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                                           MÓDULO 7

                      TÉCNICAS DE FREQÜÊNCIA E DURAÇÃO


7.1 – Conceitos Básicos sobre Freqüência e Duração

O uso de técnicas de freqüência e duração permite calcular índices adicionais de confiabilida-
de para sistemas que alternam estados de funcionamento e reparo. Tais índices são compostos
pela freqüência com que se encontra um determinado estado do sistema e pelo tempo médio
de residência em tal estado.

Considere para isso um componente reparável cujo modelo de espaço de estados é mostrado
na figura abaixo.

                                                λ
                                       1                    2
                                       F                    F
                                                μ

A próxima ilustra um possível histórico de operação para o referido componente. Observe
como o componente transita entre os estados de funcionamento e falha (reparo).

             Estado
                        r1                 r2                    r3            r4
         2
                 m1              m2                 m3                  m4
         1


                                                                                       Tempo

A idéia básica consiste em se representar de maneira aproximada o histórico acima como uma
função periódica do tipo:


                              Estado
                                           r                 r
                          2
                                 m                  m
                          1


                                                                      Tempo
                                   T

Neste caso, os parâmetros do ciclo médio são:


                                                                   Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                        Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
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•   m=
          ∑ mi       →      Tempo médio de funcionamento.
            N

•   r=
          ∑ ri       →      Tempo médio de reparo.
           N

•   N                →      Número de falhas observadas (idêntico ao número de reparos).


•   T =m+r           →      Período da função (ciclo).

          1   1
•   f =     =        →      Freqüência da função.
          T m+r


A freqüência “f” indicada acima se refere ao número de vezes que a função (ciclo onde ocorre
o sucesso e a falha) se repete por unidade de tempo, o que também pode ser interpretado co-
mo a freqüência média de ocorrência dos estados de funcionamento e falha (reparo).


7.2 – Relação entre Freqüência, Duração e Probabilidade Estacionária


Freqüência

Do módulo anterior, tem-se que as probabilidades estacionárias dos estados de funcionamento
e falha para um componente de dois estados são dadas por:

         μ
P1S =                                                                                            (1)
        μ+λ

         λ
P2S =                                                                                             (2)
        μ+λ

Tomando (1):

           1   1
       μ           m        1  1
P1S =    = r = r =    = m×    = ×f                               →        f = P1S × λ             (3)
      μ+λ 1 1 m+r m+r      m+r λ
           +
          r m  mr

Tomando (2):

           1   1
       λ           r        1  1
P2S =    = m = m =    = r×    = ×f                              →        f = P2S × μ             (4)
      μ+λ 1 1 m+r m+r      m+r μ
           +
          r m  mr


                                                               Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                    Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
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Pode-se notar que a freqüência da pode ser calculada com base em duas expressões diferentes
que resultam no mesmo valor numérico. No entanto, observe que a expressão (3) representa a
freqüência com que o sistema sai do Estado 1 e entra no Estado 2, sendo, conceitualmente,
uma freqüência de falha. Ao contrário, a expressão (4) representa uma freqüência de reparo,
i.e. a freqüência com que o sistema deixa o Estado 2 para entrar no Estado 1.

Observe que:

                tempo total de funcionamento        número de falhas
f = P1S × λ =                                ×
                  tempo total de observação    tempo total de funcionamento

          número de falhas
f =                             .                                                                     (5)
      tempo total de observação

Note ainda:

                  tempo total de reparo     número de reparos
f = P2S × μ =                            ×
                tempo total de observação tempo total de reparo

         número de reparos
f =                             .                                                                     (6)
      Tempo total de observação

Como, ao longo do tempo, o número de reparos tende a se igualar ao número de falhas, tem-
se que a freqüência de reparo e a freqüência de falhas tornam-se iguais.

De uma forma geral:

                           freqüência = probabilidade estacionária × taxa .


Duração

                                                1                     1
De (3):      f = P1S × λ    →       f = P1S ×       →     m = P1S ×     = D1 .
                                                m                     f
    P
D1 = 1S .                                                                                             (7)
     f

                                                1                     1
De (4):      f = P2S × μ    →       f = P2S ×       →     r = P2S ×     = D2 .
                                                r                     f
     P
D 2 = 2S .                                                                                            (8)
      f

De uma forma geral:

                                            probabilidade estacionária
                                duração =                              .
                                                    freqüência


                                                                   Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                        Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
Módulo 7 – Página 4/13


7.3 – Freqüência de um Estado: Generalização

Se houver mais de dois estados, como mostra a figura abaixo, a freqüência dos estados pode
ser calculada de duas formas diferentes, como será demonstrado a seguir.


                                                      j


                                                a          b

                                           c                   e
                                k                     i                   m
                                           d                   f

Para calcular, por exemplo, a freqüência de saída do estado i:

f Si = PiS × a + PiS × c + PiS × e = PiS × (a + c + e) .                                                 (9)

A freqüência de entrada no estado i vale:

f Ei = P jS × b + PkS × d + PmS × f .                                                                  (10)

De uma forma geral:


f Si = PiS ×   ∑ λ ij .                                                                                 (11)
               j≠i

f Ei =   ∑ PjS × λ ji .                                                                                (12)
         j≠i


Embora calculadas por expressões diferentes, a freqüência de entrada em um estado é numeri-
camente igual à sua freqüência de saída. Assim, tem-se:

                freqüência de entrada = freqüência de saída = freqüência do estado.


7.4 – Freqüência e Duração de um Conjunto de Estados

Em estudos de confiabilidade, muitas vezes será conveniente agrupar estados que apresentam
alguma característica em comum para formar um estado equivalente. Nestes casos, torna-se
importante calcular a probabilidade estacionária, a freqüência e a duração média do referido
estado acumulado.

Para ilustrar este conceito, considere que os estados 1 e 2 da figura a seguir sejam estados de
sucesso (estado acumulado M), enquanto 3, 4 e 5 representam falha (estado acumulado N).

                                                                      Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                           Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
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                                                      g
                                              1                  2         M
                                                      f
                                j         a       b          i        h

                                      c
                            3                 4                  5          N
                                      d               e



Note que as probabilidades estacionárias dos estados acumulados M e N são:

PMS =   ∑ PmS = P1S + P2S                                                                         (13)
        m∈M


PNS =   ∑ PnS = P3S + P4S + P5S .                                                                  (14)
        n∈N

Diferentemente das probabilidades, as freqüências dos estados acumulados nem sempre cor-
respondem à soma das freqüências de seus estados simples. Isto ocorre porque existem transi-
ções internas aos próprios estados acumulados, como se pode notar na figura acima. Neste
caso, para o cálculo das freqüências dos estados acumulados, devem ser consideradas apenas
as taxas que cruzam a fronteira. Observe as freqüências de entrada e de saída do estado M:

FEM = P3S × j + P4S × a + P5S × i                                                                 (15)

FSM = P1S × b + P2S × h .                                                                         (16)

As duas expressões acima fornecem o mesmo valor, i.e. a freqüência do estado M.

Analogamente, pode-se calcular a freqüência de entrada e a freqüência de saída do estado N:

FEN = P1S × b + P2S × h                                                                           (17)

FSN = P3S × j + P4S × a + P5S × i .                                                               (18)

A freqüência do estado N pode ser calculada por (17) ou (18), resultando no mesmo valor
numérico. Como só existem dois estados acumulados, a freqüência de saída do estado M é
igual à freqüência de entrada no estado N. Analogamente, a freqüência de saída do estado N é
igual à freqüência de entrada no estado M. De forma genérica:

            ⎡             ⎤
FMN =    ∑  ⎢PmS × ∑ λ mn ⎥ .                                                                      (19)
        m∈M ⎢
            ⎣     n∈N     ⎥
                          ⎦


                                                                 Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                      Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
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Para o cálculo da duração média dos estados acumulados, basta fazer:

     P
D M = MS                                                                                      (20)
      fM

     P
D N = NS .                                                                                    (21)
      fN


7.5 – Exercícios Propostos – Parte 1

1) Considere o espaço de estados abaixo, onde as taxas estão em transições por ano.



                                             A


                            0,2       30            10       0,1


                                  B                      C
                                            0,4


a) As probabilidades estacionárias dos estados.
b) A freqüência e a duração média de cada estado.
c) Considerando que B e C sejam estados de falha, calcule a freqüência e a duração média
   das falhas do sistema.


2) A matriz estocástica de taxas de transição apresentada a seguir representa o modelo de um
   determinado sistema.


         − 0,15   0,1     0,05     0
          10    − 10,2            0,2
    A=
           2             − 2,2    0,2
                   5       4      −9


Sabendo que as taxas informadas estão em transições por ano, calcule:

a) A freqüência e a duração média de cada estado do sistema.
b) A freqüência e a duração média do estado acumulado formado pelos estados 3 e 4.




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                                                  Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
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7.6 – Análise de um Sistema de 2 Componentes em Paralelo – Fórmulas Exatas

A figura abaixo mostra o sistema, bem como o modelo aplicável aos seus dois componentes.


                                 1                                   λi

                                                         i                     i           i=1,2

                                 2                                   μi




Espaço de Estados do Sistema

O espaço de estados do sistema é ilustrado na figura abaixo. Observe que em cada estado tem-
se informação sobre todos os componentes do sistema.

                                                    λ1
                                           1                     2

                                          12                    12
                                                    μ1

                                     λ2        μ2         μ2              λ2

                                                    λ1
                                           3                     4

                                          12                    12
                                                    μ1


Probabilidades Estacionárias dos Estados do Sistema

O cálculo das probabilidades estacionárias pode ser feito através da solução do sistema

Ps = 0m × Am −1                                                                                          (22)

já apresentado no Módulo 6. Contudo, no caso particular deste sistema, como os componentes
são independentes, as probabilidades dos estados podem ser calculadas em função das proba-
bilidades individuais dos estados de cada componente. Assim:

                                   μ1       μ2
P1S = P(1 ∩ 2) = P(1) × P(2) =          ×                                                                (23)
                                 μ1 + λ1 μ 2 + λ 2
                                       λ1        μ2
P2S = P( 1 ∩ 2) = P( 1 ) × P(2) =            ×                                                           (24)
                                     μ1 + λ 1 μ 2 + λ 2


                                                                        Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                             Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
Módulo 7 – Página 8/13


                                      μ1       λ2
P3S = P(1 ∩ 2 ) = P(1) × P( 2 ) =          ×                                                                (25)
                                    μ1 + λ1 μ 2 + λ 2
                                         λ1        λ2
P4S = P( 1 ∩ 2 ) = P( 1 ) × P( 2 ) =           ×          .                                                 (26)
                                       μ1 + λ 1 μ 2 + λ 2


Probabilidades Estacionárias de Funcionamento e Falha

Como o sistema é completamente redundante, ele falha apenas no estado 4. Assim, a fronteira
pode ser representada na figura abaixo.

                                                      λ1
                                            1                       2

                                            12                    12
                                                      μ1

                                       λ2        μ2        μ2            λ2

                                                      λ1
                                            3                      4

                                            12                    12
                                                      μ1
                                                                   SF


PSF = P1S + P2S + P3S                                                                                       (27)
                      λ1λ 2
PSF = P4S =                           .                                                                     (28)
               (μ1 + λ1 )(μ 2 + λ 2 )

A expressão (28) fornece a probabilidade estacionária de falha do sistema em função das ta-
xas de falha e de reparo e seus componentes. Contudo, em estudos de confiabilidade é mais
comum deixar as fórmulas em função das taxas de falha e tempos médios de reparo. Como o
tempo médio de reparo “r” corresponde ao inverso da taxa de reparo “μ”, tem-se:

                      λ1λ 2                      λ1λ 2                    λ1λ 2 r1r2
PSF = P4S =                          =                             =                         .              (29)
               (μ1 + λ1 )(μ 2 + λ 2 ) (1 / r1 + λ1 )(1 / r2 + λ 2 ) (1 + λ1r1 )(1 + λ 2 r2 )


Freqüência Média de Falha

Como o espaço de estados foi dividido em duas partes (funcionamento e falha), sabe-se que as
freqüências dos dois estados acumulados serão numericamente iguais. Calculando-se então a
freqüência de saída do estado de falha:

                             λ1λ 2 (μ1 + μ 2 )       λ1λ 2 (r1 + r2 )
f SF = P4S (μ1 + μ 2 ) =                         =                         .                                (30)
                           (μ1 + λ1 )(μ 2 + λ 2 ) (1 + λ1r1 )(1 + λ 2 r2 )


                                                                           Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                                Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
Módulo 7 – Página 9/13


Duração Média das Falhas

Do exposto anteriormente, tem-se que a duração é sempre dada pela relação entre probabili-
dade estacionária e freqüência (que pode ser a de entrada ou de saída). Assim:

      P         P4S           1       rr
D SF = SF =               =        = 12 .                                                          (31)
      f SF P4S (μ1 + μ 2 ) μ1 + μ 2 r1 + r2


7.7 – Análise de um Sistema de 2 Componentes em Série – Fórmulas Exatas

A figura abaixo mostra o sistema e o modelo aplicável aos dois componentes.

                                                               λi

                1          2                       i                      i           i=1,2
                                                               μi


Espaço de Estados do Sistema

O espaço de estados do sistema é ilustrado na figura a seguir. Diferentemente do modelo ante-
rior, este sistema apresenta apenas três estados.


                                              λ1
                                     1                     2

                                    12                    12
                                              μ1

                               λ2        μ2


                                     3

                                    12
                                                               SF



Por se tratar de um arranjo série, quando ocorre a falha de um componente, o sistema fica
inoperante. Assim, durante a ação de reparo de um componente, é usual assumir que o outro
componente não possa falhar. Daí a não-existência do estado onde os dois componentes apa-
receriam avariados. Note que a premissa adotada neste exemplo torna evidente a dependência
entre os componentes.


Probabilidades Estacionárias dos Estados do Sistema

Neste caso, onde os componentes são dependentes, o cálculo das probabilidades estacionárias
deve ser feito, obrigatoriamente, através da solução do sistema:

                                                                  Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                       Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
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Ps = 0m × Am −1 .                                                                                             (32)

Para este exemplo:

        − ( λ1 + λ 2 )       λ1             λ2
A=           μ1             − μ1                0        .
             μ2                 0           − μ2

Dessa forma, deve-se resolver o seguinte sistema

                                            1       λ1       λ2
 1 0 0 = P1S              P2S       P3S ×   1       − μ1      0
                                            1        0       − μ2

cuja solução é:

                μ1μ 2
P1S =                                                                                                         (33)
        μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2
                 λ1μ 2
P2S =                                                                                                         (34)
         μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2
                μ1λ 2
P3S =                         .                                                                                (35)
        μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2


Probabilidades Estacionárias de Funcionamento e Falha

De acordo com a fronteira definida na figura anterior, tem-se:

                            λ1μ 2 + μ1λ 2        λ1r1 + λ 2 r2
PSF = P2S + P3S =                             =                  .                                            (36)
                         μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2 1 + λ1r1 + λ 2 r2


Freqüência Média de Falha

                              μ1μ 2 (λ1 + λ 2 )       λ1 + λ 2
f SF = P1S (λ1 + λ 2 ) =                         =                  .                                         (37)
                            μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2 1 + λ1r1 + λ 2 r2


Duração Média das Falhas

      P    λ r + λ 2 r2
D SF = SF = 1 1         .                                                                                      (38)
      f SF  λ1 + λ 2



                                                                             Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                                  Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
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7.8 – Exercícios Propostos – Parte 2

Montar o espaço de estados dos seguintes sistemas e, em seguida, obtenha expressões para o
cálculo da probabilidade, freqüência e duração média das falhas. Neste caso, deixe as expres-
sões em função das probabilidades estacionárias dos estados e das taxas.

a)
                                             2

                                 1

                                             3



b)
                                             1



                                             2



                                             3


c)
                                     1       2        3



Considere, nos três casos, que o modelo dos componentes é do tipo:

                                             λi

                                     i                 i        i=1,2,3.
                                             μi


7.10 – Fórmulas Aproximadas para os Sistemas Série e Paralelo

As fórmulas para probabilidade estacionária, freqüência e duração média das falhas deduzidas
anteriormente (Seções 7.5 e 7.6) foram chamadas de exatas, pois são obtidas diretamente dos
espaços de estados dos respectivos sistemas. Contudo, em sistemas de transmissão e distribui-
ção, os tempos médios de funcionamento dos componentes são, em geral, muito maiores que
os tempos médios de reparo, como se ilustra na figura a seguir.

                                                              Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                   Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
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                                    Estado
                                                                  r
                               F
                                                  m
                               F


                                                                      T   Tempo


                                     1
Observe que: m >> r           →        >> r     →      1 >> λr    →       1 + λr ≅ 1 .                     (39)
                                     λ


A presente simplificação pode ser aplicada nas fórmulas exatas, originando as seguintes fór-
mulas aproximadas:


Sistema Paralelo

            λ1λ 2 (r1 + r2 )
f SF =                            ≅ λ P = λ1λ 2 (r1 + r2 )                                                 (40)
         (1 + λ1r1 )(1 + λ 2 r2 )

                    r1r2
D SF = rP =               .                                                                                (41)
                  r1 + r2


Sistema Série

             λ1 + λ 2
f SF =                     ≅ λ S = λ1 + λ 2                                                                (42)
         1 + λ1r1 + λ 2 r2

           λ r + λ 2 r2
D SF = rS = 1 1         .                                                                                 (43)
            λ1 + λ 2


Caso haja n componentes em série:

          n
λS =     ∑ λi                                                                                              (44)
         i =1
         n
       ∑ λ i ri
rS = i =1         .                                                                                        (45)
          n
         ∑ λi
         i =1



                                                                        Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                             Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
Módulo 7 – Página 13/13


7.11 – Exercícios Propostos – Parte 3

1) Calcule a probabilidade, freqüência e duração média das falhas do sistema abaixo, consi-
   derando as seguintes taxas de falha e tempos médios de reparo: λ1 = 0,2 f/ano, r1 = 3 horas
   λ2 = 5 f/ano e r2 = 10 horas.


                                        1           2



2) Admita que o sistema anterior seja reforçado com a adição de um componente em paralelo
   com o componente 2. Considere que λ3 = λ2 = 5 f/ano e r3 = r2 = 10 horas. Nessa nova
   configuração, recalcule a probabilidade de falha, freqüência e duração média das falhas.


                                        1          2



                                                   3




                                                              Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
                                                   Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI

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Técnicas de frequência e duração para sistemas com estados de funcionamento e falha

  • 1. Módulo 7 – Página 1/13 MÓDULO 7 TÉCNICAS DE FREQÜÊNCIA E DURAÇÃO 7.1 – Conceitos Básicos sobre Freqüência e Duração O uso de técnicas de freqüência e duração permite calcular índices adicionais de confiabilida- de para sistemas que alternam estados de funcionamento e reparo. Tais índices são compostos pela freqüência com que se encontra um determinado estado do sistema e pelo tempo médio de residência em tal estado. Considere para isso um componente reparável cujo modelo de espaço de estados é mostrado na figura abaixo. λ 1 2 F F μ A próxima ilustra um possível histórico de operação para o referido componente. Observe como o componente transita entre os estados de funcionamento e falha (reparo). Estado r1 r2 r3 r4 2 m1 m2 m3 m4 1 Tempo A idéia básica consiste em se representar de maneira aproximada o histórico acima como uma função periódica do tipo: Estado r r 2 m m 1 Tempo T Neste caso, os parâmetros do ciclo médio são: Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 2. Módulo 7 – Página 2/13 • m= ∑ mi → Tempo médio de funcionamento. N • r= ∑ ri → Tempo médio de reparo. N • N → Número de falhas observadas (idêntico ao número de reparos). • T =m+r → Período da função (ciclo). 1 1 • f = = → Freqüência da função. T m+r A freqüência “f” indicada acima se refere ao número de vezes que a função (ciclo onde ocorre o sucesso e a falha) se repete por unidade de tempo, o que também pode ser interpretado co- mo a freqüência média de ocorrência dos estados de funcionamento e falha (reparo). 7.2 – Relação entre Freqüência, Duração e Probabilidade Estacionária Freqüência Do módulo anterior, tem-se que as probabilidades estacionárias dos estados de funcionamento e falha para um componente de dois estados são dadas por: μ P1S = (1) μ+λ λ P2S = (2) μ+λ Tomando (1): 1 1 μ m 1 1 P1S = = r = r = = m× = ×f → f = P1S × λ (3) μ+λ 1 1 m+r m+r m+r λ + r m mr Tomando (2): 1 1 λ r 1 1 P2S = = m = m = = r× = ×f → f = P2S × μ (4) μ+λ 1 1 m+r m+r m+r μ + r m mr Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 3. Módulo 7 – Página 3/13 Pode-se notar que a freqüência da pode ser calculada com base em duas expressões diferentes que resultam no mesmo valor numérico. No entanto, observe que a expressão (3) representa a freqüência com que o sistema sai do Estado 1 e entra no Estado 2, sendo, conceitualmente, uma freqüência de falha. Ao contrário, a expressão (4) representa uma freqüência de reparo, i.e. a freqüência com que o sistema deixa o Estado 2 para entrar no Estado 1. Observe que: tempo total de funcionamento número de falhas f = P1S × λ = × tempo total de observação tempo total de funcionamento número de falhas f = . (5) tempo total de observação Note ainda: tempo total de reparo número de reparos f = P2S × μ = × tempo total de observação tempo total de reparo número de reparos f = . (6) Tempo total de observação Como, ao longo do tempo, o número de reparos tende a se igualar ao número de falhas, tem- se que a freqüência de reparo e a freqüência de falhas tornam-se iguais. De uma forma geral: freqüência = probabilidade estacionária × taxa . Duração 1 1 De (3): f = P1S × λ → f = P1S × → m = P1S × = D1 . m f P D1 = 1S . (7) f 1 1 De (4): f = P2S × μ → f = P2S × → r = P2S × = D2 . r f P D 2 = 2S . (8) f De uma forma geral: probabilidade estacionária duração = . freqüência Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 4. Módulo 7 – Página 4/13 7.3 – Freqüência de um Estado: Generalização Se houver mais de dois estados, como mostra a figura abaixo, a freqüência dos estados pode ser calculada de duas formas diferentes, como será demonstrado a seguir. j a b c e k i m d f Para calcular, por exemplo, a freqüência de saída do estado i: f Si = PiS × a + PiS × c + PiS × e = PiS × (a + c + e) . (9) A freqüência de entrada no estado i vale: f Ei = P jS × b + PkS × d + PmS × f . (10) De uma forma geral: f Si = PiS × ∑ λ ij . (11) j≠i f Ei = ∑ PjS × λ ji . (12) j≠i Embora calculadas por expressões diferentes, a freqüência de entrada em um estado é numeri- camente igual à sua freqüência de saída. Assim, tem-se: freqüência de entrada = freqüência de saída = freqüência do estado. 7.4 – Freqüência e Duração de um Conjunto de Estados Em estudos de confiabilidade, muitas vezes será conveniente agrupar estados que apresentam alguma característica em comum para formar um estado equivalente. Nestes casos, torna-se importante calcular a probabilidade estacionária, a freqüência e a duração média do referido estado acumulado. Para ilustrar este conceito, considere que os estados 1 e 2 da figura a seguir sejam estados de sucesso (estado acumulado M), enquanto 3, 4 e 5 representam falha (estado acumulado N). Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 5. Módulo 7 – Página 5/13 g 1 2 M f j a b i h c 3 4 5 N d e Note que as probabilidades estacionárias dos estados acumulados M e N são: PMS = ∑ PmS = P1S + P2S (13) m∈M PNS = ∑ PnS = P3S + P4S + P5S . (14) n∈N Diferentemente das probabilidades, as freqüências dos estados acumulados nem sempre cor- respondem à soma das freqüências de seus estados simples. Isto ocorre porque existem transi- ções internas aos próprios estados acumulados, como se pode notar na figura acima. Neste caso, para o cálculo das freqüências dos estados acumulados, devem ser consideradas apenas as taxas que cruzam a fronteira. Observe as freqüências de entrada e de saída do estado M: FEM = P3S × j + P4S × a + P5S × i (15) FSM = P1S × b + P2S × h . (16) As duas expressões acima fornecem o mesmo valor, i.e. a freqüência do estado M. Analogamente, pode-se calcular a freqüência de entrada e a freqüência de saída do estado N: FEN = P1S × b + P2S × h (17) FSN = P3S × j + P4S × a + P5S × i . (18) A freqüência do estado N pode ser calculada por (17) ou (18), resultando no mesmo valor numérico. Como só existem dois estados acumulados, a freqüência de saída do estado M é igual à freqüência de entrada no estado N. Analogamente, a freqüência de saída do estado N é igual à freqüência de entrada no estado M. De forma genérica: ⎡ ⎤ FMN = ∑ ⎢PmS × ∑ λ mn ⎥ . (19) m∈M ⎢ ⎣ n∈N ⎥ ⎦ Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 6. Módulo 7 – Página 6/13 Para o cálculo da duração média dos estados acumulados, basta fazer: P D M = MS (20) fM P D N = NS . (21) fN 7.5 – Exercícios Propostos – Parte 1 1) Considere o espaço de estados abaixo, onde as taxas estão em transições por ano. A 0,2 30 10 0,1 B C 0,4 a) As probabilidades estacionárias dos estados. b) A freqüência e a duração média de cada estado. c) Considerando que B e C sejam estados de falha, calcule a freqüência e a duração média das falhas do sistema. 2) A matriz estocástica de taxas de transição apresentada a seguir representa o modelo de um determinado sistema. − 0,15 0,1 0,05 0 10 − 10,2 0,2 A= 2 − 2,2 0,2 5 4 −9 Sabendo que as taxas informadas estão em transições por ano, calcule: a) A freqüência e a duração média de cada estado do sistema. b) A freqüência e a duração média do estado acumulado formado pelos estados 3 e 4. Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 7. Módulo 7 – Página 7/13 7.6 – Análise de um Sistema de 2 Componentes em Paralelo – Fórmulas Exatas A figura abaixo mostra o sistema, bem como o modelo aplicável aos seus dois componentes. 1 λi i i i=1,2 2 μi Espaço de Estados do Sistema O espaço de estados do sistema é ilustrado na figura abaixo. Observe que em cada estado tem- se informação sobre todos os componentes do sistema. λ1 1 2 12 12 μ1 λ2 μ2 μ2 λ2 λ1 3 4 12 12 μ1 Probabilidades Estacionárias dos Estados do Sistema O cálculo das probabilidades estacionárias pode ser feito através da solução do sistema Ps = 0m × Am −1 (22) já apresentado no Módulo 6. Contudo, no caso particular deste sistema, como os componentes são independentes, as probabilidades dos estados podem ser calculadas em função das proba- bilidades individuais dos estados de cada componente. Assim: μ1 μ2 P1S = P(1 ∩ 2) = P(1) × P(2) = × (23) μ1 + λ1 μ 2 + λ 2 λ1 μ2 P2S = P( 1 ∩ 2) = P( 1 ) × P(2) = × (24) μ1 + λ 1 μ 2 + λ 2 Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 8. Módulo 7 – Página 8/13 μ1 λ2 P3S = P(1 ∩ 2 ) = P(1) × P( 2 ) = × (25) μ1 + λ1 μ 2 + λ 2 λ1 λ2 P4S = P( 1 ∩ 2 ) = P( 1 ) × P( 2 ) = × . (26) μ1 + λ 1 μ 2 + λ 2 Probabilidades Estacionárias de Funcionamento e Falha Como o sistema é completamente redundante, ele falha apenas no estado 4. Assim, a fronteira pode ser representada na figura abaixo. λ1 1 2 12 12 μ1 λ2 μ2 μ2 λ2 λ1 3 4 12 12 μ1 SF PSF = P1S + P2S + P3S (27) λ1λ 2 PSF = P4S = . (28) (μ1 + λ1 )(μ 2 + λ 2 ) A expressão (28) fornece a probabilidade estacionária de falha do sistema em função das ta- xas de falha e de reparo e seus componentes. Contudo, em estudos de confiabilidade é mais comum deixar as fórmulas em função das taxas de falha e tempos médios de reparo. Como o tempo médio de reparo “r” corresponde ao inverso da taxa de reparo “μ”, tem-se: λ1λ 2 λ1λ 2 λ1λ 2 r1r2 PSF = P4S = = = . (29) (μ1 + λ1 )(μ 2 + λ 2 ) (1 / r1 + λ1 )(1 / r2 + λ 2 ) (1 + λ1r1 )(1 + λ 2 r2 ) Freqüência Média de Falha Como o espaço de estados foi dividido em duas partes (funcionamento e falha), sabe-se que as freqüências dos dois estados acumulados serão numericamente iguais. Calculando-se então a freqüência de saída do estado de falha: λ1λ 2 (μ1 + μ 2 ) λ1λ 2 (r1 + r2 ) f SF = P4S (μ1 + μ 2 ) = = . (30) (μ1 + λ1 )(μ 2 + λ 2 ) (1 + λ1r1 )(1 + λ 2 r2 ) Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 9. Módulo 7 – Página 9/13 Duração Média das Falhas Do exposto anteriormente, tem-se que a duração é sempre dada pela relação entre probabili- dade estacionária e freqüência (que pode ser a de entrada ou de saída). Assim: P P4S 1 rr D SF = SF = = = 12 . (31) f SF P4S (μ1 + μ 2 ) μ1 + μ 2 r1 + r2 7.7 – Análise de um Sistema de 2 Componentes em Série – Fórmulas Exatas A figura abaixo mostra o sistema e o modelo aplicável aos dois componentes. λi 1 2 i i i=1,2 μi Espaço de Estados do Sistema O espaço de estados do sistema é ilustrado na figura a seguir. Diferentemente do modelo ante- rior, este sistema apresenta apenas três estados. λ1 1 2 12 12 μ1 λ2 μ2 3 12 SF Por se tratar de um arranjo série, quando ocorre a falha de um componente, o sistema fica inoperante. Assim, durante a ação de reparo de um componente, é usual assumir que o outro componente não possa falhar. Daí a não-existência do estado onde os dois componentes apa- receriam avariados. Note que a premissa adotada neste exemplo torna evidente a dependência entre os componentes. Probabilidades Estacionárias dos Estados do Sistema Neste caso, onde os componentes são dependentes, o cálculo das probabilidades estacionárias deve ser feito, obrigatoriamente, através da solução do sistema: Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 10. Módulo 7 – Página 10/13 Ps = 0m × Am −1 . (32) Para este exemplo: − ( λ1 + λ 2 ) λ1 λ2 A= μ1 − μ1 0 . μ2 0 − μ2 Dessa forma, deve-se resolver o seguinte sistema 1 λ1 λ2 1 0 0 = P1S P2S P3S × 1 − μ1 0 1 0 − μ2 cuja solução é: μ1μ 2 P1S = (33) μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2 λ1μ 2 P2S = (34) μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2 μ1λ 2 P3S = . (35) μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2 Probabilidades Estacionárias de Funcionamento e Falha De acordo com a fronteira definida na figura anterior, tem-se: λ1μ 2 + μ1λ 2 λ1r1 + λ 2 r2 PSF = P2S + P3S = = . (36) μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2 1 + λ1r1 + λ 2 r2 Freqüência Média de Falha μ1μ 2 (λ1 + λ 2 ) λ1 + λ 2 f SF = P1S (λ1 + λ 2 ) = = . (37) μ1μ 2 + λ1μ 2 + μ1λ 2 1 + λ1r1 + λ 2 r2 Duração Média das Falhas P λ r + λ 2 r2 D SF = SF = 1 1 . (38) f SF λ1 + λ 2 Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 11. Módulo 7 – Página 11/13 7.8 – Exercícios Propostos – Parte 2 Montar o espaço de estados dos seguintes sistemas e, em seguida, obtenha expressões para o cálculo da probabilidade, freqüência e duração média das falhas. Neste caso, deixe as expres- sões em função das probabilidades estacionárias dos estados e das taxas. a) 2 1 3 b) 1 2 3 c) 1 2 3 Considere, nos três casos, que o modelo dos componentes é do tipo: λi i i i=1,2,3. μi 7.10 – Fórmulas Aproximadas para os Sistemas Série e Paralelo As fórmulas para probabilidade estacionária, freqüência e duração média das falhas deduzidas anteriormente (Seções 7.5 e 7.6) foram chamadas de exatas, pois são obtidas diretamente dos espaços de estados dos respectivos sistemas. Contudo, em sistemas de transmissão e distribui- ção, os tempos médios de funcionamento dos componentes são, em geral, muito maiores que os tempos médios de reparo, como se ilustra na figura a seguir. Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 12. Módulo 7 – Página 12/13 Estado r F m F T Tempo 1 Observe que: m >> r → >> r → 1 >> λr → 1 + λr ≅ 1 . (39) λ A presente simplificação pode ser aplicada nas fórmulas exatas, originando as seguintes fór- mulas aproximadas: Sistema Paralelo λ1λ 2 (r1 + r2 ) f SF = ≅ λ P = λ1λ 2 (r1 + r2 ) (40) (1 + λ1r1 )(1 + λ 2 r2 ) r1r2 D SF = rP = . (41) r1 + r2 Sistema Série λ1 + λ 2 f SF = ≅ λ S = λ1 + λ 2 (42) 1 + λ1r1 + λ 2 r2 λ r + λ 2 r2 D SF = rS = 1 1 . (43) λ1 + λ 2 Caso haja n componentes em série: n λS = ∑ λi (44) i =1 n ∑ λ i ri rS = i =1 . (45) n ∑ λi i =1 Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
  • 13. Módulo 7 – Página 13/13 7.11 – Exercícios Propostos – Parte 3 1) Calcule a probabilidade, freqüência e duração média das falhas do sistema abaixo, consi- derando as seguintes taxas de falha e tempos médios de reparo: λ1 = 0,2 f/ano, r1 = 3 horas λ2 = 5 f/ano e r2 = 10 horas. 1 2 2) Admita que o sistema anterior seja reforçado com a adição de um componente em paralelo com o componente 2. Considere que λ3 = λ2 = 5 f/ano e r3 = r2 = 10 horas. Nessa nova configuração, recalcule a probabilidade de falha, freqüência e duração média das falhas. 1 2 3 Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI