Revisão de geometria analitica

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Revisão de geometria analitica

  1. 1. Atividade de revisão Geometria Analítica Exercicio1: Qual a projeção do vetor u = (3, 2) sobre o vetor v = (5, 2). 풖 = ( 푨 풑풓풐풋풆çã풐 é 풅풂풅풂 풑풐풓 풑풓풐풋풗 풖. 풗 풗. 풗 ) . 풗 풖 = ( 풑풓풐풋풗 (ퟑ, ퟐ). (ퟓ, ퟐ) (ퟓ, ퟐ). (ퟓ, ퟐ) ) . (ퟓ, ퟐ) 풖 = ( 풑풓풐풋풗 ퟑ. ퟓ + ퟐ. ퟐ ퟓ. ퟓ + ퟐ. ퟐ ) . (ퟓ, ퟐ) 풖 = ( 풑풓풐풋풗 ퟏퟓ + ퟒ ퟐퟓ + ퟒ ) . (ퟓ, ퟐ) 풖 = ( 풑풓풐풋풗 ퟏퟗ ퟐퟗ ). (ퟓ, ퟐ) 풖 = ( 풑풓풐풋풗 ퟗퟓ ퟐퟗ ; ퟑퟖ ퟐퟗ ) Exercicio2: Determine o valor de m para que os vetores u = (6; m; 2) e v = (2; −2; 1) sejam perpendiculares. (6;m;2).(2;-2;1) = 0 6.2+m.(-2)+2.1= 0 12-2m+2 = 0 -2m+14 = 0 -2m = -14 m = -14/-2 m = 7
  2. 2. Exercicio3: Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2; -3) e que é perpendicular a y= 2x – 5? m = 2 ⟹ 풎′ = − ퟏ ퟐ Equação da reta tangente y-풚ퟎ = 풎. (풙 − 풙ퟎ ). y+ퟑ = − ퟏ ퟐ . (풙 − ퟐ) y+ퟑ = − 풙 ퟐ + ퟏ 2y+6= −풙 + ퟐ x+2y+6-2= ퟎ x+2y+4 = 0 ou desta forma -2x+y+5 = 0 Qualquer equação do tipo x+2y+ C = 0 2+2.(-3)+C = 0 2-6+C = 0 - 4+C = 0 C = 4 x+2y+ 4 = 0 Exercicio4: Encontre a equação geral do plano π que passa pelo ponto A(1, -3, 2) e tem m = (6,12, -15) como um vetor normal. A equação geral do plano é dada por a.(x-풙ퟎ ) + 풃. (풚 − 풚ퟎ ) + 풄. (풛 − 풛ퟎ ) = 0 6.(x-1)+12.(y+3) -15.(z-2) = 0 6x-6+12y+36-15z+30=0 6x+12y-15z+60 = 0 2x+4y-5z+20 = 0 Exercicio5: Determine a equação geral da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e quepassa pelo ponto A (10, 10). A distância do centro da circunferência C(2; 1) ao ponto por onde ela passa, A(10; 10) vai nos dar a medida do raio dessa circunferência.
  3. 3. Então vamos calcular a distância (d) entre os pontos C(2; 1) a A(10; 10). Assim, temos: d = √(ퟏퟎ − ퟐ)ퟐ + (ퟏퟎ − ퟏ)² d = √(ퟖ)² + (ퟗ)² d = √ퟔퟒ + ퟖퟏ d = √ퟏퟒퟓ d² = 145 Como a distância é igual ao raio, então vamos substituir d² por r² r² = 145 (x-a)²+(y-b)² = r² (x-2)²+(y-1)² = 145 x²-4x+4+y²-2y+1 = 145 x²- 4x +y²-2y+4+1 = 145 x²+y²-4x-2y+5-145 = 0 x²+y²-4x-2y-140 = 0
  4. 4. PROVA DE GEOMETRIA ANALITICA RESPONDIDA DO QUNTO PERÍODO (mantenha sigilo total certo!!!!!!!!) 1. Qual a projeção do vetor u = (2, 1) sobre o vetor v = (4, 1). 풖 = ( 푨 풑풓풐풋풆çã풐 é 풅풂풅풂 풑풐풓 풑풓풐풋풗 풖. 풗 풗. 풗 ) . 풗 풖 = ( 풑풓풐풋풗 (ퟐ, ퟏ). (ퟒ, ퟏ) (ퟒ, ퟏ). (ퟒ, ퟏ) ) . (ퟒ, ퟏ) 풖 = ( 풑풓풐풋풗 ퟐ. ퟒ + ퟏ. ퟏ ퟒ. ퟒퟏ. ퟏ ) . (ퟒ, ퟏ) 풖 = ( 풑풓풐풋풗 ퟖ + ퟏ ퟏퟔ + ퟏ ) . (ퟒ, ퟏ) 풖 = ( 풑풓풐풋풗 ퟗ ퟏퟕ ) . (ퟒ, ퟏ) 풖 = ( 풑풓풐풋풗 ퟑퟔ ퟏퟕ ; ퟗ ퟏퟕ ) 2. Determine a equação da reta perpendicular a y − 2x + 5 = 0 e que passe pelo ponto A (2; 2). 푪á풍풄풖풍풐풅풐풄풐풆풇풊풄풊풆풏풕풆풂풏품풖풍풂풓 y = 2x-5 m = 2 ⟹ 풎′ = − ퟏ ퟐ Equação da reta tangente y-풚ퟎ = 풎. (풙 − 풙ퟎ ). y−ퟐ = − ퟏ ퟐ . (풙 − ퟐ) y−ퟐ = − 풙 ퟐ + ퟏ 2y-ퟒ = −풙 + ퟐ x+2y-ퟒ − ퟐ = ퟎ x+2y-ퟔ = ퟎ ou Qualquer equação do tipo 2y+x+C = 0 2.2+2+C = 0 4+2+C = 0 C = -6 Logo a equação procurada é x+2y-ퟔ = ퟎ
  5. 5. 3. Determine o valor de m para que os vetores u = (m; 4; 2) e v = (4;−1; 0) sejam perpendiculares. (m; 4; 2). (4;−1; 0) =0 4m- 4+0 = 0 4m = 4 m = 4/4 m = 1 4. Escreva a equação geral do plano que passa pelo ponto A (2; −1; 3) e tem o vetor v = (3; 2;−4) como um vetor normal. A equação geral do plano é dada pora.(x-풙ퟎ ) + 풃. (풚 − 풚ퟎ ) + 풄. (풛 − 풛ퟎ ) = 0 3.(x-2)+2.(y+1) – 4.(z-3)=0 3x-6+2y+2-4z+12 = 0 3x+2y-4z+8 = 0 5. Qual a equação da circunferência que passa no ponto A (2; 1) e tem centro no ponto O (1; 2)? A distância do centro da circunferência C(1; 2) ao ponto por onde ela passa, A(2; 1) vai nos dar a medida do raio dessa circunferência. Então vamos calcular a distância (d) entre os pontos C(1; 2) a A(2; 1). Assim, temos: d = √(ퟏ − ퟐ)ퟐ + (ퟐ − ퟏ)² d = √(−ퟏ)² + (ퟏ)² d = √ퟏ + ퟏ d = √ퟐ d² = 2 Como a distância é igual ao raio, então vamos substituir d² por r² r² = 2 (x-a)²+(y-b)² = r² (x-1)²+(y-2)² = 2 x²-2x+1+y²-4y+4 = 2 x²+y²-2x-4y+5-2 = 0 (x-1)²+(y-2)² = 2 ou x²+y²-2x-4y+3 = 0
  6. 6. 6. Identifique a quádrica representada pela equação 풙² ퟒ + 풚² ퟏퟔ + 풛² ퟒ = ퟏ 풆 풆풔풄풓풆풗풂 풂equação do seu traço no plano y = 0. 푨 풆풒풖çã풐 풅풂풅풂 é 풅풐 풕풊풑풐 풙² 풂² + 풚² 풃² + 풛² 풄² = ퟏ, 퐪퐮퐞 퐫퐞퐩퐫퐞퐬퐞퐧퐭퐚 퐮퐦퐚 퐄퐥퐢퐩퐬ó퐢퐝퐞 . 푪풐풎풐 풐 풕풓풂ç풐 é 풏풐 풑풍풂풏풐 풚 = ퟎ, 풐풖 풔풆풋풂, 풏풐 풑풍풂풏풐 풙풛 é 풖풎풂 풄풊풓풄풖풏풇풆풓ê풏풄풊풂 풙² ퟒ + ퟎ² ퟏퟔ + 풛² ퟒ = ퟏ. 풙² ퟒ + 풛² ퟒ = ퟏ 풙² + 풛² = ퟒ. ퟏ x²+z² = 1

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