1) O documento discute como encontrar os zeros de uma função transcendental usando o software Maple.
2) A função é definida e graficada para identificar possíveis raízes.
3) Os comandos fsolve e NSolve do Maple podem ser usados para calcular as raízes numericamente, considerando o intervalo físico relevante.
8. Se não estiver interessado
na origem desta equação,
pule o próximo slide, slide
9, e vá para o Slide 10.
9. 9
Resumidamente, esta equação é
obtida quando resolvemos a equação
de Poisson em todo o espaço, para
uma estrutura que representa um
dispositivo de nanofio semicondutor
cilíndrico envolvido por uma camada
de óxido de certa espessura, e
seguidamente envolvido por uma
camada de material condutor,
denominado contato de gate, e
queremos encontrar o raio condutor
em função da tensão aplicada ao gate.
Regiane Ragi and Murilo Araujo Romero, Trans. on Nanotech., Vol. 18, pp. 762 – 769, July (2019).
z0 Lz
Source
c
10. Ks
qNd
2s
q 0.16021764.1018 C
Nd 1.1019 cm
3
1.1025 m
3
s kdsem .0
kdsem 11.8
0 8.854187187.1012 F.m
1
Kox
qNdwox
2ox
q 0.16021764.1018 C
Nd 1.1019 cm
3
1.1025 m
3
wox 20 Å 20.10
-10
m
ox kdox.0
kdox 3.9
0 8.854187187.1012 F.m
1
Ks
qNd
2s
q 0.16021764.1018 C
Nd 1.1019 cm
3
1.1025 m
3
s kdsem .0
kdsem 11.8
0 8.854187187.1012 F.m
1
Ks
R0
2
2
rc
2
lnrc lnR0 1
2
Vfb Vgs Kox R0 rc
2
R0
rc é a variável livre que se quer
encontrar e os demais parâmetros
são constantes conhecidas
do problema.
R0 100 Å
Vfb 1.12 V
0 Vgs 2 V
A equação que se quer resolver é:
onde
10
11. Para encontrarmos as raízes de uma equação
transcendental como a apresentada, no Maple,
vamos primeiramente escrevê-la como uma função
do tipo:
Ks
R0
2
2
rc
2
lnrc lnR0 1
2
Vfb Vgs Kox R0 rc
2
R0
Jrc Ks
R0
2
2
rc
2
lnrc lnR0 1
2
Vfb Vgs Kox R0 rc
2
R0
11
12. Passando todos os termos para um lado
e nomeando-a, por exemplo, por J,
Jrc Ks
R0
2
2
rc
2
lnrc lnR0 1
2
Vfb Vgs Kox R0 rc
2
R0
12
13. Como desejamos encontrar as raízes dessa equação
(os zeros de função), primeiramente, vamos graficá-
la no Maple para entender o comportamento da
função em termos da variável de interesse, rc.
Jrc Ks
R0
2
2
rc
2
lnrc lnR0 1
2
Vfb Vgs Kox R0 rc
2
R0
13
14. O gráfico desta função no Maple resulta
no intervalo
Jrc Ks
R0
2
2
rc
2
lnrc lnR0 1
2
Vfb Vgs Kox R0 rc
2
R0
0 R0 100 Å
e revela uma
raiz real próximo
à 10 Å.
14
c
15. Mas, esta não é a única raiz real desta equação.
Jrc Ks
R0
2
2
rc
2
lnrc lnR0 1
2
Vfb Vgs Kox R0 rc
2
R0
15
c
16. Jrc Ks
R0
2
2
rc
2
lnrc lnR0 1
2
Vfb Vgs Kox R0 rc
2
R0
Se
procurarmos
num intervalo
maior, por
exemplo
0 R0 320 Å
16
c
18. Por exemplo, se rc representa pra você o raio de um
círculo na seção reta de um cilindro,
rc
18
19. Então o intervalo em que a raiz, rc, deve se
encontrar, tem que ser entre 0 e o raio do cilindro, R0.
rc
R0
19
20. No caso em que estamos considerando, R0=100 Å,
logicamente, que, a segunda raiz, rc próximo a 300 Å
não faz nenhum significado físico.
rc
R0
20
21. O intervalo esperado é algo entre 0 e 100 Å, de
modo que, não precisamos encontrar a segunda
raiz, pois não faz sentido em nosso problema
particular.
rc
R0
0 R0 100 Å
21
22. Atualmente dispomos de muitas ferramentas
matemáticas para realizar este tipo de trabalho,
sem termos necessidade de lançar mão de métodos
de cálculo numérico mais laboriosos.
22
28. Para finalizar o nosso estudo de hoje, vamos analisar
atentamente os códigos e entender as vantagens
de se usar o pacote
e o comando
ao invés do comando
fsolve
28