1. Engenharia Elétrica – 3º Semestre

2. Origem da Figura

6. Figura Completa

7. Calculo do Volume do Cilindro.

8. Por Geometria Espacial. Vc = π.R².h

9. Por Coordenadas Cilíndricas. ∫ ∫ ∫ dz r dr dө Vc = ∫ ∫ ∫ dz r dr dө Vc = ∫ ∫ h.r dr dө Vc = ∫ h.r 2 / 2│ dө Vc = ∫ h.R 2 / 2 dө Vc = h.R² / 2 . (2π) Vc = h. R².π R 0 0 0 0 0 0 0 2π R R 2π 2π 2π h 0 R

10. Por Coordenadas Cartesianas. V = ∫ ∫ ∫ dz dy dx -R R -√R² - x² √ R² - x² 0 h

11. Por Simetria temos que:

12. V = 2 ∫ ∫ z│ dy dx √ R² - x² 0 -R R 0 h

13. E por outra simetria temos que:

14. V = 4 ∫ ∫ h dy dx V = 4h ∫ √R² - x² dx 0 0 R R 0 √ R² - x²

15. R ө X √ R² - x² sen ө = x/R x = R sen ө dx/d ө = R cos ө dx = R cos ө d ө Usando a Técnica de Substituição Trigonométrica

16. Trocando os Limites

17. V = 4h ∫ √R² - R²sen² ө R cos ө d ө V = 4Rh ∫ √R² (1-sen² ө ) cos ө d ө cos² ө ↓ V = 4R²h ∫ cos² ө d ө V = 4R²h ∫ (1/2 + ½ cos2 ө ) d ө V = 2R²h [ ө │ + ½ sen2 ө │ ] V = π R² h 0 π /2 π /2 π /2 π /2 π /2 0 0 0 0 0 π /2

18. Calculo do Volume do Cone.

22. Calculo do volume da esfera.

24. Por Geometria Espacial (Esfera) V = (4/3) π R³

25. Por Geometria Espacial (Calota esférica) Vc = π h²(3R-h)/3

26. Por Coordenadas Esféricas (Esfera) V = ∫ ∫ ∫ ρ² senφ dρ dφ dө V = ∫ ∫ ρ³/3 │ senφ dφ dө V = -R³/3 ∫ cosφ │ dө V = -R³/3 [cosπ – 1] ∫ dө V = 2R³/3 ө │ V = 4πR³/3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2π 2π 2π 2π 2π π π π R R

27. Volume da calota A equação desta esfera será dada por: x² + y² + (z-R)² = R² A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o raio da calota será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência x² + y² = R² - (h-R)²

28. Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter: Z = R - √R² - (x² + y²) Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar: r² = R² - (h-R)² = h(2R-h) A região circular S de integração será descrita por x²+y² < R² ou em coordenadas polares através de: 0 < m < R, 0 < t < 2 π

29. A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é dada por: Vc (h) = ∫ ∫ (h – z) dx dy ou seja Vc (h) = ∫ ∫ (h – R + √R² - (x² + y²)) dx dy Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma: Vc(h) = ∫ ∫ (h – R + √R² - (R² + m²) m dm dt Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais: Vc(h) = 2π { ∫ (h – R) m dm + ∫ √R² - m² m dm} 0 0 R R 0 0 2 π R s s

30. ou seja: Vc(h) = π {(h – R) R² - ∫ √R² - m² (-2m) dm} Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever: Vc(h) = π {(h – R) R² + ∫ √u du} Após alguns cálculos obtemos: VC(h) = π (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3) π [(R-h)³ - R³] e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por: VC(h) = π h²(3R-h)/3 0 R² 0 R

31. Soma do Volume Total.

33. Medidas do Cilindro. Vcilindro = πR²h Vcilindro = 3,14 * 3,87² * 5,15 Vcilindro = 242,94 ml Altura (h) : 5,15 cm Raio (R) : 3,87 cm

38. Volume do cone maior: Vcone Maior = π R² h / 3 Vcone Maior = 3,14 * 6,12² * 6,12 / 3 Vcone Maior = 240,50 ml Volume do cone menor: Vcone Menor = π R² h / 3 Vcone Menor = 3,14 * 3,87² * 3,87 / 3 Vcone Menor = 60,69 ml

44. Volume total da figura.

46. Volume Total = Vcilindro + Vtronco + Vsegmento Volume Total = 242,94 + 179,81 + 1602,05 Volume Total = 2024,80 ml