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MÓDULO 4
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
4.1 – Introdução
Em geral, parâmetros associados à avaliação de confiabilidade (como, por exemplo, o tempo
até a falha de um equipamento ou o número de falhas de um componente por unidade de tem-
po) podem ser representados por distribuições de probabilidade. A identificação da distribui-
ção de probabilidade adequada deverá ser feita por meio da análise de um histórico de opera-
ção dos componentes ou sistema em questão.
Neste módulo, são fornecidos resumos teóricos das distribuições discretas e contínuas a serem
tratadas neste curso, i.e. binomial, Poisson, normal, exponencial e uniforme. Como as referi-
das distribuições de probabilidade já foram apresentadas em um curso anterior, é recomendá-
vel que os alunos consultem suas referências bibliográficas para maiores detalhamentos. Os
exercícios propostos ao final deste texto servem de roteiro para o estudo do assunto.
4.2 – Distribuições Discretas Importantes
Distribuição Binomial
Considere um experimento aleatório que pode resultar em somente dois resultados:
S = Sucesso P(S) = p → Probabilidade de obter sucesso
F = Falha P(F) = q = 1–p → Probabilidade de obter falha.
O experimento é realizado N vezes e se deseja conhecer a probabilidade de serem obtidos
exatamente m sucessos. Assim, a variável aleatória de interesse é:
X = “Número de sucessos obtidos em N realizações do experimento”.
A variável aleatória X definida dessa forma tem distribuição Binomial, com função densidade
de probabilidade, esperança matemática e variância, dadas por:
P( X = m) = C m p m q N − m .
N
(1)
E(X) = Np . (2)
V(X) = Npq . (3)
As seguintes condições devem ser obedecidas:
• N é conhecido e constante.
• p + q = 1.
• Parâmetros p e q são constantes.
• As realizações são independentes.
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Exemplo
Um determinado produto tem 90% de chance de estar livre de defeitos. Em um lote de 4 pro-
dutos, calcule:
a) A probabilidade de encontrar 2 produtos com defeito.
b) O número esperado de produtos com defeito.
c) O desvio-padrão do número de produtos com defeito.
Definindo:
Experimento: “Observar o estado do produto”.
S = “produto com defeito” → p = 0,1.
F = “produto sem defeito” → q = 0,9.
X = “Número de produtos com defeito em um lote de 4 produtos”.
N = 4.
Assim:
a) P(X = m) = C m 0,1m 0,9 4−m
4
→ P(X = 2) = C 4 0,12 0,9 4 − 2 = 0,0486.
2
b) E(X) = Np = 4 × 0,1 = 0,4 .
c) V(X) = Npq = 4 × 0,1 × 0,9 = 0,36 → σ = V(X) = 0,6 .
Exemplo
Um sistema é formado por 3 linhas de transmissão idênticas que operam em paralelo. Calcule
a confiabilidade do sistema, sabendo que a confiabilidade de cada linha é 0,95 e que, para a
carga ser atendida é necessário que pelo menos duas linhas estejam em funcionamento.
Definindo:
Experimento: “Observar o estado de cada uma das 3 linhas de transmissão”.
S = “linha disponível” → p = 0,95.
F = “linha avariada” → q = 0,05.
X = “Número de linhas em funcionamento”.
N = 3.
Para que o sistema funcione, deve-se ter X = 2 ou X = 3. Assim:
R Sist = P(X = 2) + P(X = 3) .
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P(X = m) = C 3 0,95 m 0,053 − m .
m
• P(X = 2) = 0,135375 .
• P(X = 3) = 0,857375 .
R Sist = 0,135375 + 0,857375 = 0,99275 .
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson representa a probabilidade de um evento ocorrer um determinado
número de vezes em um intervalo de tempo ou espaço, quando o número médio de ocorrên-
cias ao longo do tempo ou espaço permanece constante.
Os problemas resolvidos pela distribuição de Poisson são sempre do tipo:
“Um evento ocorre em média α vezes por unidade de tempo. Qual a probabilidade deste even-
to acontecer exatamente m vezes?”
Neste caso, a variável aleatória de interesse é:
X = “Número de ocorrências do evento por unidade de tempo”.
Exemplos:
• Número de descargas atmosféricas por mês em uma região.
• Número de chamadas telefônicas por hora em uma central de atendimento.
A função densidade de probabilidade, valor médio e variância são:
e −α α m
P(X = m) = . (4)
m!
E(X) = α . (5)
V(X) = α . (6)
As seguintes condições devem ser obedecidas:
• O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em outro.
• A probabilidade de 2 ocorrências simultâneas é praticamente nula.
• O parâmetro α é constante ao longo do tempo.
Exemplo
Em um determinado trecho de uma estrada passam, em média, 120 veículos por hora. Qual a
probabilidade de em um intervalo de 30 segundos, passarem 0, 1, 2, 3, 4 veículos?
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Definindo:
X = “Número de veículos que passam a cada 30 segundos”.
120 veículos – 3600 segundos
α – 30 segundos
120 × 30
α= =1
3600
Logo, a taxa é de α = 1 veículo a cada 30 segundos.
Assim:
e −11m e −1
P(X = m) = = .
m! m!
Logo:
• P(X = 0) = 0,367879 .
• P(X = 1) = 0,367879 .
• P(X = 2) = 0,183940 .
• P(X = 3) = 0,061313 .
• P(X = 4) = 0,015328 .
Observação
Sob determinadas condições, a distribuição de Poisson e a Binomial fornecem probabilidades
muito próximas. Pesquise!
4.3 – Distribuições Contínuas Importantes
Distribuição Uniforme
A função densidade de probabilidade é mostrada na figura abaixo:
f(x)
1/(b-a)
a b x
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⎧ 1
⎪ , para a ≤ x ≤ b
f (x) = ⎨ b − a (7)
⎪0, para os demais valores de x.
⎩
A função de distribuição é dada por:
F(x)
1
a b x
⎧0, para x < a
⎪x − a
⎪
F( x ) = P(X ≤ x ) = ⎨ , para a ≤ x ≤ b (8)
⎪b − a
⎪1, para x > b.
⎩
Pode-se mostrar que:
a+b (b − a ) 2
E(X) = e V(X) = . (9)
2 12
Exemplo
A dureza de uma peca de cerâmica é proporcional ao tempo de queima e tem distribuição uni-
forme entre 0 e 10. Se a dureza de uma peça de cozinha deve estar entre 5 e 9, qual a probabi-
lidade de uma peça escolhida ao acaso ser adequada ao uso na cozinha?
X = “Dureza da peça”.
f(x)
0,1
0 5 9 10 x
Note que: P(5 ≤ X ≤ 9) = (9 − 5) × 0,1 = 0,4.
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Distribuição Normal
A distribuição normal ou distribuição de Gauss tem a seguinte função densidade:
2
⎛ x −μ ⎞
− 0,5× ⎜ ⎟
1 ⎝ σ ⎠
f (x) = e . (10)
σ 2π
A figura a seguir ilustra a função densidade de probabilidade. Note que a normal é completa-
mente definida por dois parâmetros: a média μ e o desvio-padrão σ.
A função de distribuição não pode ser expressa analiticamente, mas sim, determinada numeri-
camente por tabelas padronizadas (com μ = 0 e σ = 1) ou calculadoras científicas.
Exemplo
Se os diâmetros de bolinhas de rolamento são normalmente distribuídos com média 0,6140 e
desvio-padrão de 0,0025 polegadas, determine o percentual de bolinhas com diâmetro:
a) Entre 0,610 e 0,618.
b) Maior que 0,617.
c) Menor que 0,608.
D → Normal.
μ = 0,6140.
σ = 0,0025.
Para avaliar as probabilidades desejadas através da tabela padronizada (final do módulo), de-
ve-se obter a variável Z, normal com média 0 e desvio-padrão 1, conforme a transformação:
D−μ
Z=
σ
Assim:
a) P(0,610 < D ≤ 0,618) = ?
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0,610 − 0,614
z1 = = −1,6
0,0025
0,618 − 0,614
z2 = = 1,6
0,0025
P(0,610 < D ≤ 0,618) = P(−1,6 < Z ≤ 1,6)
P(0,610 < D ≤ 0,618) = 0,4452 + 0,4452 = 0,8904 .
b) P(D > 0,617) = ?
0,617 − 0,614
z= = 1,2
0,0025
P(D > 0,617) = 0,5 − 0,3849 = 0,1151 .
c) P(D ≤ 0,608) = ?
0,608 − 0,614
z= = −2,4
0,0025
P(D ≤ 0,608) = 0,5 − 0,4918 = 0,0082 .
Dica:
Procure saber como obter valores da distribuição Normal através de sua calculadora científica.
Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial é a mais conhecida e usada em estudos de confiabilidade de siste-
mas de potência, pois na maioria dos componentes, os tempos de operação entre falhas se
distribuem exponencialmente. O parâmetro que define a distribuição exponencial é a taxa de
falha λ, que, como será visto no próximo módulo, é constante na região de vida útil.
A função densidade de probabilidade e a função de distribuição são dadas por:
f ( t ) = λe −λt para t ≥ 0 . (11)
F( t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e −λt para t ≥ 0 . (12)
Graficamente:
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f(t) F(t)
λ 1
0 t 0 t
A esperança matemática e a variância são:
1 1
E (T ) = e V (T ) = . (13)
λ λ2
Exemplo
Um componente operando em sua região de vida útil tem uma confiabilidade de 90% para
uma missão de 50 horas. Qual a sua confiabilidade para uma missão de 100 horas?
A variável T representa o tempo de funcionamento até a falha do componente. Sabe-se que:
F( t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e −λt para t ≥ 0 .
Observe que F(t) corresponde à probabilidade do componente durar menos que t. Logo, a con-
fiabilidade para um tempo t representa a probabilidade do componente não ter falhado até o
referido instante, sendo calculada por:
R ( t ) = P(T > t ) = 1 − F( t ) = e −λt .
Dos dados, tem-se que:
R (50) = e −λ50 = 0,90 .
Assim:
− λ50 = Ln(0,90) → λ = 0,002107 falhas/hora.
Portanto:
R ( t ) = e −λt = e −0,002107 t .
Para t = 100:
R (100) = e −0,002107 ×100 = 0,81 .
Logo, a confiabilidade para uma missão de 100 horas é de aproximadamente 81%.
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4.4 – Exercícios Propostos
1) Qual a probabilidade de obter um total de 8 pintas nas seguintes situações:
a) Exatamente três vezes em quatro lançamentos de um par de dados.
b) Pelo menos duas vezes em quatro lançamentos de um par de dados.
2) Um operário do setor de fundição de uma fábrica encontra, em média, 1 peça defeituosa a
cada 5 produzidas. Se a seção produziu 8 pecas em um dia, qual a probabilidade de que
exatamente duas sejam defeituosas?
3) Uma pequena fábrica é operada por 4 empregados. A companhia ainda pode operar se
somente 3 funcionários estiverem presentes, mas, neste caso, a receita é 60% da obtida
com a produção total. Se mais de um empregado faltar, a produção é interrompida. Sabe-
se que um dos empregados falta, em média, 10 dias a cada 100 e os demais faltam 5 dias a
cada 100. As faltas são aleatórias e independentes. As despesas da companhia são de $
500,00 por dia de operação e $ 400,00 por dia sem operação. Se a receita com produção
total é de $ 800,00 por dia, qual o valor esperado do lucro diário desta companhia?
4) Um fabricante produz 10 itens de um determinado produto por ano. Se os itens não forem
vendidos em um ano, eles precisam ser descartados. A experiência passada mostra que a
demanda pelo produto tem distribuição de Poisson com uma média de 8 produtos por ano.
Se um lucro de $ 7,00 é obtido em cada produto vendido e um prejuízo de $ 3,00 é resul-
tante de cada produto descartado, calcule o lucro esperado pelo fornecedor em um ano.
5) Uma máquina produz parafusos dos quais 8% são defeituosos. Encontre a probabilidade
de que em uma amostra de 500 parafusos produzidos pela máquina, existam:
a) Pelo menos 50 defeituosos.
b) Entre 30 e 50 defeituosos.
c) Entre 35 e 45 defeituosos.
d) 55 ou mais parafusos defeituosos.
6) O tempo médio de funcionamento até a falha de um componente é igual a 5840 horas.
Calcule:
a) A probabilidade do componente falhar nas primeiras 300 horas.
b) A probabilidade do componente falhar entre 8000 horas e 8300 horas.
c) A probabilidade do componente falhar entre 8000 horas e 8300 horas, sabendo que ele
não falhou até às 8000 horas.
7) Resolva novamente o Exercício 4 do módulo anterior (Incerteza na Previsão de Carga),
considerando que a carga é normalmente distribuída com média 90 MW e desvio-padrão
de 5 MW.
Analise sempre os resultados obtidos!
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