O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de geometria como pontos, retas, planos, ângulos e suas medidas. Também aborda conceitos como segmentos de reta, posições relativas de retas e operações com medidas de ângulos. O documento é utilizado como material de apoio no programa de certificação de pessoal de caldeiraria do SENAI-ES.

1. Espírito Santo
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CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria
Caldeiraria
Matemática Aplicada
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 3

2. Espírito Santo
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Matemática Aplicada - Caldeiraria
© SENAI - ES, 1997
Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão)
Coordenação Geral Luís Cláudio Magnago Andrade (SENAI)
Marcos Drews Morgado Horta (CST)
Supervisão Alberto Farias Gavini Filho (SENAI)
Wenceslau de Oliveira (CST))
Elaboração Carlos Roberto Sebastião (SENAI)
Aprovação Silvino Valadares Neto (CST)
Nelson de Brito Braga (CST)
Editoração Ricardo José da Silva (SENAI)
SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial
DAE - Divisão de Assistência às Empresas
Departamento Regional do Espírito Santo
Av. Nossa Senhora da Penha, 2053 - Vitória - ES.
CEP 29045-401 - Caixa Postal 683
Telefone: (027) 325-0255
Telefax: (027) 227-9017
CST - Companhia Siderúrgica de Tubarão
AHD - Divisão de Desenvolvimento de Recursos Humanos
AV. Brigadeiro Eduardo Gomes, s/n, Jardim Limoeiro - Serra - ES.
CEP 29160-972
Telefone: (027) 348-1322
Telefax: (027) 348-1077
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CST
4 Companhia Siderúrgica de Tubarão

3. Espírito Santo
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Sumário
Introdução à Geometria ......................................................... 03
Ângulos ................................................................................. 11
Triângulos ............................................................................. 29
Congruência de triângulos .................................................... 47
Quadriláteros ......................................................................... 53
Polígonos Convexos ............................................................. 67
Circunferência e Círculo ........................................................ 75
Sistema Métrico Decimal - Medidas de Massas .................... 89
Medidas não decimais ........................................................... 95
Produto Cartesiano .............................................................. 101
Função do 1º grau ................................................................ 111
Relações Métricas nos Triângulos Retângulos ..................... 121
Razões trigonométricas ........................................................ 137
Relações Métricas num Triângulo qualquer ......................... 147
Relações métricas na Circunferência ................................... 155
Polígonos Regulares ............................................................ 167
Área de Polígonos ................................................................ 177
Medida da circunferência e área do círculo .......................... 183
Bibliografia ........................................................................... 193
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Departamento Regional do Espírito Santo 5

4. Espírito Santo
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Introdução à Geometria
Ponto, Reta e Plano
Representação:
• Ponto - letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, ...
• Reta - letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, ...
• Plano - letras gregas minúsculas: α, β, γ, ...
A
ponto reta α
plano
Considerações importantes:
a) Numa reta há infinitos pontos.
r r
b) Num plano há infinitos pontos.
α α
b) Num plano existem infinitas retas.
m
r
s
n
t
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6 Companhia Siderúrgica de Tubarão

5. Espírito Santo
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Departamento Regional do Espírito Santo 7

6. Espírito Santo
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Pontos Colineares
Os pontos pertencentes a uma mesma reta são chamados
colineares.
S
A B C R T
Os pontos A, B e C são colineares Os pontos R, S e T não são colineares
Figura Geométrica
• Toda figura geométrica é um conjunto de pontos.
• Figura geométrica plana é uma figura em que todos os
seus pontos estão num mesmo plano.
Exercícios
1) Quais são os elementos fundamentais da Geometria ?
2) Quantos pontos podemos marcar num plano ?
3) Quantas retas podemos traçar num plano ?
4) Por dois pontos distintos quantas retas podemos traçar ?
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8 Companhia Siderúrgica de Tubarão

7. Espírito Santo
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5) Observe a figura e responda:
M R P
r
A
Q S N s
a) Quais dos pontos pertencem à reta r ?
b) Quais dos pontos pertencem à reta s ?
c) Quais dos pontos pertencem às retas r e s ?
6) Observe a figura e complete:
a) Os pontos A, F e ___ são colineares.
b) Os pontos E, F e ___ são colineares.
c) Os pontos C, ___ e E são colineares.
d) os pontos ___, B e C são colineares.
E
D
F
A B C
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Departamento Regional do Espírito Santo 9

8. Espírito Santo
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Posições relativas de duas Retas no Plano
Duas retas distintas contidas em um plano podem ser:
a) retas concorrentes: quando têm um único ponto comum.
A r
r∩s={A}
s
a) retas paralelas: quando não têm ponto comum.
r
s r∩s=∅
Exercícios
1) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras ?
a) r e s são concorrentes
b) r e t são concorrentes
c) s e t são paralelas
d) s e p são paralelas
r s t
p
s∩t=∅
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10 Companhia Siderúrgica de Tubarão

9. Espírito Santo
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Semi-reta
Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duas
partes denominadas semi-retas de origem P.
semi-reta semi-reta
P r
Para distinguir as semi-retas, vamos marcar os pontos A e B
pertencentes a cada semi-reta.
B P A r
PA - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A.
PB - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B.
Segmento
Um segmento de reta de extremidades A e B é o conjunto dos
pontos que estão entre elas, incluindo as extremidades.
A B
Indica-se o segmento AB por AB
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Departamento Regional do Espírito Santo 11

10. Espírito Santo
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Segmentos Consecutivos
Dois segmentos de reta que têm uma extremidade comum são
chamados consecutivos.
Exemplo:
B
A C P Q R
AB e BC são consecutivos PQ e QR são consecutivos
Segmentos Colineares
Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma
reta.
Exemplo:
A B C D P Q R
AB e CD são colineares PQ e QR são colineares (e consecutivos)
Segmentos Congruentes
Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem
medidas iguais.
Indicação: A B
4 cm
AB ≅ CD
Significa: AB é congruente a CD C 4 cm D
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12 Companhia Siderúrgica de Tubarão

11. Espírito Santo
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Ponto médio de um segmento
Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento AB se M
está entre A e B e AB ≅ CD .
A M B
Exercícios
1) Observe a figura abaixo e escreva se os segmentos são
consecutivos, colineares ou adjacentes (consecutivos e
colineares):
C
A B D E F G
a) AB e BC = e) AB e EF =
b) AB e DE = f) DE e EF =
c) BC e CD = g) EF e FG =
d) CD e DE = h) AB e FG =
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Departamento Regional do Espírito Santo 13

12. Espírito Santo
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2) Observe a figura e responda:
A
5
E 7 F 3 G
2
8
B C D
12
a) Qual a medida do segmento EG ?
b) Qual a medida do segmento AB ?
c) Qual a medida do segmento CD ?
2) Na figura abaixo, M é o ponto médio de AB e N é o ponto
médio de BC . Se AB mede 6cm e BC mede 4cm.
A M B N C
a) Qual é a medida de AM ?
b) Qual é a medida de BN ?
c) Qual é a medida de MN ?
d) Qual é a medida de AN ?
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14 Companhia Siderúrgica de Tubarão

13. Espírito Santo
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Ângulos
Definição
Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e
não-colineares.
Na figura:
• O é o vértice.
B
• OA e OB são os lados
o
lad
vértice
O lado A
Indicação do ângulo: AÔB, ou BÔA ou simplesmente Ô.
Pontos internos e Pontos externos a um Ângulo
Seja o ângulo AÔB
• Os pontos C, D e E são alguns dos pontos
internos ao ângulo AÔB.
G B
• Os pontos F, G, H e I são alguns dos pontos
F C externos ao ângulo AÔB.
O D
E
H
I
A
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Departamento Regional do Espírito Santo 15

14. Espírito Santo
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Medida de uma ângulo
Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado
transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo AÔB
da figura mede 40 graus.
Indicação:
m (AÔB) = 40º
A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda.
1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60’)
1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1’ = 60”)
Simbolicamente:
• Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40’
• Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é
indicado por 12º 20’ 45”.
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16 Companhia Siderúrgica de Tubarão

15. Espírito Santo
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Exercícios
1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo
transferidor:
a) m (AÔB) = a) m (AÔB) =
b) m (AÔB) = b) m (AÔB) =
c) m (AÔB) = c) m (AÔB) =
d) m (AÔB) = d) m (AÔB) =
Operações com medidas de ângulos
Adição
1) Observe os exemplos:
17º 15’ 10”
17º 15’ 10” + 30º 20’ 40” + 30º 20’ 40”
47º 35’ 50”
2)
13º 40’
+ 30º 45’
13º 40’ + 30º 45’ 43º 85’
+ 1º 25’
44º 25’
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Departamento Regional do Espírito Santo 17

16. Espírito Santo
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Exercícios
1) Calcule as somas:
a) 49º + 65º = e) 23º 35’ + 12º 45’ =
b) 12º 25’ + 40º 13’ = f) 35º 10’ 50” + 10º 25’ 20” =
c) 28º 12’ + 52º 40’ = g) 31º 45’ 50” + 13º 20’ 40” =
d) 25º 40’ + 16º 50’ = h) 3º 24’ 9” + 37º 20’ 40” =
Subtração
Observe os exemplos:
1) 2)
58º 40’ - 17º 10’ 80º - 42º 30’
58º 40’ 79º 60’
- 17º 10’ - 42º 30’
41º 30’ 37º 30’
Exercícios
1) Calcule as diferenças:
a) 42º - 17º = a) 90º - 54º 20’ =
b) 48º 50’ = 27º 10’ = b) 120º - 50º 20’ =
c) 12º 35’ - 13º 15’ = c) 52º 30’ = 20º 50’ =
d) 30º - 18º 10’ = d) 39º 1’ - 10º 15’ =
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18 Companhia Siderúrgica de Tubarão

17. Espírito Santo
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Multiplicação de um ângulo por um número
Observe os exemplos:
1) 2)
17º 15’ x 2 24º 20’ x 3
17º 15’ 24º 20’
x 2 x 3
34º 30’ 72º 60’
1º
73º
Nota: “Não há multiplicação entre ângulos.” 90º x 90º = ?
Exercícios
1) Calcule os produtos:
a) 25º 10’ x 3 = a) 28º 30’ x 2 =
b) 44º 20’ x 2 = b) 12º 40’ x 3 =
c) 35º 10’ x 4 = c) 15º 30’ x 3 =
d) 16º 20’ x 3 = d) 14º 20’ x 5 =
Divisão de um ângulo por um número
Observe os exemplos:
36º 30’ ÷ 3 39º 20’ ÷ 4
36º 30’ 3 39º 20’ 4
0 0 12º 10’ 3º 180’ 9º 50’
200’
00
Nota: “Não há divisão entre ângulos.” 90º ÷ 20º = ?
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 19

18. Espírito Santo
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Exercícios
1) Calcule os quocientes:
a) 48º 20’ ÷ 4 = a) 55º ÷ 2 =
b) 45º 30’ ÷ 3 = b) 90º ÷ 4 =
c) 75º 50’ ÷ 5 = c) 22º 40’ ÷ 5 =
2) Calcule:
2 3
a) de 45º = a) de 48º 20’ =
3 4
5 3
b) de 84º = b) de 15º 20’ =
7 2
Ângulos Congruentes
Dois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais.
B
C
O 30º
30º
O
A D
Indicação: AÔB ≅ (significa: AÔB é congruente a CÔD)
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20 Companhia Siderúrgica de Tubarão

19. Espírito Santo
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Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do
ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
A
O
M
B
Se AÔM ≅ MÔB, então OM é bissetriz de AÔB.
Exercícios
1) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do
ângulo dado.
a) b)
A A
4X + 5º 3X
O X + 20º
O
37º M M
B B
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 21

20. Espírito Santo
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2) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do
ângulo dado.
a) b)
A
3X
C
O 5X - 20º
M x
- 5º
2
B
A
B
35º
O
Ângulos Reto, Agudo e Obtuso
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas
medidas:
• Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º.
• Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º.
• Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º.
ÂNGULO RETO ÂNGULO AGUDO ÂNGULO OBTUSO
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22 Companhia Siderúrgica de Tubarão

21. Espírito Santo
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Retas Perpendiculares
Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos,
dizemos que elas são perpendiculares.
Indicação: r ⊥ s
Significa: r perpendicular a s.
Ângulos Complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas
medidas é 90º.
A
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
B
O C
Exemplos:
• 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º
• 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 23

22. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um
ângulo (medido em graus):
a) 2x = 90º e) 4 (x + 3º) = 20º
b) 4x + 10º = 90º f) (3x - 20º) + 50º = 90º
c) 5x - 20º = 1º + 2x g) 3 (x + 1º) = 2 (x + 7º)
d) x = 2 (90º - x) h) 2x + 2 (x + 1º) = 4º + 3 (x + 2º)
2) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões:
• Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
dobro do seu complemento.
Solução:
Medida do ângulo = x
Medida do complemento do ângulo = 90º - x
x = 2 ( 90º - x )
Resolvendo a equação: x = 2 (90º - x)
x = 180º - 2x
x + 2x = 180º
3x = 180º
x = 60º
Resposta: 60º
a) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
complemento. Quanto mede esse ângulo ?
b) A medida de um é a metade da medida do seu
complemento. Calcule a medida desse ângulo.
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24 Companhia Siderúrgica de Tubarão

23. Espírito Santo
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c) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
triplo de seu complemento.
d) A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu
complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo.
e) A terça partes do complemento de um ângulo mede 20º.
Qual a medida do ângulo ?
f) Dois ângulos complementares têm suas medidas
expressas em graus por 3x + 25º e 4x - 5º. Quanto
medem esses ângulos ?
Ângulos Suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas
medidas é 180º.
m (AÔB) + m (BÔC) = 180º
B
A O C
Exemplos:
• 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º
• 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 25

24. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:
a)
3x - 10º
2x - 40º
2) Calcule x:
a)
5x - 4º
3x
2x 2x - 2º
3) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a
medida do seu suplemento.
4) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
suplemento. Calcule esse ângulo.
5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu
suplemento.
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CST
26 Companhia Siderúrgica de Tubarão

25. Espírito Santo
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__
6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do
suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.
7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do
suplemento desse ângulo é 250º
2
8) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a do
3
seu suplemento.
9) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é
110º. Quanto mede o ângulo ?
Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a
dois, opostos pelo vértice.
Na figura:
∃
• â e c são opostos pelo vértice.
∃ ∃
• m e n são opostos pelo vértice.
∃
c
∃
m ∃
n
∃
a
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 27

26. Espírito Santo
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Teorema
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Prova:
Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice.
∃ ∃
( 1 ) m ( a ) + m ( c ) = 180º
∃ ∃
( 2 ) m ( b ) + m ( c ) = 180º
Comparando ( 1 ) e ( 2 ) :
∃ ∃ ∃ ∃
m (a ) + m ( c ) = m (b) + m ( c )
∃
m (a) = ∃
m (b)
∃ ∃
Se a e b têm a mesma medida, eles são congruentes.
Exercícios:
1) Se x = 50º, determine y, m e n:
m
x y
n
2) Calcule os ângulos x, y, z e w da figura:
100º
y w
x 18º
z
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CST
28 Companhia Siderúrgica de Tubarão

27. Espírito Santo
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3) Calcule os ângulos x, y e z das figuras:
y
x 80º
z y 60º 130º
z x
4) Observe o exemplo abaixo e determine o valor de x nas
seguintes questões:
Solução:
5x - 70º = 2x + 20º
5x - 70º 2x + 20º 5x - 2x = 20º + 70º
3x = 90º
x = 30º
a) b)
3x + 10º
x + 70º
2x
x + 50º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 29

28. Espírito Santo
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c) d)
5 (x - 3º)
x x
+ 1º + 6º
2 3
4 (x - 3º)
Ângulos formados por duas retas paralelas e uma
transversal
Duas retas r e s, interceptadas pela transversal t, formam oito
ângulos.
t
2
A 1
r
3
4
6
B 5
s
7
8
Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são
assim denominados:
∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃
• Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7
∃ ∃ ∃ ∃
• Colaterais internos: 4 e 5, 3 e 6
∃ ∃ ∃ ∃
• Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7
∃ ∃ ∃ ∃
• Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5
∃ ∃ ∃ ∃
• Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8
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CST
30 Companhia Siderúrgica de Tubarão

29. Espírito Santo
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Propriedades
Considere duas retas paralelas e uma transversal.
t
r
s
Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que
são válidas as seguintes propriedades:
• Os ângulos correspondentes são congruentes.
• Os ângulos alternos externos são congruentes.
• Os ângulos alternos internos são congruentes.
• Os ângulos colaterais externos são suplementares.
• Os ângulos colaterais internos são suplementares.
Exercícios
a)
t
2x
r
3x - 20º
s
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 31

30. Espírito Santo
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b)
t
r
3x - 15º
x - 55º
s
c)
t
2x
r
s
3x - 50º
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CST
32 Companhia Siderúrgica de Tubarão

31. Espírito Santo
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Triângulos
Conceito
Triângulo é um polígono de três lados.
A
B C
Na figura acima:
• Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
• Os segmentos AB , BC e CA são os lados do triângulo.
∃ ∃ ∃
• Os ângulos A , B e C são ângulos internos do triângulos.
Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por ∆ ABC.
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 33

32. Espírito Santo
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Ângulo Externo
Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno.
A
m
C B
∃
Na figura acima m é um ângulo externo.
Perímetro
O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos
seus lados.
Perímetro ∆ ABC = AB + AC + BC
Classificação dos Triângulos
Quanto aos lados os triângulos se classificam em:
• Equilátero quando tem os três lados congruentes.
• Isósceles quando tem dois lados congruentes.
• Escaleno quando não tem lados congruentes.
A
A A
B C B C C B
EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
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CST
34 Companhia Siderúrgica de Tubarão

33. Espírito Santo
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Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em:
• Acutângulo quando tem três ângulos agudos
• Retângulo quando tem um ângulo reto.
• Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso.
R R
R
S T S T S T
ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO
Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto
chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se
hipotenusa.
A
Cateto Hipotenusa
B C
Cateto
_________________________________________________________________________________________________
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 35

34. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Determine o comprimento do lado BC , sabendo-se que o
perímetro do ∆ ABC é 48cm.
A
x 15
C 2x B
2) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento
do menor lado.
R
x+7
x
S x+3 T
3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos
ângulos:
A
A
A
100º
80º
60º 40º 45º 35º
B C C B B C
_________________________________________________________________________________________________
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CST
36 Companhia Siderúrgica de Tubarão

35. Espírito Santo
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__
4) Observe a figura e responda:
A
B C
a) Que nome recebe o lado BC ?
b) Que nome recebem os lados AB e AC ?
5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo ?
Condição de existência de um Triângulo
Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos
outros dois lados.
Exemplo:
Seja o triângulo: A
4 cm
2 cm
B 3 cm C
_________________________________________________________________________________________________
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 37

36. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das
medidas dos outros dois.
Assim: 2 < 3 + 4 ou 2 < 7
2 < 3 + 4 ou 2 < 7
2 < 3 + 4 ou 2 < 7
Para verificar a citada propriedade, procure construir um
triângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e 2 cm.
4 cm
2 cm
A 7 cm B
É impossível, não ? Logo não existe o triângulo cujos lados
medem 7cm, 4cm e 2cm.
Elementos notáveis de um triângulo
• Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice
ao ponto médio do lado oposto.
R R
baricentro
me
dia
na
S M T S T
Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um
ponto chamado baricentro.
_________________________________________________________________________________________________
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CST
38 Companhia Siderúrgica de Tubarão

37. Espírito Santo
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__
• Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um
ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse
ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.
R R
incentro
bis
set
riz
S T S T
P
Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um
ponto interior chamado incentro.
• Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular
traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu
prolongamento.
R R R
ortocentro
altura
altura
S T
S T
S T
Todo triângulo tem três alturas que se encontram em um ponto
chamado ortocentro.
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__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 39

38. Espírito Santo
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__
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos.
B B
80º 60º
60º
40º
30º
A C
A C
80º + 40º + 60º = 180º
30º + 60º + 90º = 180º
Note que: ∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º
Vamos à demonstração desse teorema.
Teorema
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos
internos é igual a 180º.
Prova:
consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que
∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º
A
s
^
1 ^
2
^
A
B C
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40 Companhia Siderúrgica de Tubarão

39. Espírito Santo
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a) Pelo vértice A, traçamos a reta s paralela ao lado BC .
∃ ∃ ∃
m ( 1 ) + m ( A ) + m ( 2 ) = 180º 1
Note que: ∃ ∃
m ( 1 ) ≅ m ( B ) (alternos internos) 2
∃ ∃
m ( 2 ) ≅ m ( C ) (alternos internos) 3
b) Temos que:
c) Substituindo 2 e 3 em 1, temos:
∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º
Exercícios:
1) Calcular x no triângulo abaixo:
B
80º
x 30º
A C
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Departamento Regional do Espírito Santo 41

40. Espírito Santo
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2) Calcular x no triângulo abaixo:
R
5x
45º 4x
T S
3) Calcular x no triângulo abaixo:
P
5x - 50º
x + 10º x
R Q
4) Determine a medida dos ângulos x, y e z.
a)
A
x y
60º 45º
B C
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__
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42 Companhia Siderúrgica de Tubarão

41. Espírito Santo
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__
b)
A x 35º
B
105º
C
z
y 50º
D E
c)
A
y
30º
55º x 40º
B D
C
d)
_________________________________________________________________________________________________
__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 43

42. Espírito Santo
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__
A
x
110º
r s
C
80º
B s
_________________________________________________________________________________________________
__
CST
44 Companhia Siderúrgica de Tubarão

43. Espírito Santo
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__
Teorema do ângulo externo
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à
soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.
Prova:
Consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que
∃ ∃ ∃
m ( e ) = m ( A ) + m (B )
B
e
A C
a) ∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º (pelo teorema anterior)
∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) = 180º - m ( C ) 1
b) ∃ ∃
m ( e ) + m ( C ) = 180º
∃ ∃
m ( e ) = 180º - m ( C ) 2
Igualando 1 e 2 temos:
∃ ∃ ∃
m ( e ) = m ( A ) + m (B )
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 45

44. Espírito Santo
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__
Exemplo:
Calcule o valor de x no triângulo abaixo:
A Solução
Pelo teorema do ângulo externo, temos:
4x
4x + 2x = 120º
6x = 120º
120º x = 20º
2x
B C
Resposta: x = 20º
Exercícios:
1) Calcule o valor de x nos triângulos dados:
a)
B
5x
2x 140º
A C
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CST
46 Companhia Siderúrgica de Tubarão

45. Espírito Santo
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b)
A
2x x
B C
c)
A
x
120º
C
B 140º
d)
M
120º
P x N
3x
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 47

46. Espírito Santo
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__
2) Calcule x e y:
a)
A
D
y x
135º
C
75º
B
60º
E
3) Calcule x:
a)
A
60º
C
25º
15º x
D
B
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CST
48 Companhia Siderúrgica de Tubarão

47. Espírito Santo
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b)
A
75º
C
20º 15º
x
B D
4) O perímetro do triângulo da figura é 37cm. Qual a medida
do menor lado ?
A
3x 2x + 2
B C
2x
5) Com os segmentos de medidas 8cm, 7cm e 18cm podemos
construir um triângulo ? Por quê ?
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 49

48. Espírito Santo
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6) Calcule x:
a) b)
x
2x + 10º
x
x + 10º 2x - 30º x + 5º + 15º
2
6) Calcule x:
a) b)
105º
x + 5º
110º 2x
x 50º
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CST
50 Companhia Siderúrgica de Tubarão

49. Espírito Santo
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a)
x x x
130º 70º
b)
60º
C
20º
x 30º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 51

50. Espírito Santo
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Congruência de triângulos
Intuitivamente, dois triângulos ABC e RST são congruentes se
for possível transportar um deles sobre o outro, de modo que
eles coincidam.
A A
B C B C
Definição
Dois triângulos são chamados congruentes quando os lados e
os ângulos correspondentes são congruentes.
Logo:
AB ≅ RS ∃ ∃
A ≅R
BC ≅ ST e ∃ ∃
⇔ B ≅ S
∆ ABC ≅ ∆ RST
CA ≅ TR ∃ ∃
C ≅ T
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CST
52 Companhia Siderúrgica de Tubarão

51. Espírito Santo
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__
Casos de congruência
O estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem por
finalidade estabelecer o menor número de condições para que
dois triângulos sejam congruentes.
1º CASO: L . L . L . (lado, lado, lado)
Dois triângulos que têm três lados respectivamente congruentes
são congruentes.
B F
2 cm 3 cm 2 cm 3 cm
A 4 cm C E 4 cm G
AB ≅ EF
AC ≅ EG ⇔ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
BC ≅ FG
2º CASO: L . A . L . (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formado
respectivamente congruentes são congruentes.
B F
5 cm 5 cm
30º 30º
C 6 cm A G 6 cm E
AB ≅ EF
∃ ∃ ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
A ≅E
AC ≅ EG
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 53

52. Espírito Santo
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3º CASO: A . L . A . (ângulo, lado, ângulo)
Dois triângulos que têm um lado e dois ângulos adjacentes a
esse lado respectivamente congruentes são congruentes.
B F
50º 40º 50º
A 3 cm C E 3 cm G
∃ ∃
A ≅E
AC ≅ EG ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
∃ ∃
C ≅ G
4º CASO: L . A . Ao . (lado, ângulo, ângulo oposto)
Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e um
ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são
congruentes.
B F
50º 50º
30º 30º
A 5 cm C E 5 cm G
AC ≅ EG
∃ ∃ ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
A ≅E
∃ ∃
B ≅F
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CST
54 Companhia Siderúrgica de Tubarão

53. Espírito Santo
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Exercícios
1) Cite, em cada item, o caso de congruência dos triângulos.
a)
A F
90º 4
cm
cm
3
3 cm
∆ ABC ≅ ∆ EFG
90º E G
4 cm
B C
b)
A M
cm
cm
6c
6c
5
5
m
m
∆ ABC ≅ ∆ MNP
B 3 cm C N 3 cm P
c)
F 8 cm G M
70º 40º
∆ ABC ≅ ∆ MNP
70º 40º
E N 8 cm P
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 55

54. Espírito Santo
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d)
A T
cm
6 cm
4
∆ ABC ≅ ∆ RST
50º 50º
B 6 cm C R 4 cm S
e)
A N 5 cm P
80º 35º
∆ ABC ≅ ∆ MNP
80º 35º
B 5 cm C M
f)
A G
80º 70º 12
cm
∆ ABC ≅ ∆ EFG
70º 80º
B 12 cm C E F
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CST
56 Companhia Siderúrgica de Tubarão

55. Espírito Santo
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 57

56. Espírito Santo
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Quadrilátero
Conceito
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
No quadrilátero ao lado, destacamos:
A
• vértice: A, B, C, D
• lados: AB , BC , CD e DA
∃ ∃ ∃ ∃
• ângulos internos: A , B , C e D
D
• lados opostos: AB e CD , AD e BC
∃ ∃ ∃ ∃
• ângulos opostos: A e C , B e D
B
C
Lembre-se de que um quadrilátero é convexo quando qualquer
segmento com extremidades no quadrilátero está contido nele.
B
A
A B C
D
D
C
Quadrilátero não-convexo
Quadrilátero convexo
Estudaremos apenas os quadriláteros convexos.
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CST
58 Companhia Siderúrgica de Tubarão

57. Espírito Santo
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Diagonal
O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado
diagonal.
D
Na figura, AC e BD são diagonais.
A C
B
Exercícios
1) Observe o quadrilátero e responda:
a) Quais são os lados ? M P
b) Quais são os vértices ?
c) Quais são os ângulos internos ?
d) Quais são as diagonais indicadas ?
N
O
2) Considere o quadrilátero ABCD.
a) Nomeie os dois pares de lados A B
opostos.
b) Nomeie os dois pares de ângulos
opostos. C D
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 59

58. Espírito Santo
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3) O perímetro de um quadrilátero mede 41cm. Quanto mede
cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2,
3x + 1 e 2x - 4 ?
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero
ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em
dois triângulos.
Veja:
B
A
D C
A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos
ângulos internos do quadrilátero.
Logo:
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é
180º + 180º = 360º
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CST
60 Companhia Siderúrgica de Tubarão

59. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Na figura abaixo, calcular o valor de n.
D A
2x
x
C B
2) Na figura abaixo, calcular o valor de n.
a) b)
E F E F
120º 110º 130º
60º x
x
G H
G H
3) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:
a) b)
E F R S
6x 5x 60º
3x 4x
5x
G H
T U
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 61

60. Espírito Santo
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4) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras:
a) b)
R F
x 130º z
N
120º
E
y
130º 95º
110º x
M S
G H
5) Calcule x na figura:
80º
x
40º 20º
x + 20º
6) Calcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que
x 3x
eles medem x, 2x, e .
2 2
Paralelogramos
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos
paralelos.
A C
Na figura, temos:
AB CD
AC BD
B D
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CST
62 Companhia Siderúrgica de Tubarão

61. Espírito Santo
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Tipos de Paralelogramos
• Retângulo - Possui quatro ângulos retos.
• Losango - Possui os quatro lados congruentes.
• Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos
retos.
Retângulos Losango Quadrado
Note que:
• Todo quadrado é um losango.
• Todo quadrado é um retângulo.
Teorema:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
Prova:
Seja o paralelogramo ABCD. Vamos provar que
∃ ∃ ∃ ∃
A ≅ C eB ≅D
A C
^
^ 2
1
^
4
^
3
B D
a) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos
ABD e CDB.
_________________________________________________________________________________________________
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 63

62. Espírito Santo
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b) Temos:
∃ ∃
• 1 ≅ 4 (alternos internos)
A.L.A.
• BD ≅ BD (comum) ∆ ABD ≅ ∆ CDB
∃ ∃
• 2 ≅ 3 (alternos internos)
∃
Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: A
∃
≅ C.
∃ ∃
• 1≅ 4
⇒ ∃ ∃
1+ 4 ≅ ∃ ∃
2 + 3
∃ ∃
• 2 ≅ 3
∃ ∃
Logo: B ≅ D
Exercícios:
1) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
A B
y x
50º z
D C
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CST
64 Companhia Siderúrgica de Tubarão

63. Espírito Santo
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2) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
P Q
3x - 10º
x - 50º
R S
3) Observe a figura e calcule as medidas de x, y, z e w.
110º 70º
x w
z y
70º 110º
4) Baseado nos resultados do exercício anterior, responda:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?
5) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:
a) b)
B C P Q
60º 142º
A D S R
6) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
_________________________________________________________________________________________________
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 65

64. Espírito Santo
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a) b)
R S R S
x + 70º 3x - 10º
2x + 10º 2x + 8º
T U T U
7) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
a) b)
R S R S
3x
2x + 25º 5x + 20º
T U T U
7) Calcule os valor de x, y e z nos losangos abaixo:
a) b)
R R
x + 80º
S x U S y z U
5x 2x + 20º
T T
_________________________________________________________________________________________________
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CST
66 Companhia Siderúrgica de Tubarão

65. Espírito Santo
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__
Trapézio
Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (que
são chamados de base).
A base menor B
Na figura, temos:
altura
AB CD
C base maior D
A distância entre as bases chama-se altura.
Tipos de Trapézio
• Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes.
• Retângulo - Tem dois ângulos retos.
• Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes.
E F E F E F
Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo Trapézio
Escaleno
G H G H
G H
Exercícios:
1) Num trapézio, como são chamados os lados paralelos ?
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 67

66. Espírito Santo
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2) Calcule o valor de x nas figuras:
a) b)
R S R S
2x 2x x
x x 30º
T U T U
3) Calcule o valor de x nas figuras:
a) b)
R S R S
2x x
110º
x + 30º
T U T U
4) Responda:
a) Quantos lados possui um quadrilátero ?
b) Quantos vértices possui um quadrilátero ?
c) Quantas diagonais possui um quadrilátero ?
5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um
quadrilátero?
_________________________________________________________________________________________________
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CST
68 Companhia Siderúrgica de Tubarão

67. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
6) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:
a) b)
F E F
2x 110º
x
E
150º
60º 50º x 70º
G H G H
c) d)
E F E F
x x 3x x
x 3x
2x 2x
G H
G H
7) Calcule o valor de x nos quadriláteros:
a) b)
A B E F
3x 2x
105º
80º
x 120º
C D x
H
G
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__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 69

68. Espírito Santo
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__
8) Calcule o valor de x e y nos paralelogramos:
a) b)
E F
y
x + 40º
3x + 10º
x x
y
2
G H
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__
CST
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69. Espírito Santo
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_________________________________________________________________________________________________
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 71

70. Espírito Santo
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Polígonos Convexos
Polígonos
Polígono é um conjunto de segmentos consecutivos não
colineares no qual os extremos do primeiro e do último
coincidem.
Exemplos:
Polígonos convexos Polígonos não-convexos
Assim como já vimos para os quadriláteros, dizemos que um
polígono é convexo quando qualquer segmento com
extremidades no polígono está contido nele.
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CST
72 Companhia Siderúrgica de Tubarão

71. Espírito Santo
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Elementos de um Polígono
Observe o polígono ABCDE:
• A, B, C, D, E são os vértices. B
• ∃ ∃ ∃ ∃ ∃
A , B , C , D , E são os ângulos internos. o vértice
lad
• AB , BC , CD , DE , EA são os lados. A C
E D
Nomes dos Polígonos
Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes
especiais:
nome nº de lados
triângulo ..................................................... 3
quadrilátero ................................................ 4
pentágono .................................................. 5
hexágono ................................................... 6
heptágono .................................................. 7
octógono .................................................... 8
eneágono ................................................... 9
decágono .................................................. 10
undecágono .............................................. 11
dodecágono .............................................. 12
pentadecágono ......................................... 15
icoságono .................................................. 20
• O número de lados de um polígono é igual ao número de
vértices.
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 73

72. Espírito Santo
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Exercícios
1) Quais são os polígonos convexos ?
a) b) c)
2) Responda:
a) Quantos lados tem um hexágono ?
b) Quantos lados tem um undecágono ?
c) Quantos lados tem um polígono de 15 vértices ?
d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados ?
3) Como se chama um polígono de:
a) 5 lados ?
b) 12 lados ?
c) 7 vértices ?
d) 20 vértices ?
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
A traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice de um
polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de
triângulos é sempre o número de lados menos dois.
Veja:
A
D 4 lados ⇒ 2 triângulos
2
1
B
C
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CST
74 Companhia Siderúrgica de Tubarão

73. Espírito Santo
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A
B 2 E
1
5 lados ⇒ 3 triângulos
3
C D
A
6 lado ⇒ 4 triângulos
. .
B F
1 4 . .
. .
. .
. .
2 3 . .
C . .
E
. .
. .
D n lados ⇒ ( n - 2 ) triângulos
Um polígono de n lados será dividido em (n - 2) triângulos. Logo,
para obter a soma de seus ângulos internos (Sn), basta
multiplicar o número de triângulos por 180º, ou seja:
Sn = ( n - 2 ) . 180º
Exemplo:
Calcular a soma dos ângulos internos do octógono ( n = 8 )
Solução:
Sn = ( n - 2 ) . 180º
S8 = ( 8 - 2 ) . 180º
S8 = 6 . 180º
S8 = 1080º
Resposta: 1080º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 75