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Cinemática
Prof. Dra. Tathiana Moreira Cotta
Conteúdo
§  Velocidade
§  Aceleração
§  Movimentos bi e tridimensionais
§  Velocidade relativa
§  Curiosidades e Problemas
§  Observações finais
§  Bibliografia
Velocidade
Velocidade Média
Velocidade Instantânea
Movimento com Velocidade Constante
Velocidade
§ O que é velocidade?
§ Velocidade média
§ Velocidade Instantânea
!
v =
"
s −
"
s0
t −t0
=
Δ
"
s
Δt
!
v =
!
x −
!
x0
t −t0
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Δ
!
x
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v = lim
Δt→0
Δ
"
s
Δt
xx0 x!
x0
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x
y
z
x
!
s0
!
s
Δ
!
x
Δ
!
s
⇒
!
v =
d
!
s
dt
Velocidade
§ Movimento Retilíneo Uniforme
Aceleração
Aceleração Média
Aceleração Instantânea
Movimento com Aceleração Constante
Aceleração
§ O que é aceleração?
§ Aceleração média
§ Aceleração instantânea
!
a = lim
Δt→0
Δ
!
v
Δt
xx0
!
v0
x
!
v
!
v0
!
v
Δ
!
v
!
a =
!
v −
!
v0
t −t0
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Δ
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v
Δt
!
a =
!
v −
!
v0
t −t0
=
Δ
!
v
Δt
vy
vz
vx
⇒
!
a =
d
!
v
dt
Aceleração
§ Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
Movimento bi e
tridimensional
Movimento no espaço
Movimento de Projétil
Movimento Circular
Movimento bi e tridimensional
§ Movimento de projétil
Movimento bi e tridimensional
§ Movimento de projétil
θ0
!
v
x
y
!
v
!
vx
!
vy
vx = vcosθ
vy = vsenθ
Em x: Em y:
!
v = constante
x = x0 + vxt
!
a =
!
g = constante
y = y0 + v0yt + 1
2 at2
vy = v0y + atvy
2
= v0y
2
+ 2aΔytx = ty
θ
Movimento bi e tridimensional
§ Movimento circular
Movimento bi e tridimensional
§ Movimento circular uniforme
a =
v2
r
T =
2πr
v
Movimento bi e tridimensional
§ Movimento circular uniforme
x
y!
v
!
vx
!
vy
θ
!
v = vx
ˆi + vy
ˆj
vx = −vsenθ vy = vcosθ
!
v = (−vsenθ)ˆi+(vcosθ)ˆj
Movimento bi e tridimensional
§ Movimento circular uniforme
θ
!
v = (−vsenθ)ˆi+(vcosθ)ˆjy
x
!
ry
!
rx
ry = rsenθ ⇒ senθ =
ry
r
⇒ cosθ =
rx
r
!
v = (−v
ry
r
)ˆi+(v
rx
r
)ˆj
!
a =
d
!
v
dt
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v
r
dry
dt
"
#
$
%
&
'ˆi +
v
r
drx
dt
"
#
$
%
&
' ˆj
rx = rcosθ
Movimento bi e tridimensional
§ Movimento circular uniforme
!
a = −
v
r
dry
dt
"
#
$
%
&
'ˆi +
v
r
drx
dt
"
#
$
%
&
' ˆj
!
vx
x
y!
v !
vy
θ
vx = −vsenθ
vy = vcosθ
!
a = −
v
r
vy
"
#
$
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'ˆi +
v
r
vx
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#
$
%
&
' ˆj
!
a = −
v
r
vcosθ
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#
$
%
&
'ˆi + −
v
r
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"
#
$
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&
' ˆj
!
a = −
v2
r
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"
#
$
%
&
'ˆi + −
v2
r
senθ
"
#
$
%
&
' ˆj
Movimento bi e tridimensional
§ Movimento circular uniforme
!
a = −
v2
r
cosθ
"
#
$
%
&
'ˆi + −
v2
r
senθ
"
#
$
%
&
' ˆj
a = ax
2
+ ay
2
a =
v2
r
cos2
θ +sen2
θ
= −
v2
r
cosθ
"
#
$
%
&
'
2
+ −
v2
r
senθ
"
#
$
%
&
'
2
a =
v2
r
Movimento bi e tridimensional
§ Movimento circular não uniforme
x
y
z
!
d0
!
d
Δ
!
d
Movimento bi e tridimensional
§ Movimento no espaço
!
d0 = (−3,0m)ˆi +(2,0m) ˆj +(5,0m) ˆk
!
d = (9,0m)ˆi +(2,0m) ˆj +(8,0m) ˆk
Δ
!
d = (12,0m)ˆi +(0,0m) ˆj +(3,0m) ˆkΔ
!
d = (12,0m)ˆi +(3,0m) ˆk
Δt = 2,0s
!
v =
Δ
!
d
Δt
!
v =
(12,0m)ˆi +(3,0m) ˆk
2,0s
!
v = (6,0m s)+(1,5m s)
Velocidade
Relativa
Velocidade Relativa
xágua
xterra
Velocidade Relativa
!
xbt
!
xba
!
xat
!
xbt =
!
xba +
!
xat
d
!
xbt
dt
=
d
!
xba
dt
+
!
xat
dt
!
vbt =
!
vba +
!
vat
Obs.: Velocidade do referencial
móvel tem que ser constante para
que as leis de Newton se
apliquem!!!
d
!
vbt
dt
=
d
!
vba
dt
+
d
!
vat
dt
!
abt =
!
aba
§ Uma dimensões
Velocidade Relativa
§ Para onde direcionar o barco se desejamos
chegar à margem oposta?
Velocidade Relativa
!
rat =
!
rvt +
!
rav
d
!
rat
dt
=
d
!
rvt
dt
+
d
!
rav
dt
!
vat =
!
vvt +
!
vav
d
!
vat
dt
=
d
!
vav
dt
+
d
!
vvt
dt
!
aat =
!
aav
§ Três dimensões
xt
yt
zt
xv
yv
zv
!
rvt
!
rav
!
rat
Curiosidades e
Problemas
Curiosidades e Problemas
§  O trem e a bola
Visão frontal
Visão do maquinista
Visão lateral
Curiosidades e Problemas
§ Correr ou andar na chuva?
Curiosidades e Problemas
§ A face oculta da Lua...
Curiosidades e Problemas
§ A face oculta da Lua...
Curiosidades e Problemas
§ A Terra e a Lua se encontram em rotação sincronizada
e por este motivo existe uma região de sua superfície
que não pode ser vista da Terra. Considere a órbita da
Lua aproximadamente circular de raio 3,89 X 108 m, e
o raio da Lua igual a 1,74 X 106 m. A Lua completa
uma revolução em 27,3 dias. Encontre:
a)  A velocidade escalar orbital média da Lua
b) A velocidade escalar de rotação média em torno do
próprio eixo
c)  Sua aceleração centrípeta orbital
d) Sua aceleração centrípeta de rotação
Vendo apenas uma face da Lua...
Curiosidades e Problemas
§ Um barco direcionado para o norte cruza um rio largo
com velocidade escalar de 10,0 km/h em relação à
água. O rio tem uma correnteza tal que a água está
em movimento com velocidade escalar uniforme de
5,00 Km/h em direção leste em relação à margem.
a)  Qual é a velocidade do barco em relação à margem?
b) A qual ângulo deveria estar direcionado o barco se
ele deve navegar em direção ao norte pelo rio?
c)  Qual é a nova velocidade escalar do barco em
relação à margem considerando a situação da letra
b)?
Um barco atravessando o rio...
Curiosidades e Problemas
§ Um avião se move direcionado ligeiramente ao sul
do leste para compensar um vento constante que
sopra para nordeste. O módulo de sua velocidade
em relação ao vento é de 215 km/h e faz um
ângulo θ ao sul do leste. A velocidade do vento
em relação ao solo tem módulo 65,0 km/h e faz
um ângulo de 20º a leste do norte. O avião se
movimenta para leste em relação ao solo.
a) Qual é o valor de θ?
b) Qual é o módulo da velocidade do avião em
relação ao solo?
O avião e o vento...
Curiosidades e Problemas
§ Um helicóptero de salvamento lança um pacote com
alimentos de emergência para um grupo de
exploradores sem recursos, como mostrado na figura.
Se o helicóptero está viajando horizontalmente a 40,0
m/s a uma altura de 100 m acima do solo, onde o
pacote alcança o solo em relação ao ponto no qual foi
lançado?
Exploradores sem recurso...
Curiosidades e Problemas
§ Um alpinista mal educado, chuta
uma pedra horizontalmente do
alto de um rochedo íngreme com
40 m de altura para dentro de
uma lagoa. Se o alpinista ouve o
barulho do impacto com a água
3,00 s mais tarde, qual foi a
velocidade escalar inicial dada à
pedra?
Obs.: Suponha que a velocidade
do som no ar seja de 343 m/s.
Pedra lançada de um penhasco...
Observações
Finais e
Bibliografia
Observações Finais
§ Para um projétil, os movimentos em x
e em y são independentes.
§ Aceleração centrípeta:
§ A aceleração e sempre a mesma em
qualquer referencial inercial.
a =
v2
r
Bibliografia
§  Princípios de Física – Mecânica Clássica.
Raymond A. Serway e John W. Jewett Jr.
3ª edição, 2004, editora CENGAGE.
§  Fundamentos de Física – Mecânica, vol 1.
Hallyday, Resnick e Jearl Walker. 8ª
edição, 2009, editora LTC.
§  O Circo Voador da Física. Jearl Walker. 2ª
edição, 2008, editora LTC.
Sites
§  http://www.mspc.eng.br/mecn/
cin_120.shtml
§  http://exame.abril.com.br/rede-de-
blogs/esporte-executivo/2013/10/07/o-
aberto-brasil-de-golfe-vem-ai-o-que-vem-
depois
§  http://upload.wikimedia.org/wikipedia/
commons/f/f4/155fire.jpg
§  http://e.i.uol.com.br/esporte/basquete/
2009/12/05/marcado-por-wade-bryant-
acerta-cesta-de-tres-pontos-no-jogo-entre-
lakers-e-
heat-1260008306507_300x300.jpg
Sites
§  http://imagem.band.com.br/
cnt_ext_362663.jpg
§  http://3.bp.blogspot.com/_CzLSDqNtDd8/
Sikhd6N4ohI/AAAAAAAAADg/
gm0ewmPf1Lw/s1600-h/lua_terra.jpg
§  http://static.panoramio.com/photos/large/
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§ 
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§  http://men5185.ced.ufsc.br//trabalhos/
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Física - Cinemática

  • 2. Conteúdo §  Velocidade §  Aceleração §  Movimentos bi e tridimensionais §  Velocidade relativa §  Curiosidades e Problemas §  Observações finais §  Bibliografia
  • 4. Velocidade § O que é velocidade? § Velocidade média § Velocidade Instantânea ! v = " s − " s0 t −t0 = Δ " s Δt ! v = ! x − ! x0 t −t0 = Δ ! x Δt ! v = lim Δt→0 Δ " s Δt xx0 x! x0 ! x y z x ! s0 ! s Δ ! x Δ ! s ⇒ ! v = d ! s dt
  • 7. Aceleração § O que é aceleração? § Aceleração média § Aceleração instantânea ! a = lim Δt→0 Δ ! v Δt xx0 ! v0 x ! v ! v0 ! v Δ ! v ! a = ! v − ! v0 t −t0 = Δ ! v Δt ! a = ! v − ! v0 t −t0 = Δ ! v Δt vy vz vx ⇒ ! a = d ! v dt
  • 9. Movimento bi e tridimensional Movimento no espaço Movimento de Projétil Movimento Circular
  • 10. Movimento bi e tridimensional § Movimento de projétil
  • 11. Movimento bi e tridimensional § Movimento de projétil θ0 ! v x y ! v ! vx ! vy vx = vcosθ vy = vsenθ Em x: Em y: ! v = constante x = x0 + vxt ! a = ! g = constante y = y0 + v0yt + 1 2 at2 vy = v0y + atvy 2 = v0y 2 + 2aΔytx = ty θ
  • 12. Movimento bi e tridimensional § Movimento circular
  • 13. Movimento bi e tridimensional § Movimento circular uniforme a = v2 r T = 2πr v
  • 14. Movimento bi e tridimensional § Movimento circular uniforme x y! v ! vx ! vy θ ! v = vx ˆi + vy ˆj vx = −vsenθ vy = vcosθ ! v = (−vsenθ)ˆi+(vcosθ)ˆj
  • 15. Movimento bi e tridimensional § Movimento circular uniforme θ ! v = (−vsenθ)ˆi+(vcosθ)ˆjy x ! ry ! rx ry = rsenθ ⇒ senθ = ry r ⇒ cosθ = rx r ! v = (−v ry r )ˆi+(v rx r )ˆj ! a = d ! v dt = − v r dry dt " # $ % & 'ˆi + v r drx dt " # $ % & ' ˆj rx = rcosθ
  • 16. Movimento bi e tridimensional § Movimento circular uniforme ! a = − v r dry dt " # $ % & 'ˆi + v r drx dt " # $ % & ' ˆj ! vx x y! v ! vy θ vx = −vsenθ vy = vcosθ ! a = − v r vy " # $ % & 'ˆi + v r vx " # $ % & ' ˆj ! a = − v r vcosθ " # $ % & 'ˆi + − v r vsenθ " # $ % & ' ˆj ! a = − v2 r cosθ " # $ % & 'ˆi + − v2 r senθ " # $ % & ' ˆj
  • 17. Movimento bi e tridimensional § Movimento circular uniforme ! a = − v2 r cosθ " # $ % & 'ˆi + − v2 r senθ " # $ % & ' ˆj a = ax 2 + ay 2 a = v2 r cos2 θ +sen2 θ = − v2 r cosθ " # $ % & ' 2 + − v2 r senθ " # $ % & ' 2 a = v2 r
  • 18. Movimento bi e tridimensional § Movimento circular não uniforme
  • 19. x y z ! d0 ! d Δ ! d Movimento bi e tridimensional § Movimento no espaço ! d0 = (−3,0m)ˆi +(2,0m) ˆj +(5,0m) ˆk ! d = (9,0m)ˆi +(2,0m) ˆj +(8,0m) ˆk Δ ! d = (12,0m)ˆi +(0,0m) ˆj +(3,0m) ˆkΔ ! d = (12,0m)ˆi +(3,0m) ˆk Δt = 2,0s ! v = Δ ! d Δt ! v = (12,0m)ˆi +(3,0m) ˆk 2,0s ! v = (6,0m s)+(1,5m s)
  • 22. xágua xterra Velocidade Relativa ! xbt ! xba ! xat ! xbt = ! xba + ! xat d ! xbt dt = d ! xba dt + ! xat dt ! vbt = ! vba + ! vat Obs.: Velocidade do referencial móvel tem que ser constante para que as leis de Newton se apliquem!!! d ! vbt dt = d ! vba dt + d ! vat dt ! abt = ! aba § Uma dimensões
  • 23. Velocidade Relativa § Para onde direcionar o barco se desejamos chegar à margem oposta?
  • 24. Velocidade Relativa ! rat = ! rvt + ! rav d ! rat dt = d ! rvt dt + d ! rav dt ! vat = ! vvt + ! vav d ! vat dt = d ! vav dt + d ! vvt dt ! aat = ! aav § Três dimensões xt yt zt xv yv zv ! rvt ! rav ! rat
  • 26. Curiosidades e Problemas §  O trem e a bola Visão frontal Visão do maquinista Visão lateral
  • 28. Curiosidades e Problemas § A face oculta da Lua...
  • 29. Curiosidades e Problemas § A face oculta da Lua...
  • 30. Curiosidades e Problemas § A Terra e a Lua se encontram em rotação sincronizada e por este motivo existe uma região de sua superfície que não pode ser vista da Terra. Considere a órbita da Lua aproximadamente circular de raio 3,89 X 108 m, e o raio da Lua igual a 1,74 X 106 m. A Lua completa uma revolução em 27,3 dias. Encontre: a)  A velocidade escalar orbital média da Lua b) A velocidade escalar de rotação média em torno do próprio eixo c)  Sua aceleração centrípeta orbital d) Sua aceleração centrípeta de rotação Vendo apenas uma face da Lua...
  • 31. Curiosidades e Problemas § Um barco direcionado para o norte cruza um rio largo com velocidade escalar de 10,0 km/h em relação à água. O rio tem uma correnteza tal que a água está em movimento com velocidade escalar uniforme de 5,00 Km/h em direção leste em relação à margem. a)  Qual é a velocidade do barco em relação à margem? b) A qual ângulo deveria estar direcionado o barco se ele deve navegar em direção ao norte pelo rio? c)  Qual é a nova velocidade escalar do barco em relação à margem considerando a situação da letra b)? Um barco atravessando o rio...
  • 32. Curiosidades e Problemas § Um avião se move direcionado ligeiramente ao sul do leste para compensar um vento constante que sopra para nordeste. O módulo de sua velocidade em relação ao vento é de 215 km/h e faz um ângulo θ ao sul do leste. A velocidade do vento em relação ao solo tem módulo 65,0 km/h e faz um ângulo de 20º a leste do norte. O avião se movimenta para leste em relação ao solo. a) Qual é o valor de θ? b) Qual é o módulo da velocidade do avião em relação ao solo? O avião e o vento...
  • 33. Curiosidades e Problemas § Um helicóptero de salvamento lança um pacote com alimentos de emergência para um grupo de exploradores sem recursos, como mostrado na figura. Se o helicóptero está viajando horizontalmente a 40,0 m/s a uma altura de 100 m acima do solo, onde o pacote alcança o solo em relação ao ponto no qual foi lançado? Exploradores sem recurso...
  • 34. Curiosidades e Problemas § Um alpinista mal educado, chuta uma pedra horizontalmente do alto de um rochedo íngreme com 40 m de altura para dentro de uma lagoa. Se o alpinista ouve o barulho do impacto com a água 3,00 s mais tarde, qual foi a velocidade escalar inicial dada à pedra? Obs.: Suponha que a velocidade do som no ar seja de 343 m/s. Pedra lançada de um penhasco...
  • 36. Observações Finais § Para um projétil, os movimentos em x e em y são independentes. § Aceleração centrípeta: § A aceleração e sempre a mesma em qualquer referencial inercial. a = v2 r
  • 37. Bibliografia §  Princípios de Física – Mecânica Clássica. Raymond A. Serway e John W. Jewett Jr. 3ª edição, 2004, editora CENGAGE. §  Fundamentos de Física – Mecânica, vol 1. Hallyday, Resnick e Jearl Walker. 8ª edição, 2009, editora LTC. §  O Circo Voador da Física. Jearl Walker. 2ª edição, 2008, editora LTC.
  • 38. Sites §  http://www.mspc.eng.br/mecn/ cin_120.shtml §  http://exame.abril.com.br/rede-de- blogs/esporte-executivo/2013/10/07/o- aberto-brasil-de-golfe-vem-ai-o-que-vem- depois §  http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/f/f4/155fire.jpg §  http://e.i.uol.com.br/esporte/basquete/ 2009/12/05/marcado-por-wade-bryant- acerta-cesta-de-tres-pontos-no-jogo-entre- lakers-e- heat-1260008306507_300x300.jpg
  • 39. Sites §  http://imagem.band.com.br/ cnt_ext_362663.jpg §  http://3.bp.blogspot.com/_CzLSDqNtDd8/ Sikhd6N4ohI/AAAAAAAAADg/ gm0ewmPf1Lw/s1600-h/lua_terra.jpg §  http://static.panoramio.com/photos/large/ 47565550.jpg §  http://wallpaper.ultradownloads.com.br/ 225573_Papel-de-Parede-Terra-vista-de- Marte_1600x1200.jpg §  http://men5185.ced.ufsc.br//trabalhos/ 27_refenciais/Video%201.avi §  http://men5185.ced.ufsc.br//trabalhos/ 27_refenciais/