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PIVOT
Para resolver a questão 94, vejamos a denição de PIVOT:
Seja f(x) uma f.d.p ou f.p que depende de um parâmetro θ. E seja X1, X2, . . . , Xn
uma correspondente amostra aleatória. Uma quantidade pivotal é uma v.a,
Q(X1, X2, . . . , Xn; θ)
que é uma função da amostra e do parâmetro θ (não é uma estatística!).
Entretatanto a distribuição de Q(X1, X2, . . . , Xn; θ) não depende de θ.
Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 4 / 9
PIVOT
Então, para qualquer γ xo, 0  γ  1, existirão q1 e q2 tais que P(q1  Q  q2) = γ.
Se para cada possível amostra X1, X2, . . . , Xn, q1  Q  q2 existe se, e somente se,
t1(X1, . . . , Xn)  τ(θ)  t2(X1, . . . , Xn)
para t1 e t2 que não dependem de θ, então (T1, T2) é um intervalo de conança de
100γ% para τ(θ), onde Ti(X1, . . . , Xn) = t(x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2.
Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 5 / 9
Exemplos de PIVOT
 Estimação de µ de X ∼ N(µ, σ2), σ2 conhecido:
Q(X1, X2, . . . , Xn; µ) = X−µ
σ/
√
n
∼ N(0, 1);
 Para σ2 desconhecido: Q(X1, X2, . . . , Xn; µ, σ2) = X−µ
S/
√
n
∼ t(n−1);
 Para σ2 desconhecido: Q(X1, X2, . . . , Xn; µ, σ2) = (n−1)S2
σ2 ∼ χ2
(n−1);
Observe nos exemplos que apesar da variável aleaória,
Q(X1, X2, . . . , Xn; µ, σ2), depender da amostra e do parâmetro
desconhecido, sua distribuição de probabilidade não depende. Pelos
exemplos vemos que não necessariamente as quantidades pivotais têm
distribuição normal.
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Aula18

  • 1. Intervalo de Conança: Pivot Anselmo Alves de Sousa July 29, 2015 Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 1 / 9
  • 2. Enunciado Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 2 / 9
  • 3. Enunciado Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 3 / 9
  • 4. PIVOT Para resolver a questão 94, vejamos a denição de PIVOT: Seja f(x) uma f.d.p ou f.p que depende de um parâmetro θ. E seja X1, X2, . . . , Xn uma correspondente amostra aleatória. Uma quantidade pivotal é uma v.a, Q(X1, X2, . . . , Xn; θ) que é uma função da amostra e do parâmetro θ (não é uma estatística!). Entretatanto a distribuição de Q(X1, X2, . . . , Xn; θ) não depende de θ. Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 4 / 9
  • 5. PIVOT Então, para qualquer γ xo, 0 γ 1, existirão q1 e q2 tais que P(q1 Q q2) = γ. Se para cada possível amostra X1, X2, . . . , Xn, q1 Q q2 existe se, e somente se, t1(X1, . . . , Xn) τ(θ) t2(X1, . . . , Xn) para t1 e t2 que não dependem de θ, então (T1, T2) é um intervalo de conança de 100γ% para τ(θ), onde Ti(X1, . . . , Xn) = t(x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2. Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 5 / 9
  • 6. Exemplos de PIVOT Estimação de µ de X ∼ N(µ, σ2), σ2 conhecido: Q(X1, X2, . . . , Xn; µ) = X−µ σ/ √ n ∼ N(0, 1); Para σ2 desconhecido: Q(X1, X2, . . . , Xn; µ, σ2) = X−µ S/ √ n ∼ t(n−1); Para σ2 desconhecido: Q(X1, X2, . . . , Xn; µ, σ2) = (n−1)S2 σ2 ∼ χ2 (n−1); Observe nos exemplos que apesar da variável aleaória, Q(X1, X2, . . . , Xn; µ, σ2), depender da amostra e do parâmetro desconhecido, sua distribuição de probabilidade não depende. Pelos exemplos vemos que não necessariamente as quantidades pivotais têm distribuição normal. Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 6 / 9
  • 7. GABARITO Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 7 / 9
  • 8. 52 Questões de Estatística da Banca CESPE-UNB concurseiro_estatistico@outlook.com Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 8 / 9
  • 9. Anselmo Alves de Sousa Intervalo de Conança: Pivot July 29, 2015 9 / 9