˜ao.
  88. 88. Outline Por que Infla¸c˜ao? Infla¸c˜ao fria Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Starobinsky I Observa¸c˜oes Starobinsky II Coment´ariosComent´arios finaisRegi˜ao de domina¸c˜ao das flutua¸c˜oes t´ermicas e t´ermicas s˜ao poucodependentes de V (ϕ) e da forma de Υ.Contrastamos os resultados te´oricos com as observa¸c˜oes: dissipa¸c˜aoe banho t´ermico torna potenciais polinomiais compat´ıveis com osparˆametros cosmol´ogicos.Estendemos alguns resultados relacionados ao cen´ario da infla¸c˜aoeterna. Introduzimos efeitos dissipativos na dinˆamica de grandeescala do inflaton e obtivemos as modifica¸c˜oes necess´arias nasequa¸c˜ao de Langevin e de Fokker-Planck usuais, originalmentedesenvolvidas no contexto da infla¸c˜ao fria.Programa desenvolvido ´e facilmente extens´ıvel para outras formasde potencial e dissipa¸c˜ao.N˜ao-gaussianidade? Mais restri¸c˜oes? PLANCK: 21/03/2013

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