Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
ESFERAS

2. ESFERAS
1
01. (Ime 2020) Em um cubo regular de aresta a, os pontos M, N e L pertencentes às três arestas distintas que partem
do vértice A estão a uma distância x de A tal que
a
0 x .
2
< ≤ Para que plano MNL seja tangente à esfera inscrita no
cubo, o valor de x é
a)
a
( 3 1)
2
−
b)
a
(3 3)
2
−
c)
a
(2 3)
2
−
d)
a
(4 2 3)
2
−
e)
a 3
2
02. (Efomm 2020) Seja a esfera de raio R inscrita na pirâmide quadrangular regular de aresta base 2 cm e aresta
lateral 38 cm. Sabendo-se que a esfera tangencia todas as faces da pirâmide, o valor de R, em cm, é
a)
37 1
6
+
b)
39 1
38
−
c)
6 38 12
17
+
d)
37 1
6
−
e)
6 38 12
17
−
03. (Espcex 2019) O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 3
216 cm é igual a
a) 3
38 cm .
π
b) 3
36 cm .
π
c) 3
34 cm .
π
d) 3
32 cm .
π
e) 3
30 cm .
π
04. (Ita 2019) Os volumes de um tronco de cone, de uma esfera de raio 5 cm e de um cilindro de altura 11cm formam
nessa ordem uma progressão aritmética. O tronco de cone é obtido por rotação de um trapézio retângulo, de altura
4 cm e bases medindo 5 cm e 9 cm, em torno de uma reta passando pelo lado de menor medida. Então, o raio da
base do cilindro é, em cm, igual a
a) 2 2.
b) 2 3.
c) 4.
d) 2 5.
e) 2 6.

3. ESFERAS
2
05. (Espcex 2018) A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela inserção de um cateter em uma veia
ou artéria com o enchimento de um pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. Considerando que,
num procedimento de angioplastia, o raio inicial do balão seja desprezível e aumente a uma taxa constante de
0,5 mm s até que o volume seja igual a 3
500 mm , então o tempo, em segundos, que o balão leva para atingir esse
volume é
a) 10.
b) 3
5
10 .
π
c) 3
2
10 .
π
d) 3
10 .
π
e) 3
3
10 .
π
06. (Eear 2017) Um escultor irá pintar completamente a superfície de uma esfera de 6 m de diâmetro, utilizando uma
tinta que, para essa superfície, rende 2
3 m por litro. Para essa tarefa, o escultor gastará, no mínimo, _____ litros de
tinta. (Considere 3)
≅
π
a) 18
b) 24
c) 36
d) 48
7. (Acafe 2017) Considere o caso abaixo e responda: quantas gotas dessa medicação, o médico deve administrar
utilizando o segundo conta-gotas, para garantir a mesma quantidade de medicamento do primeiro conta-gotas?
Certo paciente deve ingerir exatamente 7 gotas de um medicamento a ser administrado através de um conta-gotas
cilíndrico cujo diâmetro mede d cm. Em certa ocasião, o médico tinha disponível apenas um segundo conta-gotas,
também cilíndrico, cuja medida do diâmetro é igual a metade do diâmetro do primeiro conta-gotas. Sabe-se que o
volume de cada gota equivale ao volume de uma esfera com mesmo diâmetro do conta-gotas utilizado para formá-la.
a) 14 gotas
b) 3,5 gotas
c) 7 gotas
d) 56 gotas
08. (Espcex 2016) Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até uma certa altura. Uma
esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem haver transbordamento de água. Se
a altura da água subiu
9
R,
16
então o raio da esfera mede
a)
2
R
3
b)
3
R
4
c)
4
R
9
d)
1
R
3
e)
9
R
16

4. ESFERAS
3
09. (Efomm 2016) Seja uma esfera de raio R e um cubo de aresta A, ambos com a mesma área de superfície. A razão
entre o volume do cubo e o volume da esfera é igual a
a)
1
.
π
b) .
12
π
c)
2
.
3
π
d) .
3
π
e) .
6
π
10. (Ita 2016) Uma esfera 1
S , de raio R 0,
> está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, 2
S , de raio r, com
0 r R,
< < está contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera 1
S e à superfície lateral de K. O volume
de K é igual a
a)
5
R
.
3r(R r)
π
−
b)
5
2 R
.
3r(R r)
π
−
c)
5
R
.
r(R r)
π
−
d)
5
4 R
.
3r(R r)
π
−
e)
5
5 R
.
3r(R r)
π
−
11. (Esc. Naval 2015) Um prisma quadrangular regular tem área lateral 36 6 unidades de área. Sabendo que suas
diagonais formam um ângulo de 60° com suas bases, então a razão do volume de uma esfera de raio 1 6
24 unidades
de comprimento para o volume do prisma é
a)
8
81π
b)
81
8
π
c)
8
81
π
d)
8
27
π
e)
81
8π

5. ESFERAS
4
12. (Acafe 2014) Um tubo cilíndrico reto de volume 3
128 cm ,
π contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes
entre si e tangentes externamente. Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual
do volume ocupado pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de
a) 75
b) 50
c) 33
d) 66
13. (Espcex 2014) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 gomos
exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede
a)
3
2
4
cm
3
π
b)
3
2
4
cm
9
π
c)
2
2
4
cm
3
π
d)
2
2
4
cm
9
π
e) 3 2
4 cm
π
14. (Esc. Naval 2013) Um astronauta, em sua nave espacial, consegue observar, em certo momento, exatamente
1
10
da superfície da Terra. Que distância ele está do nosso planeta? Considere o raio da Terra igual a 6400 km
a) 1200 km
b) 1280 km
c) 1600 km
d) 3200 km
e) 4200 km
15. (Esc. Naval 2012) Uma esfera confeccionada em aço é usada em um rolamento de motor de um navio da Marinha
do Brasil. Se o raio da esfera mede 3 5 3 5 3 cm,
 então seu volume vale
a) 3 3
45 10 dm
π
−
⋅
b) 3 3
0,45 10 dm
π
−
⋅
c) 3 3
60 10 dm
π
−
⋅
d) 3 3
0,15 10 dm
π
⋅
e) 3 3
60 10 dm
π
⋅

6. ESFERAS
5
16. (Ita 2005) Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas
contidas em uma semi-esfera formam uma progressão aritmética de razão πr3
/45. Se o volume da menor cunha for
igual a πr3
/18, então n é igual a
a) 4
b) 3
c) 6
d) 5
e) 7
17. (Ita 2005) A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a interseção de
uma esfera de raio igual a 4 cm com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da esfera aos vértices do
triângulo é (em cm)
a) 3 3
b) 6
c) 5
d) 4
e) 2 5
GABARITO
1 - ANULADA 2 - D 3 - B 4 - B 5 - E
6 - C 7 - D 8 - B 9 - E 10 - B
11 - C 12 - D 13 - A 14 - C 15 - C
16 - C 17 - C