Description of a electrostatic calculation in some problems...

1. Distribui¸c˜ao excitˆonica
David Velasco Villamizar
´Indice
1. Uma esfera s´olida com densidade de carga el´etrica ρ 2
2. Potencial eletrost´atico de duas distribui¸c˜oes esf´ericas de densidades e raios ρ1, ρ2 e R1, R2
respetivamente 3
3. Volume de um calota esf´erica em coordenadas cil´ındricas (ρ,ϕ,z) 4
4. Volume de um calota esf´erica em coordenadas esf´ericas (r,θ,ϕ) 5
5. C´alculo da energia do EL´ETRON em fun¸c˜ao do deslocamento rB = rB ˆz 5
5.1. C´alculo energ´etico das distribui¸c˜oes concˆentricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2. C´alculo energ´etico para deslocamentos compreendidos por 0 < rB < Re − Rb, . . . . . . . . . . 6
5.2.1. Potencial interno do buraco, Rb ≤ Re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2.2. Potencial interno do buraco, Rb ≥ Re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2.3. Potencial externo do buraco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3. C´alculo energ´etico no caso de superposi¸c˜ao, R2 − R1 < rB < R1 + R2 . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.3.1. Potencial externo na densidade eletrˆonica toda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3.2. Potencial externo na calota buraco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3.3. Potencial externo na calota el´etron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3.4. Potencial interno na calota buraco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3.5. Potencial interno na calota el´etron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4. C´alculo energ´etico para deslocamentos do intervalo R1 + R2 < rB < ∞, . . . . . . . . . . . . . 11
5.5. Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6. C´alculo da energia do BURACO em fun¸c˜ao do deslocamento rB = rB ˆz 12
6.1. C´alculo energ´etico das distribui¸c˜oes concˆentricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2. C´alculo energ´etico para deslocamentos compreendidos por 0 < rB < R2 − R1, . . . . . . . . . . 13
6.3. C´alculo energ´etico no caso de superposi¸c˜ao, R2 − R1 < rB < R1 + R2, . . . . . . . . . . . . . . 13
6.3.1. Potencial externo na calota el´etron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.3.2. Potencial externo na calota buraco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.3.3. Potencial interno na calota el´etron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.3.4. Potencial interno na calota buraco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.4. C´alculo energ´etico para deslocamentos do intervalo R1 + R2 < rB < ∞, . . . . . . . . . . . . . 16
6.5. Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7. Resultados 17
8. Sub-rutina, Integra¸c˜ao de Gauss-Legendre 17

2. Figura 1: Esquema 3D das distribui¸c˜oes do par exc´ıton no caso de superposi¸c˜ao.
1. Uma esfera s´olida com densidade de carga el´etrica ρ
Seja uma distribui¸c˜ao esf´erica s´olida de raio R1. O vetor r1 estabelece a posi¸c˜ao de um elemento infinitesimal
de carga el´etrica. O potencial el´etrico no ponto r ´e:
Figura 2: Distribui¸c˜ao esf´erica s´olida de radio R1.
Interno
φ(r) =
1
4π 0
R1
0
π
0
2π
0
ρ1
|r − r1|
(r1)2
sin θ1dr1dθ1dϕ1,
=
2πρ1
4π 0
R1
0
π
0
(r1)2 sin θ1dr1dθ1
r2 + (r1)2 − 2rr1 cos θ1
, seja x = cos θ,
=
2πρ1
4π 0
R1
0
(r1)2
dr1
+1
−1
dx
r2 + (r1)2 − 2rr1x
=
2πρ1
4π
R1
0
(r1)2
dr1
−1
rr1
r2 + (r1)2 − 2rr1x
+1
−1
=
2πρ1
4π 0
R1
0
(r1)2
dr1
−1
rr1
r2 + (r1)2 − 2rr1 − r2 + (r1)2 + 2rr1 ,
=
2πρ1
4π 0
R1
0
(r1)2
dr1
−1
rr1
|r − r1| − |r + r1| =
−2r1, se r > r1
−2r, se r < r1
,
=
4πρ1
4π 0
r<R1
0
(r1)2
dr1 ·
2
r
+
R1
r<R1
(r1)2
dr1 ·
2
r1
=
2πρ1
4π 0
−r2
6
+
R2
2
,
=
4πρ1
4π 0
R2
1
6
3 −
r2
R2
1
=
4π
4π 0
3Q
4πR3
1
R2
1
6
3 −
r2
R2
1
,
=
Q
8π 0R1
3 −
r2
R2
1
.
2

3. Externo
φ(r) =
1
4π 0
R1
0
π
0
2π
0
ρ1
|r − r1|
(r1)2
sin θ1dr1dθ1dϕ1,
=
2πρ1
4π 0
R1
0
π
0
(r1)2 sin θ1dr1dθ1
r2 + (r1)2 − 2rr1 cos θ1
, seja x = cos θ,
=
2πρ1
4π 0
R1
0
(r1)2
dr1
+1
−1
dx
r2 + (r1)2 − 2rr1x
=
2πρ1
4π
R1
0
(r1)2
dr1
−1
rr1
r2 + (r1)2 − 2rr1x
+1
−1
=
2πρ1
4π 0
R1
0
(r1)2
dr1
−1
rr1
r2 + (r1)2 − 2rr1 − r2 + (r1)2 + 2rr1 ,
=
2πρ1
4π 0
R1
0
(r1)2
dr1 ·
2
r
,
=
4πρ1
4π 0
R3
1
3r
=
4π
4π 0
3Q
4πR3
1
R3
1
3r
,
=
Q
4π 0
1
r
.
2. Potencial eletrost´atico de duas distribui¸c˜oes esf´ericas de densidades e
raios ρ1, ρ2 e R1, R2 respetivamente
1. Caso no qual onde as duas distribui¸c˜oes est˜ao distantes uma da outra e o ponto no qual
deseja-se calcular o potencial est´a fora daquelas distribui¸c˜oes esf´ericas.
φ =
4πρ1
4π 0
R3
1
3
1
r
+
4πρ2
4π 0
R3
2
3
1
r2 + r2
B − 2rrB cos α
; α = R r.
2. Caso no qual as distribui¸c˜oes esf´ericas est˜ao superpostas e o ponto no qual deseja-se calcular
o potencial est´a naquela regi˜ao. Portanto encontra-se interno para as duas distribui¸c˜oes.
φ =
4πρ1
4π 0
R1
6
3 −
r2
R2
1
+
4πρ2
4π 0
R2
6
3 −
(r2 + r2
B − 2rrB cos α)
R2
2
.
3. Caso de superposi¸c˜ao e o ponto localiza-se dentro da primeira distribui¸c˜ao.
φ =
4πρ1
4π 0
R1
6
3 −
r2
R2
1
+
4πρ2
4π 0
R3
2
3
1
r2 + r2
B − 2rrB cos α
.
3

4. 4. Caso de superposi¸c˜ao e o ponto localiza-se dentro da segunda distribui¸c˜ao.
φ =
4πρ1
4π 0
R3
1
3
1
r
+
4πρ2
4π 0
R2
6
3 −
(r2 + r2
B − 2rrB cos α)
R2
2
.
Gr´afico
Neste gr´afico pode-se apreciar o potencial el´etrico sobre o eixo x para varia¸c˜oes da distancia desde −50 at´e 250,
o deslocamento de separa¸c˜ao entre os centros das distribui¸c˜oes esf´ericas no intervalo [−20, 200], assumindo
que o el´etron varia sua posi¸c˜ao para estar mais distante, ´e o motivo pelo qual o buraco fica fixo na origem
apresentando um radio R1 = 4 e o el´etron R2 = 12, o que significa que ´e trˆes vezes maior.
3. Volume de um calota esf´erica em coordenadas cil´ındricas (ρ,ϕ,z)
C´alculo do volume da calota nesta coordenadas ajuda para fazer depois a integra¸c˜ao nas coordenadas mais
prop´ıcias para o problema, as coordenadas esf´ericas.
Figura 3: Calota esf´erica.
V (h) =
2π
0
dϕ
R1
R1−h
dz
√
R2
1−z2
0
ρ dρ = 2π
R1
R1−h
dz
ρ2
2
√
R2
1−z2
0
= π
R1
R1−h
(R2
1 − z2
)dz = π R2
z −
z3
3
R1
R1−h
=
πh2
3
(3R1 − h)
4

5. 4. Volume de um calota esf´erica em coordenadas esf´ericas (r,θ,ϕ)
Para poder realizar esta integra¸c˜ao ´e precisado expressar r = r(θ) e θ = θ(h), dai obt´em-se que o ˆangulo
azimutal m´aximo ´e,
cos θ =
R1 − h
R1
, → θ = arc cos 1 −
h
R
.
V (h) =
2π
0
dϕ
θ
0
sin θdθ
R1
R1−h
cos θ
r2
dr = 2π
θ
0
sin θdθ
R3
1
3
−
(R1 − h)3
3 cos3 θ
,
=
2π
3
−R3
1 cos θ −
(R1 − h)3
3 cos2 θ
θ
0
=
2π
3
R3
1(1 − cos θ ) −
(R1 − h)3
2 cos2 θ
+
(R1 − h)3
2
,
=
2π
3
R2
1h −
R3
1
2
+
R2
1
2
+
R3
1
2
−
3
2
R2
1h +
3
2
R1h2
−
h3
2
=
2π
3
3
2
R1h2
−
h3
2
,
=
πh2
3
(3R1 − h)
5. C´alculo da energia do EL´ETRON em fun¸c˜ao do deslocamento rB = rB ˆz
Figura 4: Esbo¸co das distribui¸c˜oes esf´ericas para a an´alise.
Sendo o caso no qual as duas distribui¸c˜oes esf´ericas encontram-se superpostas, formando desta maneira um
par de ((calotas)) que estar˜ao localizadas na regi˜ao interna do buraco. A distribui¸c˜ao do buraco caracteriza-se
por ter um raio menor e ficando fixa na origem para alguns c´alculos ou podendo variar para outro, sendo mais
simples para a an´alise sem apresentar mudan¸cas do fenˆomeno f´ısico envolvido.
As equa¸c˜oes correspondentes as duas distribui¸c˜oes esf´ericas em coordenadas cartesianas s˜ao,
x2
+ y2
+ z2
= R2
1, x2
+ y2
+ (z − rB)2
= R2
2.
Seja zc o plano de corte que divide o lente formado pela superposi¸c˜ao em duas calotas com espessura h1 para
a calota da direita (buraco) e h2 para a esquerda (el´etron).
zc =
r2
B + R2
1 − R2
2
2rB
; h1 = R1 − zc, h2 = R2 + zc − rB.
θ1 = arc cos 1 −
h1
R1
, θ2 = arc cos 1 −
h2
R2
.
5

6. 5.1. C´alculo energ´etico das distribui¸c˜oes concˆentricas
Figura 5: Distribui¸c˜oes concˆentricas.
Primeiro que tudo, antes de iniciar o c´alculo da an´alise energ´etico do el´etron no sistema conhecido como
exc´ıton. Seja o primeiro caso de an´alise no qual o buraco fica fixo na origem e a distribui¸c˜ao esf´erica do el´etron
tem a vontade de apresentar deslocamentos desde uma configura¸c˜ao concˆentrica at´e se achar totalmente longe,
sendo o caso de dissocia¸c˜ao do exc´ıton.
A express˜ao que utiliza-se para o c´alculo energ´etico ´e,
EEl´e(r) =
1
2
φBU(r ) ρEl´e(r) dτ , No Espa¸co todo.
Seja os potenciais do buraco na regi˜ao interna e externa e a densidade de carga do buraco expressada como
ρ1 = 3Q/(4πR3
1),
φint(r) =
4πρ1
4π 0
R2
1
6
3 −
r2
R2
1
=
Q
8π 0R1
3 −
r2
R2
1
,
φext(r) =
4πρ1
4π 0
R3
1
3r
=
Q
4π 0
1
r
.
A energia fornecida nesta configura¸c˜ao concˆentrica pelo potencial ´e uma constante,
EEl´e(int) =
1
2
2π
0
π
0
R1
0
Q
8π 0R1
3 −
r2
R2
1
r2
sin θ dr dθ dϕ =
QR2
1
5 0
,
EEl´e(ext) =
1
2
2π
0
π
0
R2
R1
Q
4π 0
1
r
r2
sin θ dr dθ dϕ =
Q
4 0
(R2
2 − R2
1),
EEl´e( ) =
QR2
1
5 0
+
Q
4 0
(R2
2 − R2
1).
5.2. C´alculo energ´etico para deslocamentos compreendidos por 0 < rB < Re − Rb,
A contribui¸c˜ao energ´etica fornecida para este intervalo de deslocamento ´e dividida em duas partes que depois
ser˜ao somadas para assim obter a energia total. A primeira parte corresponde ao potencial interno fornecido
pelo buraco e a segunda pelo potencial externo que encontra-se dentro do volume da distribui¸c˜ao eletrˆonica.
Este c´alculo ´e feito desde jeito por motivo dos diferentes comportamentos que apresenta o potencia do buraco.
A energia eletrˆonica total neste intervalo ´e igual `a soma das energias fornecias pelos dois comportamentos do
potencial do buraco.
6

7. Figura 6: 0 < rB < Re − Rb
5.2.1. Potencial interno do buraco, Rb ≤ Re
Para este intervalo de deslocamento s´o, a regi˜ao (volume) do el´etron que est´a fechando o buraco sempre
ser´a a mesma, querendo dizer que a contribui¸c˜ao energ´etica fornecida pelo potencial interno do buraco ser´a uma
constante.
Edentro
El´e(int)(rB) =
1
2
2π
0
π
0
Rb
0
3Qe
4πR3
e
Qb
8π 0Rb
3 −
r2
R2
b
r2
sin θdrdθdϕ =
3QeQbR2
b
20π 0R3
e
5.2.2. Potencial interno do buraco, Rb ≥ Re
Seja mais uma vez a regi˜ao (volume) do el´etron que est´a fechando o buraco uma constante, mas apresentando
deslocamentos no intervalo 0 < rb < Rb − Re. A energia para este intervalo ´e,
Edentro
El´e(int)(rB) =
1
2
2π
0
π
0
Rb
0
3Qe
4πR3
e
Qb
8π 0Rb
3 −
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
R2
b
r2
sin θdrdθdϕ,
=
3QeQb
32π 0RbR3
e
π
0
sin θdθ r3
−
1
R2
b
r5
5
+
r3r2
B
3
−
r4rB
2
cos θ
Re
0
,
=
3QeQb
32π 0RbR3
e
π
0
sin θdθ R3
e −
1
R2
b
R5
e
5
+
R3
er2
B
3
−
R4
erB
2
cos θ ,
=
3QeQb
32π 0RbR3
e
R3
e −
1
R2
b
R5
e
5
+
R3
er2
B
3
(− cos θ) +
R4
erB
4
cos2
θ
π
0
,
=
3QeQb
16π 0Rb
R3
e −
1
R2
b
R5
e
5
+
R3
er2
B
3
,
=
3QeQb
16π 0Rb
1 −
1
R2
b
R2
e
5
+
r2
B
3
.
5.2.3. Potencial externo do buraco
O c´alculo energ´etico para a regi˜ao de potencial externo fornecido pelo buraco que encontra-se dentro da
distribui¸c˜ao eletrˆonica, constar´a de fazer a integra¸c˜ao sobre a densidade eletrˆonica que est´a fechando o potencial
externo, para para os deslocamentos compreendidos pelo intervalo 0 < rB < Re −Rb, do jeito como ´e mostrado
na Figura 6.
O potencial externo do buraco ´e,
φext(r) =
Q
4π 0
1
r
.
7

8. O radio da distribui¸c˜ao do el´etron deslocado como ´e mostrado na Figura 6,
x2
+ y2
+ (z − rB)2
= R2
e,
substituindo pelas coordenadas esf´ericas,
r2
sin2
θ + (r cos θ − rB)2
= R2
e
f(r) = r2
− 2rrB cos θ + r2
B = 0, levando a express˜ao a uma vari´avel.
Rc = rB cos θ + R2
e − r2
B sin2
θ, contorno do el´etron deslocado respeito `a origem.
A contribui¸c˜ao energ´etica pela regi˜ao compreendida entre Rb < r < Rc como ´e mostrada na Figura 6 ´e,
Edentro
El´e(ext)(rB) =
1
2
2π
0
π
0
Rc
Rb
3Qe
4πR3
e
Qb
4π 0
1
r
r2
sin θ dr dθ dϕ
=
3QeQb
16π 0R3
e
π
0
sin θdθ
r2
2
Rc
Rb
=
3QeQb
32π 0R3
e
π
0
sin θdθ(R2
c − R2
1) = Solu¸c˜ao Num´erica!
5.3. C´alculo energ´etico no caso de superposi¸c˜ao, R2 − R1 < rB < R1 + R2
Figura 7: R2 − R1 < rB < R1 + R2
A id´eia central da an´alise neste intervalo de deslocamento ´e realizar o c´alculo todo da energia em diferentes
passos, sendo o primeiro calcular a energia fornecida pelo potencial externo do buraco no volume do el´etron
todo, ´e dizer, fazer o c´alculo do buraco deslocado, mas incluindo tamb´em o volume do el´etron que encontra-se
dentro do buraco. O motivo pelo qual ´e feito desde jeito ´e para depois subtrair esta contribui¸c˜ao que encontra-se
anexada, com formato da duas calotas, sendo cada uma delas correspondentes a cada uma das distribui¸c˜oes de
carga, el´etron e buraco.
Depois de ter isto pronto, continua-se com o c´alculo da contribui¸c˜ao do potencial externo em cada uma daquelas
calotas, o seja, calcular o valor energ´etico no volume da calota correspondente `a distribui¸c˜ao do buraco e da
distribui¸c˜ao el´etron. Estos dois valores calculados anteriormente ser˜ao subtra´ıdos do primeiro resultado, obten-
do assim o valor l´ıquido do potencial externo no volume do el´etron que est´a fechando s´o aquele potencial externo.
Finalmente procede-se em fazer o c´alculo da contribui¸c˜ao energ´etica do potencial interno do buraco nas duas
calotas, consequentemente somando este valor e obtendo assim a energia pertencente `a densidade eletrˆonica
toda, concluindo desta maneira a energia eletrˆonica correspondente para este intervalo de deslocamentos ou o
intervalo de superposi¸c˜ao.
8

9. 5.3.1. Potencial externo na densidade eletrˆonica toda
Como consequˆencia da utiliza¸c˜ao da regra do cosseno para a descri¸c˜ao do deslocamento do el´etron, tem-se
que dividir o c´alculo em dois subintervalos.
R2 − R1 < rB < R2
Esuperposi¸c˜ao
El´e(ext) (rB) =
1
2
2π
0
π
0
R2
0
Q
4π 0
r2 sin θ dr dθ dϕ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R2
0
r2
dr
π
0
sin θ dθ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R2
0
r2
dr ·
−1
rrB
·
−2rB, se r > rB
−2r, se r < rB
,
=
Q
4 0
rB
0
r2
dr ·
2
rB
+
R2
rB
r2
dr ·
2
r
=
Q
12 0
3R2
2 − r2
B .
R2 < rB < R1 + R2
Esuperposi¸c˜ao
El´e(ext) (rB) =
1
2
2π
0
π
0
R2
0
Q
4π 0
r2 sin θ dr dθ dϕ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R2
0
r2
dr
π
0
sin θ dθ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R2
0
r2
dr ·
2
rB
=
QR3
2
6 0
1
rB
.
5.3.2. Potencial externo na calota buraco
Contribui¸c˜ao energ´etica da calota el´etron `a distribui¸c˜ao do buraco com potencial externo,
Aext
1 (rB) =
1
2
2π
0
dϕ
θ1
0
sin θdθ
R1
R1−h1
cos θ
Q
4π 0
1
r
r2
dr =
Q
4 0
θ1
0
sin θdθ
R2
1
2
−
(R1 − h1)2
2 cos2 θ
,
=
Q
4 0
−
R2
1
2
cos θ −
(R1 − h1)2
2 cos θ
θ1
0
=
Qh2
1
8 0
5.3.3. Potencial externo na calota el´etron
Do mesmo jeito calcula-se a contribui¸c˜ao energ´etica da calota buraco `a distribui¸c˜ao do el´etron com potencial
externo,
Aext
2 (rB) =
1
2
2π
0
θ2
0
sin θdθ
R2
R2−h2
cos θ
Q
4π 0
r2dr
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
16 0
θ2
0
sin θdθ 2(3rB cos θ + r) r2 + r2
B − 2rrB cos θ
+r2
B(3 cos(2θ) + 1) ln r2 + r2
B − 2rrB cos θ − rB cos θ + r
R2
R2−h2
cos θ
=
Q
16 0
(I1 + I2 + I3).
9

10. I1(rB) =
θ2
0
dθ sin θ · 2(3rB cos θ + R2) R2
2 + r2
B − 2R2rB cos θ,
=
2
15rBR2
2
(R2
2 + r2
B − 2R2rB cos θ)3/2
(8R2
2 + 3r2
B + 9R2rB cos θ)
θ2
0
,
=
2
15rBR2
2
R2
2 + r2
B − 2R2rB 1 −
h2
R2
3/2
8R2
2 + 3r2
B + 9R2rB 1 −
h2
R2
− R2
2 + r2
B − 2R2rB
3/2
(8R2
2 + 3r2
B + 9R2rB)
I2(rB) = −
θ2
0
dθ sin θ · 2 3rB cos θ +
R2 − h2
cos θ
(R2 − h2)2
cos2 θ
+ r2
B − 2rB(R2 − h2) .
I3(rB) =
θ2
0
dθ sin θ · r2
B(3rB cos(2θ) + 1) ln


R2
2 + r2
B − 2R2rB cos θ − rB cos θ + R2
(R2−h2)2
cos2 θ
+ r2
B − 2rB(R2 − h2) − rB cos θ + R2−h2
cos θ

 .
5.3.4. Potencial interno na calota buraco
O potencial interno fornecido pelo buraco, a energia na regi˜ao calota el´etron denominada como A1 ´e,
φBU(int) =
Q
8π 0R1
3 −
r2
R2
1
, θ1 = arc cos 1 −
h1
R1
.
Ain
1 (rB) =
1
2
2π
0
dϕ
θ1
0
sin θdθ
R1
R1−h1
cos θ
Q
8π 0R1
3 −
r2
R2
1
r2
dr,
=
Q
8 0R1
θ1
0
sin θdθ r3
−
r5
5R2
1
R1
R1−h1
cos θ
=
Q
8 0R1
θ1
0
sin θdθ
4
5
R3
1 −
(R1 − h1)3
cos3 θ
+
(R1 − h1)5
5R2
1 cos5 θ
,
=
Q
8 0R1
−
4
5
R3
1 cos θ −
(R1 − h1)3
2 cos2 θ
+
(R1 − h1)5
20R2
1 cos4 θ
θ1
0
=
Q
8 0R1
4
5
R2
1h1 +
(R1 − h1)3
2
−
(R1 − h1)R2
1
2
+
(R1 − h1)R2
1
20
−
(R1 − h1)5
20R2
1
.
5.3.5. Potencial interno na calota el´etron
Agora a energia na regi˜ao da calota buraco denominada como A2, sendo que o potencial fica deslocado
obt´em-se,
φBU(int) =
Q
8π 0R1
3 −
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
R2
1
, θ2 = arc cos 1 −
h2
R2
.
10

11. Ain
2 (rB) =
1
2
θ2
0
sin θdθ
R2
R2−h2
cos θ
Q
8π 0R1
3 −
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
R2
1
r2
dr,
=
Q
8 0R1
θ2
0
sin θdθ r3
−
1
R2
1
r5
5
+
r3r2
B
3
−
r4rB
2
cos θ
R2
R2−h2
cos θ
=
Q
8 0R1
θ2
0
sin θdθ R3
2 −
(R2 − h2)3
cos3 θ
−
1
R2
1
R5
2
5
+
R3
2r2
B
3
−
R4
2rB
2
cos θ
+
1
R2
1
(R2 − h2)5
5 cos5 θ
+
(R2 − h2)3r2
B
3 cos3 θ
−
(R2 − h2)4rB
2 cos3 θ
,
=
Q
8 0R1
−R3
2 cos θ −
(R2 − h2)3
2 cos2 θ
+
1
R2
1
(R2 − h2)5
20 cos4 θ
+
(R2 − h2)3r2
B
6 cos2 θ
−
(R2 − h2)4rB
4 cos2 θ
+
R5
2
5
+
R3
2r2
B
3
cos θ −
R4
2rB
4
cos2
θ
θ2
0
=
Q
8 0R1
3
2
R2h2
2 −
h3
2
2
+
1
R2
1
−
R4
2rB
2
+ R3
2(2h2rB) + R2
2(−2h2
2rB)
+R2 −
h4
2
4
−
h2
2rB
2
+ h3
2rB +
h3
2rB
6
−
h4
2rB
4
+
h5
2
20
5.4. C´alculo energ´etico para deslocamentos do intervalo R1 + R2 < rB < ∞,
O c´alculo da energia para o caso no qual a distribui¸c˜ao do el´etron localiza-se totalmente fora da distribui¸c˜ao
do buraco ´e o mais simples da an´alise toda, ao ter s´o um comportamento do potencial fornecido pelo buraco.
Figura 8: R1 + R2 < rB < ∞
Efora
El´e(ext)(rB) =
1
2
2π
0
π
0
R2
0
Q
4π 0
r2 sin θ dr dθ dϕ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R2
0
r2
dr
π
0
sin θ dθ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R2
0
r2
dr ·
2
rB
=
QR3
2
6 0
1
rB
.
11

12. 5.5. Resumo
Resumo das energias fornecias pelos potenciais interno e externo do buraco em cada um dos intervalos de
deslocamento,
EEl´e(rB) =



Solu¸c˜ao Num´erica! +
QR2
1
5 0
, se, 0 < rB < R2 − R1 sem calotas nenhuma
Q
12 0
3R2
2 − r2
B − Aext
1 − Aext
2 + Aint
1 + Aint
2 , se, R2 − R1 < rB < R2
QR3
2
6 0
1
rB
− Aext
1 − Aext
2 + Aint
1 + Aint
2 , se, R2 < rB < R1 + R2 com superposi¸c˜ao
QR3
2
6 0
1
rB
, se, R1 + R2 < rB < ∞ sem superposi¸c˜ao



.
6. C´alculo da energia do BURACO em fun¸c˜ao do deslocamento rB = rB ˆz
Para realizar os c´alculos energ´eticos do buraco, parte-se dos conhecimentos que j´a tinham-se exposto pre-
viamente da an´alise da distribui¸c˜ao do el´etron. Apresentando as mudan¸cas respetivas do potencial interno como
externo fornecido pelo el´etron, sendo neste caso o el´etron ficar´a fixo na origem e a densidade de carga do buraco
apresentar´a os respetivos deslocamentos por intervalos. Dentro desta primeira an´alise, h´a algo que precisa-se
ser ressaltado, sempre a distribui¸c˜ao esf´erica do buraco caracteriza-se por ser de um radio menor que do el´etron.
Para esta parte do texto n˜ao s˜ao postos os respetivos esbo¸cos de todos os processo devido `a grande similaridade
com rela¸c˜ao `a analise feita anteriormente.
Continuando com a mesma ordem dos sub´ındice estabelecidos anteriormente, significando assim que 1 e 2
para o c´alculo todo est˜ao relacionados com o buraco e el´etron respetivamente.
6.1. C´alculo energ´etico das distribui¸c˜oes concˆentricas
Para come¸car o c´alculo da an´alise energ´etica do buraco no sistema conhecido como exc´ıton. Ser´a apresenta-
do do mesmo jeito que no caso anterior, tendo como an´alise inicial as duas distribui¸c˜oes concˆentricas, seguidas
pelo primeiro intervalo de deslocamento, no qual o buraco fica dentro da distribui¸c˜ao eletrˆonica, depois o c´alculo
quando as duas distribui¸c˜oes apresentam superposi¸c˜ao e finalmente os deslocamentos compreendidos para um
buraco que encontra-se fora da distribui¸c˜ao eletrˆonica com vontade de ir embora.
A express˜ao que utiliza-se para o c´alculo energ´etica ´e,
EBU(r) =
1
2
φEl´e(r ) ρBU(r) dτ , No Espa¸co todo.
Seja os potenciais do el´etron na regi˜ao interna e externa, descritos por duas naturezas diferentes e a densidade
de carga eletrˆonica expressada como ρ2 = −3Q/(4πR3
2), obt´em-se,
φint(r) =
4πρ2
4π 0
R2
2
6
3 −
r2
R2
2
=
Q
8π 0R2
3 −
r2
R2
2
,
φext(r) =
4πρ2
4π 0
R3
2
3r
=
Q
4π 0
1
r
.
A energia fornecida nesta configura¸c˜ao concˆentrica pelo potencial interno do el´etron ´e,
EBU(int) =
1
2
2π
0
π
0
R1
0
Q
8π 0R2
3 −
r2
R2
2
r2
sin θ dr dθ dϕ =
Q
4 0R2
R3
1 −
R5
1
5R2
2
.
12

13. 6.2. C´alculo energ´etico para deslocamentos compreendidos por 0 < rB < R2 − R1,
Neste caso a contribui¸c˜ao energ´etica fornecida pelo potencial interno do el´etron para os deslocamentos
compreendidos dentro do intervalo mencionado ser´a s´o fazer o c´alculo sobre o volume que encontra-se fechando
a distribui¸c˜ao buraco dentro do el´etron, al´em disso assumindo o potencial de um jeito deslocado atrav´es da
regra do cosseno. Resultando assim um c´alculo mais simples ao ter uma natureza do potencial s´o.
Figura 9: 0 < rB < R2 − R1
Edentro
BU (rB) =
1
2
2π
0
dϕ
π
0
sin θdθ
R1
0
Q
8π 0R2
3 −
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
R2
2
r2
dr
=
Q
8 0R3
2
π
0
sin θdθ r3
R2
2 −
r5
5
−
r3r2
B
3
+
r2
Br4
2
cos θ
R1
0
=
Q
8 0R3
2
π
0
sin θdθ R3
1R2
2 −
R5
1
5
−
R3
1r2
B
3
+
R4
1r2
B
2
cos θ
=
Q
8 0R3
2
− R3
1R2
2 −
R5
1
5
−
R3
1r2
B
3
cos θ −
R4
1rB
4
cos2
θ
π
0
=
Q
4 0R3
2
R3
1R2
2 −
R5
1
5
−
R3
1r2
B
3
6.3. C´alculo energ´etico no caso de superposi¸c˜ao, R2 − R1 < rB < R1 + R2,
Figura 10: R2 − R1 < rB < R1 + R2. Estos dois esbo¸cos apresentam o buraco como a distribui¸c˜ao esf´erica vermelha de
radio R1 = 4 e de esquerda a direita, duas diferentes distribui¸c˜ao eletrˆonica de raios, R2 = 6; 9.
O potencial externo do el´etron ´e,
φext(r) =
Q
4π 0
1
r
.
13

14. Mais uma vez, como consequˆencia da utiliza¸c˜ao da regra do cosseno para a descri¸c˜ao do deslocamento do bu-
raco, tem-se que dividir o c´alculo em dois subintervalos.
Lembrando que esta divis˜ao a dois subintervalos ´e s´o para o caso no qual o radio do el´etron ´e menor que o
dobro do radio do buraco, R2 < 2R1. Esta condi¸c˜ao que tem que ser satisfeita para este caso da an´alise. Pelo
contr´ario, se o radio do el´etron fosse maior que o dobro do radio do buraco, R2 > 2R1, s´o precisa-se do resultado
do segundo subintervalo para realizar a an´alise correspondente. Ver figura 10.
0 < rb < R1
Esuperposi¸c˜ao
BU(ext) (rB) =
1
2
2π
0
dϕ
π
0
R1
0
Q
4π 0
r2 sin θ dr dθ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R1
0
r2
dr
π
0
sin θ dθ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R1
0
r2
dr ·
−1
rrB
·
−2rB, se r > rB
−2r, se r < rB
,
=
Q
4 0
rB
0
r2
dr ·
2
rB
+
R1
rB
r2
dr ·
2
r
=
Q
12 0
3R2
1 − r2
B
R1 < rb < R2 − R1
Esuperposi¸c˜ao
BU(ext) (rB) =
1
2
2π
0
dϕ
π
0
R1
0
Q
4π 0
r2 sin θ dr dθ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R1
0
r2
dr
π
0
sin θ dθ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R1
0
r2
dr ·
2
rB
=
QR3
1
6 0
1
rB
.
6.3.1. Potencial externo na calota el´etron
Aext
2 (rB) =
1
2
2π
0
dϕ
θ2
0
sin θdθ
R2
R2−h2
cos θ
Q
4π 0
1
r
r2
dr =
Q
4 0
θ2
0
sin θdθ
R2
2
2
−
(R2 − h2)2
2 cos2 θ
,
=
Q
4 0
−
R2
2
2
cos θ −
(R2 − h2)2
2 cos θ
θ2
0
=
Qh2
2
8 0
14

15. 6.3.2. Potencial externo na calota buraco
Do mesmo jeito calcula-se a contribui¸c˜ao energ´etica da calota buraco `a distribui¸c˜ao do el´etron com potencial
externo,
Aext
1 (rB) =
1
2
2π
0
θ1
0
sin θdθ
R1
R1−h1
cos θ
Q
4π 0
r2dr
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
16 0
θ1
0
sin θdθ 2(3rB cos θ + r) r2 + r2
B − 2rrB cos θ
+r2
B(3 cos(2θ) + 1) ln r2 + r2
B − 2rrB cos θ − rB cos θ + r
R1
R1−h1
cos θ
=
Q
16 0
(I1 + I2 + I3).
I1(rB) =
θ1
0
dθ sin θ · 2(3rB cos θ + R1) R2
1 + r2
B − 2R1rB cos θ,
=
2
15rBR2
1
(R2
1 + r2
B − 2R1rB cos θ)3/2
(8R2
1 + 3r2
B + 9R1rB cos θ)
θ1
0
,
=
2
15rBR2
1
R2
1 + r2
B − 2R1rB 1 −
h1
R1
3/2
8R2
1 + 3r2
B + 9R1rB 1 −
h1
R1
− R2
1 + r2
B − 2R1rB
3/2
(8R2
1 + 3r2
B + 9R1rB)
I2(rB) = −
θ1
0
dθ sin θ · 2 3rB cos θ +
R1 − h1
cos θ
(R1 − h1)2
cos2 θ
+ r2
B − 2rB(R1 − h1) .
I3(rB) =
θ1
0
dθ sin θ · r2
B(3rB cos(2θ) + 1) ln


R2
1 + r2
B − 2R1rB cos θ − rB cos θ + R1
(R1−h1)2
cos2 θ
+ r2
B − 2rB(R1 − h1) − rB cos θ + R1−h1
cos θ

 .
6.3.3. Potencial interno na calota el´etron
φEl´e(int) =
Q
8π 0R2
3 −
r2
R2
2
, θ2 = arc cos 1 −
h2
R2
.
Ain
2 (rB) =
1
2
2π
0
dϕ
θ2
0
sin θdθ
R2
R2−h2
cos θ
Q
8π 0R2
3 −
r2
R2
2
r2
dr,
=
Q
8 0R2
θ2
0
sin θdθ r3
−
r5
5R2
2
R2
R2−h2
cos θ
=
Q
8 0R2
θ2
0
sin θdθ
4
5
R3
2 −
(R2 − h2)3
cos3 θ
+
(R2 − h2)5
5R2
2 cos5 θ
,
=
Q
8 0R2
−
4
5
R3
2 cos θ −
(R2 − h2)3
2 cos2 θ
+
(R2 − h2)5
20R2
2 cos4 θ
θ2
0
=
Q
8 0R2
4
5
R2
2h2 +
(R2 − h2)3
2
−
(R2 − h2)R2
2
2
+
(R2 − h2)R2
2
20
−
(R2 − h2)5
20R2
2
.
15

16. 6.3.4. Potencial interno na calota buraco
φEl´e(int) =
Q
8π 0R2
3 −
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
R2
2
, θ1 = arc cos 1 −
h1
R1
.
Ain
1 (rB) =
1
2
θ1
0
sin θdθ
R1
R1−h1
cos θ
Q
8π 0R2
3 −
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
R2
2
r2
dr,
=
Q
8 0R2
θ1
0
sin θdθ r3
−
1
R2
2
r5
5
+
r3r2
B
3
−
r4rB
2
cos θ
R1
R1−h1
cos θ
=
Q
8 0R2
θ1
0
sin θdθ R3
1 −
(R1 − h1)3
cos3 θ
−
1
R2
2
R5
1
5
+
R3
1r2
B
3
−
R4
1rB
2
cos θ
+
1
R2
2
(R1 − h1)5
5 cos5 θ
+
(R1 − h1)3r2
B
3 cos3 θ
−
(R1 − h1)4rB
2 cos3 θ
,
=
Q
8 0R2
−R3
1 cos θ −
(R1 − h1)3
2 cos2 θ
+
1
R2
2
(R1 − h1)5
20 cos4 θ
+
(R1 − h1)3r2
B
6 cos2 θ
−
(R1 − h1)4rB
4 cos2 θ
+
R5
1
5
+
R3
1r2
B
3
cos θ −
R4
1rB
4
cos2
θ
θ1
0
=
Q
8 0R2
3
2
R1h2
1 −
h3
1
2
+
1
R2
2
−
R4
1rB
2
+ R3
1(2h1rB) + R2
1(−2h2
1rB)
+R1 −
h4
1
4
−
h2
1rB
2
+ h3
1rB +
h3
1rB
6
−
h4
1rB
4
+
h5
1
20
6.4. C´alculo energ´etico para deslocamentos do intervalo R1 + R2 < rB < ∞,
O c´alculo da energia para o caso no qual a distribui¸c˜ao do buraco localiza-se totalmente fora da distribui¸c˜ao
do el´etron ´e o mais simples da an´alise toda, ao ter s´o um comportamento do potencial fornecido pelo el´etron.
Efora
BU(ext)(rB) =
1
2
2π
0
π
0
R1
0
Q
4π 0
r2 sin θ dr dθ dϕ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R1
0
r2
dr
π
0
sin θ dθ
r2 + r2
B − 2rrB cos θ
,
=
Q
4 0
R1
0
r2
dr ·
2
rB
=
QR3
1
6 0
1
rB
.
6.5. Resumo
Resumo das energias fornecias pelos potenciais interno e externo do el´etron em cada um dos intervalos de
deslocamento,
Caso 1: R2 < 2R1
EBU(rB) =



Q
4 0R3
2
R3
1R2
2 −
R5
1
5 −
R3
1r2
B
3 , se 0 < rB < R2 − R1 sem calotas nenhuma
Q
12 0
3R2
1 − r2
B − Aext
1 − Aext
2 + Aint
1 + Aint
2 , se R2 − R1 < rB < R1
QR3
1
6 0
1
rB
− Aext
1 − Aext
2 + Aint
1 + Aint
2 , se R1 < rB < R1 + R2 com superposi¸c˜ao
QR3
1
6 0
1
rB
, se R1 + R2 < rB < ∞ sem superposi¸c˜ao



.
16

17. Caso 2: R2 > 2R1
EBU(rB) =



Q
4 0R3
2
R3
1R2
2 −
R5
1
5 −
R3
1r2
B
3 , se 0 < rB < R2 − R1 sem calotas nenhuma
QR3
1
6 0
1
rB
− Aext
1 − Aext
2 + Aint
1 + Aint
2 , se R2 − R1 < rB < R1 + R2 com superposi¸c˜ao
QR3
1
6 0
1
rB
, se R1 + R2 < rB < ∞ sem superposi¸c˜ao



.
7. Resultados
8. Sub-rutina, Integra¸c˜ao de Gauss-Legendre
C-----------------------------------------------------------------------------------------
C Fazer a defini¸c~ao de n e a dimen¸c~ao x(n),w(n)
subroutine gauleg(x1,x2,x,w,n)
implicit real*8 (a-h,o-z)
dimension x(n) , w(n)
parameter (eps=1.0d-10)
m = (n+1)/2
xm = 0.5d0 * (x2 + x1)
xl = 0.5d0 * (x2 - x1)
pi=3.141592653589d0
do 12 i = 1 , m
z = cos(pi*(i-0.25d0)/(n+0.5d0))
1 continue
p1 = 1.d0
p2 = 0.d0
do 11 j = 1 , n
p3 = p2
p2 = p1
p1 = ((2.d0*j-1.d0)*z*p2-(j-1.d0)*p3)/j
11 continue
pp = n*(z*p1-p2)/(z*z-1.d0)
z1 = z
z = z1 - p1/pp
if(abs(z-z1) .gt. eps) goto 1
x(i) = xm - xl*z
x(n+1-i) = xm + xl*z
w(i) = 2.d0 *xl / ((1.d0-z*z)*pp*pp)
w(n+1-i) = w(i)
12 continue
return
end
17