1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Enumeração de Caminhos

2. Autores: Thiago Baêsso Procaci Cláudio Lopes

5. Algoritmo de Rotulação de Nós

6. Rotulação de Nós - Definições O que significa o rótulo de um nó? Considere: s nó origem; t nó destino O rótulo de cada nó denota o número possíveis de caminhos para alcançar o nó destino 1 2 3

10. Rotulação de Nós - Exemplo Inicialização: Identificar quais nós são nScannable (não tem sucessores imediatos) e rotulá-los com 0. Rotular o destino com 1. 1 O nó t é NScannable NScannable s: origem t: destino

11. Rotulação de Nós - Exemplo Passo Geral: Analisar todos os NScannable e rotular seus antecessores 1 NScannable Antecessores de t: 1 e 2 Rótulo 1 = Rótulo 1 + Rótulo t Rótulo 2 = Rótulo 2 + Rótulo t 1 1 O nó t ficará scanned

12. Rotulação de Nós - Exemplo Passo Geral: identificar os novos NScannable (sucessores imediatos scanned) scanned NScannable identificado: 1. Seu sucessor (t) é scanned. NScannable 1 1 1

13. Rotulação de Nós - Exemplo Passo Geral: Analisar todos os NScannable e rotular seus antecessores scanned NScannable 1 1 1 Antecessores de 1: s e 2 Rótulo s = Rótulo s + Rótulo 1 Rótulo 2 = Rótulo 2 + Rótulo 1 + 1 = 2 1 O nó 1 ficará scanned

14. scanned 1 1 Rotulação de Nós - Exemplo scanned 2 1 Passo Geral: identificar os novos NScannable (sucessores imediatos scanned) NScannable identificado: 2. Seus sucessores (t,1) são scanned. NScannable

15. Rotulação de Nós - Exemplo Passo Geral: Analisar todos os NScannable e rotular seus antecessores scanned 1 1 scanned 2 1 NScannable Antecessor de 2: s Rótulo s = Rótulo s + Rótulo 2 + 2 = 3 O nó 2 ficará scanned

16. Rotulação de Nós - Exemplo scanned 1 1 scanned 2 scanned Passo Geral: identificar os novos NScannable (sucessores imediatos scanned) NScannable identificado: s. Seus sucessores (1,s) são scanned. 3 NScannable Critério de parada satisfeito. O número de caminhos de s até t é 3

17. Algoritmo de Rotulação de Arcos

18. Rotulação de Arcos - Definições O que significa o rótulo de um arco? Considere: s nó origem; t nó destino O rótulo de cada arco denota o número possíveis de caminhos, através do arco, da origem para o nó onde o arco incide 1 1 1 2 1

22. Rotulação de Arcos - Exemplo s: origem t: destino Inicialização: Identificar quais nós são LScannable (não tem arco que chega) e rotular seus arcos de saída com 0. Rotular os arcos que saem da origem com 1. LScannable identificado: 1. Não tem arco que chega nele. Rotular seus arcos de saída com 0 LScannable 0 0 Nó origem: s Rotular os arcos que saem de s com 1 1 1 1 Sempre que todos os arcos que saem de um nó são rotulados, o nó passa a ser scanned (1 e s)

23. Rotulação de Arcos - Exemplo Passo Geral: Identificar nós que são LScannable 0 0 1 1 1 scanned scanned LScannable identificado: 2. Todos os arcos que chegam nele estão rotulados LScannable

24. Rotulação de Arcos - Exemplo 0 0 1 1 1 scanned LScannable Passo Geral: Analisar todos os nós LScannable e rotular seus arcos de saída com a soma dos rótulos dos arcos que chegam no nó. Rotular o arco que sai de 2. Rótulo do arco que sai = soma dos rótulos dos arcos que chegam 0 + 1 = 1 O nó 2 se torna scanned scanned

25. Rotulação de Arcos - Exemplo 0 0 1 1 1 scanned scanned scanned 1 Passo Geral: Identificar nós que são LScannable LScannable identificado: 3. Todos os arcos que chegam nele estão rotulados LScannable

26. Rotulação de Arcos - Exemplo scanned scanned scanned LScannable 0 0 1 1 1 1 Passo Geral: Analisar todos os nós LScannable e rotular seus arcos de saída com a soma dos rótulos dos arcos que chegam no nó. Rotular o arco que sai de 3. Rotulo do arco que sai = soma dos rótulos dos arcos que chegam 1 + 1 = 2 O nó 3 se torna scanned

27. Rotulação de Arcos - Exemplo Passo Geral: Identificar nós que são LScannable LScannable identificado: t. Todos os arcos que chegam nele estão rotulados scanned scanned scanned 0 0 1 1 1 1 scanned 2 Fim do algoritmo, pois o nó destino se tornou LScannable. O número de caminhos de s para t é a soma dos rótulos dos arcos que incide em t. 1 + 2 = 3 LScannable

28. Números de caminhos através de qualquer nó Aplicando o algoritmo de rotulação de nós obtemos os rótulos (n’k) de cada nó. O rótulo de um nó indica o número de caminhos distintos de um nó k até o nó destino. Se invertermos as direções de todos os arcos da rede e aplicar o algoritmo de rotulação de nós obteremos os rótulos (n’’k) de cada nó. Neste caso o rótulo indica o número de caminhos distintos de um nó k até o destino, que era a origem no grafo original O número total de caminhos da origem ao destino através de um nó k é: nk = n’k x n’’k

29. Exemplo 3 1 2 1 1 1 2 3 Inverte Multiplica-se os rótulos 3 2 2 3 Tem-se o números de caminhos distintos de s a t através do nó 1

31. Detalhes de implementação - Modelo

32. Detalhes de implementação

33. Detalhes de implementação

34. Detalhes de implementação

35. Complexidade Ordem de O(n³) – Rotulação de nós

36. Complexidade Ordem de O(n³) – Rotulação de arcos

37. Fim  Fonte: Simple Paths in a Directed Network by Pitu Mirchandani