Aspectos de modelagem e imageamento usando equação da onda

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Minicurso apresentado pelo Prof. Jessé Costa (UFPA & INCT-GP) durante a III Semana de Inverno de Geofísica, IMECC/Unicamp, 2012.

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Aspectos de modelagem e imageamento usando equação da onda

  1. 1. Método Experimentos numéricosAspectos da modelagem e imageamento usando equação da onda Jessé Costa∗ , ∗ Universidade Federal do Pará, INCT-GP Semana de Inverno de Geofísica, 2012
  2. 2. Método Experimentos numéricosTópicos Modelagem Sísmica Meios Acústicos Modelagem acústica usando diferenças finitas Relações de reciprocidade em meios acústicos Princípio de Huygens e Reversão Temporal Migração Reversa no Tempo
  3. 3. Método Experimentos numéricosTópicos Modelagem Sísmica Meios Acústicos Modelagem acústica usando diferenças finitas Relações de reciprocidade em meios acústicos Princípio de Huygens e Reversão Temporal Migração Reversa no Tempo
  4. 4. Método Experimentos numéricosTópicos Modelagem Sísmica Meios Acústicos Modelagem acústica usando diferenças finitas Relações de reciprocidade em meios acústicos Princípio de Huygens e Reversão Temporal Migração Reversa no Tempo
  5. 5. Método Experimentos numéricosTópicos Modelagem Sísmica Meios Acústicos Modelagem acústica usando diferenças finitas Relações de reciprocidade em meios acústicos Princípio de Huygens e Reversão Temporal Migração Reversa no Tempo
  6. 6. Método Experimentos numéricosTópicos Modelagem Sísmica Meios Acústicos Modelagem acústica usando diferenças finitas Relações de reciprocidade em meios acústicos Princípio de Huygens e Reversão Temporal Migração Reversa no Tempo
  7. 7. Método Experimentos numéricosTópicos Modelagem Sísmica Meios Acústicos Modelagem acústica usando diferenças finitas Relações de reciprocidade em meios acústicos Princípio de Huygens e Reversão Temporal Migração Reversa no Tempo
  8. 8. Método Experimentos numéricosModelagem sísmica Michael Orisgtaglio, Yale University & SEAM II project Manager
  9. 9. Método Experimentos numéricosModelagem SísmicaPropriedades das Rochas: Vargila Porosidade Saturação de Fluidos, etc..
  10. 10. Método Experimentos numéricosModelagem SísmicaPropriedades das Rochas: Parâmetros geofísicos : Vargila ρ Porosidade Vp , Vs , CIJ Saturação de Fluidos, etc.. Q, σ, etc..
  11. 11. Método Experimentos numéricosModelagem Sísmica SEAM I salt model
  12. 12. Método Experimentos numéricosModelagem Sísmica:SEAM model Dimensão : 35 km× 40 km × 15 km Malha uniforme: 10 m Modelo: ρ, Vp 84GB Vmin = 1490m/s Vmax = 4800 m/s
  13. 13. Método Experimentos numéricosModelagem Sísmica: SEAM model Modelagem por diferenças finitas: fmax = 30 Hz Offset máximo=10 km 62478 tiros, 450.000 traços/tiro 3.5 GB por tiro 220 TB início 2009-término 2011 Modelagem eástica ≈ 100× Modelagem Acústica
  14. 14. Método Experimentos numéricosModelagem para imageamento sísmico Acústica ou pseudo-acústica(TTI) Densidade Constante
  15. 15. Método Experimentos numéricosMeios Acústicos ∂v(x, t) ρ(x) = − p(x, t) + f(x, t) ∂t ∂p(x, t) = −K (x) · v(x, t) + q(x, t) ∂t x, t: posição, tempo p(x, t) campo de pressão v(x, t) campo de velocidade das partículas do meio
  16. 16. Método Experimentos numéricosMeios Acústicos ∂v(x, t) ρ(x) = − p(x, t) + f(x, t) ∂t ∂p(x, t) = −K (x) · v(x, t) + q(x, t) ∂t ρ(x): densidade de massa K (x): módulo de incompressibilidade
  17. 17. Método Experimentos numéricosMeios Acústicos ∂v(x, t) ρ(x) = − p(x, t) + f(x, t) ∂t ∂p(x, t) = −K (x) · v(x, t) + q(x, t) ∂t f(x, t): densidade de fontes dipolares q(x, t): taxa de injeção de pressão na fonte
  18. 18. Método Experimentos numéricosMeios Acústicos: equação densidade variável ∂2p p ∂q f =K · + −K · ∂t 2 ρ ∂t ρ
  19. 19. Método Experimentos numéricosEquação escalar com densidade constante ∂2p ∂q = c2 2 p+ − c2 ·f ∂t 2 ∂t K c(x) = ρ: velocidade de propagação
  20. 20. Método Experimentos numéricosEquação da onda ∂2p = c2 2 p + s(t)δ(x − xs ) ∂t 2 c(x): velocidade de propagação s(t): fonte puntual em xs s(t): pulso fonte
  21. 21. Método Experimentos numéricosEquação da onda: soluções em meios homogêneos Ondas esféricas 1 s(t − |x − xs |/c) p(x, t; xs ) = 4πc 2 |x − xs | Ondas planas +∞ n ωn p(x, t) = p t − ·x = P(ω) exp[ i( · x − ωt)]dω c −∞ c ωn k≡ c : número de onda
  22. 22. Método Experimentos numéricosEquação da onda: soluções em meios heterogêneos Soluções analíticas: meios com simetria: plana, esférica, cilíndica,...
  23. 23. Método Experimentos numéricosEquação da onda: soluções em meios heterogêneos Aproximações Assintóticas: WKBJ: meios estratificados plana Teoria do raio, feixes gaussianos, Maslov, estados coerentes,...
  24. 24. Método Experimentos numéricosEquação da onda: soluções em meios heterogêneos Aproximações numéricas: Refletividade: meios estratificados Diferenças finitas Elementos finitos métodos espectrais
  25. 25. Método Experimentos numéricosAproximações numéricas: ckeck list Acurácia quantos comprimentos de onda a propagar...
  26. 26. Método Experimentos numéricosAproximações numéricas: ckeck list Custo computacional operações de ponto flutuante armazenamento
  27. 27. Método Experimentos numéricosAproximações numéricas: ckeck list Especificação do modelo malha regular e uniforme malha regular não uniforme malha não estruturada
  28. 28. Método Experimentos numéricosAproximações numéricas: ckeck list Condições de fronteira fronteira livre fronteiras internas fronteiras absorventes
  29. 29. Método Experimentos numéricosAcurácia e Custo Computacional Elementos Finitos Espectral
  30. 30. Método Experimentos numéricosAcurácia e Custo Computacional Diferenças finitas: malha regular (fácil de especificar o modelo) fácil de programar emula bem a física custo aumenta em escala razoável
  31. 31. Método Experimentos numéricosDiferenças Finitas 1 f (x0 ± h) = f (x0 ) ± f (x0 )h + f (x0 )h2 ± O(h3 ) 2 forward f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 ) = + O(h) h
  32. 32. Método Experimentos numéricosDiferenças Finitas 1 f (x0 ± h) = f (x0 ) ± f (x0 )h + f (x0 )h2 ± O(h3 ) 2 backward: f (x0 ) − f (x0 − h) f (x0 ) = + O(h) h
  33. 33. Método Experimentos numéricosDiferenças Finitas 1 f (x0 ± h) = f (x0 ) ± f (x0 )h + f (x0 )h2 ± O(h3 ) 2 central f (x0 + h/2) − f (x0 − h/2) f (x0 ) = + O(h2 ) h
  34. 34. Método Experimentos numéricosDiferenças Finitas i) aproximar operadores diferenciais por diferenças em uma malha ii) ordem da aproximação depende do ponto de atribuição
  35. 35. Método Experimentos numéricosDiferenças Finitas: cálculo dos coeficientes Avaliar as derivadas de x K para K = 1, 3, ..., 2N − 1 N−1 1 1 Kx0 −1 h = K dj [(x0 + (j + )h)K − (x0 − (j + )h)K ] 2 2 j=0 dj : coeficientes do operador de diferenças K −1 N−1 x0 K K x0 2j + 1 K x0 2j + 1 K K h = h dj [( + ) −( − ) ] h h 2 h 2 j=1
  36. 36. Método Experimentos numéricosDiferenças Finitas: cálculo dos coeficientes Em x0 = 0 e h = 1 N−1 K 2j + 1 K δK ,1 = 2 dj K = 1, 3, ..., 2N − 1 2 j=0 A solução deste sistema linear determina os coeficientes dj para uma aproximação de ordem 2N.
  37. 37. Método Experimentos numéricosDiferenças Finitas: cálculo dos coeficientes Para aproximação da derivada segunda: N−1 K (K − 1)δK ,2 = d0 δK ,1 + 2 dj j K K = 0, 2, .., 2N − 1 j=1 A solução deste sistema linear determina os coeficientes dj para uma aproximação de ordem 2N + 2.
  38. 38. Método Experimentos numéricosDiferenças Finitas: Equação da onda p(x, y , t + ∆) = 2p(x, y , t) − p(x, y , t − ∆) 2 c(x, y )∆ + [2d0 p(x, y , t) h N−1 + dj (p(x + jh, y , t) + p(x − jh, y , t)) j=1  N−1 + dj (p(x, y + jh, t) + p(x, y − jh, t)) j=1 + ∆t 2 s(t)δBL (x − xs ) + O(∆t 2 , h2N )
  39. 39. Método Experimentos numéricosDiferenças Finitas: Equação da onda p(x, y , t + ∆) = 2p(x, y , t) − p(x, y , t − ∆) 2 c(x, y )∆ + [2d0 p(x, y , t) h N−1 + dj (p(x + jh, y , t) + p(x − jh, y , t)) j=1  N−1 + dj (p(x, y + jh, t) + p(x, y − jh, t)) j=1 + ∆t 2 s(t)δBL (x − xs ) + O(∆t 2 , h2N ) δBL (x − xs ) = exp[−(x − xs ) · (x − xs )/2h2 ]
  40. 40. Método Experimentos numéricosTeorema de Lax "Um esquema de diferenças finitas consistente para um problema de valor inicial bem posto é convergente se e somente se ele é estavel."
  41. 41. Método Experimentos numéricosAnálise de estabilidade ω p(x, y , t) = exp [i (k n · x − ωt)] k ≡ c   N−1 ω∆ µ2 sin2 =− d0 + dj (cos jkh cos φ + cos jkh sin φ) 2 2 j=1 n ≡ (cos φ, sin φ) e µ ≡ c∆/h.
  42. 42. Método Experimentos numéricosAnálise de estabilidade ω p(x, y , t) = exp [i (k n · x − ωt)] k ≡ c   N−1 ω∆ µ2 sin2 =− d0 + dj (cos jkh cos φ + cos jkh sin φ) 2 2 j=1 n ≡ (cos φ, sin φ) e µ ≡ c∆/h. Para evitar aliasing: 0 ≤ ω∆ ≤ π
  43. 43. Método Experimentos numéricosAnálise de estabilidade ω p(x, y , t) = exp [i (k n · x − ωt)] k ≡ c   N−1 ω∆ µ2  sin2 =− d0 + dj (cos jkh cos φ + cos jkh sin φ) 2 2 j=1 n ≡ (cos φ, sin φ) e µ ≡ c∆/h. Para evitar aliasing: 0 ≤ ω∆ ≤ π 0 ≤ kh ≤ π
  44. 44. Método Experimentos numéricosAnálise de estabilidade Condição de estabilidade: c∆ −2 µ= < N−1 h d0 + 1 dj (−1)j h ∆ < µ c
  45. 45. Método Experimentos numéricosAnálise de erro Velocidade de fase cFD = ω/k :   N−1 cFD 2 d0 + j=1 dj (cos jkh cos φ + cos jkh sin φ) = sin−1 µ −  c µkh 2 cFD (k , φ) : dispersão e anisotropia numérica
  46. 46. Método Experimentos numéricosAnálise de erro Velocidade de grupo vg = ∂ω/∂k :   N−1 vg µ =  j dj (cos φ cos jkh cos φ + sin φ cos jkh sin φ) c sin(µkh) j=1 vg (k ) : dispersão
  47. 47. Método Experimentos numéricosOtimização dos coeficientes para reduzir dispersão Ajuste de da velocidade de fase por quadrados mínimos no intervalo 0 < kh < απ/2:   2 N−1 cFD µ sin2 µkh = − d0 + dj (cos jkh cos φ + cos jkh sin φ) C 2 j=1 sujeito a: N−1 d0 + 2 dj = 0 j=1 e N−1 d0 + 2 dj j 2 = 2 j=1
  48. 48. Método Experimentos numéricosOtimização dos coeficientes Ajuste da velocidade de fase e velocidade de grupo por quadrados mínimos no intervalo 0 < kh < απ/2:   N−1 vg µ =  j dj (cos φ cos jkh cos φ + sin φ cos jkh sin φ) c sin(µkh) j=1 sujeito a: N−1 d0 + 2 dj = 0 j=1 e N−1 dj j 2 = 2 j=1 Para tratamentos mais elaborados: Holberg, O, 1987. Geophysical Prospecting.35,629-655, 1987. Kosloff et al., 2010. Geophysics.75(6),T167-T174.
  49. 49. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: PML Atenuação ao direcional: iω Γ(x) P(x, y , ω) = exp nx 1− x + ny y c iω x Γ(x) 1 X =x− =x− σ(ξ)dξ iω iω 0 ∂2P ∂2P (−iω)2 P(x, ω) = c 2 + ∂X 2 ∂y 2
  50. 50. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: PML ∂ ∂ ∂X σ ∂ = = x− ∂x ∂X ∂x iω ∂X ∂ 1 ∂ 1 ∂ = ≡ ∂X 1 + σ/(−iω) ∂x S ∂x 1 ∂ 1 ∂P ∂2P (−iω)2 P(x, ω) = c 2 + S ∂x S ∂x ∂y 2
  51. 51. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: PML ∂ (−iω) ∂P ∂2P (−iω)2 SP(x, ω) = c 2 +S ∂x (−iω)S ∂x ∂y 2 campos auxiliares: 1 ∂P 1 ∂2P φ(x, ω) ≡ ψ(x, ω) ≡ (−iω)S ∂x (−iω) ∂y 2
  52. 52. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: PML ∂ ∂2P (−iω)2 P(x, ω) + σ(−iωP) = c 2 ((−iω)φ) + + σψ ∂x ∂y 2 equações para campos auxiliares: ∂P ∂2P (−iω)φ(x, ω) + σφ = (−iω)ψ = ∂x ∂y 2
  53. 53. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: PML Sistema de equações para PML: ∂2p ∂p ∂2p ∂2p ∂ 2 +σ = c2 2 + 2 − (σφ) + σψ ∂t ∂t ∂x ∂y ∂x equações para campos auxiliares: ∂φ ∂p = − σφ ∂t ∂x ∂φ ∂2P = ∂t ∂y 2
  54. 54. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes σ>0 σ=0
  55. 55. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: PML 0 no domínio de interesse σ(x) = 3 1 x 2 2 log R cmax ∆ L nas bordas R: coef. de reflexão desejado para incidência normal ≈ 10−6 c L: largura da banda de absorção ≈ λ = 2fmax 2 pico fpico : frequência pico do pulso Collino & Tsogka, 2001. Geophysics, 66(1),294-307.
  56. 56. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: PML a) Muito eficazes para modelagem acústica
  57. 57. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: PML a) Muito eficazes para modelagem acústica b) Campos auxiliares implementados apenas nas regiões de absorção.
  58. 58. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: PML a) Muito eficazes para modelagem acústica b) Campos auxiliares implementados apenas nas regiões de absorção. c) Várias abordagens na literartura CPML, M-PML, etc...
  59. 59. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: PML a) Muito eficazes para modelagem acústica b) Campos auxiliares implementados apenas nas regiões de absorção. c) Várias abordagens na literartura CPML, M-PML, etc... d) podem apresentar instabilidade (meios elásticos anisotrópicos, ondas de superfície)
  60. 60. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: implementação simples ∂2p ∂p 2 + σ(x, y ) = c2 2 p ∂t ∂t σ(x, y ) = γ(x)γ(y ) 0 no domínio de interesse γ(x) = x 2 πfpico ∆ L nas bordas fpico : frequência pico do pulso cmax L: largura da banda de absorção ≈ λ = fpico
  61. 61. Método Experimentos numéricosFonteiras absorventes p(x, y , t + ∆) − 2p(x, y , t) + p(x, y , t − ∆) ∆γ(x)γ(y ) + [p(x, y , t + ∆) − p(x, y , t − ∆)] 2 c(x, y )∆ 2 = [2d0 p(x, y , t) h N−1 + dj (p(x + jh, y , t) + p(x − jh, y , t)) j=1  N−1 + dj (p(x, y + jh, t) + p(x, y − jh, t)) j=1 + ∆t 2 s(t)δBL (x − xs ) + O(∆t 2 , h2N )
  62. 62. Método Experimentos numéricosFronteiras Absorventes: região de absorção σ>0 σ=0
  63. 63. Método Experimentos numéricosModelagem FD: escolha de h e ∆ 1 Determine a frequência máxima do pulso sísmico fmax
  64. 64. Método Experimentos numéricosModelagem FD: escolha de h e ∆ 1 Determine a frequência máxima do pulso sísmico fmax 2 Determine o comprimento de onda mínimo: λmin = cmin /fmax
  65. 65. Método Experimentos numéricosModelagem FD: escolha de h e ∆ 1 Determine a frequência máxima do pulso sísmico fmax 2 Determine o comprimento de onda mínimo: λmin = cmin /fmax 3 h = λmin /N. N deve ser avaliado a partir das curvas de dispersão do esquema.
  66. 66. Método Experimentos numéricosModelagem FD: escolha de h e ∆ 1 Determine a frequência máxima do pulso sísmico fmax 2 Determine o comprimento de onda mínimo: λmin = cmin /fmax 3 h = λmin /N. N deve ser avaliado a partir das curvas de dispersão do esquema. 4 ∆ = µh/cmax
  67. 67. Método Experimentos numéricosModelagem FD: custo 1 Armazenamento : D Nfmax Nx × Ny × Nz = V cmin D : dimensão do domínio V : volume do domínio T : tempo de simulação Nd : comprimento do operador de FD
  68. 68. Método Experimentos numéricosModelagem FD: custo 1 Armazenamento : D Nfmax Nx × Ny × Nz = V cmin 2 Número de operações : Tcmax N D D+1 Nx × Ny × Nz × Nt × Nd = Nd V D fmax µcmin D : dimensão do domínio V : volume do domínio T : tempo de simulação Nd : comprimento do operador de FD
  69. 69. Método Experimentos numéricosMétodos pseudo-espectrais Calcula de derivadas espaciais ∂ n p(x, t) −1 n = FFTx [kx FFTx [p(x, t)]] ∂x n a) Amostragem no limite de Nyquist (menor custo de armazenamento)
  70. 70. Método Experimentos numéricosMétodos pseudo-espectrais Calcula de derivadas espaciais ∂ n p(x, t) −1 n = FFTx [kx FFTx [p(x, t)]] ∂x n a) Amostragem no limite de Nyquist (menor custo de armazenamento) b) Resposta espectral do operador correta até Nyquist (π/h)
  71. 71. Método Experimentos numéricosMétodos pseudo-espectrais Calcula de derivadas espaciais ∂ n p(x, t) −1 n = FFTx [kx FFTx [p(x, t)]] ∂x n a) Amostragem no limite de Nyquist (menor custo de armazenamento) b) Resposta espectral do operador correta até Nyquist (π/h) c) Condições de contorno periódicas
  72. 72. Método Experimentos numéricosMétodos pseudo-espectrais:evolução temporalusando REM ∂ 2 p(x, t) = c 2 (x) 2 p(x, t) = L2 p(x, t) ∂t 2 Para meios homogêneos: p(x, t + ∆t) + p(x, t − ∆t) = cos(Lt)p(x, t)
  73. 73. Método Experimentos numéricosMétodos pseudo-espectrais:evolução temporalusando REM ∂ 2 p(x, t) = c 2 (x) 2 p(x, t) = L2 p(x, t) ∂t 2 Para meios homogêneos: p(x, t + ∆t) + p(x, t − ∆t) = cos(L∆t)p(x, t)
  74. 74. Método Experimentos numéricosMétodos pseudo-espectrais:evolução temporal REM M iL cos(L∆t) = c2k J2k (∆tR) Q2k R k =0 c0 = 1 c2k = 2, k > 1 Qn+2 (x) = (4x + 1)Qn (x) − Qn−2 (x) , Q0 (x) = 1 Q2 = 2x 2 + 1 2 1 2 1 R > πcmax ( ) + ( )2 , M > R∆t hx hy J2M (∆tR) ≈ 10−6 Tal-Ezer, H., 1986. SIAM Journal on Numerical Analysis, 23, 11-26 Pestana & Stoffa,2010.Geophysics.V75(4),T121-T131. Tessmer,2011.Geophysics.V76(4),S177-T185.
  75. 75. Método Experimentos numéricosMétodos pseudo-espectrais:evolução temporal REM a) permite passos no tempo iguais a taxa de amostragem dos dados sísmicos
  76. 76. Método Experimentos numéricosMétodos pseudo-espectrais:evolução temporal REM a) permite passos no tempo iguais a taxa de amostragem dos dados sísmicos b) combinado com FFT para avaliação acurácia limitada a precisão do sistema de ponto flutuante
  77. 77. Método Experimentos numéricosReciprocidade e reversão temporal
  78. 78. Método Experimentos numéricosReversão temporal http://www.ljll.math.upmc.fr/ bardos/pdf/retemp.pdf
  79. 79. Método Experimentos numéricosReversão temporal http://www.ljll.math.upmc.fr/ bardos/pdf/retemp.pdf
  80. 80. Método Experimentos numéricosReversão temporal Grande terremoto de Sumatra 2004: Larmat, C. et al. 2010. Physics Today, August,p31-35.
  81. 81. Método Experimentos numéricosTeoremas de reciprocidade: geometria p(x,t) A q(x,t) A p(x,t) q(x,t) B B pA (x, t): campo de pressão gerado por fontes qA (x, t) pB (x, t): campo de pressão gerado por fontes qB (x, t) De Hoop, A. & Stam, H.J. 1988. Wave Motion, 10, 479-489.
  82. 82. Método Experimentos numéricosTeoremas de reciprocidade: geometria p(x,t) A q(x,t) A p(x,t) q(x,t) B B Dominínio de propagação comum Condições de fronteira podem ser diferentes De Hoop, A. & Stam, H.J. 1988. Wave Motion, 10, 479-489.
  83. 83. Método Experimentos numéricosTeorema de reciprocidade tipo convolução t dτ [pA (x, τ ) pB (x, t − τ ) − pB (x, τ ) pA (x, t − τ )] · n dS = 0 ∂V t − dτ [pA (x, τ )qB (x, t − τ ) − pB (x, τ )qA (x, t − τ )] dV 0 V
  84. 84. Método Experimentos numéricosTeorema de reciprocidade tipo correlação +∞ dτ [pA (x, τ − t) pB (x, τ ) − pB (x, τ ) pA (x, τ − t)] · n dS = t ∂V +∞ − dτ [pA (x, τ − t)qb (x, τ ) − pB (x, τ )qA (x, τ − t)] dV t V
  85. 85. Método Experimentos numéricosConsequências dos teoremas de reciprocidade Problema direto ou modelagem acústica
  86. 86. Método Experimentos numéricosConsequências dos teoremas de reciprocidade Problema direto ou modelagem acústica Inversão da fonte acústica
  87. 87. Método Experimentos numéricosConsequências dos teoremas de reciprocidade Problema direto ou modelagem acústica Inversão da fonte acústica Retropropagação do campo acústico
  88. 88. Método Experimentos numéricosConsequências dos teoremas de reciprocidade Problema direto ou modelagem acústica Inversão da fonte acústica Retropropagação do campo acústico Espalhamento Inverso
  89. 89. Método Experimentos numéricosFunção de Green 1 ∂ 2 g(x, t; x , t ) 2 = g(x, t; x , t ) + δ(t − t )δ(x − x ) . c 2 (x) ∂t 2 g(x, t; x , t ) = 0 t < t ˙ g(x, t; x , t ) = 0 t < t Condições de fronteira: ∂g(x, t; x , t ) g(x, t; x , t ) x∈∂V ∂n x∈∂V
  90. 90. Método Experimentos numéricosFunção de Green e teorema de reciprocidade Fronteiras homogêneas: a) o domínio é ilimitado. Neste caso observando que lim g=0, x →+∞ e pressupondo a condição de radiação 1 ∂g lim (x − x0 ) · g(x, t; x0 ) + x − x0 =0. x−x0 →+∞ c ∂t Esta condição garante que não há radiação de fora para dentro do domínio.
  91. 91. Método Experimentos numéricosFunção de Green e teorema de reciprocidade Fronteiras homogêneas: b) Fronteira livre, ou seja, a pressão se anula sobre a fronteira g = 0. Esta condição ocorre na interface entre a terra e o ar.
  92. 92. Método Experimentos numéricosFunção de Green e teorema de reciprocidade Fronteiras homogêneas: c) Fronteiras rígidas g = 0, ou seja a aceleração se anula sobre a fronteira.
  93. 93. Método Experimentos numéricosFunção de Green e teorema de reciprocidade Se as condições de fronteiras são homogêneas: a) Invariância no tempo: g(x, t − t ; x , 0) = g(x, t; x , t )
  94. 94. Método Experimentos numéricosFunção de Green e teorema de reciprocidade Se as condições de fronteiras são homogêneas: b) Reciprocidade espacial: g(x, t; x , t ) = g(x , t; x, t )
  95. 95. Método Experimentos numéricosFunção de Green e teorema de reciprocidade Se as condições de fronteiras são homogêneas: c) Reciprocidade espaço-temporal: g(x , t ; x, t) = g(x, t; x, t ) g(x, −t; x , 0) = g(x, t; x, 0)
  96. 96. Método Experimentos numéricosTeoremas de reciprocidade: modelagem t p(x, t) = dτ g(x, t − τ ; x , 0)q(x , τ )dV 0 V t + dτ p(x , τ ; x0 ) g(x, t − τ, x , 0) 0 ∂V − g(x, t − τ, x , 0) p(x , τ ; x0 ) · n dS ,
  97. 97. Método Experimentos numéricosTeoremas de reciprocidade: princípio de Huygens
  98. 98. Método Experimentos numéricosTeoremas de reciprocidade: princípio de Huygens t p(x, t) = dτ p(x , τ ; x0 ) g(x, t − τ, x , 0) t0 ∂Vt0 − g(x, t − τ, x , 0) p(x , τ ; x0 ) · n dS Se x está no interior do domínio.
  99. 99. Método Experimentos numéricosTeoremas de reciprocidade:princípio de Huygens t 0 = dτ p(x , τ ; x0 ) g(x, t − τ, x , 0) t0 ∂Vt0 − g(x, t − τ, x , 0) p(x , τ ; x0 ) · n dS Se x está fora do domínio.
  100. 100. Método Experimentos numéricosTeoremas de reciprocidade: reversão no tempo
  101. 101. Método Experimentos numéricosTeoremas de reciprocidade: reversão no tempo T −t p(x, t) = − dξ x g(x, T − ξ − t; x , 0)p(x , T − ξ) 0 ∂V − g(x, T − ξ − t; x , 0) x p(x , T − ξ) · n dS Se x está no interior do domínio.
  102. 102. Método Experimentos numéricosTeoremas de reciprocidade: reversão no tempo Incluindo a região com a fonte: T −t p(x, t) = − dτ g(x, T − t − ξ; x , 0)q(x , T − ξ)dV 0 V T −t − dξ x g(x, T − ξ − t; x , 0)p(x , T − ξ) 0 ∂V − g(x, T − ξ − t; x , 0) x p(x , T − ξ) · n dS Se x está no interior do domínio.
  103. 103. Método Experimentos numéricosTeoremas de reciprocidade: reversão no tempo T −t p(x, t) = − dξ x gL (x, T − ξ − t; x , 0)p(x , T − ξ) · n dS 0 ∂V gL : função de Green com fronteira livre.
  104. 104. Método Experimentos numéricosExperimentos de reversão temporal
  105. 105. Método Experimentos numéricosModelo Marmousi 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500
  106. 106. Método Experimentos numéricosCobertura completa 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m) Geometria de aquisição dos dados no primeiro experimento. receptores ao longo do retângulo a cada 12m. A posição da fonte está indicada pelo asterisco.
  107. 107. Método Experimentos numéricosCampo de pressão p(xr , t) 0 0.2 0.4 0.6 Tempo (s) 0.8 1 1.2 1.4 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Receptores
  108. 108. Método Experimentos numéricosComponente Vx (xr , t) 0 0.2 0.4 0.6 Tempo (s) 0.8 1 1.2 1.4 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Receptores
  109. 109. Método Experimentos numéricosComponente Vz (xr , t) 0 0.2 0.4 0.6 Tempo (s) 0.8 1 1.2 1.4 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Receptores
  110. 110. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de Vx (xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  111. 111. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de Vz (xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  112. 112. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de p(xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  113. 113. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de V(xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  114. 114. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de P(xr , t) e V(xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  115. 115. Método Experimentos numéricosAquição na superfíce: grande abertura Receptores no intervalo 600 m a 8600 m, profundidade 50 m, ∆xr = 12 m.
  116. 116. Método Experimentos numéricosCampo de pressão p(xr , t) 0 0.2 0.4 0.6 Tempo (s) 0.8 1 1.2 1.4 100 200 300 400 500 600 Receptores
  117. 117. Método Experimentos numéricosComponente Vx (xr , t) 0 0.2 0.4 0.6 Tempo (s) 0.8 1 1.2 1.4 100 200 300 400 500 600 Receptores
  118. 118. Método Experimentos numéricosComponente Vz (xr , t) 0 0.2 0.4 0.6 Tempo (s) 0.8 1 1.2 1.4 100 200 300 400 500 600 Receptores
  119. 119. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de Vx (xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  120. 120. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de Vz (xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  121. 121. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de p(xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  122. 122. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de V(xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  123. 123. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de p(xr , t) e V(xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  124. 124. Método Experimentos numéricosAquição na superfície: pequena abertura Receptores no intervalo 3000 m a 6000 m, profundidade 50 m, ∆xr = 12 m.
  125. 125. Método Experimentos numéricosCampo de pressão p(xr , t) 0 0.2 0.4 0.6 Tempo (s) 0.8 1 1.2 1.4 50 100 150 200 250 Receptores
  126. 126. Método Experimentos numéricosComponente Vx (xr , t) 0 0.2 0.4 0.6 Tempo (s) 0.8 1 1.2 1.4 50 100 150 200 250 Receptores
  127. 127. Método Experimentos numéricosComponente Vz (xr , t) 0 0.2 0.4 0.6 Tempo (s) 0.8 1 1.2 1.4 50 100 150 200 250 Receptores
  128. 128. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de Vx (xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  129. 129. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de Vz (xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  130. 130. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de P(xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  131. 131. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de V(xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  132. 132. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de P(xr , t) e V(xr , t) 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  133. 133. Método Experimentos numéricosReversão temporal: modelo suavizado 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 Modelo Marmousi suavizado pela aplicação de uma janela de média móvel de dimensões 3 × 3, recursivamente, 100 vezes.
  134. 134. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de P(xr , t): cobertura completa 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  135. 135. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de P(xr , t): grande abertura 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  136. 136. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de P(xr , t): pequena abertura 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  137. 137. Método Experimentos numéricosReversão temporal: modelo suavizado 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 Modelo Marmousi suavizado pela aplicação de uma janela de média móvel de dimensões 3 × 3, recursivamente, 1000 vezes.
  138. 138. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de P(xr , t): cobertura completa 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  139. 139. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de P(xr , t): grande abertura 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  140. 140. Método Experimentos numéricosReversão no tempo de P(xr , t): pequena abertura 0 500 Profundidade (m) 1000 1500 2000 2500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Distancia (m)
  141. 141. Método Experimentos numéricosMigração por reversão no tempo
  142. 142. Método Experimentos numéricosMigração RTM: Por que? Resposta ao Impulso Kirchhoff: Etgen, J. et al, 2010. Geophysics, 74(6),WCA5-WCA17,
  143. 143. Método Experimentos numéricosMigração RTM: Por que? Resposta ao Impulso Feixes Gaussianos: Etgen, J. et al, 2010. Geophysics, 74(6),WCA5-WCA17,
  144. 144. Método Experimentos numéricosMigração RTM: Por que? Resposta ao Impulso WEM: Etgen, J. et al, 2010. Geophysics, 74(6),WCA5-WCA17,
  145. 145. Método Experimentos numéricosMigração RTM: Por que? Resposta ao Impulso RTM: Etgen, J. et al, 2010. Geophysics, 74(6),WCA5-WCA17,
  146. 146. Método Experimentos numéricosMigração RTM: Por que? Migração Kirchhoff: Etgen, J. et al, 2010. Geophysics, 74(6),WCA5-WCA17,
  147. 147. Método Experimentos numéricosMigração RTM: Por que? Migração Feixes Gaussianos: Etgen, J. et al, 2010. Geophysics, 74(6),WCA5-WCA17,
  148. 148. Método Experimentos numéricosMigração RTM: Por que? Migração WEM: Etgen, J. et al, 2010. Geophysics, 74(6),WCA5-WCA17,
  149. 149. Método Experimentos numéricosMigração RTM: Por que? Migração RTM: Etgen, J. et al, 2010. Geophysics, 74(6),WCA5-WCA17,
  150. 150. Método Experimentos numéricosRTM: característicasVantagens da RTM: Equação da onda completa Campos de velocidade com forte contraste Imageamento de eventos com mergulho arbitrário e turning waves
  151. 151. Método Experimentos numéricosRTM: característicasVantagens da RTM: Equação da onda completa Campos de velocidade com forte contraste Imageamento de eventos com mergulho arbitrário e turning waves
  152. 152. Método Experimentos numéricosRTM: característicasVantagens da RTM: Equação da onda completa Campos de velocidade com forte contraste Imageamento de eventos com mergulho arbitrário e turning waves
  153. 153. Método Experimentos numéricosRTM: características Limitações da RTM:Vantagens da RTM: Custo computacional Equação da onda menor banda espectral completa Ruído devido a Campos de velocidade retro-espalhamento com forte contraste Ruído devido a múltiplo Imageamento de eventos espalhamento com mergulho arbitrário e turning waves Preservação de amplitudes
  154. 154. Método Experimentos numéricosRTM: características Limitações da RTM:Vantagens da RTM: Custo computacional Equação da onda menor banda espectral completa Ruído devido a Campos de velocidade retro-espalhamento com forte contraste Ruído devido a múltiplo Imageamento de eventos espalhamento com mergulho arbitrário e turning waves Preservação de amplitudes
  155. 155. Método Experimentos numéricosRTM: características Limitações da RTM:Vantagens da RTM: Custo computacional Equação da onda menor banda espectral completa Ruído devido a Campos de velocidade retro-espalhamento com forte contraste Ruído devido a múltiplo Imageamento de eventos espalhamento com mergulho arbitrário e turning waves Preservação de amplitudes
  156. 156. Método Experimentos numéricosRTM: características Limitações da RTM:Vantagens da RTM: Custo computacional Equação da onda menor banda espectral completa Ruído devido a Campos de velocidade retro-espalhamento com forte contraste Ruído devido a múltiplo Imageamento de eventos espalhamento com mergulho arbitrário e turning waves Preservação de amplitudes
  157. 157. Método Experimentos numéricosRTM: características Limitações da RTM:Vantagens da RTM: Custo computacional Equação da onda menor banda espectral completa Ruído devido a Campos de velocidade retro-espalhamento com forte contraste Ruído devido a múltiplo Imageamento de eventos espalhamento com mergulho arbitrário e turning waves Preservação de amplitudes
  158. 158. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosTópicos 1 Método 2 Experimentos numéricos
  159. 159. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosMigração RTM: princípio t=2 t=3 t=4 t=9 t=8 t=5 t=7 t=6 t=6
  160. 160. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosImplementação da RTM 1 Usando a equação da onda: Modelagem direta da propagação do campo da fonte Modelagem reversa da propagação do campo de onda registrado nos receptores
  161. 161. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosImplementação da RTM 1 Usando a equação da onda: Modelagem direta da propagação do campo da fonte Modelagem reversa da propagação do campo de onda registrado nos receptores
  162. 162. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosImplementação da RTM 1 Usando a equação da onda: Modelagem direta da propagação do campo da fonte Modelagem reversa da propagação do campo de onda registrado nos receptores 2 Aplicação da condição de imagem: correlação cruzada destes dois campos no ponto imagem
  163. 163. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosCondição de imagem T I(x) = pS (x, t; xS )pR (x, t; xR )dt S 0 R x: ponto imagem xS : positição da fonte xR : posição do receptor T : tempo de registro dos dados
  164. 164. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRTM: fluxo das propagações Campo Receptores Campo Fonte Superficie Superficie t=T t=0 t=T−t1 t=t1
  165. 165. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRTM: implementação Modelagem direta do campo da fonte produz frames na ordem 0, ∆, ...., Nt ∆
  166. 166. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRTM: implementação Modelagem direta do campo da fonte produz frames na ordem 0, ∆, ...., Nt ∆ Modelagem reversa do campo dos receptores produz frames na ordem Nt ∆, (Nt − 1)∆, ..., 0
  167. 167. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRTM: implementação Calcular o campo da fonte a partir de t=0 para intante de aplicação da condição de imagem t1 : custo ≈ N 2 modelagens
  168. 168. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRTM: implementação Calcular o campo da fonte a partir de t=0 para intante de aplicação da condição de imagem t1 : custo ≈ N 2 modelagens armazenar o campo da fonte em disco: alto custo de armazenamento (3D)
  169. 169. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRTM: implementação Calcular o campo da fonte a partir de t=0 para intante de aplicação da condição de imagem t1 : custo ≈ N 2 modelagens armazenar o campo da fonte em disco: alto custo de armazenamento (3D) compromisso entre armazenamento e computação: checkpoints
  170. 170. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosAlternativas para otimizar custo P0 P1 Checkpoint Buffer Tempo PK PK+1 PN Symes, W., 2007. Geophysics, 72(5),SM213-SM221.
  171. 171. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosAlternativas para otimizar custo Migração com ondas planas(Delay-shot) ou phase encoding Zhang, Y. et al. 2005. Geophysics, 70(5), E21-E28. Romero, L. A. et al. 2000. Geophysics, 62(2), 426-436.
  172. 172. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRTM: redução de tempo Migração com ondas planas(Delay-shot) ou phase encoding Reduz muito o número de modelagens
  173. 173. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRTM: redução de tempo Migração com ondas planas(Delay-shot) ou phase encoding Reduz muito o número de modelagens região de migração mais extensa: memória e armazenamento
  174. 174. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRTM: redução de tempo Migração com ondas planas(Delay-shot) ou phase encoding Reduz muito o número de modelagens região de migração mais extensa: memória e armazenamento ruído por cross-talk
  175. 175. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosPhase encoding cross-talk Condição de imagem domínio do tempo: T I(x) = pS (x, t; S1 )pR (x, t; S1 )dt 0 Condição de imagem domínio do freqência: ∗ I(x) = PS (x, ω; S1 )PR (x, ω; S1 ) ω
  176. 176. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosPhase encoding cross-talk I(x) = [PS (x, ω; S1 ) + eiω∆t PS (x, ω; S2 )] ω ∗ × [PR (x, ω; S1 ) + e−iω∆t PR (x, ω); S2 )] ∗
  177. 177. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosPhase encoding cross-talk ∗ I(x) = PS (x, ω; S1 )PR (x, ω; S1 ) ω ∗ + PS (x, ω; S2 )PR (x, ω; S2 ) ∗ + eiω∆t PS (x, ω; S2 )PR (x, ω; S1 ) + e−iω∆t PS (x, ω; S1 )PR (x, ω; S2 ) ∗
  178. 178. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosCondição de imagem usando correlação cruzada Imageamento de eventos em campo de velocidade com forte variações
  179. 179. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosCondição de imagem usando correlação cruzada Imageamento de eventos em campo de velocidade com forte variações Não possui limitação de megulho
  180. 180. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosCondição de imagem usando correlação cruzada Imageamento de eventos em campo de velocidade com forte variações Não possui limitação de megulho Não preserva amplitude
  181. 181. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosCondição de imagem usando correlação cruzada Imageamento de eventos em campo de velocidade com forte variações Não possui limitação de megulho Não preserva amplitude Ruído por retro-espalhamento
  182. 182. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRuído por retro-espalhamento Distance(m) 0 1000 2000 0 500 4000 3500 Depth(m) m/s 1000 3000 2500 1500 2000 Distance(m) 0 1000 2000 0 500 1.0 0.8 Depth(m) kg/m3 1000 0.6 0.4 0.2 1500 x10 4 2000 Modelo
  183. 183. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRuído por retro-espalhamento Distance(m) 0 1000 2000 0 500 4000 3500 Depth(m) m/s 1000 Distance(m) 1000 2000 3000 0 2500 1500 500 2000 Depth(m) 1000 Distance(m) 0 1000 2000 1500 0 2000 500 1.0 0.8 Depth(m) kg/m3 1000 0.6CI correlação cruzada 0.4 0.2 1500 x10 4 2000 Modelo
  184. 184. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRuído por retro-espalhamento Distance(m) 0 1000 2000 0 500 4000 3500 Depth(m) m/s 1000 Distance(m) Distance(m) 1000 2000 3000 1000 2000 0 0 2500 1500 500 500 2000 Depth(m) Depth(m) 1000 1000 Distance(m) 0 1000 2000 1500 0 1500 2000 500 2000 1.0 0.8 Depth(m) kg/m3 1000 0.6CI correlação cruzada 0.4 CI com filtro 0.2 1500 x10 4 2000 Modelo
  185. 185. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRuído por retro-espalhamento Zhang, Y. et al. 2010. Leading Edge,Novembro, p. 1364-1371.
  186. 186. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRuído por retro-espalhamento Distance(m) 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 0 Depth(m) 2000 CI correlação cruzada
  187. 187. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRuído por retro-espalhamento Zhang, Y. et al. 2010. Leading Edge,Novembro, p. 1364-1371.
  188. 188. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRuído por retro-espalhamento Estratégias de mitigação: Filtro passa alta na imagem: 2, ∂ 2 /∂z, etc...
  189. 189. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosRuído por retro-espalhamento Estratégias de mitigação: Filtro passa alta na imagem: 2, ∂ 2 /∂z, etc... Poderações na condição de imagem: vetor Poynting.
  190. 190. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosAmplitudes na migração RTM Análise assintótica da CI por correlação cruzada
  191. 191. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosAmplitudes na migração RTM Análise assintótica da CI por correlação cruzada Modelo: meio homogêneo em 3D com um único refletor com mergulho
  192. 192. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosAmplitudes na migração RTM Análise assintótica da CI por correlação cruzada Modelo: meio homogêneo em 3D com um único refletor com mergulho Aquisição: cobertura ilimitada de fontes e receptores na superfície
  193. 193. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosAnálise da CI por correlação cruzada
  194. 194. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosResultados do método de fase estacionária 3 R(x0 , x0 ) I(x) ≈ cP φ(ξ) cos3 D
  195. 195. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosResultados do método de fase estacionária sign(ξ) 2 cos D 2 cos D φ(ξ) = ¨ w ¨ ξ ⊗w ξ ξ cP cP ξ(x, z) = x tan D + zd − z = zreflector (x) − z
  196. 196. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosResultados do método de fase estacionária O estiramento do pulso inversamente proporcional a cos D
  197. 197. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosResultados do método de fase estacionária O estiramento do pulso inversamente proporcional a cos D O pulso é anti-simétrico em relação a posição do refletor
  198. 198. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosResultados do método de fase estacionária O estiramento do pulso inversamente proporcional a cos D O pulso é anti-simétrico em relação a posição do refletor A amplitude do pulso decai com a distancia ao refletor
  199. 199. Método Impementação da RTM Experimentos numéricosResultados do método de fase estacionária O estiramento do pulso inversamente proporcional a cos D O pulso é anti-simétrico em relação a posição do refletor A amplitude do pulso decai com a distancia ao refletor O espalhamento geométrico é compensado pela CI por correlação cruzada

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