Aula 6 Números primos.pdf

Teorema Fundamental da Aritmética 1/4
Laerte Bemm
UEM
1 de setembro de 2021
Laerte Bemm (UEM) Teorema Fundamental da Aritmética 1 de setembro de 2021 1 / 13

Lembramos da Aula 2 - Parte III: Numeração
Teorema
Fixe um número inteiro b > 1. Todo inteiro positivo a pode ser escrito de
modo único na forma
a = rnbn
+ rn−1bn−1
+ · · · + r1b + r0,
na qual: n ≥ 0, rn 6= 0 e 0 ≤ ri < b, ∀ i = 0, 1, . . . , n.
Observação
Consequentemente,
a = (bn
+ bn
+ · · · + bn
)
| {z }
rn vezes
+ (bn−1
+ bn−1
+ · · · + bn−1
)
| {z }
rn−1 vezes
+ · · ·
+ (b1
+ b1
+ · · · + b1
)
| {z }
r1 vezes
+ (b0
+ b0
+ · · · + b0
)
| {z }
r0 vezes

Observação
Em particular, para b = 10 temos:
a = (10n
+ 10n
+ · · · + 10n
)
| {z }
rn vezes
+ (10n−1
+ 10n−1
+ · · · + 10n−1
)
| {z }
rn−1 vezes
+
· · · + (101
+ 101
+ · · · + 101
)
| {z }
r1 vezes
+ (100
+ 100
+ · · · + 100
)
| {z }
r0 vezes
Isso signica que todo inteiro positivo pode ser escrito como uma
soma de potências de 10.
Mais ainda: esta forma de escrita é única a menos na ordem que essas
potências aparecem.
Pergunta
Será que existe um inteiro ou um conjunto de inteiros tais que todo inteiro
positivo pode ser escrito como um produto de potências destes inteiros?

Objetivo
Responder a pergunta anterior de forma positiva, ou seja, demonstrar o
Teorema Fundamental da Aritmética.

Denição
Dizemos que um número inteiro p 6= 0, é um número primo se, p possui
exatamente dois divisores positivos: |p| e 1.
Denição
Um número inteiro não nulo que tem mais que 2 divisores positivos
distintos é dito composto.
Observação
Segue das denições anteriores que os números −1, 0 e 1 não são
primos e nem compostos.
p é um primo se e somente se −p também é primo.
Um número n é composto se e somente se −n também é composto.
Assim, por simplicação, consideraremos apenas números positivos
para os nossos estudos daqui em diante.

Observação
Se p e q são primos e p|q, então p = q.
Se p é um primo e p - a, então (p, a) = 1.
De fato,
(a, p) = d ⇒ d|p e d|a
⇒ d = 1 ou d = p, pois p é primo
⇒ d = 1, pois p - a.
Se n é um número composto, então existirá um divisor natural n1 de
n tal que n1 6= 1 e n1 6= n.
Portanto, existirá um número natural n2 tal que
n = n1n2, com 1 n1 n e 1 n2 n.

Observação
Do ponto de vista da estrutura multiplicativa dos naturais, os números
primos são os mais simples.
Ao mesmo tempo são sucientes para gerar todos os números
naturais, logo todos os números inteiros, conforme veremos mais
adiante no Teorema Fundamental da Aritmética.

Proposição
Sejam a, b e p números inteiros. Se p é primo e p|ab, então p|a ou p|b.
Demonstração.
Se p|a, nada temos a provar.
Se p - a então (pela observação anterior) (a, p) = 1.
Por um resultado já visto, p|b.
Corolário
Se p, p1, . . . , pn são números primos e p|p1 · · · pn, então p = pi, para algum
i = 1, . . . , n.
Demonstração.
Proposição anterior e indução sobre n

Teorema Fundamental da Aritmética
Todo número inteiro n 1 ou é primo ou pode ser escrito de maneira única
como um produto de números primos, a menos da ordem destes fatores
Demonstração.
Existência
Faremos por indução sobre n.
Se n é primo (isso inclui n = 2), o resultado segue.
(H.I.) Suponha que o resultado vale para todo natural menor que n.
Vamos mostrar que vale para n.

Demonstração.
Como já consideramos o caso em que n é primo, podemos supor que
n é composto.
Nesta caso,
n = n1n2, com 1 n1 n e 1 n2 n.
Pela (H.I), existem primos p1, . . . , pr e q1, . . . , ps tais que
n1 = p1 · · · pr e n2 = q1 · · · qs.
Logo,
n = n1n2 = p1 · · · prq1 · · · qs.
Isso mostra a existência dos números primos.

Demonstração.
Unicidade
Faremos por indução sobre o número de primos.
A unicidade é óbvia se o número de primos for 1.
Suponha que n = p1 · · · pr e n = q1 · · · qs, em que os p0
is e os q0
js são
números primos.
Neste caso, p1|q1 · · · qs.
Pelo corolário anterior, p1 = qj, para algum j.
Podemos supor sem perdas que este qj é q1. Assim,
p1p2 · · · pr = p1q2 · · · qs⇒ p2 · · · pr = q2 · · · qs.
Como p2 · · · pr n, pela (H. I.), r − 1 = s − 1 e os primos pi e qj são
iguais aos pares, para i = 2, . . . , r.
Logo, r = s e como já temos p1 = q1, segue que pi e qj são iguais aos
pares, para i = 1, 2, . . . , r.

Observação
No teorema anterior, agrupando os fatores primos repetidos, se necessário,
e ordenando os primos em ordem crescente, temos o seguinte enunciado:
Teorema
Dado um número inteiro n 6= −1, 0, 1, existem primos p1 · · · pr e
α1, . . . , αr ∈ N∗, univocamente determinados, tais que
n = ±pα1
1 · · · pαr
r .
Observação
Uma vez que para todo inteiro a temos a0 = 1, segue que dados dois
naturais n, m 1, podemos escrever
n = pα1
1 · · · pαr
r e m = pβ1
1 · · · pβr
r ,
usando o mesmo conjunto de primos, desde que permitamos os expoentes
serem nulos.

Exemplo
480 = 25 · 3 · 5.
560 = 24 · 5 · 7.
Logo,
480 = 25 · 3 · 5 · 70.
560 = 24 · 30 · 5 · 7.

Quantidade de Divisores de um Número Inteiro 2/4
Laerte Bemm
UEM
Laerte Bemm (UEM) Quantidade de Divisores 1 de setembro de 2021 1 / 7

Objetivo
Deduzir uma fórmula que determine a quantidade de divisores positivos de
um número inteiro.

Números Primos e Compostos
Denição
Dizemos que um número inteiro p 6= 0, é um número primo se, p possui
exatamente dois divisores positivos: p e 1.
Denição
Um número inteiro não nulo que tem mais que 2 divisores positivos
distintos é dito composto.

Todo número inteiro n 1, ou é primo ou pode ser escrito de maneira
única como um produto de números primos, a menos da ordem destes
primos.
Teorema
Dado um número inteiro n 6= −1, 0, 1, existem primos p1 · · · pr e
α1, . . . , αr ∈ N∗, univocamente determinados, tais que
n = ±pα1
1 · · · pαr
r .
Observação
Dados dois naturais n, m 1, podemos escrever
n = pα1
1 · · · pαr
r e m = pβ1
1 · · · pβr
r ,
usando os mesmos primos, desde que permitamos expoentes nulos.

Proposição
Seja n = ±pα1
1 · · · pαr
r , com os αi ∈ N. Todo divisor positivo de n é da
forma
pβ1
1 · · · pβr
r , com 0 ≤ βi ≤ αi, ∀i = 1, . . . , r.
Demonstração.
Seja n0 um divisor de n e seja pβ a potência de um primo p que gura
efetivamente na decomposição de n0 em fatores primos.
Como pβ|n0, por transitividade, pβ|n = ±pα1
1 · · · pαr
r .
Então, pβ|pαi
i para algum i, pois pβ é coprimo com os demais p
αj
j .
Por consequência, p = pi, para algum i.
Logo, todo fator primo de n0 é um fator primo de n.
Portanto,
n0 = pβ1
1 · · · pβr
r , com 0 ≤ βi ≤ αi, ∀i = 1, . . . , r.

Exemplo
480 = 25 · 3 · 5.
São divisores de 480: 2 · 3 · 5; 23; 3; 3 · 5; 22 · 5; etc.
Exercício
Determine todo os divisores de 560 = 24 · 5 · 7.

Observação
Suponha que a decomposição de n em fatores primos seja
n = ±pα1
1 · · · pαr
r .
Seja m = pβ1
1 · · · pβr
r um divisor de n.
Como cada βi varia de 0 a αi, temos que βi pode assumir αi + 1
valores.
Portanto, o número de divisores positivos de n é
d(n) := (α1 + 1) · · · (αr + 1).
Pense
Em particular, n possui um número ímpar de divisores positivos se, e
somente se, cada αi é par, ou seja, se e somente se n é um quadrado
perfeito.

mdc e mmc via Teorema Fundamental da Aritmética 3/4
Laerte Bemm
UEM
Laerte Bemm (UEM) mdc e mmc 2 de setembro de 2021 1 / 8

Objetivo
Estabelecer uma forma de calcular o mdc e o mmc de dois números
inteiros sabendo suas fatorações em produto de primos.
Mostrar que existem innitos números primos.

Todo número inteiro n 1, ou é primo ou pode ser escrito de maneira
única (a menos da ordem ) como um produto de números primos.
Proposição
Seja n = ±pα1
1 · · · pαr
r , com os αi ∈ N. Todo divisor positivo de n é da
forma
pβ1
1 · · · pβr
r , com 0 ≤ βi ≤ αi, ∀i = 1, . . . , r.

Teorema
Sejam a = ±pα1
1 · · · pαr
r e b = ±pβ1
1 · · · pβr
r . Pondo
γi = min{αi, βi} e δi = max{αi, βi}, i = 1, . . . , r
tem-se que: (a, b) = pγ1
1 · · · pγr
r e [a, b] = pδ1
1 · · · pδr
r .
Demonstração.
Como γi ≤ αi, βi, segue que pγ1
1 · · · pγr
r é um divisor comum a e b.
Se c é outro divisor comum de a e b, então c = ±p1
1 · · · pr
r , com
i ≤ αi, βi.
Assim, i ≤ min{αi, βi} = γi e temos c|pγ1
1 · · · pγr
r .
Logo, (a, b) = pγ1
1 · · · pγr
r
Analogamente, prova-se que [a, b] = pδ1
1 · · · pδr
r .

Exemplo
Determine (1260, 9800) e [1260, 9800].
Solução
1260 = 22 · 32 · 5 · 7
9800 = 23 · 52 · 72 = 23 · 30 · 52 · 72.
(1260, 9800) = 22 · 30 · 5 · 7.
[1260, 9800] = 23 · 32 · 52 · 72.

Exemplo
Vamos determinar quais pares de números naturais a e b satisfazem
[a, b] = (a, b)2.
Solução
Sejam a = pα1
1 · · · pαr
r e b = pβ1
1 · · · pβr
r .
Então,
[a, b] = (a, b)2 ⇔ max{αi, βi} = 2min{αi, βi}, ∀i
⇔ αi = 2βi ou βi = 2αi, ∀i.
.
Observe que o primeiro caso ocorre quando αi = max{αi, βi} e
consequentemente, βi = min{αi, βi}.
Em particular, para a = 20 = 22 · 5 e b = 50 = 2 · 52, temos:
[20, 50] = 22 · 52 = (2 · 5)2 = (20, 50)2.

Exercício
Se n 4 é um número natural composto, então n|(n − 2)!

Teorema
Existem innitos números primos.
Demonstração.
Suponha que exista um número nito de números primos, digamos
p1, . . . , pr.
Considere o número natural n = p1p2 · · · pr + 1 1
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, n possui um fator primo p,
que deve ser um dos p1, p2 . . . , pr.
Logo,
p|n = p1p2 · · · pr + 1⇒ p|(p1 · · · pr + 1) − (p1 · · · pr) = 1,
absurdo

Expoente da Maior Potência de um Primo que Divide
um Número Inteiro 4/4
Laerte Bemm
UEM
Laerte Bemm (UEM) Ep(n) 2 de setembro de 2021 1 / 10

Objetivo
Dado um número inteiro n e um primo p, determinar a maior potência de p
que divide n.

Denição
Seja n ∈ Z∗ e p um número primo. Denotamos por Ep(n) o expoente da
maior potência de p que divide n

Exemplo
1260 = 22 · 32 · 5 · 7
E2(1260) = 2, E3(1260) = 2, E5(1260) = 1, E7(1260) = 1
∀p 7, Ep(1260) = 0.
9800 = 23 · 52 · 72.
E2(9800) = 3, E3(9800) = 0, E5(9800) = 2, E7(9800) = 2,
∀p 7, Ep(9800) = 0.
480 = 25 · 3 · 5
E2(480) = 5, E3(480) = 1, E5(480) = 1,∀p 5, Ep(480) = 0.
560 = 24 · 5 · 7
E2(560) = 4, E3(560) = 0, E5(560) = 1, E7(560) = 1,
∀p 7, Ep(1260) = 0.

Observação
Note que se conhecermos Ep(n) para todo primo p, então pelo
Teorema Fundamental da Arimética, conheceremos o número n.
Por exemplo: se E2(n) = 3, E5(n) = 1, E7(n) = 2 e Ep(n) = 0 para
qualquer outro primo p, então n =23 · 51 · 72.
Reciprocamente, se soubermos a fatoração de n em fatores primos,
conheceremos Ep(n) para todo primo p.
De fato, se n = pα1
1 · · · pαr
r , com αi ∈ N∗, então Epi = αi, para todo
i = 1, . . . , r e Ep(n) = 0, para todo primo p 6= pi, i = 1, . . . , r.

Proposição
Se m, n ∈ N∗ então
m = n ⇔ Ep(m) = Ep(n) para todo primo p.
Demonstração.
Se n = m, então trivialmente Ep(m) = Ep(n) para todo primo p.
Para a recíproca, suponha que Ep(m) = Ep(n) para todo primo p.
Se Ep(n) = 0 = Ep(m) para todo primo p, então m = n = 1.

Demonstração.
Suponha que Ep(n) 6= 0, para algum primo p. Então, Ep(m) 6= 0.
Escreva n = pα1
1 · · · pαr
r e m = qβ1
1 · · · qβs
s , em que {p1, . . . pr} e
{q1, . . . qs} são conjuntos composto por números primos dois a dois
distintos e αi, βi 0 para todo i.
Temos:
{p ; p é primo e Ep(n) 0} = {p1, . . . , pr}
e
{p ; p é primo e Ep(m) 0} = {q1, . . . , qs}.
Por hipótese, Epi (n) = Epi (m), e disso temos que os fatores primos
de m e n são os mesmos.
Logo, r = s e após reordenação, se necessário, podemos supor pi = qi,
para todo i.
Como αi = Epi (m) = Epi (n) = βi para todo i, temos m = n.

Observação
Pelo resultado anterior, para todo primo p,
Ep((a, b)) = min{Ep(m), Ep(n)} e Ep([m, n]) = max{Ep(m), Ep(n)}
.

Proposição
Se m, n ∈ N então
Ep(mn) = Ep(m) + Ep(n) para todo primo p.
Em particular, Ep(m2) = 2Ep(m).
Demonstração.
Seja p um primo e suponha que Ep(m) = α e Ep(n) = β.
Isso signica que pα e pβ são as maiores potências de p que dividem
m e n, respectivamente.
Logo, a maior potência de p que divide mn é pα+β.
Isso mostra que Ep(mn) = α + β = Ep(m) + Ep(n).

Exemplo
Sejam a, b, c ∈ N. Então
[a, b, c]2(a, b)(a, c)(b, c) = (a, b, c)2[a, b][a, c][b, c] (1)
Solução
Fixe um primo p. Como nessa expressão (1) não importa a ordem dos
números a, b, c, podemos supor sem perdas que Ep(a) ≤ Ep(b) ≤ Ep(c).
Pela Proposição anterior, temos:
Ep([a, b, c]2(a, b)(a, c)(b, c)) = 2Ep([a, b, c])+
+Ep(a, b) + Ep(a, c) + Ep(b, c)
= 2Ep(c) + Ep(a) + Ep(a) + Ep(b)
Ep((a, b, c)2[a, b][a, c][b, c]) = 2Ep((a, b, c))+
+ Ep[a, b] + Ep[a, c] + Ep[b, c]
= 2Ep(a) + Ep(b) + Ep(c) + 2Ep(c)
Logo, Ep([a, b, c]2(a, b)(a, c)(b, c)) = Ep((a, b, c)2[a, b][a, c][b, c]) e o
resultado segue.

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