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Qi
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iS
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Arco
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1i iP P
is
Área do muro
Pi-1
Pi
Qi
iS
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tira fica:
E a área do muro:
( , ).i i i iA f x y s 
1
( , ).
n
i i i
i
A f x y s

 
f(xi , yi)
Se aumentarmos, indefinidamente, o número de arcos
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Dessa forma , trata-se de uma
integral que é chamada integral de linha ou curvilínea
da função f ao longo da curva C.
Conclusão
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( , ).
n
i i i
i
f x y s

lim
n
A


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que contem C. A integral de linha de f ao longo de C é
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n
i i i
i
f x y s

lim
n
( , )
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CURSO: LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
DISCIPLINA: CÁLCULO III
AULA 6
PROFESSORA: GERALDINE
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   ( ) ( ), ( ) , ,r t x t y t t a b 
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'( )
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Aula 4 Cálculo III Integral de linha :)

  • 1. DATA: 02/10/2015 1 CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO III AULA 6 PROFESSORA: GERALDINE Aula: Integral de Linha. Objetivos: Definir e resolver problemas com Integrais de Linha de Campos Escalares e Vetoriais. Se é uma função real, a integral definida , com , representa a área da região do plano acima do domínio D e abaixo da curva gráfico da função . Integral Definida ( )f x ( ) b a f x dx ( ) 0f x  f Se é uma função de duas variáveis reais a valores reais então , com , representa o volume do sólido compreendido entre o gráfico de e o domínio B. Integral Dupla ( , )f x y ( , ) B f x y dxdy ( , ) 0f x y  f Existem situações não contempladas pelas integrais acima. Exemplo: Se quisermos calcular a área do “muro” ao lado. Área de um muro Consideremos uma curva C unindo dois pontos no plano xoy e uma função contínua em D onde D é uma região do plano contendo a curva C. Um muro é construído ao longo de C e tem altura igual à em cada ponto de C. Qual é a área desse muro? Problema ( , )z f x y ( , ) 0f x y  ( , )x y Considere uma partição da curva C. Área do Muro P0 P1 P2 Pn-1 Pn C
  • 2. DATA: 02/10/2015 2 CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO III AULA 6 PROFESSORA: GERALDINE Ai Área do muro Área muro = 1 2 ... nA A A A    P0 P1 P2 Pn-1 Pn C Pi-1 Pi Qi A1 A2 A3 An f(xi , yi) Área do muro Pi-1 Pi Qi f(xi , yi) iS O comprimento de Arco denotaremos por . 1i iP P is Área do muro Pi-1 Pi Qi iS A área da i-ésima tira fica: E a área do muro: ( , ).i i i iA f x y s  1 ( , ). n i i i i A f x y s    f(xi , yi) Se aumentarmos, indefinidamente, o número de arcos na partição, então em cada arco o comprimento tende a zero. Dessa forma , trata-se de uma integral que é chamada integral de linha ou curvilínea da função f ao longo da curva C. Conclusão 1 ( , ). n i i i i f x y s  lim n A   Se C é uma curva contínua e limitada no plano xoy e f é uma função escalar contínua em D contido no plano e que contem C. A integral de linha de f ao longo de C é dada por: Notação 1 ( , ). n i i i i f x y s  lim n ( , ) C f x y ds  Se C está no espaço e f é uma função de três variáveis, então: Observação 1 ( , , ). n i i i i i f x y z s  lim n ( , , ) C f x y z ds 
  • 3. DATA: 02/10/2015 3 CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO III AULA 6 PROFESSORA: GERALDINE Consideremos agora uma parametrização para a curva suave e limitada C , dada pela função vetorial: Integral de linha    ( ) ( ), ( ) , ,r t x t y t t a b  Então: Como: e Logo: Integral de linha  ( , ) ( ), ( ) b a C f x y ds f x t y t ds  '( ) b a s r t dt  '( ) ds r t dt  '( )ds r t dt Substituindo em obtemos: Integral de linha '( )ds r t dt  ( ), ( ) b a f x t y t ds  ( ), ( ) '( ) b a f x t y t r t dt Analogamente Integral de linha  ( , , ) ( ), ( ), ( ) '( ) b a C f x y z ds f x t y t z t r t dt  Lembramos que Observação     2 2 '( ) '( ) '( )r t x t y t  Calcule a integral de linha , sendo C o segmento que une o ponto A(-1,0) ao ponto B(2,3). Aplicação ( 3 ) C xy x ds
  • 4. DATA: 02/10/2015 4 CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DISCIPLINA: CÁLCULO III AULA 6 PROFESSORA: GERALDINE Calcule a integral de linha , onde C é a curva dada pelas equações e . Aplicação C xy ds 2 2 4x y  8x z  Integral de linha de uma curva C1 por partes 1 ... nC C C f ds f ds f ds     Calcule onde C é uma curva dada pelo gráfico ao lado. Aplicação 3 C xy ds 1 2