Modulo 2

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MÓDULO 2

MODELAGEM E AVALIAÇÃO DE SISTEMAS SIMPLES E COMPLEXOS

2.1 – Introdução

Um sistema é frequentemente representado por uma rede em que os componentes são associ-
ados em série, paralelo, malha e combinações dos mesmos. Neste módulo, serão estudadas
técnicas para o cálculo de probabilidades de funcionamento e falha de redes de componentes.

2.2 – Sistema Série

Do ponto de vista da confiabilidade, um sistema série é aquele que só funciona quando todos
os componentes funcionam, i.e. basta que um componente falhe para que o sistema falhe.

1 2

Considere os eventos:

A = “O componente 1 funciona” → P(A) = R 1 → P( A ) = Q1 = 1 − R 1 ;
B = “O componente 2 funciona” → P(B) = R 2 → P( B) = Q 2 = 1 − R 2 ;
S = “O sistema funciona”.

Note que P(S) = P(A ∩ B) .

Considerando que os componentes sejam independentes,

P(S) = P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = R 1R 2 .

Assim,

R S = R 1R 2 .

A probabilidade de falha do sistema pode ser calculada como,

P( S ) = P( A ∪ B) = P( A ) + P( B) − P( A ∩ B) = Q1 + Q 2 − Q1Q 2 .

Ou seja,

Q S = Q1 + Q 2 − Q1Q 2

que, por sua vez, é numericamente igual a,

R S = 1 − R 1R 2 .

Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI


Generalização

Se o sistema tiver n componentes em série:

n
R S = R 1R 2 R 3 L R n = ∏Ri (1)
i =1
n
Q S = 1 − R 1R 2 R 3 L R n = 1 − ∏Ri (2)
i =1

Em um sistema série, deve-se calcular inicialmente a probabilidade de funcionamento e de-
pois, a probabilidade de falha.

Exemplo

Um sistema possui 20 componentes idênticos que precisam operar para que o sistema funcio-
ne. Qual a confiabilidade do sistema, se cada componente tem uma confiabilidade de 0,97?

20
RS = ∏ 0,97 = 0,97 20 = 0,5438 .
i =1

Exercício

Determine a confiabilidade dos sistemas série na tabela abaixo. Faça em um mesmo plano, os
gráficos da confiabilidade para cada caso. Analise e comente os resultados obtidos.

n Caso 1 Caso 2 Caso 3
1 0,97 0,90 0,80
2
3
4
5
6

Conclusão:



Exemplo

Um sistema série tem dois componentes com confiabilidade 0,99. Qual o risco do sistema não
funcionar?

R S = 0,99 × 0,99 = 0,9801 → Q S = 1 − R S = 0,0199 .

Por outro lado,

Q S = Q A + Q B − Q A Q B = 0,01 + 0,01 − 0,01 × 0,01 = 0,0199 ≅ 0,01 + 0,01.

Assim, quando o número de componentes for pequeno e Ri for elevada,

n
QS ≅ ∑ Qi . (3)
i =1

2.3 – Sistema Paralelo

Considere o sistema:

1

2

Este sistema será completamente redundante se para o seu funcionamento, bastar que apenas
um componente funcione. Assim, considere os eventos:

A = “O componente 1 funciona” → P(A) = R 1 → P( A ) = Q1 = 1 − R 1 ;
B = “O componente 2 funciona” → P(B) = R 2 → P( B) = Q 2 = 1 − R 2 ;
S = “O sistema funciona”.

Admitindo que o sistema seja completamente redundante, tem-se P(S) = P(A ∪ B) .

Como os eventos A e B não são mutuamente exclusivos,

P(S) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B) , i.e.

R P = R 1 + R 2 − R1R 2 .

Por outro lado, o sistema só falha se os dois componentes falharem. Assim: Q P = Q1Q 2 .



Generalização

Se o sistema tiver n componentes em paralelo:

n
Q P = Q1Q 2 Q 3 L Q n = ∏ Qi (4)
i =1
n
R P = 1 − Q1Q 2 Q 3 L Q n = 1 − ∏ Qi (5)
i =1

Em um sistema paralelo, deve-se calcular inicialmente a probabilidade de falha e depois, a
probabilidade de funcionamento.

Exemplo

Um sistema paralelo tem 3 componentes com confiabilidade R1 = 0,8, R2 = 0,9 e R3 = 0,95.
Qual a confiabilidade deste sistema?

Q P = Q1Q 2 Q 3 = 0,2 × 0,1 × 0,05 = 0,001 .
R P = 1 − Q P = 0,999 .

Exercício

Determine a confiabilidade do sistema paralelo e complete a tabela. Faça os gráficos da confi-
abilidade e da confiabilidade incremental (aumento de confiabilidade em relação ao anterior).

n Confiabilidade Ganho de Confiabilidade
1 0,8 -
2 0,96 0,16
3
4
5
6

Conclusão:



2.4 – Sistemas Série-Paralelo

Neste caso, o objetivo é reduzir sequencialmente configurações mais complicadas, combinan-
do adequadamente os elementos em série e paralelo, até que reste apenas um único elemento
equivalente. Considere o exemplo abaixo:

1 2 3

4

5

Primeira Redução:

6

7

R 6 = R 1R 2 R 3 → Q 6 = 1 − R 1R 2 R 3
Q7 = Q 4Q5

Segunda Redução:

8

Q8 = Q 6 Q 7 → Q 8 = (1 − R 1R 2 R 3 )Q 4 Q 5 .

Logo:

R 8 = 1 − (1 − R 1R 2 R 3 )Q 4 Q 5 .

No caso dos sistemas série-paralelo, pode-se obter a expressão da confiabilidade ou falibilida-
de, combinando sucessivamente os componentes em paralelo (probabilidade de falha) e série
(probabilidade de funcionamento), sem a necessidade de esquematizar cada redução, como
feito acima. Veja o exemplo a seguir.



Exemplo

Determine expressões para a confiabilidade dos sistemas a seguir e avalie-as numericamente,
admitindo Ri = 0,8 para todos os componentes.

a)
3

1 2

4

5

Neste caso,

Q Sist = [1 − R 1R 2 (1 − Q 3Q 4 )]Q 5

R Sist = 1 − [1 − R 1R 2 (1 − Q 3Q 4 )]Q 5 .

Numericamente,

R Sist = 0,92288 .

b)
1 2 3

4
6 7
5

8 9

Neste caso,

Q Sist = { − { − (1 − R 1R 2 R 3 )[1 − (1 − Q 4 Q 5 )R 6 ]}R 7 }(1 − R 8 R 9 )
1 1

R Sist = 1 − { − { − (1 − R 1R 2 R 3 )[1 − (1 − Q 4 Q 5 )R 6 ]}R 7 }(1 − R 8 R 9 ) .
1 1



Numericamente,

R Sist = 0,895394 .

2.5 – Sistemas Parcialmente Redundantes

Considere o sistema:

4

2

1 5

3

6

7

Determine a confiabilidade do sistema em duas situações:

a) Sistema completamente redundante;
b) O arranjo paralelo (4, 5, 6) necessita de pelo menos 2 componentes para funcionar.

No item “a” tem-se,

a
Q Sist = [1 − R 1 (1 − Q 2 Q 3 )(1 − Q 4 Q 5 Q 6 )]Q 7
a
R Sist = 1 − [1 − R 1 (1 − Q 2 Q 3 )(1 − Q 4 Q 5 Q 6 )]Q 7

O item “b” acima é um exemplo de redundância parcial. Nesta situação, observe que a confia-
bilidade do arranjo (4, 5, 6) é dada por:

R 456 = R 4 R 5 R 6 + Q 4 R 5 R 6 + R 4 Q 5 R 6 + R 4 R 5 Q 6 .

Dessa forma,

b
Q Sist = [1 − R 1 (1 − Q 2 Q 3 )R 456 ]Q 7
b
R Sist = 1 − [1 − R 1 (1 − Q 2 Q 3 )R 456 ]Q 7



Numericamente, com Ri = 0,8 tem-se:

a
R Sist = 0,952371
b
R Sist = 0,937626 .

Note que a exigência do funcionamento de 2 dos 3 componentes do arranjo (4, 5, 6) faz com
que a confiabilidade do sistema no caso “b” seja inferior à do caso “a”.

2.6 – Sistemas Complexos

Observe que o sistema abaixo não é do tipo série-paralelo.

1 3

5

2 4

Para a análise deste tipo de sistema existem técnicas baseadas em:

• Probabilidade condicional;
• Cut sets e Tie sets;
• Diagrama de árvore e diagrama lógico;
• Matriz de conexão, etc.

Neste módulo, são estudadas as abordagens por probabilidade condicional e cut sets, o méto-
do dos cortes mínimos.

Probabilidade Condicional

Considere os eventos:

SF = “O sistema funciona”;
F5 = “O componente 5 funciona” → P(F5 ) = R 5
F5 = “O componente 5 não funciona”. → P( F5 ) = Q 5

Pelo Teorema da Probabilidade Total,

P(SF) = P(SF | F5 ) × P(F5 ) + P(SF | F5 ) × P( F5 ) .

Observe que as probabilidades condicionais acima podem ser calculadas com base no próprio
sistema modificado conforme o estado operativo (condição) do componente 5. Assim:



• P(SF | F5 ) = ?

De acordo com a condição imposta:

1 3

2 4

Note que, com a condição imposta (componente 5 funcionando), o sistema resultante é tal que
pode ser analisado pelas técnicas de série-paralelo. Assim:

P(SF | F5 ) = (1 − Q1Q 2 )(1 − Q 3Q 4 )

• P(SF | F5 ) = ?

A condição atual implica na seguinte configuração do sistema:

1 3

2 4

Neste caso,

P(SF | F5 ) = 1 − (1 − R 1R 3 )(1 − R 2 R 4 ) .

Agora, pode-se compor a probabilidade de funcionamento do sistema fazendo,

R Sist = P(SF) = (1 − Q1Q 2 )(1 − Q 3Q 4 )R 5 + [1 − (1 − R 1R 3 )(1 − R 2 R 4 )]Q 5 .

Numericamente, tem-se:

• Para Ri = 0,99 e Qi = 0,01 → RSist = 0,999798 e QSist = 0,000202.

Apesar de exato, este método não é muito utilizado, pois não tem generalização simples, i.e.
nem sempre é fácil identificar o componente crítico (neste caso, o componente 5). Além disso,
a programação computacional do método não é trivial.



Método dos Cortes Mínimos ou Cut Sets

Ao contrário do anterior, este método apresenta simplicidade de generalização e implementa-
ção computacional e, além disso, é capaz de identificar os modos de falha do sistema, i.e. as
condições que o levam à falha. Contudo, deve-se ressaltar que os resultados obtidos são apro-
ximados.

Cut Set

Um cut set, conjunto mínimo de corte, ou modo de falha é um conjunto de componentes que,
se falhados simultaneamente, levam à falha do sistema. Neste caso, a falha do sistema ocorre
quando são interrompidas todas as ligações entre qualquer entrada e a saída de interesse.

Considere como exemplo, o sistema abaixo.

2

1

3

Observe que o sistema considerado é do tipo série-paralelo e, dessa forma, não exigiria a utili-
zação da técnica de cut sets. Contudo, o mesmo será utilizado para facilitar a ilustração e o
entendimento do método.

Modo de Falha Ordem Classificação
1 1ª mínimo
1e2 2ª não-mínimo
1e3 2ª não-mínimo
2e3 2ª mínimo
1e2e3 3ª não-mínimo

Os modos de falha 1 e (2 e 3) são classificados como mínimos, uma vez que não contêm ou-
tros modos de falha. Já os modos de falha (1 e 2), (1 e 3) e (1 e 2 e 3) são não-mínimos, pois
contém os elementos 1 e (2 e 3). Por exemplo, (1 e 2) não é mínimo, pois a falha do compo-
nente 1 já causa a falha do sistema, não necessitando da falha do componente 2 para isso.

Na maioria das aplicações em sistemas elétricos de potência, as probabilidades de falha são
bastante pequenas. Assim, é razoável considerar que, se uma falha aconteceu no sistema, ou-
tras falhas subseqüentes podem ser ignoradas e, consequentemente, somente os modos míni-
mos de falha devem ser considerados na aplicação do método dos cut sets.



Dessa forma, pode-se dizer que o sistema falha quando o componente 1 falha ou quando os
componentes 2 e 3 falham simultaneamente. Observe que a condição de falha anterior pode
ser expressa em um esquema equivalente de confiabilidade (EEC), que, neste caso é igual ao
próprio sistema.

Exemplo

Obter o esquema equivalente de confiabilidade do sistema abaixo e encontre uma expressão
para a confiabilidade do mesmo.

1 3

5

2 4

Neste caso, os modos mínimos de falha (MMF) ou conjuntos mínimos de corte (CMC) são:

• 1ª ordem: Não há.
• 2ª ordem: (1 e 2), (3 e 4).
• 3ª ordem: (1 e 4 e 5), (2 e 3 e 5).

Assim, o esquema equivalente de confiabilidade pode ser representado como:

1 2

1 3

4 3

2 4

5 5

Logo:

R Sist ≅ P(SF) = (1 − Q1Q 2 )(1 − Q 3Q 4 )(1 − Q1Q 4 Q 5 )(1 − Q 2 Q 3Q 5 ) .

Numericamente, tem-se:





Observe como os resultados são realmente muito próximos dos obtidos pelo método da pro-
babilidade condicional, que é exato.

Algoritmo para a Obtenção dos Cortes Mínimos

Passo 1 – Identificar os caminhos mínimos:

1 3

5 6

2 4

Um caminho é um conjunto de componentes que em funcionamento, providenciam uma liga-
ção entre qualquer entrada e a saída de interesse. Por exemplo, o conjunto (1, 3, 6) é um ca-
minho, pois se somente os componentes 1, 3 e 6 estiverem em funcionamento, o sistema fun-
ciona.

O conjunto (2, 4, 6, 1) também é um caminho, uma vez que o funcionamento desses compo-
nentes garante o funcionamento do sistema. Observe, no entanto, que o conjunto (1, 3, 6) é
um caminho mínimo, enquanto o conjunto (2, 4, 6, 1) não é mínimo.

Note que nos caminhos mínimos, a falha de qualquer componente faz com que o conjunto
restante deixe de ser um caminho! Por exemplo, o conjunto (1, 3, 6) é um caminho mínimo,
visto que:

• Se falhar o componente 1 → sobra o conjunto (3, 6), que não é um caminho.

O mesmo não acontece com o conjunto (2, 4, 6, 1), pois, com a falha do componente 1, so-
bram os componentes 2, 4 e 6, que já formam um caminho.

Neste exemplo, têm-se os seguintes caminhos mínimos:

• Caminho 1: (1, 3, 6);
• Caminho 2: (2, 4, 6);
• Caminho 3: (1, 5, 4, 6);
• Caminho 4: (2, 5, 3, 6).



Passo 2 – Codificação:

A codificação pode ser feita em uma matriz de incidência, onde as linhas representam os ca-
minhos e as colunas representam os componentes. Neste caso, o termo (i,j) da matriz será 1 se
o componente “j” fizer parte do caminho “i” e 0, se não fizer. Para o exemplo em questão:

Componente
Caminho
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1
2 1 1 1
3 1 1 1 1
4 1 1 1 1

Observe na matriz, que o componente 1 faz parte dos caminhos 1 e 3. Logo, a falha do com-
ponente 1 interrompe esses dois caminhos (que são mínimos). De maneira semelhante, tem-se
que a falha do componente 2 interrompe os caminhos 2 e 4, e assim por diante. Com base
nessas observações, pode-se concluir que:

• Os conjuntos mínimos de corte de 1ª ordem correspondem às colunas que somente possu-
em elementos iguais a 1. Neste caso, tem-se que o componente 6 é um CMC de 1ª ordem.
• Para detectar os CMC de 2ª ordem, basta combinar as colunas duas a duas (desconside-
rando, é claro, os CMCs de 1ª ordem), fazendo a operação lógica “ou”. Se o resultado for
uma coluna de elementos iguais a 1, então os componentes em questão formam um CMC
de 2ª ordem. Neste caso, os CMC de 2ª ordem são (1 e 2) e (3 e 4).
• Para encontrar CMCs de 3ª ordem as colunas devem ser combinadas três a três e assim
por diante. Neste caso, tem-se (1 e 4 e 5) e (2 e 3 e 5).

Passo 3 – Montar o esquema equivalente de confiabilidade:

1 2

1 3

6 4 3

2 4

5 5

Uma vez determinado o EEC, então o sistema pode ser analisado com as mesmas técnicas
utilizadas em sistemas série-paralelo.



2.7 – Exercícios Propostos

1) Obtenha expressões para a confiabilidade do sistema completamente redundante abaixo,
em relação ao ponto C. Atribua valores para a confiabilidade de cada componente e calcu-
le a confiabilidade do sistema numericamente.

a) Usando probabilidade condicional;
b) Usando a técnica de cut sets.

~ G1 G2 ~

L1

L2 L3
L4

C

2) Determine a confiabilidade dos sistemas abaixo. Considere Ri = 0,9.

a)

A B C

D E

b)

A B C

D E

3) Elabore alguns sistemas série-paralelo de 10 a 15 componentes e calcule expressões para a
sua probabilidade de funcionamento ou falha.

Respostas:

2) a) 0,98739 b) 0,98901


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