áreas e volumes da esfera

1. Plano de Trabalho
Disciplina:Matemática- 4º Bimestre
BlocoTemático: 2 – Esferas
Professor Cursista: José AméricodosSantos
Mediador:JOSÉMÁRIO DOS SANTOSTRINDADE
Informações sobre a turma:
Númerode alunos:38 alunos
Disponibilidade de RecursosTecnológicosnasala:Nãoexistem
Existe laboratóriode informática:Não
Númerosde aulaspara exposiçãodoconteúdo:
Númerode aulaspara avaliação:2
Introdução:
Em minhasaulassobre esferasfaçoumabreve revisãodosconteúdospertinentesao
comprimentoe áreasda circunferência
Este planode trabalhotempor objetivoapresentarEsferas,permitindo aoaluno
manusearobjetoscomesse formato,comotambémtrabalhara definiçãode esferas,áreade
uma superfície esféricae volume daesfera.
Para iniciaresse planovamos relembrarconceitode círculoe circunferência,bemcomo
sabera diferençaentre superfícieesféricae esfera.

2. Neste planoserãotrabalhadasquestõescontextualizadasparaque o alunopossavera
aplicaçãodo que ele estáestudandoemsuarealidade.Comomuitasvezesoalunonão
percebe essaaplicabilidade oaprendizado nãose tornatão significativo,porissoaimportância
de trabalhar questões próximasdocotidianodoaluno.
Para trabalharesse conteúdoserãonecessários8temposde 50 minutos para o
desenvolvimentodoconteúdoe mais2 temposde 50 minutosparaa atividade de avaliaçãoda
aprendizagem, oteste individual (alémdaavaliação que seráfeitanomomentodaaula,
durante a realizaçãodasatividades).
Objetivos Gerais
- Utilizarsatisfatoriamenteosconhecimentosbásicosde esferasnosdomíniosdaanálise crítica
e da aplicação,a fimde resolverproblemaspráticosutilizandoosconhecimentosadquiridos
durante as aulas.
Objetivos Específicos
Ao final doplanode atividade oalunodeverásercapazde:
- Compreenderadefiniçãode superfícieesféricae de esfera;
- Calculara área superficial daesfera;
- Calcularo volume daesfera;
- Estabelecerrelaçõesentre amatemáticaocotidianoe as outrasáreas do conhecimento;
- Desenvolvere compreenderalinguagemmatemática;
- Resolverproblemasutilizandoocálculodaárea da superfície esféricae dovolume de uma
esfera;
- Seragente ativono processode ensinoe aprendizagem;
- Assumirumaposturaque zelapelacomunicação,pelodiálogoe pelacolaboração;
- Interpretare resolversituações-problemae- Desenvolveratitudespositivascomrelaçãoà
matemática.
Desenvolvimento:
DURAÇÃO PREVISTA: 200 minutos
ÁREA DE CONHECIMENTO: Matemática
ASSUNTO: Esferas
OBJETIVOS: Calcularo volume e a superfície esféricade diferentestamanhosde esferas
Tópico: Definiçãoe elementosdaesfera,áreadasuperfície esférica,volumedaesfera
Campo Geométrico:GeometriaEspacial:Esferas
PRÉ-REQUISITOS: Volume docone.
MATERIAL NECESSÁRIO: Folhade atividades,régua,lápisde corou canetahidrográfica.
ORGANIZAÇÃODA CLASSE: Turma dispostaemduplasde formaa propiciarumtrabalho
organizadoe colaborativo.

3. Habilidadese Competências: CurrículoMínimo
DESCRITORES ASSOCIADOS:
- Identificarossistemaslinearescomomodelosmatemáticosque traduzemsituações-
problemasparaa linguagemmatemática.
- Resolverproblemasutilizandosistemaslineares.
Habilidade Principal do currículo mínimo
Resolverproblemasutilizandoocálculodaárea da superfície esféricae dovolume de uma
esfera.
Atividade 1
Questão proposta: O ProfessorJosé Américolevouàsalade aulaa metade de uma esfera
conforme a imagemabaixo,cujodiâmetromede72cm e como exercíciospediuoseguinte:
a) O raio da esfera
b) A área da esfera
c) O volume daesfera
Solução
a) sendoo diâmetroodobrodo raio,d = 2r, como o diâmetroé 72 cm, logoo raio é igual
a 36 cm.
b) a área da esferaé dada pelalei de formaçãoA = 4𝜋r2
, então,A = 4𝜋362
→ A = 4𝜋.1296
logoA = 5.184𝜋cm2
c) o volume daesferaé dada pelalei de formaçãoV = 3
4 3
r
, entãoV = 3
364 3

V = 3
466564 
→ V = 4𝜋.15552 → V = 62208𝜋 cm3

4. Atividade 2
Questão proposta: (UFRS) Uma esferade raio2 cm é mergulhadanumcopocilíndricode 4 cm
de raio, até encostarno fundo,de modoque a água do copo recubraexatamente aesfera.
Antesda esferasercolocadanocopo, a altura de água era:
a) 27/8 cm
b) 19/6 cm
c) 18/5 cm
d) 10/3 cm
e) 7/2 cm
Vesfera=4/3* π * r³
Vcilndro=h*R²π
Vi ==> volume inicial docilindro
Vf ==> Volume final docilindro
hi ==> alturainicial docilindro
hf ==> alturafinal docilindro
R ==> raiodo cilindro=4 cm
r ==>raio da esfera= 2 cm
Se a água recobriua esferaexatamente,
elachegoua um nível d'água de 2r do cilindro
(nãoesqueça,r da esfera).
Vf=2r x (R²π)
Vf=4 x16π
vf= 64π

5. Vf-Vesfera= hi x R²π
64π- 4/3 x π x r³= hi x R²π
64π- 4/3 x π x 2³= hi x R²π
64π- 4/3 x πx8= hi x R²π
64π- 32π/3 = hi x 4² x π
[3*64π- 32π]/3 = hi x 4² x π
[192-32]π/3=hi x 16 π
160/3=16x hi
hi= 160/16 x 3=10/3 cm = 3,33 ...cm
Resp: {10/3 cm}
Resposta: letra (d)
Atividade 3
Questão proposta: Sobre uma esferaé incorretoafirmarque:
a) A medidadoseuraioé única.
b) Ela é um sólidode revolução.
c) A figuraobtidaporqualquercorte na esferaé uma esfera.
d) Meridianoé a circunferênciaque contemoplanodoeixo.
Atividade 4
Questão proposta: (Escola Especialistade Sargentos da Aeronáutica– EAAR 2018)
Uma esferaE foi divididaem3partes: A,B e C, comomostra o desenho.Se osvolumesdessas
partessão taisque:
V(A) = V(B) = V(C)/2e V(C) = 486 cm3
,entãoo raio da esferaé _____ cm.
a)8 b)9 c)10 d)1
Solução
Uma esferadivididaemtrêspartes

6. V(A) + V(B) + V(C) = (4/3).  .R³
V(C)/2+ V(C)/2+ V(C) = (4/3). .R³
2.V(C) = (4/3).  .R³
V(C) = (2/3).  .R³
486.  = (2/3).  .R³
R³ = 729 ---> R³ = 9³ ---> R = 9
Resp: letra (b)
Atividade 5
Questão proposta ENEM (Segundaaplicação) 2016: Uma indústriade perfumesembalaseus
produtos, atualmente,emfrascosesféricosde raioR comvolume dadopor
3
4 3
R
.Observou-seque haveráreduçãode custosse foremutilizadosfrascoscilíndricoscomraioda
base R/3 cujo volume serádadopor h
R






2
3
 sendo a altura da novaembalagem. Paraque
sejamantidaa mesmacapacidade dofrasco esférico,aalturado frascocilíndrico(emtermos
de R) deveráserigual a.
a) 2R
b) 4R
c) 6R
d) 9R
e) 12R
Solução:
Volume dofrascoesférico= Volume dofrascocilindro → Ve =Vc
3
4 3
R
= h
R






2
3

3
4 3
R
= h
R






2
3
→
3
4 3
R
= h
R

9
2
→ hR 
3
1
4 → hR 12 → h =12R
Resp: letra (e)
Atividade 6
Questão proposta: Uma laranja tema forma esférica.Assimsendo,qual é aproximadamente,
a área da casca de uma laranjacom 8 cm de diâmetro?Adote 14,3

7. Solução:
Se o diâmetroda laranjavale 8 cm, então,seuraiovale 4 cm.
A área da esfera(A) é dadapor: A = 4𝜋r2
→ A = 4 x 3,14 x 42
→ A = 4 x 3,14 x 16
A = 2096 cm2
Avaliação
A avaliaçãoseráfeitadurante oprocessofeitopeloprofessoremrelaçãoàparticipaçãodos
alunos,de suasanotaçõese dadas as provas,testese trabalhosporelesexecutados.
Serãoefetuadas3 (três) avaliaçõesnodecorrerdobimestre.Seráconsideradoaprovadoo
alunoque,tendofrequênciasuficiente,obtiveramédiaaritméticadastrêsprovassuperiora
cinco (cincovírgulaszero).
Alémdas avaliações,listasde exercíciospoderãosersolicitadas durante obimestre, ficandoa
critériodoprofessordadisciplina decidircomo estasatividadescontribuirãoparaa média
final.
ReferênciasBibliográficas
quizizJose Américo Esferas.Disponívelem
<https://quizizz.com/admin/quiz/5dca71c3bdf628001c258275/jose-americo-esferas >
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GeometriaPlanae Espacial.Disponível em
<https://play.google.com/store/apps/details?id=com.evobooks.GeometriaDemo&hl=pt_BR
>acessadoem21 out19.
Área da Esfera: fórmula e exercícios – Toda Matéria. Disponível em
<https://www.todamateria.com.br/area-da-esfera/ >acessadoem 21 out 19.

8. Volume docilindro.Calculandoovolume docilindro –Mundo...Disponível em
<https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/corpo-esferico.htm>acessadoem23
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(UFRS) Uma esferade raio2 cm é mergulhadanumcopo...Disponível em
<https://brainly.com.br/tarefa/13389783 > acessado em23 nov 19
Exercíciossobre Volumesde SólidosGeométricos –Questões.Disponível em
<https://www.infoescola.com/matematica/volume-de-solidos-geometricos/exercicios/>
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Exercícios – Esfera– Stoodi.Disponível em
>https://www.stoodi.com.br/exercicios/matematica/esferas/sobre-uma-esfera-e-incorreto-
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Resumode Matemática– Esfera– Stoodi.Disponível em
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_______________. Esfera:Definição,Elementos,Seçãoesférica,Árease Volume (AULA 13/16).
Disponível em < https://youtu.be/4mEqtfBXrl8 > acessadoem26 nov 19.
________________. PARTESDA ESFERA,CUNHA EFUSP (AULA 14/16). Disponível em<
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pdf > acessadoem30 nov19.
GeometriaEspacial – EstudoDa Esfera= CelsoBrasil ... – Scribd.Disponível
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Brasil > acessadoem30 nov19.
Geometriaespacial –Esfera– Portal doProfessor.Disponívelem
<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=7693> acessadoem30
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A Esferana GeometriaEspacial – Toda Matéria.Disponível em
<https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/ > acessadoem30 nov
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Planode Trabalho2 GEOMETRIA ESPACIAL – ESFERA .Disponível em<Planode Trabalho 2
GEOMETRIA ESPACIAL – ESFERA >acessadoem30 nov19.