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Caldeiraria matematica aplicada

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Caldeiraria matematica aplicada

  1. 1. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________CPM - Programa de Certificação de Pessoal de CaldeirariaCaldeirariaMatemática Aplicada___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 3
  2. 2. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Matemática Aplicada - Caldeiraria© SENAI - ES, 1997Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão) Coordenação Geral Luís Cláudio Magnago Andrade (SENAI) Marcos Drews Morgado Horta (CST) Supervisão Alberto Farias Gavini Filho (SENAI) Wenceslau de Oliveira (CST)) Elaboração Carlos Roberto Sebastião (SENAI) Aprovação Silvino Valadares Neto (CST) Nelson de Brito Braga (CST) Editoração Ricardo José da Silva (SENAI)SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem IndustrialDAE - Divisão de Assistência às EmpresasDepartamento Regional do Espírito SantoAv. Nossa Senhora da Penha, 2053 - Vitória - ES.CEP 29045-401 - Caixa Postal 683Telefone: (027) 325-0255Telefax: (027) 227-9017CST - Companhia Siderúrgica de TubarãoAHD - Divisão de Desenvolvimento de Recursos HumanosAV. Brigadeiro Eduardo Gomes, s/n, Jardim Limoeiro - Serra - ES.CEP 29160-972Telefone: (027) 348-1322Telefax: (027) 348-1077___________________________________________________________________________________________________ CST4 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  3. 3. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________SumárioIntrodução à Geometria ......................................................... 03Ângulos ................................................................................. 11Triângulos ............................................................................. 29Congruência de triângulos .................................................... 47Quadriláteros ......................................................................... 53Polígonos Convexos ............................................................. 67Circunferência e Círculo ........................................................ 75Sistema Métrico Decimal - Medidas de Massas .................... 89Medidas não decimais ........................................................... 95Produto Cartesiano .............................................................. 101Função do 1º grau ................................................................ 111Relações Métricas nos Triângulos Retângulos ..................... 121Razões trigonométricas ........................................................ 137Relações Métricas num Triângulo qualquer ......................... 147Relações métricas na Circunferência ................................... 155Polígonos Regulares ............................................................ 167Área de Polígonos ................................................................ 177Medida da circunferência e área do círculo .......................... 183Bibliografia ........................................................................... 193___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 5
  4. 4. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Introdução à GeometriaPonto, Reta e PlanoRepresentação:• Ponto - letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, ...• Reta - letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, ...• Plano - letras gregas minúsculas: α, β, γ, ... A ponto reta α planoConsiderações importantes:a) Numa reta há infinitos pontos. r rb) Num plano há infinitos pontos. α αb) Num plano existem infinitas retas. m r s n t___________________________________________________________________________________________________ CST6 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  5. 5. Espírito Santo______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 7
  6. 6. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Pontos ColinearesOs pontos pertencentes a uma mesma reta são chamadoscolineares. S A B C R T Os pontos A, B e C são colineares Os pontos R, S e T não são colinearesFigura Geométrica• Toda figura geométrica é um conjunto de pontos.• Figura geométrica plana é uma figura em que todos os seus pontos estão num mesmo plano.Exercícios1) Quais são os elementos fundamentais da Geometria ?2) Quantos pontos podemos marcar num plano ?3) Quantas retas podemos traçar num plano ?4) Por dois pontos distintos quantas retas podemos traçar ?___________________________________________________________________________________________________ CST8 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  7. 7. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________5) Observe a figura e responda: M R P r A Q S N s a) Quais dos pontos pertencem à reta r ? b) Quais dos pontos pertencem à reta s ? c) Quais dos pontos pertencem às retas r e s ?6) Observe a figura e complete: a) Os pontos A, F e ___ são colineares. b) Os pontos E, F e ___ são colineares. c) Os pontos C, ___ e E são colineares. d) os pontos ___, B e C são colineares. E D F A B C___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 9
  8. 8. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Posições relativas de duas Retas no PlanoDuas retas distintas contidas em um plano podem ser:a) retas concorrentes: quando têm um único ponto comum. A r r∩s={A} sa) retas paralelas: quando não têm ponto comum. r s r∩s=∅Exercícios1) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras ? a) r e s são concorrentes b) r e t são concorrentes c) s e t são paralelas d) s e p são paralelas r s t p s∩t=∅___________________________________________________________________________________________________ CST10 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  9. 9. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Semi-retaUm ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duaspartes denominadas semi-retas de origem P. semi-reta semi-reta P rPara distinguir as semi-retas, vamos marcar os pontos A e Bpertencentes a cada semi-reta. B P A r PA - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A. PB - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B.SegmentoUm segmento de reta de extremidades A e B é o conjunto dospontos que estão entre elas, incluindo as extremidades. A BIndica-se o segmento AB por AB___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 11
  10. 10. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Segmentos ConsecutivosDois segmentos de reta que têm uma extremidade comum sãochamados consecutivos.Exemplo: B A C P Q R AB e BC são consecutivos PQ e QR são consecutivosSegmentos ColinearesDois segmentos de reta são colineares se estão numa mesmareta.Exemplo: A B C D P Q RAB e CD são colineares PQ e QR são colineares (e consecutivos)Segmentos CongruentesDois segmentos de reta são congruentes quando possuemmedidas iguais.Indicação: A B 4 cmAB ≅ CDSignifica: AB é congruente a CD C 4 cm D___________________________________________________________________________________________________ CST12 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  11. 11. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Ponto médio de um segmentoUm ponto M é chamado ponto médio de um segmento AB se Mestá entre A e B e AB ≅ CD . A M BExercícios1) Observe a figura abaixo e escreva se os segmentos são consecutivos, colineares ou adjacentes (consecutivos e colineares): C A B D E F Ga) AB e BC = e) AB e EF =b) AB e DE = f) DE e EF =c) BC e CD = g) EF e FG =d) CD e DE = h) AB e FG =___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 13
  12. 12. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________2) Observe a figura e responda: A 5 E 7 F 3 G 2 8 B C D 12 a) Qual a medida do segmento EG ? b) Qual a medida do segmento AB ? c) Qual a medida do segmento CD ?2) Na figura abaixo, M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC . Se AB mede 6cm e BC mede 4cm. A M B N C a) Qual é a medida de AM ? b) Qual é a medida de BN ? c) Qual é a medida de MN ? d) Qual é a medida de AN ?___________________________________________________________________________________________________ CST14 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  13. 13. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________ÂngulosDefiniçãoÂngulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem enão-colineares.Na figura:• O é o vértice. B• OA e OB são os lados o lad vértice O lado AIndicação do ângulo: AÔB, ou BÔA ou simplesmente Ô.Pontos internos e Pontos externos a um ÂnguloSeja o ângulo AÔB • Os pontos C, D e E são alguns dos pontos internos ao ângulo AÔB. G B • Os pontos F, G, H e I são alguns dos pontos F C externos ao ângulo AÔB. O D E H I A___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 15
  14. 14. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Medida de uma ânguloUm ângulo pode ser medido de um instrumento chamadotransferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo AÔBda figura mede 40 graus. Indicação: m (AÔB) = 40ºA unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda. 1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60’) 1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1’ = 60”)Simbolicamente:• Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40’• Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por 12º 20’ 45”.___________________________________________________________________________________________________ CST16 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  15. 15. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Exercícios1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor:a) m (AÔB) = a) m (AÔB) =b) m (AÔB) = b) m (AÔB) =c) m (AÔB) = c) m (AÔB) =d) m (AÔB) = d) m (AÔB) =Operações com medidas de ângulosAdição1) Observe os exemplos: 17º 15’ 10”17º 15’ 10” + 30º 20’ 40” + 30º 20’ 40” 47º 35’ 50”2) 13º 40’ + 30º 45’13º 40’ + 30º 45’ 43º 85’ + 1º 25’ 44º 25’___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 17
  16. 16. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Exercícios1) Calcule as somas: a) 49º + 65º = e) 23º 35’ + 12º 45’ = b) 12º 25’ + 40º 13’ = f) 35º 10’ 50” + 10º 25’ 20” = c) 28º 12’ + 52º 40’ = g) 31º 45’ 50” + 13º 20’ 40” = d) 25º 40’ + 16º 50’ = h) 3º 24’ 9” + 37º 20’ 40” =SubtraçãoObserve os exemplos: 1) 2) 58º 40’ - 17º 10’ 80º - 42º 30’ 58º 40’ 79º 60’ - 17º 10’ - 42º 30’ 41º 30’ 37º 30’Exercícios1) Calcule as diferenças: a) 42º - 17º = a) 90º - 54º 20’ = b) 48º 50’ = 27º 10’ = b) 120º - 50º 20’ = c) 12º 35’ - 13º 15’ = c) 52º 30’ = 20º 50’ = d) 30º - 18º 10’ = d) 39º 1’ - 10º 15’ =___________________________________________________________________________________________________ CST18 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  17. 17. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Multiplicação de um ângulo por um númeroObserve os exemplos: 1) 2) 17º 15’ x 2 24º 20’ x 3 17º 15’ 24º 20’ x 2 x 3 34º 30’ 72º 60’ 1º 73ºNota: “Não há multiplicação entre ângulos.” 90º x 90º = ?Exercícios1) Calcule os produtos: a) 25º 10’ x 3 = a) 28º 30’ x 2 = b) 44º 20’ x 2 = b) 12º 40’ x 3 = c) 35º 10’ x 4 = c) 15º 30’ x 3 = d) 16º 20’ x 3 = d) 14º 20’ x 5 =Divisão de um ângulo por um númeroObserve os exemplos: 36º 30’ ÷ 3 39º 20’ ÷ 4 36º 30’ 3 39º 20’ 4 0 0 12º 10’ 3º 180’ 9º 50’ 200’ 00Nota: “Não há divisão entre ângulos.” 90º ÷ 20º = ?___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 19
  18. 18. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Exercícios1) Calcule os quocientes: a) 48º 20’ ÷ 4 = a) 55º ÷ 2 = b) 45º 30’ ÷ 3 = b) 90º ÷ 4 = c) 75º 50’ ÷ 5 = c) 22º 40’ ÷ 5 =2) Calcule: 2 3 a) de 45º = a) de 48º 20’ = 3 4 5 3 b) de 84º = b) de 15º 20’ = 7 2Ângulos CongruentesDois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais. B C O 30º 30º O A DIndicação: AÔB ≅ (significa: AÔB é congruente a CÔD)___________________________________________________________________________________________________ CST20 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  19. 19. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Bissetriz de um ânguloBissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice doângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes. A O M BSe AÔM ≅ MÔB, então OM é bissetriz de AÔB.Exercícios1) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do ângulo dado. a) b) A A 4X + 5º 3X O X + 20º O 37º M M B B___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 21
  20. 20. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________2) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do ângulo dado. a) b) A 3X C O 5X - 20º M x - 5º 2 B A B 35º OÂngulos Reto, Agudo e ObtusoOs ângulos recebem nomes especiais de acordo com suasmedidas:• Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º.• Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º.• Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º. ÂNGULO RETO ÂNGULO AGUDO ÂNGULO OBTUSO___________________________________________________________________________________________________ CST22 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  21. 21. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Retas PerpendicularesQuando duas retas se interceptam formando ângulos retos,dizemos que elas são perpendiculares. Indicação: r ⊥ s Significa: r perpendicular a s.Ângulos ComplementaresDois ângulos são complementares quando a soma de suasmedidas é 90º. A m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC) B O CExemplos:• 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º• 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 23
  22. 22. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Exercícios:1) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um ângulo (medido em graus): a) 2x = 90º e) 4 (x + 3º) = 20º b) 4x + 10º = 90º f) (3x - 20º) + 50º = 90º c) 5x - 20º = 1º + 2x g) 3 (x + 1º) = 2 (x + 7º) d) x = 2 (90º - x) h) 2x + 2 (x + 1º) = 4º + 3 (x + 2º)2) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões:• Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao dobro do seu complemento.Solução:Medida do ângulo = xMedida do complemento do ângulo = 90º - x x = 2 ( 90º - x )Resolvendo a equação: x = 2 (90º - x) x = 180º - 2x x + 2x = 180º 3x = 180º x = 60ºResposta: 60ºa) A medida de um ângulo é igual à medida de seu complemento. Quanto mede esse ângulo ?b) A medida de um é a metade da medida do seu complemento. Calcule a medida desse ângulo.___________________________________________________________________________________________________ CST24 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  23. 23. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________c) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento.d) A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo.e) A terça partes do complemento de um ângulo mede 20º. Qual a medida do ângulo ?f) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por 3x + 25º e 4x - 5º. Quanto medem esses ângulos ?Ângulos SuplementaresDois ângulos são suplementares quando a soma de suasmedidas é 180º. m (AÔB) + m (BÔC) = 180º B A O CExemplos:• 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º• 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 25
  24. 24. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Exercícios:1) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares: a) 3x - 10º 2x - 40º2) Calcule x: a) 5x - 4º 3x 2x 2x - 2º3) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a medida do seu suplemento.4) A medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo.5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento.___________________________________________________________________________________________________ CST26 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  25. 25. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 250º 28) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a do 3 seu suplemento.9) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 110º. Quanto mede o ângulo ?Ângulos opostos pelo vérticeDuas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois adois, opostos pelo vértice.Na figura: ∃• â e c são opostos pelo vértice. ∃ ∃• m e n são opostos pelo vértice. ∃ c ∃ m ∃ n ∃ a___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 27
  26. 26. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________TeoremaDois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.Prova:Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice. ∃ ∃( 1 ) m ( a ) + m ( c ) = 180º ∃ ∃( 2 ) m ( b ) + m ( c ) = 180ºComparando ( 1 ) e ( 2 ) : ∃ ∃ ∃ ∃m (a ) + m ( c ) = m (b) + m ( c ) ∃ m (a) = ∃ m (b) ∃ ∃Se a e b têm a mesma medida, eles são congruentes.Exercícios:1) Se x = 50º, determine y, m e n: m x y n2) Calcule os ângulos x, y, z e w da figura: 100º y w x 18º z___________________________________________________________________________________________________ CST28 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  27. 27. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________3) Calcule os ângulos x, y e z das figuras: y x 80º z y 60º 130º z x4) Observe o exemplo abaixo e determine o valor de x nas seguintes questões: Solução: 5x - 70º = 2x + 20º 5x - 70º 2x + 20º 5x - 2x = 20º + 70º 3x = 90º x = 30ºa) b) 3x + 10º x + 70º 2x x + 50º___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 29
  28. 28. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________c) d) 5 (x - 3º) x x + 1º + 6º 2 3 4 (x - 3º)Ângulos formados por duas retas paralelas e umatransversalDuas retas r e s, interceptadas pela transversal t, formam oitoângulos. t 2 A 1 r 3 4 6 B 5 s 7 8Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B sãoassim denominados: ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ • Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7 ∃ ∃ ∃ ∃ • Colaterais internos: 4 e 5, 3 e 6 ∃ ∃ ∃ ∃ • Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7 ∃ ∃ ∃ ∃ • Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5 ∃ ∃ ∃ ∃ • Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8___________________________________________________________________________________________________ CST30 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  29. 29. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________PropriedadesConsidere duas retas paralelas e uma transversal. t r sMedindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir quesão válidas as seguintes propriedades:• Os ângulos correspondentes são congruentes.• Os ângulos alternos externos são congruentes.• Os ângulos alternos internos são congruentes.• Os ângulos colaterais externos são suplementares.• Os ângulos colaterais internos são suplementares.Exercíciosa) t 2x r 3x - 20º s___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 31
  30. 30. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________b) t r 3x - 15º x - 55º sc) t 2x r s 3x - 50º___________________________________________________________________________________________________ CST32 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  31. 31. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________TriângulosConceito Triângulo é um polígono de três lados. A B CNa figura acima:• Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.• Os segmentos AB , BC e CA são os lados do triângulo. ∃ ∃ ∃• Os ângulos A , B e C são ângulos internos do triângulos.Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por ∆ ABC.___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 33
  32. 32. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Ângulo ExternoÂngulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno. A m C B ∃Na figura acima m é um ângulo externo.PerímetroO perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dosseus lados.Perímetro ∆ ABC = AB + AC + BCClassificação dos TriângulosQuanto aos lados os triângulos se classificam em:• Equilátero quando tem os três lados congruentes.• Isósceles quando tem dois lados congruentes.• Escaleno quando não tem lados congruentes. A A A B C B C C B EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO___________________________________________________________________________________________________ CST34 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  33. 33. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em:• Acutângulo quando tem três ângulos agudos• Retângulo quando tem um ângulo reto.• Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso. R R R S T S T S T ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULOEm um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo retochamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-sehipotenusa. A Cateto Hipotenusa B C Cateto___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 35
  34. 34. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Exercícios:1) Determine o comprimento do lado BC , sabendo-se que o perímetro do ∆ ABC é 48cm. A x 15 C 2x B2) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento do menor lado. R x+7 x S x+3 T3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos ângulos: A A A 100º 80º 60º 40º 45º 35º B C C B B C___________________________________________________________________________________________________ CST36 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  35. 35. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________4) Observe a figura e responda: A B C a) Que nome recebe o lado BC ? b) Que nome recebem os lados AB e AC ?5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo ?Condição de existência de um TriânguloEm qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dosoutros dois lados.Exemplo:Seja o triângulo: A 4 cm 2 cm B 3 cm C___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 37
  36. 36. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Vamos comparar a medida de cada lado com a soma dasmedidas dos outros dois.Assim: 2 < 3 + 4 ou 2 < 7 2 < 3 + 4 ou 2 < 7 2 < 3 + 4 ou 2 < 7Para verificar a citada propriedade, procure construir umtriângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e 2 cm. 4 cm 2 cm A 7 cm BÉ impossível, não ? Logo não existe o triângulo cujos ladosmedem 7cm, 4cm e 2cm.Elementos notáveis de um triângulo• Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. R R baricentro me dia na S M T S TTodo triângulo tem três medianas que se encontram em umponto chamado baricentro.___________________________________________________________________________________________________ CST38 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  37. 37. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________• Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto. R R incentro bis set riz S T S T PTodo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em umponto interior chamado incentro.• Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento. R R R ortocentro altura altura S TS T S TTodo triângulo tem três alturas que se encontram em um pontochamado ortocentro.___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 39
  38. 38. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Soma das medidas dos ângulos internos de um triânguloObserve os triângulos e as medidas dos ângulos internos. B B 80º 60º 60º 40º 30º A C A C 80º + 40º + 60º = 180º 30º + 60º + 90º = 180º Note que: ∃ ∃ ∃ m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180ºVamos à demonstração desse teorema.TeoremaEm qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulosinternos é igual a 180º.Prova:consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que ∃ ∃ ∃m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º A s ^ 1 ^ 2 ^ A B C___________________________________________________________________________________________________ CST40 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  39. 39. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________a) Pelo vértice A, traçamos a reta s paralela ao lado BC . ∃ ∃ ∃ m ( 1 ) + m ( A ) + m ( 2 ) = 180º 1Note que: ∃ ∃ m ( 1 ) ≅ m ( B ) (alternos internos) 2 ∃ ∃ m ( 2 ) ≅ m ( C ) (alternos internos) 3b) Temos que:c) Substituindo 2 e 3 em 1, temos: ∃ ∃ ∃ m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180ºExercícios:1) Calcular x no triângulo abaixo: B 80º x 30º A C___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 41
  40. 40. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________2) Calcular x no triângulo abaixo: R 5x 45º 4x T S3) Calcular x no triângulo abaixo: P 5x - 50º x + 10º x R Q4) Determine a medida dos ângulos x, y e z. a) A x y 60º 45º B C___________________________________________________________________________________________________ CST42 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  41. 41. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________ b) A x 35º B 105º C z y 50º D E c) A y 30º 55º x 40º B D C d)___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 43
  42. 42. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________ A x 110º r s C 80º B s___________________________________________________________________________________________________ CST44 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  43. 43. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Teorema do ângulo externoEm qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual àsoma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.Prova:Consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que ∃ ∃ ∃m ( e ) = m ( A ) + m (B ) B e A Ca) ∃ ∃ ∃ m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º (pelo teorema anterior) ∃ ∃ ∃m ( A ) + m ( B ) = 180º - m ( C ) 1b) ∃ ∃ m ( e ) + m ( C ) = 180º ∃ ∃m ( e ) = 180º - m ( C ) 2Igualando 1 e 2 temos: ∃ ∃ ∃ m ( e ) = m ( A ) + m (B )___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 45
  44. 44. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Exemplo:Calcule o valor de x no triângulo abaixo: A Solução Pelo teorema do ângulo externo, temos: 4x 4x + 2x = 120º 6x = 120º 120º x = 20º 2x B CResposta: x = 20ºExercícios:1) Calcule o valor de x nos triângulos dados: a) B 5x 2x 140º A C___________________________________________________________________________________________________ CST46 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  45. 45. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________ b) A 2x x B C c) A x 120º C B 140º d) M 120º P x N 3x___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 47
  46. 46. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________2) Calcule x e y: a) A D y x 135º C 75º B 60º E3) Calcule x: a) A 60º C 25º 15º x D B___________________________________________________________________________________________________ CST48 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  47. 47. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________ b) A 75º C 20º 15º x B D4) O perímetro do triângulo da figura é 37cm. Qual a medida do menor lado ? A 3x 2x + 2 B C 2x5) Com os segmentos de medidas 8cm, 7cm e 18cm podemos construir um triângulo ? Por quê ?___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 49
  48. 48. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________6) Calcule x:a) b) x 2x + 10º x x + 10º 2x - 30º x + 5º + 15º 26) Calcule x:a) b) 105º x + 5º 110º 2x x 50º___________________________________________________________________________________________________ CST50 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  49. 49. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________ a) x x x 130º 70º b) 60º C 20º x 30º___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 51
  50. 50. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Congruência de triângulosIntuitivamente, dois triângulos ABC e RST são congruentes sefor possível transportar um deles sobre o outro, de modo queeles coincidam. A A B C B CDefiniçãoDois triângulos são chamados congruentes quando os lados eos ângulos correspondentes são congruentes.Logo: AB ≅ RS ∃ ∃ A ≅R BC ≅ ST e ∃ ∃ ⇔ B ≅ S ∆ ABC ≅ ∆ RST CA ≅ TR ∃ ∃ C ≅ T___________________________________________________________________________________________________ CST52 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  51. 51. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Casos de congruênciaO estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem porfinalidade estabelecer o menor número de condições para quedois triângulos sejam congruentes.1º CASO: L . L . L . (lado, lado, lado)Dois triângulos que têm três lados respectivamente congruentessão congruentes. B F 2 cm 3 cm 2 cm 3 cm A 4 cm C E 4 cm G AB ≅ EF AC ≅ EG ⇔ ∆ ABC ≅ ∆ EFG BC ≅ FG2º CASO: L . A . L . (lado, ângulo, lado)Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formadorespectivamente congruentes são congruentes. B F 5 cm 5 cm 30º 30º C 6 cm A G 6 cm E AB ≅ EF ∃ ∃ ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG A ≅E AC ≅ EG___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 53
  52. 52. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________3º CASO: A . L . A . (ângulo, lado, ângulo)Dois triângulos que têm um lado e dois ângulos adjacentes aesse lado respectivamente congruentes são congruentes. B F 50º 40º 50º A 3 cm C E 3 cm G ∃ ∃ A ≅E AC ≅ EG ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG ∃ ∃ C ≅ G4º CASO: L . A . Ao . (lado, ângulo, ângulo oposto)Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e umângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes sãocongruentes. B F 50º 50º 30º 30º A 5 cm C E 5 cm G AC ≅ EG ∃ ∃ ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG A ≅E ∃ ∃ B ≅F___________________________________________________________________________________________________ CST54 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  53. 53. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Exercícios1) Cite, em cada item, o caso de congruência dos triângulos. a) A F 90º 4 cm cm 3 3 cm ∆ ABC ≅ ∆ EFG 90º E G 4 cm B C b) A M cm cm 6c 6c 5 5 m m ∆ ABC ≅ ∆ MNP B 3 cm C N 3 cm P c) F 8 cm G M 70º 40º ∆ ABC ≅ ∆ MNP 70º 40º E N 8 cm P___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 55
  54. 54. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________ d) A T cm 6 cm 4 ∆ ABC ≅ ∆ RST 50º 50º B 6 cm C R 4 cm S e) A N 5 cm P 80º 35º ∆ ABC ≅ ∆ MNP 80º 35º B 5 cm C M f) A G 80º 70º 12 cm ∆ ABC ≅ ∆ EFG 70º 80º B 12 cm C E F___________________________________________________________________________________________________ CST56 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  55. 55. Espírito Santo______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 57
  56. 56. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________QuadriláteroConceito Quadrilátero é um polígono de quatro lados.No quadrilátero ao lado, destacamos: A• vértice: A, B, C, D• lados: AB , BC , CD e DA ∃ ∃ ∃ ∃• ângulos internos: A , B , C e D D• lados opostos: AB e CD , AD e BC ∃ ∃ ∃ ∃• ângulos opostos: A e C , B e D B CLembre-se de que um quadrilátero é convexo quando qualquersegmento com extremidades no quadrilátero está contido nele. B A A B C D D C Quadrilátero não-convexo Quadrilátero convexoEstudaremos apenas os quadriláteros convexos.___________________________________________________________________________________________________ CST58 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  57. 57. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________DiagonalO segmento que une dois vértices não consecutivos é chamadodiagonal. DNa figura, AC e BD são diagonais. A C BExercícios1) Observe o quadrilátero e responda: a) Quais são os lados ? M P b) Quais são os vértices ? c) Quais são os ângulos internos ? d) Quais são as diagonais indicadas ? N O2) Considere o quadrilátero ABCD. a) Nomeie os dois pares de lados A B opostos. b) Nomeie os dois pares de ângulos opostos. C D___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 59
  58. 58. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________3) O perímetro de um quadrilátero mede 41cm. Quanto mede cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2, 3x + 1 e 2x - 4 ?Soma dos ângulos internos de um quadriláteroABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide emdois triângulos.Veja: B A D CA soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dosângulos internos do quadrilátero.Logo:A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é180º + 180º = 360º___________________________________________________________________________________________________ CST60 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  59. 59. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Exercícios:1) Na figura abaixo, calcular o valor de n. D A 2x x C B2) Na figura abaixo, calcular o valor de n. a) b) E F E F 120º 110º 130º 60º x x G H G H3) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros: a) b) E F R S 6x 5x 60º 3x 4x 5x G H T U___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 61
  60. 60. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________4) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras: a) b) R F x 130º z N 120º E y 130º 95º 110º x M S G H5) Calcule x na figura: 80º x 40º 20º x + 20º6) Calcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que x 3x eles medem x, 2x, e . 2 2ParalelogramosParalelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostosparalelos. A C Na figura, temos: AB CD AC BD B D___________________________________________________________________________________________________ CST62 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  61. 61. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Tipos de Paralelogramos• Retângulo - Possui quatro ângulos retos.• Losango - Possui os quatro lados congruentes.• Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos retos. Retângulos Losango QuadradoNote que:• Todo quadrado é um losango.• Todo quadrado é um retângulo.Teorema:Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.Prova:Seja o paralelogramo ABCD. Vamos provar que∃ ∃ ∃ ∃A ≅ C eB ≅D A C ^ ^ 2 1 ^ 4 ^ 3 B Da) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos ABD e CDB.___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 63
  62. 62. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________b) Temos: ∃ ∃ • 1 ≅ 4 (alternos internos) A.L.A. • BD ≅ BD (comum) ∆ ABD ≅ ∆ CDB ∃ ∃ • 2 ≅ 3 (alternos internos) ∃Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: A ∃≅ C. ∃ ∃ • 1≅ 4 ⇒ ∃ ∃ 1+ 4 ≅ ∃ ∃ 2 + 3 ∃ ∃ • 2 ≅ 3 ∃ ∃ Logo: B ≅ DExercícios:1) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo: A B y x 50º z D C___________________________________________________________________________________________________ CST64 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  63. 63. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________2) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo: P Q 3x - 10º x - 50º R S3) Observe a figura e calcule as medidas de x, y, z e w. 110º 70º x w z y 70º 110º4) Baseado nos resultados do exercício anterior, responda: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?5) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes: a) b) B C P Q 60º 142º A D S R6) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 65
  64. 64. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________ a) b) R S R S x + 70º 3x - 10º 2x + 10º 2x + 8º T U T U7) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo: a) b) R S R S 3x 2x + 25º 5x + 20º T U T U7) Calcule os valor de x, y e z nos losangos abaixo: a) b) R R x + 80º S x U S y z U 5x 2x + 20º T T___________________________________________________________________________________________________ CST66 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  65. 65. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________TrapézioTrapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (quesão chamados de base). A base menor B Na figura, temos: altura AB CD C base maior DA distância entre as bases chama-se altura.Tipos de Trapézio• Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes.• Retângulo - Tem dois ângulos retos.• Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes. E F E F E F Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo Trapézio Escaleno G H G H G HExercícios:1) Num trapézio, como são chamados os lados paralelos ?___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 67
  66. 66. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________2) Calcule o valor de x nas figuras: a) b) R S R S 2x 2x x x x 30º T U T U3) Calcule o valor de x nas figuras: a) b) R S R S 2x x 110º x + 30º T U T U4) Responda: a) Quantos lados possui um quadrilátero ? b) Quantos vértices possui um quadrilátero ? c) Quantas diagonais possui um quadrilátero ?5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um quadrilátero?___________________________________________________________________________________________________ CST68 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  67. 67. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________6) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros: a) b) F E F 2x 110º x E 150º 60º 50º x 70º G H G H c) d) E F E F x x 3x x x 3x 2x 2x G H G H7) Calcule o valor de x nos quadriláteros: a) b) A B E F 3x 2x 105º 80º x 120º C D x H G___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 69
  68. 68. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________8) Calcule o valor de x e y nos paralelogramos: a) b) E F y x + 40º 3x + 10º x x y 2 G H___________________________________________________________________________________________________ CST70 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  69. 69. Espírito Santo______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 71
  70. 70. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Polígonos ConvexosPolígonosPolígono é um conjunto de segmentos consecutivos nãocolineares no qual os extremos do primeiro e do últimocoincidem.Exemplos: Polígonos convexos Polígonos não-convexosAssim como já vimos para os quadriláteros, dizemos que umpolígono é convexo quando qualquer segmento comextremidades no polígono está contido nele.___________________________________________________________________________________________________ CST72 Companhia Siderúrgica de Tubarão
  71. 71. Espírito Santo___________________________________________________________________________________________________Elementos de um PolígonoObserve o polígono ABCDE:• A, B, C, D, E são os vértices. B• ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ A , B , C , D , E são os ângulos internos. o vértice lad• AB , BC , CD , DE , EA são os lados. A C E DNomes dos PolígonosSegundo o número de lados, os polígonos recebem nomesespeciais: nome nº de ladostriângulo ..................................................... 3quadrilátero ................................................ 4pentágono .................................................. 5hexágono ................................................... 6heptágono .................................................. 7octógono .................................................... 8eneágono ................................................... 9decágono .................................................. 10undecágono .............................................. 11dodecágono .............................................. 12pentadecágono ......................................... 15icoságono .................................................. 20• O número de lados de um polígono é igual ao número de vértices.___________________________________________________________________________________________________SENAIDepartamento Regional do Espírito Santo 73

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