Cap 02 análise de tensões e deformações

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Cap 02 análise de tensões e deformações

  1. 1. EFEITOS DA FORÇA CORTANTE NAS PEÇAS ESTRUTURAIS CAPÍTULO 2 ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS 2.1. Análise das Tensões 2.1.1. Generalização do estudo de peças submetidas à solicitação axial. O estudo anterior sobre tensão normal, em peças submetidas a forças axiais, foi desenvolvido para o caso de seções perpendiculares ao eixo da peça. Num caso mais geral, essas forças axiais causam, além das tensões normais, tensões de cisalhamento em seções que não são perpendiculares ao eixo da barra. Considere a barra prismática seguinte solicitada axialmente pela carga P. Numa seção mn, normal ao eixo da barra a tensão é uniformemente distribuída e igual a A P . Tomando-se uma seção qualquer pq, que faz um ângulo θ (positivo no sentido anti-horário) em relação ao plano normal a P, verifica-se o surgimento de uma componente normal e outra tangencial, dadas por: cosn tP P e P P senθ θ= ⋅ = ⋅ m n q p θ PP Aθ P θ P Pn Pt
  2. 2. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 2 σθ τθ θ y xP Figura 2-1: Tensões em planos inclinados. A área da seção inclinada Aθ se relaciona com a área da seção normal ao eixo A pela equação: /cosA Aθ θ= . As tensões que surgem na seção inclinada são dadas, então, por: 2 2cos cos cos /cos cos cos /cos n x t x P P P A A A P P sen P sen sen A A A θ θ θ θ θ σ σ σ θ σ σ θ θ θ τ τ τ θ θ τ σ θ θ ⋅ = → = → = ⋅ → = ⋅ ⋅ = → = → = ⋅ → = ⋅ ⋅ θ Na equação relativa a θσ , verifica-se que seu valor é máximo para 0θ = , e diminui à medida que θ aumenta, igualando-se a zero quando / 2θ π= . Assim: 2 max max0 cos 0x xθ σ σ σ= → = ⋅ → = σ , a máxima tensão ocorre na seção normal. ( )min min/ 2 cos / 2 0xθθ π σ σ σ π σ= → = = ⋅ → = , não há tensão normal vertical. No caso da equação relativa a θτ , percebe que seu valor é nulo para 0θ = e máximo para / 4θ π= : 0 cos0 0x senθ θ 0θ τ σ τ= → = ⋅ ⋅ → = ( ) ( ) 22 2 2 2 4sen44 x máxxx σ =τ=τ→⋅⋅σ=τ→π⋅π⋅σ=τ→π=θ θθθ cos Obs.: mesmo maxτ sendo metade de maxσ , muitas vezes essa tensão é a tensão a ser limitada, em barras carregadas axialmente, se o material for muito mais fraco ao cisalhamento do que à tração. É interessante observar que na seção relativa à maxτ , o valor de θσ vale: ( )2 cos /4 / 2xθσ σ π σ σ= ⋅ → = xθ , isto é, seu módulo é igual a maxτ .
  3. 3. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 3 As equações de θσ e θτ foram obtidas para o caso de barras tracionadas. Para o caso de barras comprimidas basta considerar o correspondente sinal negativo nas mesmas equações. Convenções de sinais adotadas: Tensões normais: positivas quando o vetor de tensão tem sentido se afastando da seção. Tração Compressão Tensões de cisalhamento: positivas quando agem no sentido horário, e negativa no sentido anti-horário. θτ > 0 θτ < 0 Uma representação de todas as tensões que agem num ponto é feita considerando- se um elemento infinitesimal do material como diagrama de corpo livre. Considere, então, a barra tracionada seguinte, de qual se extraem os elementos A e B. P y x A B xσ xσ a b d c Elemento de tensão no ponto A. θθσ θτ θτ θτ θτ * * * * θσ θσθσ b c d a B Elemento de tensão no ponto B. Figura 2-2: Tensões no entorno num ponto de uma barra sob carregamento axial centrado.
  4. 4. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 4 x nbcnab x θ θ + π/2 nad ncd θ + π θ + 3π/2 O elemento A está orientado com 0θ = , logo só existe a tensão /x P Aσ = . O elemento B sofre um giro anti-horário definido por θ , logo as tensões θσ e θτ , no lado bc, são dadas pelas equações anteriores. Para o lado ab, perpendicular a bc, sua normal faz um ângulo / 2θ π+ em relação ao eixo x, logo: ( ) ( )θ⋅σ=σ→π+θ⋅σ=σ θθ 2*2* 2 sencos xx ( ) ( ) ( ) (θ⋅θ⋅σ−=τ→π+θ⋅π+θ⋅σ=τ θθ cossencossen xx ** 22 ) Sendo: 0xσ > vem que: (tração) e* 0θσ > * 0θτ < (age no sentido anti-horário). Confrontando-se as equações de θσ e * θσ , θτ e * θτ , obtém-se: xxx * sencos σ=θ⋅σ+θ⋅σ=σ+σ θθ 22 θθ τ−=θ⋅θ⋅σ−=τ sencosx * Estas relações indicam que, para uma barra tradicional, a soma das tensões normais em dois planos perpendiculares é igual a xσ e que as tensões de cisalhamento são iguais em valor absoluto, porem têm sinal oposto. Para se obter as tensões atuantes nos lados ad e dc, basta tomar, respectivamente, os valores 3 / 2eθ π θ π+ + nas equações de θσ e θτ . Assim, chega-se aos seguintes valores de tensões: θσ=σad , , eθτ=τad * cd θτ=τ Em lados como o dc é, em alguns casos, mais conveniente tomar o ângulo no sentido negativo 2π−θσ=σcd . Com isso, o estado de tensões no elemento fica definido. 2.1.2. Estados de tensões reinantes nos pontos de uma peça solicitada. De um modo geral, pode-se dizer que um estado de tensões num determinado ponto consiste na identificação dos valores dessas tensões, assim como das direções que ocorrem associando o ponto a um elemento infinitesimal em equilíbrio estático.
  5. 5. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 5 O estudo da barra sob solicitação axial exemplificou a ocorrência do estado uniaxial de tensões. No âmbito das tensões axiais podem existir, ainda, mais dois tipos de tensões: biaxial e triaxial. yσ yσ x y A F A (a) yσ yσ xσxσ yσ yσ xσ zσ xσ zσ (c) (b) Figura 2-3: Estados de tensões axiais: (a) Uniaxial, (b) Biaxial e (c) Triaxial. Os estados uniaxial e biaxial são particularidades de um caso mais geral conhecido como “estado plano de tensões”, assim como o estado triaxial o é uma particularidade do “estado tridimensional de tensão”. Para uma análise mais geral do estado de tensões num ponto, é conveniente definir o estado tensional num ponto através das componentes de tensão que atuam em facetas com normais nas direções x, y, z. Consideremos um cubo elementar, representativo do ponto, de dimensões infinitesimais dx, dy e dz com suas faces paralelas aos planos coordenados.
  6. 6. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 6 Na representação das tensões os índices têm o seguinte significado: x y z σy σx σz τyx τyz τxz τxy τzx τzy dzdx dy xσ → tensão normal na direção do eixo x, e assim por diante. xyτ → tensão de cisalhamento na face perpendicular ao eixo x com direção coincidente com o eixo y. Convenção de sinais: σx τxz τxy x y z N τxz τxy N σx x z y Se o sentido da normal exterior à faceta coincidir com o sentido positivo do eixo ao qual esta normal é paralela, as componentes positivas de tensão estarão no mesmo sentido dos eixos. Se o sentido da normal exterior à faceta for oposto ao do eixo, as componentes positivas de tensão estarão no sentido oposto dos eixos. Para o caso de planos inclinados é necessário estabelecer os procedimentos seguintes: Inicialmente impõe-se um giro anti-horário nos eixos coordenados, até que ocorra a primeira coincidência do eixo x com a normal do plano inclinado; Em seguida aplica-se a regra anterior.
  7. 7. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 7 σ τ> 0 > 0 σ > 0 τ> 0 y x x o y0 o y x xo yo σ > 0 σ > 0 τ> 0 τ> 0 y x y x o o y x xo yo Figura 2-4: Sentidos positivos da tensão de cisalhamento em planos inclinados. O cubo elementar contém 9 componentes de tensão: , , , , , , ,x y z xy xz yx yz zx zyeσ σ σ τ τ τ τ τ τ E pode ser representado pela seguinte notação matricial: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ σττ τστ ττσ =β zzyzx yzyyx xzxyx T , também denominado tensor de tensões numa base β. No presente caso, a base β seria o sistema de eixos xyz. Consideremos agora as componentes atuantes nas direções do plano xy e suas forças resultantes:
  8. 8. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 8 y τyx xy A y x τ σx σy σx τyx xyτ dx dy Fazendo o equilíbrio à rotação em relação ao eixo do elemento (ponto A) obtém-se: 0 2 2 0 2 2 1 1 1 1 0 2 2 2 2 A xy yx xy yx xy yx xy yx xy yx dx dy M dy dz dx dz dx dy dy dz dx dz τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ = → ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = → → ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = → → = ∑ De modo análogo obtém-se: xz zx yz ze yτ τ τ τ= = Com isso, o tensor de tensões T se torna simétrico: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ σττ τστ ττσ =β zyzxz yzyxy xzxyx T , de modo que o número de componentes de tensão no volume elementar se reduz a 6. Observações: Essa análise de tensões foi feita em relação a planos ortogonais coordenados (paralelos aos eixos coordenados). No entanto, as tensões no mesmo ponto podem ser obtidas em relação a outros planos diferentes dos coordenados, resultando em valores diferentes das componentes de tensão; O estado tensional de um ponto fica perfeitamente determinado se conhecermos as componentes de tensão segundo 3 planos ortogonais, e assim pode-se determinar as componentes segundo um outro plano de inclinação qualquer em relação aos primeiros; O tensor T define o estado de tensão no ponto; O estado tensional é ÚNICO, mas as componentes de tensão dependem dos planos (base) considerados na análise; Existe um plano em particular no qual σ assume seu valor máximo. Da mesma forma, há outro em que σ é mínimo. Ambas situações ocorrem com τ =0. 2.1.3. Estudo do estado plano de tensões 2.1.3.1. Tensões em planos inclinados quaisquer Considere uma chapa de espessura h uniforme e muito menor do que as outras duas dimensões da chapa, solicitada por carregamentos na direção paralela ao plano xy e distribuídos uniformemente na espessura h da chapa.
  9. 9. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 9 y x y z h As superfícies 2 h z −= e 2 h z = estão livres de forças externas, o que implica que nestas faces .0=τ=τ=σ zyzxz Como a espessura h é muito pequena, pode-se admitir, como aproximação, que as componentes de tensão não variam ao longo da espessura. Desta forma, podemos dizer que em toda a chapa.0=τ=τ=σ zyzxz Levando em conta a simetria das tensões cisalhantes, , existindo somente três componentes de tensão não nulas na chapa ( 0=τ=τ yzxy , ,x y xyσ σ τ ). O tensor de tensões pode ser então escrito como: [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ στ τσ =β yxy xyx T Se três componentes de tensão são suficientes para caracterizar o estado de tensão em um ponto, tal estado é denominado “estado plano de tensão”. Considere agora um plano inclinado cortando o volume elementar. O plano médio desse volume é representado pela figura seguinte: σθ θ θ θ θ σy σy τθ xyτ xyτ A.senθ A θ é o ângulo entre o eixo x e a direção normal ao plano inclinado. Fazendo o equilíbrio na direção x:
  10. 10. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 10 ( )1 00 θτ+θσ=θτ−θσ =θ⋅τ−θ⋅σ−⋅θτ−⋅θσ⇒= θθ θθ∑ sencossencos AsencosAAsenAcosF xyx xyxx Fazendo o equilíbrio de forças na direção y: ( )2 00 θτ+θσ=θτ+θσ =θ⋅τ−θ⋅σ−⋅θτ+⋅θσ⇒= θθ θθ∑ cossencossen cosAAsenAcosAsenF xyy xyyy De ( ) ( ) θ⋅+θ⋅ sencos 21 , tem-se: 222 θθτ+θσ+θσ=σθ cossensencos xyyx De ( ) ( ) θ⋅−θ⋅ cossen 21 , tem-se: ( ) ( )22 θ−θτ+θθσ−σ=τθ cossencossen xyyx Considerando as seguintes relações trigonométricas: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]θ−=θθ−θ=θ θ+=θθ⋅θ=θ 21 2 1 2 21 2 1 22 222 2 cossensencoscos coscoscossensen É possível escrever as equações de θσ e θτ na forma: ( ) ( )1 cos2 1 cos2 2 2 2 cos2 2 2 2 yx xy x y x y xy sen sen θ θ σσ σ θ θ τ σ σ σ σ θ σ θ τ θ = + + − + ⋅ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → = + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → ( ) 2 cos2 2 cos2 2 2 x y x y xy xy sen senθ θ σ σθ τ σ σ τ θ τ θ τ θ −⎛ ⎞⎛ ⎞ = − − + ⋅ → = − + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A partir das equações de θσ e θτ pode-se comprovar que em dois quaisquer, defasados de 2 π , a soma das tensões normais é constante e as tensões de cisalhamento têm o mesmo valor, porém com sinais contrários. Nas equações de θσ e θτ , façamos °+θ=θ′ 90 : ( ) ( )90 cos 2 90 2 90 2 2 x y x y xy senθ σ σ σ σ σ θ τ+ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + ⋅ +θ⎡ ⎤ ⎡⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ( ) ( )90 2 2 90 cos 2 90 2 x y xysenθ σ σ τ θ τ+ −⎛ ⎞ = − + + ⋅ +θ⎡ ⎤ ⎡⎜ ⎟ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ mas
  11. 11. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 11 ( ) [ ] ( ) [ ] cos 2 90 cos 2 180 cos2 2 90 2 180 2sen sen sen θ θ θ θ θ θ + = + = −⎡ ⎤⎣ ⎦ + = + = −⎡ ⎤⎣ ⎦ Dessa forma: ( ) ( ) ( ) ( ) 90 90 90 90 cos2 2 2 2 2 cos2 2 O sinal não tem 2 cos2 significado físico2 x y x y xy x y xy x y xy sen sen sen θ θ θ θ σ σ σ σ σ θ τ θ σ σ τ θ τ θ σ σ τ θ τ θ τ τ + + + + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎛ ⎞ = − ⋅ − + ⋅ − →⎜ ⎟ ⎝ ⎠ +⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − − ⋅ + ⋅ → = −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ θ A soma das tensões θσ e 90θσ + é constante: 90 cos2 2 2 2 cos2 2 2 2 x y x y xy x y x y xy sen sen θ θ σ σ σ σ σ σ θ σ σ σ σ θ τ θ + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − ⋅ − ⋅ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ τ θ + 90 90 2 2 x y x y x y cteθ θ θ θ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ+ + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → + = + → + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ EXERCÍCIO A chapa triangular está submetida às tensões indicadas. Sabendo-se que essa chapa deve estar em equilíbrio, determine as tensões no plano I. y x 85MPa 10MPa 45°45° α 80MPa 15MPa γ Plano I Soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º 45 45 180 90ºα α→ + + = → = Dessa forma: 45ºγ = , sendo γ o ângulo entre a normal do correspondente plano e o eixo x. Quais as tensões que se têm: 45º 45º 80 85 15 10 ? y xy x MPa MPa MPa MPa σ σ τ τ σ = = = = = Determinação de xσ :
  12. 12. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 12 cos2 2 2 2 x y x y xy senθ σ σ σ σ σ θ τ θ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( )45º 80 80 85 cos 2 45º 15 2 45º 2 2 85 40 15 1 85 40 15 2 30 60 2 2 x x x x x x sen MPa σ σ σ σ σ σ σ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → = = + ⋅ + ⋅ ⋅ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → = + + ⋅ → = − − → = ⋅ → = Tensões no plano I: Plano I x N orm al ao plano I 45° θ1 θ2 ( + ) θ = − 45°2 θ = 45° + 90°1 θ = 135°1 ( ) ( ) ( ) 135º 135º 135º 60 80 60 80 cos 2 135º 15 2 135º 2 2 70 10 0 15 1 55I sen MPa σ σ σ σ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → = − ⋅ + ⋅ − → = = → ( ) ( ) ( )( ) 135º 135º 135º 60 80 2 135º 15 cos 2 135º 2 10 1 15 0 10I sen MPa τ τ τ τ −⎛ ⎞ = − ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − − − + ⋅ → = = − y x 55MPa 10MPa 80MPa 15MPa 60MPa 15MPa 60MPa 15MPa 15MPa 80MPa 55MPa 10MPa Plano I 2.1.3.2. Tensões e direções principais do elemento de tensão Os valores de θσ e °+θσ 90 variam para diferentes ângulos α , contudo a soma permanece constante. Dessa forma existe um ângulo°+θθ σ+σ 90 θ em particular para o qual a tensão θσ é máxima e, consequentemente, °+θσ 90 é mínima. Neste caso diz-se que as tensões são principais para ponto em questão.
  13. 13. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 13 As direções principais são aquelas correspondentes às tensões principais, calculadas com a condição 0 d d θσ θ = . Considere as seguintes derivadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 2 ´ 2 2 ´ 2 2 2 ´ cos2 2 ´ 2 cos df 2 f f sen f sen d dg g sen g g d θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = → = = − ⋅ → = − ⋅ = → = = ⋅ → = ⋅ Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos2 0 2 2 2 2 cos2 0 2 22 2 2 cos2 cos2 2 2 x y xy x y xy xy x y xy x y xy x y d sen d sen sen sen tg θ σ σσ θ τ θ θ σ σ θ θ τ τθ σ σ θ τ θ θ σ σ τ θ σ σ −⎛ ⎞ = − ⋅ + ⋅ ⋅ = →⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ → − ⋅ + ⋅ = →⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → − ⋅ = ⋅ → = → − → = − 0 2 2 cos2 0 2 0 0 2 x y xy d sen d θ θ θ σ σσ θ τ θ τ τ θ −⎡ ⎤⎛ ⎞ = → − + ⋅ = → = → =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦ Isto quer dizer que conhecidos o estado de tensões num ponto ( ), ,x y xyσ σ τ , há como calcular a direção das tensões principais ( )( )θ2tg , e nesta mesma direção a tensão de cisalhamento é nula. Substituindo o ângulo θ (relativo às direções principais) nas equações de θσ resulta numa tensão principal, que pode ser 1 ou 2σ σ . Como °+θθ σ+σ 90 = constante, tem- se que o ângulo corresponde à outra tensão principal, que pode ser°+θ 90 1 2ouσ σ . Além disso, tem-se que nos planos de 1 e 2σ σ a tensão de cisalhamento é nula .( )0θτ = Para determinar as tensões principais considere o seguinte:
  14. 14. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 14 ( ) yx xy tg σ−σ τ =θ 2 2 2θ 2τxy (σx -σy)(σx -σy) +4τxy 2 2 ( ) ( ) 22 4 2 xyyx yx cos τ+σ−σ σ−σ =θ ( ) ( ) 22 4 2 2 xyyx xy sen τ+σ−σ τ =θ Substituindo essas expressões de cos2θ e 2sen θ na equação relativa à componente θσ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 242 4 2 4 2 422 4 2 422 22 22 22 22 22 22 2 22 2 2222 xyyxyx xyyx xyyxyx xyyx xy xyyx yxyx xyyx xy xy xyyx yxyxyx xy yxyx sencos τ+σ−σ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ+σ = τ+σ−σ τ+σ−σ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ+σ = = τ+σ−σ τ + τ+σ−σ σ−σ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ+σ = = τ+σ−σ τ ⋅τ+ τ+σ−σ σ−σ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ−σ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ+σ = =θ⋅τ+θ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ−σ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ+σ =σθ Considerando a direção 2π+θ , referente à outra direção principal, para a qual tem-se: ( ) yx xy tg σ−σ τ =π+θ 2 2 , sendo ( ) ( ) ( ) 22 4 22 xyyx yx coscos τ+σ−σ σ−σ −=θ−=π+θ e ( ) ( ) ( ) 22 4 2 22 xyyx xy sensen τ+σ−σ τ −=θ−=π+θ , resultando em: ( ) ( ) ( ) 2 4 242 4 2 22 22 22 xyyxyx xyyx xyyxyx τ+σ−σ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ+σ = τ+σ−σ τ+σ−σ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ+σ =σθ As tensões principais são então obtidas somando-se e subtraindo-se o valor da raiz, ou seja: 2 1 2 2 2 2 x y x y xy σ σ σ σ σ τ σ + −⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ± +⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ , sendo 1 ma 2 mi x n σ σ σ σ =⎧ ⎨ =⎩
  15. 15. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 15 Continuação do exercício da página 11. Determinação das direções e tensões principais. Direções principais 80MPa 15MPa 60MPa 80MPa 15MPa 60MPa y x 60 , 80 , 15x y xyMPa MPa MPaσ σ τ= = = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 15 2 2 60 80 2 ( 1,5) 2 56,3º 28,15º xy x y tg tg arctg ou τ θ θ σ σ θ θ θ σ σ ⋅ = → = − − → = − → = − → → = − → * * 1 290 61,85º ou 1θ θ θ σ= + → = → σ Tensões principais 2 2 1,2 2 12 1,2 1,2 2 2 2 88.0360 80 60 80 15 70 18,03 51,972 2 x y x y xy MPa MPa σ σ σ σ σ τ σ σ σ σ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ± + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =⎧+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ± + → = ± → ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ Associação das direções com as tensões principais cos2 0,555 28,15º 2 0,832sen θ θ θ =⎧ + − → ⎨ = −⎩ ( ) ( ) 60 80 60 80 0,555 15 0,832 51,97 2 2 60 80 0,832 15 0,555 0 2 MPaθ θ θ θ σ σ τ τ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⋅ + ⋅ − → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ = − ⋅ − + ⋅ → =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ * * * 61,85 cos2 0,555 2 0,832e senθ θ θ= → = − = ( ) ( ) * * * * 60 80 60 80 0,555 15 0,832 88,03 2 2 60 80 0,832 15 0,555 0 2 MPaθ θ θ θ σ σ τ τ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⋅ − + ⋅ → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ = − ⋅ + ⋅ − → =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Logo:
  16. 16. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 16 * 2 min * 1 max 28,15º 51,97 61,85 88,03 MPa MPa θ θ θ σ σ σ θ σ σ σ = − → = = = = → = = = Nos dois planos * 0θ θ τ τ= = 2.1.3.3. Direção e intensidade da máxima tensão de cisalhamento Da mesma forma que para θσ , deve existir um plano com inclinação θτ para o qual a tensão de cisalhamento τ assume seu máximo valor. Esse ângulo pode ser obtido a partir d condição 0 d d θτ θ = . Assim: ( ) ( ) ( ) 2 cos2 2 0 cos2 2 2 2 0 2 2 1 2 cos2 2 2 2 cos2 x y xy x y xy x y xy x y xy sen d sen d sen sen θ θ σ σ τ θ τ θ σ στ θ τ θ θ σ σ θ θ τ θ σ σ θ τ −⎛ ⎞ = − + ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ = → − ⋅ ⋅ + − ⋅ = →⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ → − ⋅ = ⋅ → = − − ⋅ →⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 x y xy tg σ σ θ τ ⎛ ⎞− → = −⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠ → direção na qual a tensão de cisalhamento assume o valor máximo maxτ τ= . Substituindo o ângulo θ na equação relativa a θτ resulta no máximo valor de τ , que pode ser maxτ ou maxτ− . Foi demonstrado anteriormente que para um ângulo 90ºθ + , defasado de 90º em relação a θ , a tensão de cisalhamento vale 90ºθ θτ τ+ = − . Dessa forma, para um plano defasado de 90º em relação ao plano do máximo cisalhamento também ocorre máximo valor, que pode ser oumáxτ máxτ− . É importante destacar que, nos planos em que atuam as tensões de cisalhamento máximas, a tensão normal não necessariamente é nula. 2θ 2τxy (σx -σy) (σx -σy) +4τxy 2 2 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ σ−σ −=θ xy yx tg 2 2 ( ) ( ) 22 4 2 xyyx yx sen τ+σ−σ σ−σ −=θ
  17. 17. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 17 ( ) ( ) 22 4 2 2 xyyx xy cos τ+σ−σ τ =θ Substituindo essas expressões de cos2 2e senθ θ na equação relativa a θτ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 42 4 4 2 42 4 2 42 22 2 22 22 22 22 2 22 2 2222 xyyx xyyx xyyx xyyx xy xyyx yx xyyx xy xy xyyx yxyx xy yx cossen τ+σ−σ = τ+σ−σ τ+σ−σ = = τ+σ−σ τ + τ+σ−σ σ−σ = = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ+σ−σ τ ⋅τ+ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ+σ−σ σ−σ −⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ−σ −= =θ⋅τ+θ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ−σ −=τθ Para o valor de , tem-se o seno positivo e o co-seno negativo. Pode-se escrever então: máxτ− ( ) ( ) 22 4 21 22 σ−σ ±= τ+σ−σ ±=τ=τθ xyyx máx Continuação do exercício da página 11. Determinação da direção e intensidade da máxima tensão de cisalhamento maxτ . Direção de maxτ ( ) 6670 152 8060 2 2 ,tg xy yx =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ τ σ−σ −=θ MPa MPa MPa xy y x 15 80 60 =τ =σ =σ °=θ→°=θ 851669332 ,, °=°+θ=θ 8510690 ,* Intensidade e sentido de maxτ . 2 2 2 2 max max 60 80 15 2 2 18,03 x y xy MPa σ σ τ τ τ −⎛ ⎞ −⎛ ⎞ = ± + → ± + →⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ±
  18. 18. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 18 * * * 2 0,555 106,85º cos2 0,832 sen θ θ θ ⎧ = −⎪ = → ⎨ =⎪⎩ ( ) ( )* * 60 80 0,555 15 0,832 18,03 2 MPaθ θ τ τ −⎛ ⎞ = − ⋅ − + ⋅ − → = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Valor das tensões normais ( ) ( )* * * 60 80 60 80 16,85º 0,832 15 0,555 70 2 2 60 80 60 80 106,85 0,832 15 0,555 70 2 2 MPa MPa θ θ θ θ θ σ σ θ σ σ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ∴ = + ⋅ + ⋅ → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ∴ = + ⋅ − + ⋅ − → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Esboço das tensões de cisalhamento máximas α = 16,85° x yy' x' τmáx σα > 0 α = 106,85° x yx' y' τmáx σα > 0 α = 16,85° x y τmáx σα α = 106,85° σα 2.1.3.4. Círculo de Mohr para o estado plano de tensões. O traçado do denominado círculo de Mohr é um método gráfico que pode ser utilizado para determinar as tensões eθ θσ τ que atuam num plano genérico, cuja normal faz um ângulo θ com a direção X, conforme considerado nas deduções anteriores. Elevando ao quadrado as equações de eθ θσ τ :
  19. 19. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 19 ( ) 2 2 2 2 cos2 2 2 2 2 cos2 2 x y x y xy x y xy sen sen θ θ σ σ σ σ σ θ τ θ σ σ τ θ τ θ ⎡ + ⎤ ⎡ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + ⋅⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎡ − ⎤⎛ ⎞ = − + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ E somando-as, obtém-se: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 2 2 2 2 cos2 cos 2 2 2 2 2 2 cos2 2 2 2 2 2 x y x y xy x y x y x y xy x y x y xy sen sen sen sen sen θ θ θ θ σ σ σ σ σ τ θ τ θ σ σ σ σ σ σ θ τ θ σ τ θ θ σ σ σ σ θ τ θ θ ⎡ + ⎤ ⎡ − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + = + ⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ − ⎤ ⎡ + ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + ⋅ → − + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 cos2 cos 2 2 2 2 xy xy x y x y xy sen θ θ τ θ τ θ θ σ σ σ σ σ τ τ ⋅ ⋅ + + → ⎡ + ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → − + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ + A equação paramétrica de uma circunferência pode ser escrita como ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , ;c c c c .x x y y R centro c x y e raio R− + − = Considerando: ( ) 2 22 2 2 x y x y xya e b σ σ σ σ τ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + bPode-se escrever: ( ) ( ) 2 2 2 aθ θσ τ− + = , que corresponde a equação de uma circunferência de centro c(a ; 0) e raio b. Para a construção do círculo de Mohr segue-se o seguinte roteiro: y x σy τxy σx σy σx xyτ σ1 σ (σy,τxy) 22 (σx+σy) (σx−σy) τmín C 2θ1 τmáx (σx,−τxy) σ2 τ Define-se o elemento com as tensões ,x y xe yσ σ τ ;
  20. 20. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 20 Adota-se o sistema de eixos( )τσ ; paralelos aos eixos xy; Marcam-se no sistema ( )τσ ; os pontos X = ( )xyx ; τ−σ e Y = ( )xyy ;τσ ; Unem-se os dois pontos por uma reta que vai cortar o eixo θσ no ponto C; Desenha-se o círculo de centro C e diâmetro XY. σ (σy,τxy) (σx,−τxy) τ σ (σy,τxy) C (σx,−τxy) τ σ (σy,τxy) C (σx,−τxy) τ O círculo também pode ser construído a partir da posição principal do elemento característico, isto é, a partir de 1σ e 2σ . Observações importantes sobre a utilização do círculo de Mohr: A normal a uma seção que se destacou através de um ponto solicitado é representada, no correspondente círculo de Mohr, pelo raio que chega ao ponto de representação dessa seção. Toda seção passando por um ponto solicitado em estado plano de tensões pode ser posicionada através de quatro ângulos distintos: ( ) θ + → Ângulo medido a partir da direção de xσ , em sentido anti-horário, até a normal da seção destacada; ( ) θ − → Ângulo medido a partir da direção de xσ , em sentido horário, até a normal da seção destacada; ( ) γ + → Ângulo medido a partir da direção de xσ , em sentido anti-horário, até o plano da seção destacada; ( ) γ − → Ângulo medido a partir da direção de xσ , em sentido horário, até o plano da seção destacada. O conhecimento de qualquer um desses ângulos é suficiente para se localizar a seção tanto sobre o elemento solicitado quanto sobre o círculo de Mohr correspondente.
  21. 21. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 21 Se forem conhecidos os ângulos de sua normal, a marcação no circulo é feita a partir do raio que define a direção de xσ no ponto solicitado e no mesmo sentido de marcação do ângulo tomado. Se forem conhecidos os ângulos do seu próprio plano, a marcação é feita a partir do raio oposto ao que representa a direção de xσ no ponto solicitado, obedecendo, também, o mesmo sentido de marcação do ângulo no referido ponto. A partir do círculo de Mohr, correspondente a um certo grupo de seções passando por um ponto solicitado, percebe-se que: A tensão de cisalhamento maxτ ocorre numa seção cuja normal faz um ângulo de 45º a partir da direção de 1σ em sentido anti-horário, ou seja, ( ) ( ) 3 1 45ºθ θ+ + = + . Nota: se ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 3 . 45º 180º 180º real calc θ θ θ θ+ + + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + > → = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A tensão de cisalhamento maxτ− ocorre numa seção cuja normal faz um ângulo de 135º a partir da direção de 1σ em sentido anti-horário, ou seja, ( ) ( ) 4 1 135ºθ θ+ + = + . Nota: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 4 4 . 135º 180º 180º real calc θ θ θ θ+ + + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + > → = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Unindo o ponto ( );θ θσ τ do círculo de Mohr ao ponto de representação da seção onde atua xσ , obtém-se o traço da seção S em relação à direção de, podendo-se então transporta-lo para o elemento solicitado mediante marcação, no mesmo sentido, do menor ângulo entre eles formado. Para a tensão cisalhante em um plano inclinado, o sinal referente ao círculo de Mohr segue a primeira convenção apresentada neste texto, a saber: positivas quando agem no sentido horário, e negativa no sentido anti-horário. θτ > 0 θτ < 0 EXERCÍCIO Construir o círculo de Mohr para o estado de tensões indicado, e destacar no círculo e no elemento de tensão a linha que define o plano da seção com tensões e (sinal associado ao círculo)2 150 m/N−=σθ 2 95217 m/N,−=τθ
  22. 22. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 22 y x 400 N/m 600 N/m 400 N/m 600 N/m 2 2 2 2 σ = 600N/m2 x σ = 0y τ =θ 400N/m2 σ1 σ (σy,τxy) 2θ1 τmáx (σx,−τxy) σ2 τ (σθ,τθ) 2θ α Posição do centro: Payx centro 300 2 0600 2 = + = σ+σ =σ Distância horizontal do ponto X ao centro do círculo (igual à distância do ponto Y ao centro). Padd yx hh CYCX 300 2 0600 2 = − = σ−σ == Com o auxílio dos triângulos hachurados, temos: ( ) °=θ⇒==θ 13532331 300 400 2 11 ,,tg ( ) °=α⇒= + =α 84254840 150300 95217 ,, , tg °=°+°+°=α+°+θ=θ 972588425180135318022 1 ,,, σ1 σ (σy,τxy) 2θ1 τmáx (σx,−τxy) σ2 τ (σθ,τθ) 2θ α 300 Pa 400Pa 217,95Pa (300+150)Pa Tensões Principais: Payx 60021 =σ+σ=σ+σ (1) PPaRaio 100050023004002221 =⋅=+⋅=⋅=σ−σ (2) De (1) + (2) PaPa 80016002 11 =σ⇒=σ⋅⇒ . Sendo, com isso, Pa2002 −=σ . Componente cisalhante máxima: PaRaiomáx 500==τ Esboço de eθ θσ τ no plano inclinado:
  23. 23. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 23 150Pa 217,95Pa 80MPa 400Pa 600Pa 400Pa y x n θ °= ° =θ 485129 2 97258 , , 2.1.3.5. Cisalhamento puro e estado de cisalhamento simples. Considere o elemento de tensões seguinte submetido ás tensões principais 1 e 2σ σ ( lembrar que 3 0σ = ). 2 σ2 σ1σ1 Círculo de Mohr correspondente C α S R σθ τθ ( ; )σ 02 ( ; )σ 01 Os pontos S e R do círculo representam planos nos quais atuam apenas tensões de cisalhamento, definido a ocorrência de cisalhamento puro. Notar que esses pontos não representam raios opostos no círculo, de modo que o elemento de tensão correspondente não apresenta faces perpendiculares. α ττ τ τ Quando para esta situação, as tensões de cisalhamento forem iguais a maxτ , diz-se que ocorre um estado de cisalhamento simples. Observe que, no caso de cisalhamento simples, os pontos S e R representam raios opostos no círculo, de modo que o elemento correspondente apresenta faces perpendiculares.
  24. 24. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 24 σθ τθ S R α ( ; )σ 01 ( ; )σ 02 ( ; - )τ0 máx ( ; )τ0 máx máxτmáxτ As tensões normais no plano de maxτ , que são nulas neste caso, são calculadas por: 1 2 1 2 10 0 2 θ 2 σ σ σ σ σ σ σ + = = → + = → = − ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , isto é, as tensões normais principais têm o mesmo valor absoluto, sendo uma de compressão e outra de tração. 2.1.4. Estudo do estado triplo de tensões. 2.1.4.1. Conceituação geral e elemento de tensão característico Como foi comentado anteriormente, o estado triplo de tensões num ponto fica caracterizado pela existência de componentes de tensão segundo as três direções dos eixos coordenados. Dessa forma, fica definido um tensor de tensões geral com 9 componentes que, devido a sua natureza simétrica reduz as componentes para 6. simétrico x xy xz x xy xz geral yx y yz xy y yz zx zy z xz yz z T T σ τ τ σ τ τ τ σ τ τ σ τ τ τ σ τ τ σ ⎡ ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ O elemento de tensão característico do estado triplo pode ser representado pelo cubo elementar ilustrado pela figura seguinte:
  25. 25. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 25 y x z σy σx σz τyx τyz τxy τxzτzy τzx Elemento geral 9 componentes→ Igualdade entre as tensões de cisalhamento ( ), ,yx xy yz zy zx xzτ τ τ τ τ τ= = = → scomponente6→ Da mesma forma que no estado plano de tensões, há uma posição particular na qual as tensões de cisalhamento se anulam, também denominada posição principal. Esta posição pode ser representada pelo cubo elementar da figura seguinte: 2 1 σ2 σ1 σ3 y x z 3 O estudo do estado triplo de tensões será todo fundamentado na posição principal do cubo elementar, pois assim sendo tal estudo se simplifica por se adotar um elemento característico que não apresenta tensões de cisalhamento. Um estudo fundamental no elemento característico mais geral, no qual há as três tensões de cisalhamento ( , )xy xz yzeτ τ τ , necessita de uma análise por álgebra vetorial (problema de autovalor e autovetor). Dessa forma, o elemento característico aqui adotado está ilustrado na figura seguinte:
  26. 26. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 26 1 σ2 σ1 σ3 Em correspondência a esse elemento podem ser associados quatro grupos distintos de seções ou planos: Planos paralelos à direção 3 só recebem contribuição de→ 1 e 2σ σ , podendo ser estudado no elemento plano definido pelas direções 1 e 2, ou seja: 2 1 σ1σ1 σ2 σ2 θ τθ σθ Equações correspondentes: 1 2 1 2 1 2 cos2 2 2 cos2 2 θ θ σ σ σ σ σ θ σ σ τ θ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Planos paralelos à direção 2 só recebem contribuição de→ 1 e 3σ σ , podendo ser estudado no elemento plano definido pelas direções 1 e 3. 3 1 σ1σ1 σ3 σ3 θ τθ σθ Equações correspondentes: 1 3 1 3 1 3 cos2 2 2 cos2 2 θ θ σ σ σ σ σ θ σ σ τ θ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Planos paralelos à direção 1 →só recebem contribuição de 2 e 3σ σ , podendo ser estudado no elemento plano definido pelas direções 2 e 3.
  27. 27. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 27 2 3 σ3σ3 σ2 σ2 θ τθ σθ Equações correspondentes: 3 2 3 2 3 2 cos2 2 2 cos2 2 θ θ σ σ σ σ σ θ σ σ τ θ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Planos inclinados em relação às três direções principais recebem contribuição de 1 2, e 3σ σ σ , e, devido à complexidade de seu estudo, não são abordadas em Resistência dos Materiais. 2.1.4.2. Configuração do estado tensional tridimensional - Círculos de Mohr Suponhamos que as tensões no elemento característico adotado para o estado triplo apresentem-se na seguinte ordem de valores: 331 σ≥σ≥σ . Os pares de pontos que se dispõem para o traçado dos círculos são os seguintes: .( ) ( ) (1 2 3;0 , ;0 ;0eσ σ σ ) 2 Para o traçado dos círculos considere as seguintes afirmações: As tensões 1 eσ σ estão defasadas de 90º no elemento característico, logo os pares ( ) correspondem a raios opostos de um círculo.(1 2;0 ;0eσ σ ) Da mesma forma os pares ( ) ( )1 3;0 ;0eσ σ e ( ) correspondem a outros dois pares de raios opostos de outros dois círculos. (2 3;0 ;0eσ σ ) Com base nisso, os círculos de Mohr para o estado triplo de tensões apresentam a seguinte configuração: σ1 σσ3 τ σ2 O3O2O1 τθ σθ lúnula de tensões sendo: O1 = centro do círculo correspondente às tensões principais σ2 e σ3; O2 = centro do círculo correspondente às tensões principais σ1 e σ3; O3 = centro do círculo correspondente às tensões principais σ1 e σ2.
  28. 28. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 28 ) A região hacurada, denominada lúnula de tensões, representa a região de pares ordenados ( θθ τσ , possíveis para o estado tensional em questão. 2.1.5. Obervações para interpretação dos círculos de Mohr 2.1.5.1. Configuração generalizada dos círculos de Mohr para o Estado Plano de Tensões. Características do Estado Plano: 1 2 30 , 0 0eσ σ σ≠ ≠ = correspondem aos pontos geométricos → ( ) ( ) ( )1 2;0 ;0 0;0e eσ σ Caso 1: 1 2 30 , 0 0eσ σ σ> < = σ1 σσ3 τ 0 O3O2O1 Caso 2: 1 2 30 , 0 0eσ σ σ> > = σ1 σ0 τ σ2 O3O2O1 Caso 3: ( ) ( )1 2 3 10 , 0 0 ,e com 2σ σ σ σ< < = < σ 0 σσ3 τ σ1 O3O2O1
  29. 29. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 29 2Observe que se tem nos três casos 1σ σ> . A numeração indicada em cada círculo corresponde ao eixo cuja seção inclinada é paralela, por exemplo, o círculo 2 representa as seções inclinadas paralelas ao eixo principal 2. 2.1.5.2. Configuração generalizada do círculo de Mohr para o Estado Simples de Tensões. Característica do Estado Simples: 1 2 30 , 0σ σ σ≠ = = Caso 1 1 2 3 0 0 eσ σ σ > = = σ τ ( ; )σ 01 ( ; )σ 02 3 = 2 Círculo 1 ( ; )σ 02 ( ; )σ 03 =_ Caso 2: 1 2 30 0eσ σ σ< = = 2.1.5.3. Observações finais As componentes de tensão normal, máxima e mínima, max mineσ σ , que ocorrem num ponto, associado a um estado de tensões qualquer, são definidas a partir das três tensões principais 1 2, e 3σ σ σ que o caracterizam. Todo ponto em qualquer estado de tensões é caracterizado por três tensões cisalhantes máximas: maxτ para o grupo de seções paralelas à direção 3; maxτ para o grupo de seções paralelas à direção 2; maxτ para o grupo de seções paralelas à direção 1; A tensão de cisalhamento máxima do ponto corresponde, porém, ao seguinte resultado: max min max 2 no ponto no ponto no ponto σ σ τ − =
  30. 30. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 30 2.2.Estudo das deformações 2.2.1. Deformações laterais na peça prismática sob solicitação axial. Considere a barra seguinte submetida a uma força axial centrada de tração. No caso em questão tem-se que , e0≠σx 0=σy 0=σz . b F x z y l F Conforme já estudado, essa barra sofrerá um alongamento total igual a N l l E A ⋅ Δ = ⋅ , correspondendo a uma deformação específica de x l N l E A ε Δ = = ⋅ , constante ao longo do comprimento da barra. Tomemos agora um trecho dessa e analisemos a deformações que ocorrem. O alongamento axial é acompanhado de encurtamentos laterais segundo as direções dos eixos y e z: x y zeε ε ε→ b a F F x z y εy εz No âmbito do comportamento elástico essas deformações são proporcionais, cuja relação é expressa por uma constante, denominada coeficiente de Poisson, dada por: x T x z x y ε ε = ε ε = ε ε =ν Observe que as deformações y e zε ε ocorrem nas direções transversais, perpendiculares à direção de solicitação da peça, e apresentam comportamento contrário ao da deformação na direção paralela a essa solicitação (também denominada direção longitudinal). Pelo coeficiente de Poisson: ( ) ( ) ( ) ( )iLiT iL iT νε−=ε→ ε ε −=ν
  31. 31. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 31 Sendo: deformação específica longitudinal provocada pela solicitação i;( )L iε → deformação específica transversal provocada pela solicitação i.( )T iε → Analisemos agora as relações tensão-deformação para o presente caso: E E E x xz x xy x x σ ν−=νε−=ε σ ν−=νε−=ε σ =ε Imaginando o caso análogo, no qual a carga axial de tração estivesse aplicada na direção y. Neste caso , e0=σx 0≠σy 0=σz . A direção y é agora a direção longitudinal sendo as direções x e z as direções transversais, tem-se então: E E E y yz y y y yx σ ν−=νε−=ε σ =ε σ ν−=νε−=ε Da mesma forma, para o caso em que a carga axial encontra-se na direção z, resulta que , e , tendo-se então:0=σx 0=σy 0≠σz E E E z z z zy z zx σ =ε σ ν−=νε−=ε σ ν−=νε−=ε Como trata-se de uma análise no âmbito da elasticidade linear, a superposição das deformações é válida, com isso, o caso geral, no caso em que 0≠σx , e0≠σy 0≠σz , as relações tensão-deformação resultam: ( ) ( ) ( )yx z z zx y y zy x x EE EE EE σ+σ ν − σ =ε σ+σ ν − σ =ε σ+σ ν − σ =ε
  32. 32. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 32 Um outro conceito importante refere-se à variação de volume sofrida por uma barra solicitada axialmente. Para esta análise considere um cubo com arestas de comprimento unitário indicado na figura a seguir. 1=== zyx lll 1=⋅⋅= zyxinicial lllV 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +ε= ′ ⇒ − ′ = − ′ =ε +ε= ′ ⇒ − ′ = − ′ =ε +ε= ′ ⇒ − ′ = − ′ =ε zz z z zz x yy y y yy y xx x x xx x l l l ll l l l ll l l l ll 1 1 1 Para o volume final, tem-se: ( ) ( ) ( ) 1 111 +ε+ε+ε+ +ε⋅ε+ε⋅ε+ε⋅ε+ε⋅ε⋅ε=+ε⋅+ε⋅+ε= ′ ⋅ ′ ⋅ ′ = zyx zyzxyxzyxzyxzyxfinal lllV No âmbito da elasticidade linear, as componentes de deformação são muito pequenas e os termos de ordem quadrática e cúbica podem ser desprezados em presença dos termos lineares, com isso: 1+ε+ε+ε= zyxfinalV zyxinicialfinal VVV ε+ε+ε=−=Δ Para o caso particular em que uma tensão de tração σ atua em uma direção, sendo nulas as demais componentes de tensão normal: Devido, por exemplo, à atuação de xσ ; o cubo se alonga de xε na direção da tensão e encurta nas duas direções perpendiculares a x.xνε E E E x xz x xy x x σ ν−=νε−=ε σ ν−=νε−=ε σ =ε ( ) ( ) E V x xxxxzyx σ ν−=ν−ε=νε−νε−ε=ε+ε+ε=Δ 2121
  33. 33. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 33 E a variação da unitária de volume é: ( ) ( ν )σ 21−= Δ =Δ EV V V x inicial u , que corresponde à variação unitária de volume de uma barra solicitada axialmente. Esta variação de volume é positiva, o que implica em ter-se .500 ,<ν≤ 2.2.2. Deformação por cisalhamento e módulo de deformação transversal As tensões normais σ provocam deformações lineares sobre as dimensões da barra na qual atuam. No caso da dimensão paralela à direção σ , a deformação específica pode ser obtida por: L E σ ε ε= = , sendo E o módulo de deformação longitudinal do material da barra. No caso das tensões de cisalhamento τ , ocorrem deformações angulares (distorções) na direção perpendicular à de sua atuação. Distorção: retas inicialmente perpendiculares em uma vizinhança, passam a ter um ângulo diferente de 90º entre si. A Deformação angular (ou distorção) stγ no ponto A e associada às direções s, t → redução do ângulo (originalmente reto) entre AB e AC. *** 2 BACst ) − π =γ A* t s st γ B C C*C* B* A* B* Relação tensão deformação: Gτ γ= ⋅ , sendo G o módulo de elasticidade transversal. Existe uma relação entre módulos G e E. Para obter tal relação considere o ponto abaixo em estado de cisalhamento simples:
  34. 34. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 34 máxτ máxτ B A C D σ = − σ2 σ2 σ = σ1σ1 σθ τθ S R α ( ; )σ 01 ( ; )σ 02 ( ; - )τ0 máx ( ; )τ0 máx Configuração indeformada: A B C D BDAC = Configuração deformada: A* B* C* D* Da configuração deformada tem-se: A* B* C* D* α γ α π γ 2 2 −= . Sendo max G G τ σ γ = = . ( ) ** ** ** ** 2 2 CA DB CA DB tg ==α Tendo-se que: ( )ACCA AC ACCA 11 ** ** 1 +=⇒ − = εε ( )BDDB BD BDDB 12 ** ** 2 +=⇒ − = εε É conhecido que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 2 ** ** + + = + + == ε ε ε ε α AC BD CA DB tg , e sendo 242 2 γπ αγ π α −=⇒−= ( ) ( )1 1 24 1 2 + + =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ε εγπ tg
  35. 35. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 35 Sendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )btgatg btgatg batg ⋅+ − =− 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⇒ 2 1 2 1 24 1 24 24 γ γ γπ γπ γπ tg tg tgtg tgtg tg Sendo γ um ângulo muito pequeno 22 γγ ≅⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ tg . Pode-se escrever então: ( ) ( ) σ νσ εε γ ε ε γ γ EE −=−==⇒ + + = + − 21 1 2 21 1 2 1 2 1 Assim, tem-se: ( ) ( )ν στ ν σ γ + =⇒==−⋅= 12 12 E G GGE máx Em que: E e G → Módulos de deformação longitudinal e transversal do material; e ν → coeficiente de Poisson do material. Como G é uma propriedade do material, este independe do estado tensional aplicado e esta relação é válida para o caso mais geral do tensor de tensões. Tendo isso as relações tensão –deformação, também chamadas de Lei de Hooke Generalizada se escrevem: ( ) ( ) ( )yx z z zx y y zy x x EE EE EE σ+σ ν − σ =ε σ+σ ν − σ =ε σ+σ ν − σ =ε G G G yz yz xz xz xy xy τ γ τ γ τ γ = = = , com ( )ν+ = 12 E G Alei de Hooke generalizada é válida para qualquer sistema três eixos dextrógeno. Assim, o que foi deduzido para as direções x, y, z valem para quaisquer três direções perpendiculares que obedecem, ordenadamente, à “regra da mão direita”. 2.2.3. Estudo das deformações específicas no Estado Plano de Tensões a partir da posição principal do elemento de tensão característico Sendo o estudo de tensões em um plano, vamos considerar o volume elementar submetido apenas a tensões 1 e 2σ σ correspondentes a sua POSIÇÃO PRINCIPAL, conforme ilustrado na figura.
  36. 36. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 36 Observe que 1σ alonga a dimensão 1 e encurta as dimensões 2 e 3. Analogamente 2σ alonga a dimensão 2 e encurta as dimensões 1 e 3. 2 1 3 σ2 σ1σ1 σ Com base na figura e nos comentários anteriores, deduzamos as expressões das deformações específicas no estado plano de tensões: (Deformação específica resultante na dimensão 1) = (alongamento específico provocado por 1σ ) – (encurtamento específico provocado por 2σ ). 1 2 1 1 2 1 1 2 1L T L L E E σ σ ε ε ε ε ε νε ε ν= − → = − → = − Sendo 1 e 2σ σ tensões de tração, pode-se escrever: 1 2 1 E E σ σ ε ν= − (Deformação específica resultante na dimensão 2) = (alongamento específico provocado por 2σ ) – (encurtamento específico provocado por 1σ ). 2 1 2 2 1 2 2 1 1L T L L E E σ σ ε ε ε ε ε νε ε ν= − → = − → = − Sendo 1 e 2σ σ tensões de tração, pode-se escrever: 2 1 1 E E σ σ ε ν= − (Deformação específica resultante na dimensão 3) = - (encurtamento específico provocado por 2σ ) – (encurtamento específico provocado por 1σ ). 1 2 3 1 2 3 1 2 1T T L L E E σ σ ε ε ε ε νε νε ε ν ⎛ ⎞ = − − → = − − → = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Sendo 1 e 2σ σ tensões de tração, pode-se escrever: 1 2 1 E E σ σ ε ν ⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Escrevendo estas expressões numa notação matricial, obtém-se:
  37. 37. Capítulo 3: Análise das Tensões e Deformações em Elementos Estruturais 37 1 1 2 2 3 1 1 1 E ε ν σ ε ν σ ν νε −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎩ ⎭ Obs.: Liε → Deformação específica longitudinal provocada por iσ que ocorre na dimensão i que lhe é paralela Tiε → Deformação específica transversal provocada por iσ que ocorre nas dimensões j e k que lhe são perpendiculares. 2.2.4. Deformação específica do estado triplo de Tensões a partir da posição principal do elemento característico Seja a posição principal do elemento característico ilustrado abaixo: 2 1 3 σ2 σ1 σ3 Conforme abordagem feita para o caso plano, pode-se afirmar que 1σ alonga a dimensão 1 e encurta as dimensões 2 e 3 do elemento. Analogamente, 2σ alonga 2 e encurta 1 e 3, e 3σ alonga 3 e encurta 1 e 2. A partir desses comentários, a deformação específica resultante da dimensão 1 pode ser obtida por: 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 31 2 1 1 L T T L L L E E E E E E ε ε ε ε ε ε νε νε σ σ σ σσ σ ε ν ν ε ν ν = − − → = − − → = − − ∴ = − − Analogamente obtém-se 3 32 1 2 1 2 3e E E E E E E σ σσ σ σ ε ν ν ε ν ν= − − = − − σ Escrevendo essas expressões numa notação matricial, obtém-se: 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 E ε σν ν ε ν ν ν ν σ ε σ − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

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