[1] O documento apresenta os cálculos elétricos e térmicos para dimensionamento de uma subestação de 138/13,8 kV com 2 transformadores de 15 MVA. [2] Inclui cálculo de correntes nominais, curto-circuito, seções condutoras, esforços térmicos e dinâmicos. [3] Tem gráficos e tabelas para determinar fatores térmicos de transformadores de corrente e capacidade de cabos.

1. 912 - EFTERMDIN
Dimensionamento Térmico e Dinâmico da SE
Subestação de 138/13,8 kV - 2 x 15 MVA
1 CARACTERÍSTICA DA INSTALAÇÃO
1.1 Diagrama Unifilar
FIG 1 DIAGRAMA UNIFILAR
1.2 Cálculos Elétricos em Regime Permanente
1.2.1 Correntes Nominais
U nmax = 138 + 2 x 2,5% = 144,9 kV
U nmin = 138 - 2 x 2,5% = 131,1 kV
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2. 912 - EFTERMDIN
2 x 15000
In = = 125,6 (A)
3 . 138
2 x 15000
Inmax = = 132,2 (A)
3 . 131,1
1.2.2 Corrente Nominal dos Transformadores
Em 138 kV
125,6
In1 = In2 = = 62,8 (kA)
2
132,2
In1max = I n2max = = 66,1 (kA)
2
15000
Em 13,8 kV = 628 (A)
3 . 13,8
2 CÁCULO DE CURTO CIRCUITO
A potência de curto-circuito trifásica na entrada da subestação é conhecida, sendo
igual a 5 (GVA).
2.1 Cálculo da Impedância (Reatância) Equivalente do Sistema:
5000 V2
Vamos adotar SB = 100 (MVA), assim : SK= = 50 (pu), considerando que : Sk=
100 Z
V2 1
Zk= ou , Zk= = 0,02 (pu)
Sk 50
2.2 Impedância dos Transformadores:
Devemos transportar a reatância dos transformadores para a base desejada:
X 1t = 8,175 x 100 = 54,5% X 1t = 0,545 (pu)
15
2.3 Diagrama das Impedâncias:
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3. 912 - EFTERMDIN
0,02 (pu)
0,2925(pu)
0,545 (pu) 0,545(pu)
FIG 2 DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS
2.4 Cálculo das Correntes:
2.4.1 Cálculo das correntes no barramento de 138 kV.
Sabemos que no caso em estudo a fonte geradora está situada bastante longe da
subestação sendo, portanto, um caso em que podemos considerar:
I”k = I’k = IK
Consequentemente Sk”= S’k = Sk = 5000 (MVA)
5000
I”K = I’k = IK = = 20,9 (kA)
&
3 . 138
Devemos determinar ainda o valor da corrente de impulso no barramento de 138 kV.
IS =x . 2 . I”K (kA)
Vamos adotar x = 1,8 (Fator de Assimetria)
IS = 1,8 x 2 x 20,9 = 52,25 (kA)
Desta forma podemos resumir os valores de curto circuito na barra de 138 kV como
indicado a seguir:
2.4.2 Cálculo das correntes no barramento de 13,8 kV (3∅).
Já calculamos o valor da reatância até a barra de 13,8 kV.
S”k = S’k = Sk = P B
=
100
= 341,88 (MVA)
X eq 0,2925
Corrente inicial de curto circuito:
Sk 341,88 x 103
Ik” = = = 14,30 (kA)
3 . Un 3 . 13,8
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4. 912 - EFTERMDIN
Neste caso podemos adotar:
I”K = I’k = Ik = 14,30 (kA)
Cálculo da Corrente de impulso:
IS = x . 2 . I”K Vamos adotar x = 1,8
IS = 1,8 . 2 . 14,30 = 35,75 (kA)
IS = 35,75 (kA)
Resumindo os valores das correntes de curto-circuito na barra de 13,8 kV, teremos:
Ik” = 14,30 kA S”k = 341,88 MVA
I’k = 14,30 kA S’k = 341,88 MVA
Ik=14,30 kA Sk = 341,88 MVA
Is = 35,75
3 CÁLCULO DOS EFEITOS TÉRMICOS E DINÂMICOS
3.1 Esforços Térmicos:
Os aparelhos e condutores de uma determinada instalação, quando submetidos a um
curto-circuito, são solicitados termicamente.
A principal característica do aquecimento dos condutores durante um curto-circuito
deve-se o fato do aquecimento, ser muito rápido não havendo possibilidade de troca de
calor com o ambiente, colocando em risco toda a instalação.
Na determinação dos esforços térmicos consideramos um valor médio de corrente, que
é a corrente atuante sob ponto de vista térmico.
Esta corrente média (corrente de curto-circuito média) é dada por:
Ikm = I”k. m + n
I”k.= Corrente de curto-circuito subtransitória
m = Fator que leva em consideração a componente de corrente contínua.
n = Fator que leva em consideração a componente de corrente alternada.
Os valores de m e n são obtidos a partir dos gráficos mostrados nas figuras (3) e (4).
Os valores de m e n são determinados em função dos seguintes elementos:
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5. 912 - EFTERMDIN
 x = Fator de impulso 
m  
 t = tempo de desconexão (t = 0,60 [seg]) 
FIG 3
FIG 4
 t = tempo de desconexao (t = 0,60 [seg]) 
n  Ik "



 = rel. da corrente de curto - circuito subtransit oria para a permanente .
 Ik 
Para curto circuito distante do gerador, devido ao fato da corrente se manter
praticamente constante pode-se adotar I”k = I’k = Ik= Ikm
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6. 912 - EFTERMDIN
A seção pode ser obtida por meio de gráficos ou a partir da equação abaixo, na qual os
gráficos estão baseados:
Ikm . 1000 t
A= [mm2]
C. ρD
4,184 Ln {1 + α (t max - t1)}
ρ r .α
Onde:
A= Seção condutora procurada [mm2]
Ikm = Corrente curto-ciruito permanente em (kA)
t= Tempo de desconexão em (seg)
C= Calor específico para cobre: 0,0925 (cal gr -1 ºC -1)
para alumínio: (0,217 cal gr -1 ºC -1)
ρD = densidade para: 8,9 (gr. com -3)
para alumínio: 2,7 (gr . cm -3)
ρr = Resistividade em Ω.mm2 . m -1 a uma temperatura t 1 º C
sendo: ρr = ρ20 [1 + α (t1 - 20])
ρ20 = Resistividade a 20º C α = 0,004
para cobre: 0,0178 ( Ω.mm2 m -1)
para alumínio : 0,0286 ( Ω.mm2 m -1) t1 = Temperatura inicial em º C.
t max = Temperatura max º C
As figuras de 5 a 15 mostram os gráficos para determinação da seção dos diversos
condutores baseados na expressão acima.
b) Determinação da seção térmica:
Vamos utilizar cabos de cobre nú para o barramento de 138 kV da subestação.
Podemos calcular pela expressão simplificada:
A = 7,0 x Ik x t (mm2)
A = 7,0 x 20,9 x 0,6 = 113 (mm2)
Consideramos t1 = 50º C e t max = 200ºC
O cabo deverá ter uma seção maior ou no minimo igual ao valor acima.
o cabo adotado tem as seguintes características:
Bitola: 120 (mm2)
A: 120 (mm2)
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7. 912 - EFTERMDIN
Diâmetro: 14,50 (mm)
Peso específico: 1.138 (Kg / Km)
Ampacidade em Amperes = 503 (A) calculados para um aumento na temperatura
do condutor de 40º C, acima da temperatura ambiente considerada igual a 40ºC, com
vento transversal de 0,61(m/seg) e uma emissividade de 0,5 sem sol.
3.2 Transformadores de Corrente:
Os transformadores de corrente devem suportar os esforços térmicos provenientes da
corrente de curto-circuito.
Assim precisamos o fator térmico dos transformadores de corrente.
Sabemos que a corrente térmica (corrente de curto-circuito permanente tem o seguinte
valor:
IKm = 20,9 (kA)
Deveremos ter os seguintes fatores térmicos:
In = 100A → I th = 200 In → I th = 20 kA
In = 150A → I th = 140 In → I th = 21 kA
In = 200A → I th = 100 In → I th = 20 kA
In = 300A → I th = 70 In → I th = 21 kA
ou podemos elaborar a seguinte tabela:
Ith = ( ) In
GVA I n=100 (A) I n=150 (A) I n=300 (A)
2 84 56 25
3 125 84 42
4 167 112 56
5 209 140 70
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8. 912 - EFTERMDIN
Característica dos Tc’s
Barramento de 13,8 kV
A saída em 13,8 kV dos transformadores será feita através de cabos isolados
monofásicos.
Na escolha deste cabo devemos considerar:
- Classe de tensão: 15 kV
- Tempo de desligamento: 0,60 seg
- Corrente permanente de curto-circuito = 14,30 (kA)
S = 9,0 x IK x t (mm2) (t1 = 50º C)
S = 9,0 x14,30 x 0,6 = 99,5 (mm2) (tmax = 140º C)
Da tabela de cabos escolhemos um cabo de 120 (mm2) que dependendo do tipo de
instalação que pretendemos fazer tem as seguintes ampacidades:
a) Instalação em bandejas:
a1) 3 cabos unipolares em plano, 450 (A)
a2) 3 cabos unipolares em trifólio, 411(A)
a3) 1 cabo tripolar, 380 (A)
b)Instalação em canaletas:
b1) 3 cabos unipolares em plano,382 (A)
b2) 3 cabos unipolares em trifólio, 355 (A)
b3) 1 cabo tripolar, 340 (A)
c)Instalação em eletrodutos:
c1) 1 cabo unipolar por eletroduto em plano, 396 (A)
c2) 3 cabos unipolares em trifólio, 344 (A)
c3) 1 cabo tripolar, 313 (A)
conclui-se que o cabo com uma seção S= 120 (mm2), pode conduzir no máximo 450
(A), valor abaixo da corrente nominal do circuito, devemos adotar uma seção condutora
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9. 912 - EFTERMDIN
maior, uma vez que a corrente nominal do transformador é de 628 (A),
consequentemente, adotamos o seguinte cabo:
- Bitola: 300 (mm2)
- Capacidade de Condução: 636,0 (A)
- 3 cabos monofásicos, em uma canaleta em plano.
3.3 Esforços Dinâmicos
Devemos verificar os valores dos esforços mecânicos nos diversos condutores que
compõem o barramento da subestação.
As expressões a seguir se destinam a condutores rigidos, tais como tubo. Para cabos
os esforços são determinados através de gráficos (tridimensionais).
A força atuante em dois condutores é dada por:
l
FL = 2,04 x 10 –2 x (Is )2 x [Kgf]
a
Esta força é considerada como uniformemente distribuída ao longo dos pontos de
apoio.
a
a
l
Fig 16 Disposição do barramento
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10. 912 - EFTERMDIN
Esta força atua em todos os pontos da instalação devemos a instalação suportar os
esforços, para um determinado condutor cuja seção é determinada a partir do esforço
térmico, podemos determinar o espaçamento máximo entre os pontos de apoio.
No caso dos condutores principais serem formados pela reunião de vários condutores
então devemos considerar ainda os esforços provenientes das correntes que circulam
pelos condutores de cada fase.
at
A lt A’
CORTE AA’
Figura 17 - Disposição do Barramento
lt.(is ) 2
Ft = 2,04 x 10 -2 [kgf]
t 2 .at
Onde t é o número de barras que compõem cada fase.
A estas duas forças corresponderão duas tensões de trabalho.
Esforços nos Condutores Principais (Fases)
Fh . l 1,7 . 10 -3. i s2 . 2  Kgf 
σh = vó . = vó l  
12 . W aW  cm2 
vó = Fator de freqüência para corrente alternada trifásica. vó . ≤ 1, inicialmente vó .=
1,0.
W= Momento resistente do condutor em (cm3).
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11. 912 - EFTERMDIN
Esforço nas Barras de Cada Fase
Neste caso, a tensão será dada por:
Ft . lt 1,7 .10-3. Is2 . ( l t ) 2
σh = vó . = vó . 2
[Kgf/ cm2]
12 . Wt at x Wt x t
Para corrente alternada trifásica teremos: vó .= 1,0.
Esforço Permissível
O esforço permissível nos condutores não deve exceder de:
σh + σt ≤ 2 x σ 0,2
σ 0,2 = Valor mínimo do yield point em kgf/ cm2
Para barramentos compostos por uma única barra o esforço permissível é de: σt ≤ 2 x
σ 0,2
Cálculo do comprimento máximo admissível para tubos de cobre usados em 138 kV.
Vamos utilizar na interligação entre os equipamentos tubos de cobre, fazendo uma
conexão rígida entre os equipamentos.
Tubo de Cobre utilizado:
De acordo com o esforço térmico devemos utilizar um tubo cuja seção deve ser no
mínimo igual a: S = 113 (mm2)
Vamos encontrar um tubo com as seguintes características:
- Diâmetro externo: d: = 20 (mm)
- Espessura da parede: s = 3 (mm)
- Seção do Tubo: 160 (mm2)
- Diâmetro interno: 14 (mm)
- Corrente Nominal: In = 500A
- Momento Resistente: W = 0,60 (cm3)
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12. 912 - EFTERMDIN
σ 0,2 = (E - CuF25) = 2000 (Kgf/cm2)
Cálculo da Força entre Condutores
l
Fh = 2,04 x 10 -2 x i s
2
(Kgf)
a
Onde:
l = distância entre apoios (cm)
a = distância entre condutores (cm)
ou a tensão:
Fh x l
σh=
12 W
Para o comprimento máximo σh = 2 x σ 0,2
Daí concluímos: σh = 4000 [Kgf/ cm2]
l l
σh = 2,04 x 10-2 x i s x
2
a 12W
Vamos considerar inicialmente como 3,0 (m) o valor da distância entre fases.
l2
4000 = σh = 2,04 x 10-2 x (52,25)2 x
12 x 300 x 0,60
4000 x12 x300 x0,60 x10−2
l =
2,04 x(52,25) 2
l ≅ 3,60 [m] = 360 (cm)
Normalmente usamos até l = 4,00m
Cálculo do comprimento máximo dos tubos de 13,8 kV
Estes tubos farão a conexão entre os bornes do transformador e a mufla terminal.
Sendo escolhido o seguinte tubo:
S = 273 (mm2)
Diâmetro externo = 32 (mm)
Espessura da parede = 3 (mm)
Diâmetro interno = 26 (mm)
In = 800A
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13. 912 - EFTERMDIN
W = 1,82 (cm3)
σ 0,2 = 2000 Kgf/ cm2
σh = 4000 Kgf/ cm2 (2 x σ 0,2)
IS = 35,75 (kA)
a = 30 (cm) (distância entre fases, tirada do próprio transformador, buchas de média
tensão)
l 2 l
σ h = 2,04 x 10-2 x is . (Kgf/ cm2)
a 12W
l2 2
IS
σh = 2,04 x 10-2 x . (Kgf/ cm2)
a 12 W
σ h . a .12 . w
l = 2
2,04 x 10 -2 x I s
4000 x 30 x 12 x 1,82
l = (m)
2,04 x 10-2 x (35,75) 2
l ≅ 2,60 [m]
Poderíamos usar ainda, barras de cobre com as seguintes
características:
10
Y
F
40 (mm)
Y’
300 300
FIG 18 CONFIGURAÇÃO DO BARRAMENTO
Dados básicos :
S = 400 (mm2) ,
In = 760 (A)
Wy= 0,667 (cm3)
σh = 4.000 (Kgf/cm2)
σ0,2= 2.000( Kgf/cm2)
σ h . a .12 . w
l = +2
2,04 x Is x 10- 2
4000 x 30 x 12 x 0,667
l = m
2,04 x (35,75) 2 10-2
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14. 912 - EFTERMDIN
l = 1,92 [m]
Esforços Dinâmicos nos Transformadores de Corrente
Os transformadores devem estar aptos a resistir os esforços dinâmicos provenientes
das correntes de curto-circuito, os transformadores de corrente são construídos para
uma corrente dinâmica dada por:
Idyn = 2,5 Ith
In Ith Idyn
100 (A) 200 In = 20 kA 50 kA
150 (A) 140 In = 21 kA 52,5 kA
300 (A) 70 In = 21 kA 52,5 kA
(a corrente para efeito dinâmico é de 35,75 kA)
Cálculo dos esforços nos isoladores
Os isoladores ficarão submetidos a esforços dados por:
l i s2
-2
Fh = 2,04 x 10 x x [Kgf]
a
Em 138 kV
l = distância entre apoios 360 (cm)
a = distância entre fases 300 (cm)
360
Fh = 2,04 x 10-2 (52,25)2 .
300
Fh = 67 (Kgf)
Em 13,8 kV
l = distância entre apoios 260 (cm)
a = distância entre fases 30 (cm)
260
Fh = 2,04 x 10-2 (35,75)2 .
30
Fh = 219,8 (Kgf)
Cálculo das Cadeias de Isoladores:
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15. 912 - EFTERMDIN
As cadeias de isoladores podem ser determinadas da seguinte forma:
E n1
n1 = +1
E ni
Cadeia de ancoragem
E n1
n2 = +2
E ni
Onde:
n1 , n2 = número de isoladores
En1 = tensão máxima de serviço
Eni = tensão de cada isolador
No nosso caso usaremos: (vide catálogo VIFOSA) isolador de 10” (254 mm) de
diâmetro, tensão 17,5 kV (Eni = 17,5 kV)
Assim Teremos:
En1 =
145 145
n1 = + 1 = 9,3
17,5
kV 145 Adotaremos para as cadeias de isoladores de
n2 = + 1 = 10,3 ancoragem e suspensão: 10 isoladores
(tensã 17,5
o
máxima de serviço)
Vamos calcular para :
1) a = 12 (m)
2) a = 24 (m)
Comprimento da cadeia de isoladores = 2,0 (m) (Vide catálogo Sade).
Peso da cadeia de isoladores = 70 (Kgf) (vide catálogo Sade).
E2 = carga de ruptura = 4000 (Kgf).
γ = 9,48 x 10-3 (Kgf/ mxmm2) (peso unitário do condutor).
α = coeficiente de dilatação térmica = 1,7 x 10-6 (ºC).
E = módulo de elasticidade = 13.500 Kgf/ mm2.
Pv = pressão do vento = 127 (Kgf/ m2) a ºO C
Esforço máximo é de H = 750 (Kgf).
Cálculo das Flechas dos barramentos
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16. 912 - EFTERMDIN
L0 a
2750
F1
F2
α
L’0
L’0 b
8500
No cálculo da flecha dos barramentos podemos proceder de duas maneiras:
a) Considerando o peso da cadeia de isoladores.
b) Não considerando o peso da cadeia separadamente.
As flechas e tensões normalmente são calculadas para as seguintes temperaturas:
a) Oºc - (Normalmente considerando ainda um vento cuja pressão é de 127
(Kgf/m2), valor este normalizado. Esta condição permite a verificação da tensão
máxima admissível no cabo e esforços as estruturas.
Dependendo do local da instalação da subestação podemos chegar a -5ºC.
As verificações das tensões máximas admissíveis são feitas através da equação de
estado.
Para o nosso caso os valores característicos do cabo são os seguintes:
Bitola: 120 (mm2) (CABO DE COBRE)
Secção do cabo: s0 = 120 (mm2)
Diâmetro do Cabo: 14,50 (mm)
Comprimento do vão: a (m)
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17. 912 - EFTERMDIN
Cálculo da Tensão Máxima no Cabo
750
σ0 = = 6,25 (Kgf/ mm2)
120
Cálculo de f1: Flecha devido a cadeia de isoladores.
Q
f1 = l0 cos α, sendo cosα=
Q2 + 4 . h 2
70
cosα= =0,046
702 + 4.7502
Assim teremos:
f1 = 2 . 0,046 = 0,092
f1 = 0,10 (m) = 10 (cm)Ø
Determinação do vão para cálculo da flecha:
H
b = a - 4 . l0 Q2 + 4. h2 (m)
750
b=a-4.2 0a-4
70 2 + 4 . 750 2
b=a-4
Para os vãos em questão teremos:
a = 24 m ∴ b = 24 – 4 = 20(m)
a = 12 (m) b= 12 – 4 = 8 (m)
Cálculo da flecha do condutor:
b 2 .g b2γ
f= b=
8 .H 8 .σ
onde:
b = vão em (m)
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18. 912 - EFTERMDIN
σ = tensão aplicada ao cabo em Kgf/ mm2
γ = peso unitário do condutor considerando a força do vento (Kgf/ m mm2)
F’r
γ
f . v = d. pv (Kgf/m)
fv = 14,50 x 127 x 10 –3 = 1,450 x 1,27 = 1,8415 (Kgf/m)
1,8415
fv = = 15,35 x 10 –3 (Kgf/m. mm2)
120
1,138
Pc = = 9,48 x 10 –3 (Kgf/m. mm2)
120
1,138
γ= = 9,48 x 10 –3 (Kgf/ m mm2)
120
γ1 = 15,352 + 9,482 x 10 –3 = 20,38 x 10 –3 (Kgf/m. mm2)
As flechas terão os seguintes valores:
(20) 2 x 20,38 x 10-3
F= = 0,163(m) = 16,3 (cm)
8 x 6,5
(8) 2 x 20,38 x 10-3
F= = 0,0261(m) = 2,61(cm)
8 x 6,5
Teremos portanto os seguintes valores para as flechas:
a = 12 (m) f = 10 + 2,61 = 12,61 (cm) ≅ 13 (cm)
a = 24 (m) f = 10 + 16,3 = 26,3 (cm) ≅ 26 (cm)
Podemos determinar o espaçamento entre fases
Distância mínima entre fases: 1470 (mm)
Distância devido as flechas: 520 (mm)
1990 (mm)
20% de segurança: 400(mm)
2390(mm)
Adotaremos 2.500 (mm)
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19. 912 - EFTERMDIN
Temos agora todas as medidas para fixar a posição dos diversos equipamentos, e
determinação das plantas e cortes.
f
dm
f
Determinação das alturas mínimas.
h1
h
h2
A altura mínima para a subestação, é determinada da seguinte forma:
h ≥ 3 cm/ kV, sendo a distância entre a parte viva mais baixa, correspondendo a uma
tensão disruptiva, do ar, da ordem de 21 (kV/cm).
Conhecida a altura do equipamento vamos determinar a altura da estrutura suporte
para cada equipamento. (Podemos conferir a distância acima utilizando os seguintes
valores: 2,44 (m) mais a distância fase terra para a tensão em questão).
Normalmente para dimensionamento da distância d tomamos como base a tensão
máxima de serviço.
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20. 912 - EFTERMDIN
No caso de uma instalação cuja tensão nominal é de 13,8 kV, a tensão máxima de
serviço é de 145 Kv. Assim teríamos:
h ≥ 145 x 3 = 4,35 (m)
Para os barramentos e ancoragem das linhas normalmente usamos distâncias
definidas da seguinte forma:;
h ≥ 4 a 5,5 cm/kV. (No Brasil é uma norma corrente usar 5,5 cm/kV).
Assim para 138 kV teríamos:
h = 5,5 x 145 ≅ 8,0 (m)
A altura do barramento é determinada, ou melhor verificada em função das flechas e
separação mínima entre condutores.
d1 = distância entre os condutores e o cabo guarda.
OBS.: Cálculo da flecha dos condutores não considerando o peso das cadeias de
isoladores:
−3
(24) 2 x 20,38 x 10
F1 = = 0,235 (m) = 23,5 (cm)
8 x 6,25
−3
(12) 2 x 20,38 x 10
F2 = = 0,0587 (m) = 5,87 (cm)
8 x 6,25
Equação da mudança de estado — vão isolado
Consideremos inicialmente um vão isolado de uma linha de transmissão, de
comprimento A. Seja L1 o comprimento do condutor a uma temperatura conhecida t1.
Admitamos que o condutor esteja apoiado entre as duas estruturas niveladas.
Se a temperatura variar, passando a um valor t2 , o comprimento do condutor variará
igualmente, passando a:
L2 = L1 + L1α(t2 – t1) (m)
sendo ατ ([λ/°C] o coeficiente de dilatação térmica linear do condutor.
Estando o cabo preso aos suportes, a variação de comprimento que irá sofrer é
acompanhada de uma variação no valor da tração, que passará ao valor T02. Um
aumento de temperatura provoca um aumento de comprimento do cabo e vice-versa.
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Essa variação obedece à lei de Hooke: "as deformações elásticas são proporcionais às
tensões aplicadas".
Sendo E [kgf/mm2] o módulo de elasticidade do condutor e S [mm2] a área da seção
transversal, a deformação elástica em virtude da variação da força de tração será
L1 (T02 + T01 )
ES
Portanto a variação da temperatura do condutor provoca uma variação total em seu
comprimento igual a
L1 (T02 − T01 )
L2 – L1 = L1αt (t2 – t1 ) +
ES
Antes da variação da temperatura, o comprimento do condutor era de acordo com a
Eq. (1.21),
A
L1 = 2C1 senh
2C1
e, após essa variação, o comprimento será ,
A
L2 = 2C2 senh
2C 2
sendo, respectivamente,
T01 T
C1 = e C2 = 02
p p
A variação de comprimento será, então,
A A
L2 – L1 = 2[C2 senh – C1 senh ]
2C 2 2C1
Para o sistema em equilíbrio, obtemos, igualando
L1 (T02 − T01 ) A A
L1αt (t2 – t1 ) + = 2[C2 senh – C1 senh ]
ES 2C 2 2C1
Essa equação é transcendente e só pode ser resolvida por processo iterativo
admitindo-se valores para T02,. Podemos simplificá-la, obtendo após remanejamento,
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22. 912 - EFTERMDIN
A
C 2 senh
1 2C 2 (T02 − T01 )
t2 – t1 = [( -1) – ]
αt C1 senh
A ES
2C1
O que não elimina a necessidade de processos iterativos de solução.
Exemplo
Um cabo Oriole foi estendido entre dois suportes, distanciados entre si 350 m, a uma
temperatura de 20 °C, com uma tração horizontal de l 545 kgf. Qual será o valor da
tração nesse cabo quando ocorrer um abaixamento de temperatura de 25 °.
Solução
São os seguintes os dados do cabo:
p=0,7816kgf/m;
S= 210,3 mm2;
E= 8086kgf/mm2;
αt = 18 x IO-6 1/°C.
Para solucionar o problema teremos de calcular
T01 1.545 A 350
C1= = = 1.976,7144 ; = = 0,08853
p 0,7816 2C1 2 *1.976,7144
T02 T02 A 350 136,78
C2 = = = 1,27943T02 ; = =
p 0,7816 2C 2 2,5588T02 T02
A
L1 = 2C1 senh = 2*1.976,7144senh0,08853 = 350,454420 (m)
2C1
A 136,78
C2 senh = 1,27943T02senh =M
2C 2 T02
(T02 − T01 ) (T02 − 1.545,0)
= =N
ES 8.086 * 210,3
10 6 M
t2 –t1 = ∆t = [( - 1) – N]
18 175,22721
Para ∆t = -25 "C, dando diversos valores a To,, obteremos valores para ∆t, como
mostra a tabela, até a convergência com o grau de precisão desejado:
T02 [Kgf] M N ∆t [ºC]
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23. 912 - EFTERMDIN
1800 175,168467 0,000 14996 -26.955
1790 175,170354 0,00014407 -26,030
1785 175,171 310 0,000 14114 -25,637
1780 175,172275 0.000 13819 -25,095
1779 175.172468 0,00013761 -25,001
Resposta T02 = l.779 kgf.
Se, ao invés de calcularmos pela equação.da catenária os comprimentos
desenvolvidos dos cabos, empregarmos a da parábola.
pA 2 2
8( )
8f 2 8T01
L1 = A + =A+ =
3A 3A
p 2 A2
L2 = A(1 + 2
),
24T01
A variação de comprimento será , então,
p 2 A3 1 1
L2 – L1 = ( 2 - 2 ),
24 T02 T01
Que igualando com a equação da variação do comprimento com a temperatura permite
escrever que
L1 (T02 − T01 ) p 2 A3 1 1
L1αt (t2 – t1 ) + = ( 2 - 2 ),
ES 24 T02 T01
Como a diferença entre os valores dos vãos a e dos comprimentos dos cabos L1 é
muito pequena, podemos efetuar a substituição do L1 na equação acima que tomará a
forma
ESp 2 A 2 ESp 2 A 2
T 3
02 +T [2
02 2
+ ESαt(t2 + t1) – T01] =
24T01 24
que, como vemos,é uma equação incompleta de 2º grau, para cuja solução tambéem
são necessários processos iterativos, porém de resolução mais fácil e rápida.
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24. 912 - EFTERMDIN
Calcular usando a equação da parábola a tração no cabo e nas condições do exemplo
anterior.
Solução
ESp 2 A 2 ESp 2 A 2
T 3
02 +T [2
02 2
+ ESαt(t2 + t1) – T01] = 2.000
24T01 24
ESp 2 A 2 8.086 * 210,3(0,7816) 2 (350) 2
= 5,302x 10 9,
24 24
ESp 2 A 2 8.086 * 210,3(0,7816) 2 (350) 2
2
= = 2.221,3142,
24T01 24(1545) 2
ESαt(t2 + t1) = 8,086x210,3x18x10 -6(-5-20) = 765,2186,
Logo
T02 - 88,9044 T02 = 5,302x109,
3 2
resolvendo por tentativas, teremos
T02 2
T02 2
- 88,9044 T02 3
T02 Σ
2.000 4,000x106 -0,35562x109 8,00x109 7,6444x109
3,240x106
1.800 -0,28805x109 5,832x109 5,5440x109
3,168x106
1.780 -0,28168x109 5,640x109 5,3583x109
3,161x106
1.778 -0,28105x109 5,621x109 5,3400x109
6
3,151x10
1.7754 -0,28014x109 5,592x109 5,3119x109
3,147x106
1.774 -0,27989x109 5,583x109 5,3031x109
Resposta: T02 = 1.774 (kgf)
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