Este documento apresenta técnicas para modelagem e avaliação da confiabilidade de sistemas simples e complexos. Inicialmente, são apresentados modelos para sistemas em série, paralelo e série-paralelo, definindo-se expressões para o cálculo da probabilidade de funcionamento e falha. Posteriormente, são discutidos sistemas parcialmente redundantes e complexos, propondo-se o uso de probabilidade condicional e método dos cortes mínimos para análise destes sistemas.
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MÓDULO 2
MODELAGEM E AVALIAÇÃO DE SISTEMAS SIMPLES E COMPLEXOS
2.1 – Introdução
Um sistema é frequentemente representado por uma rede em que os componentes são associ-
ados em série, paralelo, malha e combinações dos mesmos. Neste módulo, serão estudadas
técnicas para o cálculo de probabilidades de funcionamento e falha de redes de componentes.
2.2 – Sistema Série
Do ponto de vista da confiabilidade, um sistema série é aquele que só funciona quando todos
os componentes funcionam, i.e. basta que um componente falhe para que o sistema falhe.
1 2
Considere os eventos:
A = “O componente 1 funciona” → P(A) = R 1 → P( A ) = Q1 = 1 − R 1 ;
B = “O componente 2 funciona” → P(B) = R 2 → P( B) = Q 2 = 1 − R 2 ;
S = “O sistema funciona”.
Note que P(S) = P(A ∩ B) .
Considerando que os componentes sejam independentes,
P(S) = P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = R 1R 2 .
Assim,
R S = R 1R 2 .
A probabilidade de falha do sistema pode ser calculada como,
P( S ) = P( A ∪ B) = P( A ) + P( B) − P( A ∩ B) = Q1 + Q 2 − Q1Q 2 .
Ou seja,
Q S = Q1 + Q 2 − Q1Q 2
que, por sua vez, é numericamente igual a,
R S = 1 − R 1R 2 .
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Generalização
Se o sistema tiver n componentes em série:
n
R S = R 1R 2 R 3 L R n = ∏Ri (1)
i =1
n
Q S = 1 − R 1R 2 R 3 L R n = 1 − ∏Ri (2)
i =1
Em um sistema série, deve-se calcular inicialmente a probabilidade de funcionamento e de-
pois, a probabilidade de falha.
Exemplo
Um sistema possui 20 componentes idênticos que precisam operar para que o sistema funcio-
ne. Qual a confiabilidade do sistema, se cada componente tem uma confiabilidade de 0,97?
20
RS = ∏ 0,97 = 0,97 20 = 0,5438 .
i =1
Exercício
Determine a confiabilidade dos sistemas série na tabela abaixo. Faça em um mesmo plano, os
gráficos da confiabilidade para cada caso. Analise e comente os resultados obtidos.
n Caso 1 Caso 2 Caso 3
1 0,97 0,90 0,80
2
3
4
5
6
Conclusão:
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Exemplo
Um sistema série tem dois componentes com confiabilidade 0,99. Qual o risco do sistema não
funcionar?
R S = 0,99 × 0,99 = 0,9801 → Q S = 1 − R S = 0,0199 .
Por outro lado,
Q S = Q A + Q B − Q A Q B = 0,01 + 0,01 − 0,01 × 0,01 = 0,0199 ≅ 0,01 + 0,01.
Assim, quando o número de componentes for pequeno e Ri for elevada,
n
QS ≅ ∑ Qi . (3)
i =1
2.3 – Sistema Paralelo
Considere o sistema:
1
2
Este sistema será completamente redundante se para o seu funcionamento, bastar que apenas
um componente funcione. Assim, considere os eventos:
A = “O componente 1 funciona” → P(A) = R 1 → P( A ) = Q1 = 1 − R 1 ;
B = “O componente 2 funciona” → P(B) = R 2 → P( B) = Q 2 = 1 − R 2 ;
S = “O sistema funciona”.
Admitindo que o sistema seja completamente redundante, tem-se P(S) = P(A ∪ B) .
Como os eventos A e B não são mutuamente exclusivos,
P(S) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B) , i.e.
R P = R 1 + R 2 − R1R 2 .
Por outro lado, o sistema só falha se os dois componentes falharem. Assim: Q P = Q1Q 2 .
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Generalização
Se o sistema tiver n componentes em paralelo:
n
Q P = Q1Q 2 Q 3 L Q n = ∏ Qi (4)
i =1
n
R P = 1 − Q1Q 2 Q 3 L Q n = 1 − ∏ Qi (5)
i =1
Em um sistema paralelo, deve-se calcular inicialmente a probabilidade de falha e depois, a
probabilidade de funcionamento.
Exemplo
Um sistema paralelo tem 3 componentes com confiabilidade R1 = 0,8, R2 = 0,9 e R3 = 0,95.
Qual a confiabilidade deste sistema?
Q P = Q1Q 2 Q 3 = 0,2 × 0,1 × 0,05 = 0,001 .
R P = 1 − Q P = 0,999 .
Exercício
Determine a confiabilidade do sistema paralelo e complete a tabela. Faça os gráficos da confi-
abilidade e da confiabilidade incremental (aumento de confiabilidade em relação ao anterior).
n Confiabilidade Ganho de Confiabilidade
1 0,8 -
2 0,96 0,16
3
4
5
6
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2.4 – Sistemas Série-Paralelo
Neste caso, o objetivo é reduzir sequencialmente configurações mais complicadas, combinan-
do adequadamente os elementos em série e paralelo, até que reste apenas um único elemento
equivalente. Considere o exemplo abaixo:
1 2 3
4
5
Primeira Redução:
6
7
R 6 = R 1R 2 R 3 → Q 6 = 1 − R 1R 2 R 3
Q7 = Q 4Q5
Segunda Redução:
8
Q8 = Q 6 Q 7 → Q 8 = (1 − R 1R 2 R 3 )Q 4 Q 5 .
Logo:
R 8 = 1 − (1 − R 1R 2 R 3 )Q 4 Q 5 .
No caso dos sistemas série-paralelo, pode-se obter a expressão da confiabilidade ou falibilida-
de, combinando sucessivamente os componentes em paralelo (probabilidade de falha) e série
(probabilidade de funcionamento), sem a necessidade de esquematizar cada redução, como
feito acima. Veja o exemplo a seguir.
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Exemplo
Determine expressões para a confiabilidade dos sistemas a seguir e avalie-as numericamente,
admitindo Ri = 0,8 para todos os componentes.
a)
3
1 2
4
5
Neste caso,
Q Sist = [1 − R 1R 2 (1 − Q 3Q 4 )]Q 5
R Sist = 1 − [1 − R 1R 2 (1 − Q 3Q 4 )]Q 5 .
Numericamente,
R Sist = 0,92288 .
b)
1 2 3
4
6 7
5
8 9
Neste caso,
Q Sist = { − { − (1 − R 1R 2 R 3 )[1 − (1 − Q 4 Q 5 )R 6 ]}R 7 }(1 − R 8 R 9 )
1 1
R Sist = 1 − { − { − (1 − R 1R 2 R 3 )[1 − (1 − Q 4 Q 5 )R 6 ]}R 7 }(1 − R 8 R 9 ) .
1 1
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Numericamente,
R Sist = 0,895394 .
2.5 – Sistemas Parcialmente Redundantes
Considere o sistema:
4
2
1 5
3
6
7
Determine a confiabilidade do sistema em duas situações:
a) Sistema completamente redundante;
b) O arranjo paralelo (4, 5, 6) necessita de pelo menos 2 componentes para funcionar.
No item “a” tem-se,
a
Q Sist = [1 − R 1 (1 − Q 2 Q 3 )(1 − Q 4 Q 5 Q 6 )]Q 7
a
R Sist = 1 − [1 − R 1 (1 − Q 2 Q 3 )(1 − Q 4 Q 5 Q 6 )]Q 7
O item “b” acima é um exemplo de redundância parcial. Nesta situação, observe que a confia-
bilidade do arranjo (4, 5, 6) é dada por:
R 456 = R 4 R 5 R 6 + Q 4 R 5 R 6 + R 4 Q 5 R 6 + R 4 R 5 Q 6 .
Dessa forma,
b
Q Sist = [1 − R 1 (1 − Q 2 Q 3 )R 456 ]Q 7
b
R Sist = 1 − [1 − R 1 (1 − Q 2 Q 3 )R 456 ]Q 7
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Numericamente, com Ri = 0,8 tem-se:
a
R Sist = 0,952371
b
R Sist = 0,937626 .
Note que a exigência do funcionamento de 2 dos 3 componentes do arranjo (4, 5, 6) faz com
que a confiabilidade do sistema no caso “b” seja inferior à do caso “a”.
2.6 – Sistemas Complexos
Observe que o sistema abaixo não é do tipo série-paralelo.
1 3
5
2 4
Para a análise deste tipo de sistema existem técnicas baseadas em:
• Probabilidade condicional;
• Cut sets e Tie sets;
• Diagrama de árvore e diagrama lógico;
• Matriz de conexão, etc.
Neste módulo, são estudadas as abordagens por probabilidade condicional e cut sets, o méto-
do dos cortes mínimos.
Probabilidade Condicional
Considere os eventos:
SF = “O sistema funciona”;
F5 = “O componente 5 funciona” → P(F5 ) = R 5
F5 = “O componente 5 não funciona”. → P( F5 ) = Q 5
Pelo Teorema da Probabilidade Total,
P(SF) = P(SF | F5 ) × P(F5 ) + P(SF | F5 ) × P( F5 ) .
Observe que as probabilidades condicionais acima podem ser calculadas com base no próprio
sistema modificado conforme o estado operativo (condição) do componente 5. Assim:
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• P(SF | F5 ) = ?
De acordo com a condição imposta:
1 3
2 4
Note que, com a condição imposta (componente 5 funcionando), o sistema resultante é tal que
pode ser analisado pelas técnicas de série-paralelo. Assim:
P(SF | F5 ) = (1 − Q1Q 2 )(1 − Q 3Q 4 )
• P(SF | F5 ) = ?
A condição atual implica na seguinte configuração do sistema:
1 3
2 4
Neste caso,
P(SF | F5 ) = 1 − (1 − R 1R 3 )(1 − R 2 R 4 ) .
Agora, pode-se compor a probabilidade de funcionamento do sistema fazendo,
R Sist = P(SF) = (1 − Q1Q 2 )(1 − Q 3Q 4 )R 5 + [1 − (1 − R 1R 3 )(1 − R 2 R 4 )]Q 5 .
Numericamente, tem-se:
• Para Ri = 0,99 e Qi = 0,01 → RSist = 0,999798 e QSist = 0,000202.
• Para Ri = 0,95 e Qi = 0,05 → RSist = 0,994781 e QSist = 0,005219.
Apesar de exato, este método não é muito utilizado, pois não tem generalização simples, i.e.
nem sempre é fácil identificar o componente crítico (neste caso, o componente 5). Além disso,
a programação computacional do método não é trivial.
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Método dos Cortes Mínimos ou Cut Sets
Ao contrário do anterior, este método apresenta simplicidade de generalização e implementa-
ção computacional e, além disso, é capaz de identificar os modos de falha do sistema, i.e. as
condições que o levam à falha. Contudo, deve-se ressaltar que os resultados obtidos são apro-
ximados.
Cut Set
Um cut set, conjunto mínimo de corte, ou modo de falha é um conjunto de componentes que,
se falhados simultaneamente, levam à falha do sistema. Neste caso, a falha do sistema ocorre
quando são interrompidas todas as ligações entre qualquer entrada e a saída de interesse.
Considere como exemplo, o sistema abaixo.
2
1
3
Observe que o sistema considerado é do tipo série-paralelo e, dessa forma, não exigiria a utili-
zação da técnica de cut sets. Contudo, o mesmo será utilizado para facilitar a ilustração e o
entendimento do método.
Modo de Falha Ordem Classificação
1 1ª mínimo
1e2 2ª não-mínimo
1e3 2ª não-mínimo
2e3 2ª mínimo
1e2e3 3ª não-mínimo
Os modos de falha 1 e (2 e 3) são classificados como mínimos, uma vez que não contêm ou-
tros modos de falha. Já os modos de falha (1 e 2), (1 e 3) e (1 e 2 e 3) são não-mínimos, pois
contém os elementos 1 e (2 e 3). Por exemplo, (1 e 2) não é mínimo, pois a falha do compo-
nente 1 já causa a falha do sistema, não necessitando da falha do componente 2 para isso.
Na maioria das aplicações em sistemas elétricos de potência, as probabilidades de falha são
bastante pequenas. Assim, é razoável considerar que, se uma falha aconteceu no sistema, ou-
tras falhas subseqüentes podem ser ignoradas e, consequentemente, somente os modos míni-
mos de falha devem ser considerados na aplicação do método dos cut sets.
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Dessa forma, pode-se dizer que o sistema falha quando o componente 1 falha ou quando os
componentes 2 e 3 falham simultaneamente. Observe que a condição de falha anterior pode
ser expressa em um esquema equivalente de confiabilidade (EEC), que, neste caso é igual ao
próprio sistema.
Exemplo
Obter o esquema equivalente de confiabilidade do sistema abaixo e encontre uma expressão
para a confiabilidade do mesmo.
1 3
5
2 4
Neste caso, os modos mínimos de falha (MMF) ou conjuntos mínimos de corte (CMC) são:
• 1ª ordem: Não há.
• 2ª ordem: (1 e 2), (3 e 4).
• 3ª ordem: (1 e 4 e 5), (2 e 3 e 5).
Assim, o esquema equivalente de confiabilidade pode ser representado como:
1 2
1 3
4 3
2 4
5 5
Logo:
R Sist ≅ P(SF) = (1 − Q1Q 2 )(1 − Q 3Q 4 )(1 − Q1Q 4 Q 5 )(1 − Q 2 Q 3Q 5 ) .
Numericamente, tem-se:
• Para Ri = 0,99 e Qi = 0,01 → RSist = 0,999798 e QSist = 0,000202.
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• Para Ri = 0,95 e Qi = 0,05 → RSist = 0,994758 e QSist = 0,005242.
Observe como os resultados são realmente muito próximos dos obtidos pelo método da pro-
babilidade condicional, que é exato.
Algoritmo para a Obtenção dos Cortes Mínimos
Passo 1 – Identificar os caminhos mínimos:
1 3
5 6
2 4
Um caminho é um conjunto de componentes que em funcionamento, providenciam uma liga-
ção entre qualquer entrada e a saída de interesse. Por exemplo, o conjunto (1, 3, 6) é um ca-
minho, pois se somente os componentes 1, 3 e 6 estiverem em funcionamento, o sistema fun-
ciona.
O conjunto (2, 4, 6, 1) também é um caminho, uma vez que o funcionamento desses compo-
nentes garante o funcionamento do sistema. Observe, no entanto, que o conjunto (1, 3, 6) é
um caminho mínimo, enquanto o conjunto (2, 4, 6, 1) não é mínimo.
Note que nos caminhos mínimos, a falha de qualquer componente faz com que o conjunto
restante deixe de ser um caminho! Por exemplo, o conjunto (1, 3, 6) é um caminho mínimo,
visto que:
• Se falhar o componente 1 → sobra o conjunto (3, 6), que não é um caminho.
• Se falhar o componente 3 → sobra o conjunto (1, 6), que não é um caminho.
• Se falhar o componente 6 → sobra o conjunto (1, 3), que não é um caminho.
O mesmo não acontece com o conjunto (2, 4, 6, 1), pois, com a falha do componente 1, so-
bram os componentes 2, 4 e 6, que já formam um caminho.
Neste exemplo, têm-se os seguintes caminhos mínimos:
• Caminho 1: (1, 3, 6);
• Caminho 2: (2, 4, 6);
• Caminho 3: (1, 5, 4, 6);
• Caminho 4: (2, 5, 3, 6).
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Passo 2 – Codificação:
A codificação pode ser feita em uma matriz de incidência, onde as linhas representam os ca-
minhos e as colunas representam os componentes. Neste caso, o termo (i,j) da matriz será 1 se
o componente “j” fizer parte do caminho “i” e 0, se não fizer. Para o exemplo em questão:
Componente
Caminho
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1
2 1 1 1
3 1 1 1 1
4 1 1 1 1
Observe na matriz, que o componente 1 faz parte dos caminhos 1 e 3. Logo, a falha do com-
ponente 1 interrompe esses dois caminhos (que são mínimos). De maneira semelhante, tem-se
que a falha do componente 2 interrompe os caminhos 2 e 4, e assim por diante. Com base
nessas observações, pode-se concluir que:
• Os conjuntos mínimos de corte de 1ª ordem correspondem às colunas que somente possu-
em elementos iguais a 1. Neste caso, tem-se que o componente 6 é um CMC de 1ª ordem.
• Para detectar os CMC de 2ª ordem, basta combinar as colunas duas a duas (desconside-
rando, é claro, os CMCs de 1ª ordem), fazendo a operação lógica “ou”. Se o resultado for
uma coluna de elementos iguais a 1, então os componentes em questão formam um CMC
de 2ª ordem. Neste caso, os CMC de 2ª ordem são (1 e 2) e (3 e 4).
• Para encontrar CMCs de 3ª ordem as colunas devem ser combinadas três a três e assim
por diante. Neste caso, tem-se (1 e 4 e 5) e (2 e 3 e 5).
Passo 3 – Montar o esquema equivalente de confiabilidade:
1 2
1 3
6 4 3
2 4
5 5
Uma vez determinado o EEC, então o sistema pode ser analisado com as mesmas técnicas
utilizadas em sistemas série-paralelo.
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2.7 – Exercícios Propostos
1) Obtenha expressões para a confiabilidade do sistema completamente redundante abaixo,
em relação ao ponto C. Atribua valores para a confiabilidade de cada componente e calcu-
le a confiabilidade do sistema numericamente.
a) Usando probabilidade condicional;
b) Usando a técnica de cut sets.
~ G1 G2 ~
L1
L2 L3
L4
C
2) Determine a confiabilidade dos sistemas abaixo. Considere Ri = 0,9.
a)
A B C
D E
b)
A B C
D E
3) Elabore alguns sistemas série-paralelo de 10 a 15 componentes e calcule expressões para a
sua probabilidade de funcionamento ou falha.
Respostas:
2) a) 0,98739 b) 0,98901
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