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- 1. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Processos de Poisson José Castro Trabalho realizado no âmbito da cadeira de Teoria do Risco, FCUP, 2014/2015
- 2. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação 1 PP Homogéneo Simulação 2 PP Não-homogéneo Simulação
- 3. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Processo de Poisson (Homogéneo) • Processo de renovamento • Tempo entre chegadas é Exp(λ) • N(t) ∼ Poi(λt) • Tem acréscimos estacionários e independentes
- 4. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Simulação • Fazer previsões • Testar modelos • Estimar alguns parâmetros desconhecidos
- 5. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Simulação • Fazer previsões • Testar modelos • Estimar alguns parâmetros desconhecidos Métodos • Inversão • Estatśticas de Ordem
- 6. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Método da Inversão Proposição: FX uma f.d. invertı́vel e U ∼ U(0, 1), então X := F−1 X (U) tem f.d. FX .
- 7. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Método da Inversão Proposição: FX uma f.d. invertı́vel e U ∼ U(0, 1), então X := F−1 X (U) tem f.d. FX . Prova: P (X ≤ x) = P F−1 X (U) ≤ x = P (U ≤ FX (x)) = FX (x).
- 8. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Método da Inversão Proposição: FX uma f.d. invertı́vel e U ∼ U(0, 1), então X := F−1 X (U) tem f.d. FX . Prova: P (X ≤ x) = P F−1 X (U) ≤ x = P (U ≤ FX (x)) = FX (x). Tempo entre chegadas: Wi ∼ Exp(λ) • FWi (t) = 1 − e−λt • wi = − log(1 − u)/λ = − log(u)/λ, u ∼ U(0, 1).
- 9. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Algorı́tmo da Inversão (1) Inicializar t=0 (2) Gerar w ∼ Exp(λ) - Gerar u ∼ U(0, 1) - Fazer w ← − log(u)/λ (3) Fazer t ← t + w (4) Guardar t (5) Ir para passo (2)
- 10. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Simulação Figure : Simulação com λ = 0.88 e t = 10
- 11. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Métodos das Estatı́sticas de Ordem Proposição: Quando {N(t) = n}, T1, T2, · · · , Tn têm a mesma distribuição conjunta que U(1), U(2), · · · , U(n), em (0, t) .
- 12. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Métodos das Estatı́sticas de Ordem Proposição: Quando {N(t) = n}, T1, T2, · · · , Tn têm a mesma distribuição conjunta que U(1), U(2), · · · , U(n), em (0, t) . Prova: P (T1 = t1, · · · , Tn = tn|N(t) = n) = P (T1 = t1, · · · , Tn = tn, N(t) = n) /P(N(t) = n) = P (W1 = t1, · · · , Wn = tn − tn−1, Wn+1 t − tn) /P(N(t) = n) = λe−λt1 ×···×λe−λ(tn−tn−1) ×e−λ(t−tn) e−λλn n! = λne−λt e−λt (λt)n n! = n! tn = fU(1),··· ,U(n) (t1, · · · , tn)
- 13. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Passos: • Gerar n = N(t) ∼ Poi(λt) • Gerar n valores com distribuição uniforme em (0, t) • Ordenar
- 14. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Algorı́tmo (1) Gerar n ∼ Poi(λt) (2) Se n = 0 ir para passo (1) (3) Gerar: u1 ∼ U(0, t) . . . un ∼ U(0, t) (4) Ordenar {u1, · · · , un} (5) Fazer t1 ← u(1), · · · , tn ← u(n)
- 15. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Simulação Figure : Simulação com λ = 0.88 e t = 10
- 16. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação PP Não-homogéneo Um PP homogéneo por vezes não se ajusta à realidade
- 17. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação PP Não-homogéneo Um PP homogéneo por vezes não se ajusta à realidade Ocorrências dependentes do tempo ou época: λ ≡ λ(t)
- 18. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação PP Não-homogéneo Um PP homogéneo por vezes não se ajusta à realidade Ocorrências dependentes do tempo ou época: λ ≡ λ(t) • Seguro automóvel • Fiabilidade • Danos cusados por fenómenos naturais
- 19. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação PP Não-homogéneo Definição: {N(t), t ≥ 0} diz-se um processo de poisson não-homegéneo de intensidade λ(t), se: 1 N(0) = 0; 2 N(s + t) − N(s) ∼ Poi R s+t s λ(r)dr ; 3 N(t) tem acréscimos independentes.
- 20. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação PP Não-homogéneo Definição: {N(t), t ≥ 0} diz-se um processo de poisson não-homegéneo de intensidade λ(t), se: 1 N(0) = 0; 2 N(s + t) − N(s) ∼ Poi R s+t s λ(r)dr ; 3 N(t) tem acréscimos independentes. Definição: Λ(t) = R t 0 λ(r)dr: intensidade cumulativa do processo τ(t) = inf {s : Λ(s) ≥ t}: inversa generalizada de Λ.
- 21. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Simulação Métodos: • Método de Çinlar • Método Thinning
- 22. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Método de Çinlar Teorema: {H(t), t ≥ 0} é PP(1) e λ(t) ≥ 0, então {N(t), t ≥ 0} em que N(t) = H(Λ(t)) é PP(λ(t)).
- 23. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Método de Çinlar Teorema: {H(t), t ≥ 0} é PP(1) e λ(t) ≥ 0, então {N(t), t ≥ 0} em que N(t) = H(Λ(t)) é PP(λ(t)). Prova: Herda a independência dos acréscimos. P [N(s + t) − N(s) = k] = P [H(Λ(s + t)) − H(Λ(s)) = k] e−[Λ(s+t)−Λ(s)] · [Λ(s+t)−Λ(s)]k k! = e− R s+t s λ(r)dr · ( R s+t s λ(r)dr) k k! Logo N(s + t) − N(s) ∼ Poi R s+t s λ(r)dr
- 24. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Consequência: t1, t2, ... são as chegadas de um PP(λ(t)) se Λ(t1), Λ(t2), ... são as chegadas de um PP(1).
- 25. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Consequência: t1, t2, ... são as chegadas de um PP(λ(t)) se Λ(t1), Λ(t2), ... são as chegadas de um PP(1). Método de Çinlar • Gerar um PP(1) • Usar τ(t) para obter o PP(λ(t))
- 26. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Algorı́tmo de Çinlar (1) Inicializar s=0 (2) Gerar u ∼ U(0, 1) (3) Fazer s ← s − logu (4) Fazer t ← inf {v : Λ(v) ≥ s} (5) Guardar t (6) Ir para passo (2)
- 27. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Simulação Figure : Simulação com λ(t) = 1/2 · log(t + 1) + (1/3)t + 5/(t + 2)
- 28. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Método Thinning • Encontrar λ∗ tal que λ(t) ≤ λ∗, para todo t ≥ 0 • Gerar um PP(λ∗) • Retirar a chegada Ti com probabilidade 1−λ(Ti ) λ∗ • As restantes chegadas formam um PP(λ(t))
- 29. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Lema. Seja X ∼ Poi(λ), se para todo x ∈ X, x ∈ X1 ou x ∈ X2, com probabilidades p e q = 1 − p respectivamente, então X1 ∼ Poi(pλ) e X2 ∼ Poi(qλ).
- 30. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Lema. Seja X ∼ Poi(λ), se para todo x ∈ X, x ∈ X1 ou x ∈ X2, com probabilidades p e q = 1 − p respectivamente, então X1 ∼ Poi(pλ) e X2 ∼ Poi(qλ). Teorema: - {N∗(t) : t ≥ 0} um PP(λ∗) - T1, T2, ..., TN∗(T) as chegadas no intervalo (0, T] - λ(t) tal que: 0 ≤ λ(t) ≤ λ∗, t ∈ (0, T] Se a chegada Ti for retirada do processo com probabilidade 1−λ(Ti ) λ∗ , para i = 1, 2, ..., N∗(T), então as restantes chegadas formam um PP(λ(t)).
- 31. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Prova: {N(t) : t ≥ 0} : o processo das chegadas que sobrevivem. Mostrar: - Os acréscimos são independentes - N(s + t) − N(s) ∼ Poi R s+t s λ(r)dr .
- 32. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Prova: {N(t) : t ≥ 0} : o processo das chegadas que sobrevivem. Mostrar: - Os acréscimos são independentes - N(s + t) − N(s) ∼ Poi R s+t s λ(r)dr . Supondo que N∗(s + t) − N∗(s) = n. As n chegadas, consideradas não ordenadas, são U(s, s + t). Probabilidade de U ∼ U(s, s + t) ser aceite: p = E λ(U) λ∗ = 1 λ∗t · R s+t s λ(r)dr.
- 33. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Prova: {N(t) : t ≥ 0} : o processo das chegadas que sobrevivem. Mostrar: - Os acréscimos são independentes - N(s + t) − N(s) ∼ Poi R s+t s λ(r)dr . Supondo que N∗(s + t) − N∗(s) = n. As n chegadas, consideradas não ordenadas, são U(s, s + t). Probabilidade de U ∼ U(s, s + t) ser aceite: p = E λ(U) λ∗ = 1 λ∗t · R s+t s λ(r)dr. Como N∗(s + t) − N∗(s) ∼ Poi (λ∗t) , −→ Lema anterior N(s + t) − N(s) ∼ Poi (p · λ∗t) , ou seja, N(s + t) − N(s) ∼ Poi R s+t s λ(r)dr .
- 34. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Algorı́tmo Thinning (1) Inicializar s=0 (2) Gerar u1 ∼ U(0, 1) (3) Fazer s ← s − 1 λ∗ log u1 (4) Gerar u2 ∼ U(0, 1) (5) Se u2 ≤ λ(s)/λ∗, Guardar s (6) Ir para passo (2)
- 35. Processos de Poisson José Castro PP Homogéneo Simulação PP Não- homogéneo Simulação Simulação Figure : Simulação com λ(t) = 1 + π| sin(2πt)|, t ∈ [0, 1]