Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
RETAS

2. RETAS
1
01. (Famerp 2020) Em um plano cartesiano, dois vértices de um triângulo equilátero estão sobre a reta de equação
y 2x 2.
= − O terceiro vértice desse triângulo está sobre a reta de equação y 2x 2.
= + A altura desse triângulo, na
mesma unidade de medida dos eixos cartesianos ortogonais, é igual a
a)
4 3
5
b)
3 3
4
c)
2 5
5
d)
4 5
5
e)
3
2
02. (Famema 2020) Em um plano cartesiano, seja r a reta de equação x 3y 6 0.
− + = A reta s é perpendicular à reta
r e delimita, com os eixos coordenados, no primeiro quadrante, um triângulo de área
128
3
. O ponto de interseção de
r e s tem abscissa
a)
23
5
b)
21
5
c)
18
5
d)
19
5
e)
24
5
03. (Fuvest 2019) O gráfico mostra a evolução diária, em certo intervalo de tempo não especificado na abscissa, de
dois índices econômicos, normalizados para que suas médias, no mesmo período, sejam ambas iguais a 1. O valor do
índice 1 no dia i é i
x e o valor do índice 2 no dia i é i
y . O gráfico ilustra como cada um dos índices i
x e i
y varia em
função de i, mostrando os pontos i
(i, x ) (pontos escuros) e i
(i, y ) (pontos claros).
Para entender melhor a relação entre os dois índices, um novo gráfico foi feito com os pares i i
(x , y ), isto é, com o
índice 1 na abscissa contra o índice 2 na ordenada. O resultado foi:
a) b) c) d) e)

3. RETAS
2
04. (Fgv 2018) Dados, em um plano ,
α uma reta d e um ponto F fora dela, a parábola é o lugar geométrico dos
pontos de α equidistantes de d e de F. No plano cartesiano, se F tem coordenadas (5, 7) e d tem equação y 3,
=
então, a equação da parábola associada ao ponto F e à reta d é
a) 2
y 0,25x 1,2x 8,1.
= − +
b) 2
y 0,125x 1,25x 8,125.
= − +
c) 2
y 0,25x 0,125x 8,125.
= − +
d) 2
y 1,25x 0,25x 8,25.
= − +
e) 2
y 0,225x 0,125x 8.
= − +
05. (Fgv 2018) Duas pessoas combinaram de se encontrar entre 12h00 e 13h00. Elas também combinaram de esperar
até 20 minutos pela outra pessoa depois de chegar ao local do encontro. Assumindo que os horários de chegada ao
local de encontro são uniformemente distribuídos no intervalo de uma hora, que vai das 12h00 às 13h00, a
probabilidade de que elas se encontrem no intervalo combinado é igual a
a)
1
3
b)
4
9
c)
5
9
d)
2
3
e)
5
6
06. (Unesp 2018) Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de rodagem de veículos são o concreto e o asfalto.
Uma pista nova de concreto reflete mais os raios solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com os anos de
uso, ambas tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os segmentos de retas nos
gráficos.
Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas pistas novas, uma de concreto e
outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma porcentagem de reflexão dos raios solares após
a) 8,225 anos
b) 9,375 anos
c) 10,025 anos
d) 10,175 anos
e) 9,625 anos

4. RETAS
3
07. (Fgv 2018) Sejam m e n números reais e
3x my n
x 2y 1
+ =


+ =

um sistema de equações nas incógnitas x e y. A respeito
da representação geométrica desse sistema no plano cartesiano, é correto afirmar que, necessariamente, é formada
por duas retas
a) paralelas distintas, se m 6
= e n 3.
≠
b) paralelas coincidentes, se m 6
= e n 3.
≠
c) paralelas distintas, se m 6.
=
d) paralelas coincidentes, se n 3.
=
e) concorrentes, se m 0.
≠
08. (Insper 2018) Um retângulo ABCD possui vértices A(17, 158),
− B(2017, 242) e D(19, y). Na impossibilidade de
esboçar os vértices desse retângulo por meio de um desenho em escala, Joana resolveu colocar os dados disponíveis
em um programa de computador, que exibiu a seguinte imagem.
Como a imagem não permitiu a visualização do ponto D, Joana usou seus conhecimentos de geometria analítica e
calculou, corretamente, a ordenada de D, igual a
a) 172.
− b) 168.
− c) 326.
− d) 196.
− e) 224.
−
09. (Insper 2018) A região colorida do gráfico representa a zona térmica de conforto, levando-se em consideração a
temperatura (em C
° e F)
° e a umidade relativa do ar. Sabe-se que 0 C
° corresponde a 32 F
° e que 100 C
°
correspondem a 212 F.
°
Sendo x a umidade relativa do ar em porcentagem e y a temperatura em F,
° a representação gráfica da zona de
conforto pode ser expressa por todos os pares ordenados (x, y) tais que 20 x 60
≤ ≤ e
a) 75 y 0,05x 81.
≤ + ≤
b) 74,4 y 0,05x 81,5.
≤ − ≤
c) 75 y 0,02x 81.
≤ − ≤
d) 74,5 y 0,02x 81,5.
≤ + ≤
e) 75 y 0,05x 81.
≤ − ≤

5. RETAS
4
10. (Mackenzie 2017) A equação da mediatriz do segmento que une os pontos P (1, 2)
= − e Q (5, 4)
= é
a) 2x 3y 9 0
+ − =
b) 2x 3y 9 0
− + =
c) 2x 3y 3 0
− − =
d) 3x 2y 7 0
− − =
e) 3x 2y 11 0
+ − =
11. (Espm 2017) Os pontos do plano cartesiano que atendem às condições 0 x 4, 0 y 3
≤ ≤ ≤ ≤ e x y 2
+ ≥
simultaneamente, formam uma figura plana cuja área é igual a
a) 14
b) 16
c) 12
d) 10
e) 8
12. (Fgv 2017) Os pontos A(0,1), B(1,1), C(1, 0) e D( k, k),
− − com k 0,
> formam o quadrilátero convexo ABCD, com
eixo de simetria sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares.
O valor de k para que o quadrilátero ABCD seja dividido em dois polígonos de mesma área pelo eixo y é igual a
a)
2 5
.
4
+
b)
3 2
.
4
+
c)
1 2
.
2
+
d)
1 3
.
2
+
e)
1 5
.
2
+
13. (Famema 2017) Em um plano cartesiano, a parábola 2
y x 4x 5
=
− + + e a reta y x 5
= + se intersectam nos pontos
P e Q. A distância entre esses dois pontos é
a) 2 3
b) 2
c) 3
d) 3 2
e) 4

6. RETAS
5
14. (Fgv 2017) Os pares (x, y) dados abaixo pertencem a uma reta (r) do plano cartesiano:
x 4
− 2
− 0 2 4
y 24
− 14
− 4
− 6 16
Podemos afirmar que
a) a reta (r) intercepta o eixo das abscissas no ponto de abscissa 4.
−
b) o coeficiente angular da reta (r) é 5.
−
c) a reta (r) determina com os eixos cartesianos um triângulo de área 1,6.
d) y será positivo se, e somente se,
4
x .
5
−
>
e) A reta (r) intercepta o eixo das ordenadas no ponto de abscissa
4
.
5
15. (Espm 2016) A figura abaixo mostra a planta de um terreno retangular de vértices A, B, C e D, representada no
plano cartesiano. A altitude h (em metros) de cada ponto (x, y) desse terreno, em relação a um plano horizontal
adotado como referência, pode ser obtida pela função
(x 2) (40 y)
h .
80
+ ⋅ −
=
A maior altitude que um ponto localizado sobre a diagonal AC poderá ter é igual a
a) 1,70 m
b) 1,85 m
c) 1,90 m
d) 1,75 m
e) 1,80 m

7. RETAS
6
16. (Fac. Albert Einstein 2016) A figura abaixo ilustra as localizações de um Posto de Saúde (P) e de um trecho retilíneo
de uma rodovia (AB) em um plano cartesiano ortogonal, na escala 1: 200.
Pretende-se construir uma estrada ligando o Posto à rodovia, de modo que a distância entre eles seja a menor possível.
Se a unidade de medida real é o metro, a distância entre o Posto e a rodovia deverá ser igual a
a) 600 m b) 800 m c) 2 km d) 4 km
17. (Fgv 2016) O ponto da reta x 3y 5
− =
que é mais próximo ao ponto (1
, 3) tem coordenadas cuja soma é
a) 1,6
b) 1,2
c) 1,0
d) 1,4
e) 0,8
18. (Espm 2015) O gráfico abaixo é formado por 3 segmentos de retas consecutivos.
Sabe-se que:
I. A reta que contém o segmento AB tem coeficiente linear igual a 4
II. O coeficiente angular do segmento BC vale metade do coeficiente angular do segmento AB
III. A ordenada do ponto D é
2
3 da ordenada do ponto C
IV. O coeficiente angular do segmento CD é igual a 1
−
Podemos concluir que a abscissa do ponto D vale
a) 17 b) 19 c) 15 d) 18 e) 16

8. RETAS
7
19. (Fuvest 2014) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A (0, 0), B (3, 4)
= = e C (8, 0).
= O
retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre
o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P
é
a)
16
4,
5
 
 
 
b)
17
,3
4
 
 
 
c)
12
5,
5
 
 
 
d)
11
,2
2
 
 
 
e)
8
6,
5
 
 
 
20. (Insper 2014) No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os
pontos A (8, 2) e B (3, 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinação 45°, representa uma estrada que será
construída.
Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada
intercepta a existente, deverá ter coordenadas
a)
1
, 0 .
2
 
 
 
b) ( )
1, 0 .
c)
3
, 0 .
2
 
 
 
d) ( )
2, 0 .
e)
5
, 0 .
2
 
 
 
21. (Insper 2014) Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulo determinado pelos eixos coordenados e pela
reta de equação 12x + 5y = 60. A medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é igual a
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

9. RETAS
8
22. (Fgv 2014) Os pontos ( )
A 3, 2
− e ( )
C 1,4
− do plano cartesiano são vértices de um quadrado ABCD cujas diagonais
são AC e BD. A reta suporte da diagonal BD intercepta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada
a) 2/3
b) 3/5
c) 1/2
d) 1/3
e) 0
23. (Unicamp 2014) No plano cartesiano, a reta de equação 2x 3y 12
− = intercepta os eixos coordenados nos pontos
A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas
a)
4
4, .
3
 
 
 
b) (3, 2)
c)
4
4, .
3
 
−
 
 
d) (3, 2).
−
24. (Insper 2014) A figura mostra um tabuleiro de um jogo Batalha Naval, em que André representou três navios nas
posições dadas pelas coordenadas B2, B14 e M3. Cada navio está identificado por um quadrado sombreado.
André deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujo centro fique equidistante dos centros dos três
quadrados onde foram posicionados os navios. Para isso, a base deverá estar localizada no quadrado de coordenadas
a) G8
b) G9
c) H8
d) H9
e) H10

10. RETAS
9
25. (Mackenzie 2014) Na figura abaixo, a área, em 2
cm , do triângulo ORV é
a)
50
3
b)
25
3
c)
10
3
d)
2
3
e)
1
3
26. (Espm 2014) Os pontos O(0, 0), P(x, 2) e Q(1, x 1)
+ do plano cartesiano são distintos e colineares. A área do
quadrado de diagonal PQ vale
a) 12
b) 16
c) 25
d) 4
e) 9
27. (Espm 2013) Seja A = (4, 2) um ponto do plano cartesiano e sejam B e C os simétricos de A em relação aos eixos
coordenados. A equação da reta que passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C é
a) 2x – y = 6
b) x – 2y = 0
c) x − y = 2
d) x + 2y = 8
e) x + y = 6
28. (Fgv 2013) No plano cartesiano, considere o triângulo de vértices ( ) ( ) ( )
A 1,4 , B 4,5 e C 6,2 . A reta suporte da
altura relativa ao lado AC intercepta o eixo x no ponto de abscissa
a) 2
b) 2,2
c) 2,4
d) 2,6
e) 2,8

11. RETAS
10
29. (Fgv 2013) O conjunto S contém apenas pontos (x, y) do plano cartesiano ortogonal de origem (0, 0). Se um
ponto qualquer P pertence a S, então também pertencem a S o seu simétrico em relação à reta y x,
= o seu simétrico
em relação ao eixo x e o seu simétrico em relação ao eixo y. Se os pontos (0, 0), (2, 0), (0, 3) e (2, 3) pertencem a S, o
menor número de elementos que o conjunto S pode ter é
a) 7
b) 8
c) 13
d) 16
e) 17
30. (Espm 2013) A figura abaixo representa os gráficos das funções ( ) 2
f x x 1
= + e ( ) x
g x 2 .
=
A área do quadrilátero ABCD é igual a
a) 2,0
b) 1,5
c) 0,5
d) 2,5
e) 1,0
31. (Fgv 2013) No plano cartesiano, há duas retas paralelas à reta de equação 3x 4y 60 0
+ + =
e que tangenciam a
circunferência 2 2
x y 4.
+ =Uma delas intercepta o eixo y no ponto de ordenada
a) 2,9
b) 2,8
c) 2,7
d) 2,6
e) 2,5
32. (Unicamp 2012) A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é
a)
21
4
b)
23
4
c)
25
4
d)
27
4

12. RETAS
11
33. (Mackenzie 2012) Na figura, as retas r e s são paralelas.
Se (x,y) é um ponto de s, então x – y vale
a) 2
b) 2
c) 4
d) 2 2
e) 4 2
34. (Insper 2012) Na malha quadriculada 40 60
× esquematizada na figura a seguir, estão marcados os pontos P, Q, R
e S.
A reta PQ


intercepta a reta RS


em um ponto que pertence ao interior de um dos quadrados sombreados. Esse
quadrado está identificado pela letra
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E

13. RETAS
12
35. (Espm 2012) Dado, no plano cartesiano, o triângulo de vértices A(0, 0), B(–2, 3) e C(4, 5), a equação da reta suporte
da altura relativa ao vértice A será
a) y = –2x
b) y = –3x
c) y = 2x
d) y = –4x
e) y = 5x
36. (Fgv 2012) Considere a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem simultaneamente as inequações:
x 2y 6
x y 4
x 0
y 0
+ ≤

 + ≤


≥

 ≥

A área dessa região é
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
37. (Insper 2012) No plano cartesiano, as retas r e s têm coeficientes angulares iguais a
1
3
e 2, respectivamente, e a
reta t tem equação y k,
= sendo k uma constante positiva.
Se a área do triângulo destacado na figura é A, então o valor de k é
a)
4A
.
5
b)
6A
.
5
c)
5A
.
4
d)
7A
.
4
e)
3A
.
2

14. RETAS
13
38. (Insper 2011) No plano cartesiano, A,B, C,D,E e F são vértices consecutivos de um hexágono regular de lados
medindo 2. O lado BC está contido no eixo das abscissas e o vértice A pertence ao eixo das ordenadas. Sendo P e
Q os pontos onde a reta DE


intersecta o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, respectivamente, a distância
entre P e Q é igual a
a) 4.
b) 4 3.
c) 6 3.
d) 10.
e) 10 3.
39. (Espm 2011) Sobre um segmento de reta de extremidades A (−9, 1) e B (6, −9) são marcados alguns pontos que o
dividem em n partes iguais. Um desses pontos pertence ao eixo das ordenadas. O número n pode ser igual a
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
40. (Unicamp simulado 2011) No desenho abaixo, que não está em escala, a reta y = 3x é perpendicular à reta que
passa pelo ponto (2,0). O ponto de interseção dessas retas é A.
A equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x é dada por
a)
2 2
1 3 3
x – y – .
5 5 5
   
+ =
   
   
b)
2 2
3 1 1
x – y – .
5 5 5
   
+ =
   
   
c)
2 2
1 3 9
x – y – .
5 5 25
   
+ =
   
   
d)
2 2
3 1 1
x – y – .
5 5 25
   
+ =
   
   

15. RETAS
14
GABARITO
1 - D 2 -B 3 - B 4 - B 5 - C
6 - B 7 - A 8 - B 9 - A 10 - A
11 - D 12 - E 13 - D 14 - C 15 - E
16 - D 17 - D 18 - A 19 - D 20 - C
21 - B 22 - D 23 - D 24 - A 25 - A
26 - E 27 - A 28 - A 29 - E 30 - B
31 - E 32 - C 33 - C 34 - D 35 - B
36 - B 37 - A 38 - D 39 - D 40 - C