Teste modelo 10 ano - lógica geometria radicais

1. TESTE DE AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA A – 10.º ANO
Ano Letivo 2019/2020
Duração: 1h30
Nome _________________________________________________________________________________________
Classificação/Observações
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Instruções
• Responder às perguntas numa folha separada do enunciado;
• Usar apenas caneta azul ou preta;
• Não é permitido o uso de máquina calculadora.
• Devem ser apresentadas todas as justificações na realização dos exercícios.
1. Qual das seguintes proposições e verdadeira? Assinala a opção correta.
(A) ∃𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ∶ |𝑥 − 𝑦| = 3 ∧ 𝑦 = 𝑥 + 1.
(B) ~(∀𝑥 > −8, [−8, 𝑥] ∩ ℝ+
= ∅).
(C) ∀(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ ℝ3
, ∃𝑖 ∈ {1,2} ∶ 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖+1.
(D) (∃𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 = 𝑥 + 1 ) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 é racional ou 𝑥 é irracional).
2. Representa, no plano, os seguintes conjuntos de pontos.
2.1. {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
∶ |𝑥| > 2 ∧ |𝑦| ≤ 3}.
2.2. {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
: |𝑥| > 2 ∧ 𝑦 = 𝑥}.
2.3. {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
∶ 𝑦 = 1 ∨ |𝑦| ≥ 2}.
2.4. {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
∶ |𝑥| > 1 ∧ |𝑥 − 𝑦| ≤ 1}.
2.5. {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
∶ 𝑥 = 0 ∧ 𝑦 ∈ ℚ}.
3. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro 𝐴 de coordenadas
(1, 2) e área 4𝜋.
3.1. Indica a medida do raio da circunferência.
3.2. Assinala na figura um ponto que não pertença à circunferência e caracteriza-o
em termos de distância ao ponto 𝐴.
3.3. Indica as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com a reta
horizontal que passa em 𝐴.
3.4. Indica as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com o eixo
𝑂𝑦.
3.5. Considera uma circunferência cuja interseção com a circunferência da figura é
vazia. Indica as coordenadas do seu centro e a medida do raio.
4. Considera, no espaço, o seguinte conjunto de pontos 𝐶 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
:|𝑥| ≤ √2 ∧ |𝑦| ≤ √2 ∧ |𝑧| ≤ √2}.
4.1. Justifica que o conjunto 𝐶 é um cubo e representa-o num referencial.
4.2. Indica as coordenadas dos vértices desse cubo.
4.3. Justifica que o ponto de coordenadas (1,0,1) pertence a 𝐶.
4.4. Define, através de uma condição, cada uma das faces do cubo.
4.5. Quantos pontos da forma (0, 𝑦, 𝑧), com 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ, pertencem ao cubo? Justifica.
4.6. Determina o volume do cubo. Exprime o resultado como uma potência de base 2.
4.7. Considera que 𝑑(𝑋, 𝑌) denota a distância entre os pontos 𝑋 e 𝑌.
Indica o valor lógico da proposição ∃𝑋, 𝑌 ∈ 𝐶 ∶ 𝑑(𝑋, 𝑌) = √7.
5. Seja 𝑎 um número real e 𝑚, 𝑛 números naturais ímpares consecutivos, com 𝑛 > 𝑚.
Mostra que √ 𝑎 𝑛𝑚
= 𝑎√ 𝑎
4
𝑚⁄ .
Cotação
Exercício 1. 10 pontos; Exercício 2. 20 pontos; Exercício 3. 25 pontos; Exercício 4. 35 pontos; Exercício 5. 10 pontos