1. PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
PROFESSORA ROSÂNIA

2. INTRODUÇÃO
Uma Progressão Geométrica (PG)
é uma sequência de números
onde cada termo (exceto o
primeiro) é resultado do produto
do termo anterior com uma
constante, chamada RAZÃO

4. TIPOS DE PG
Uma PG pode ser dos seguintes tipos principais:
(1, 2, 4, 8, 16 ...) – CRESCENTE – RAZÃO = 2
(16, 8, 4 ...) – DECRESCENTE – RAZÃO = 8/16 = ½
(3, 3, 3, 3, 3, ....) – CONSTANTE – RAZÃO = 1
(1, -2, 4, -8, 16, -32 ...) – ALTERNANTE – RAZÃO = -2

5. TERMOS DE UMA PG
Seja a PG: ( 1, 2, 4, 8, 16...)
Temos: a1, a2, a3, ...an
a1 = 1
a2 = 2
a3 = 4
a4 = 8
....
an = ÚLTIMO TERMO
RAZÃO (q): valor multiplicado a cada termo
anterior para obter o termo posterior.

6. FÓRMULA DO TERMO GERAL
Seja a PG: (1, 2, 4, 8, 16 ...)
Note que a razão (q) vale 2. Note também que:
a2 = a1 . q1
a3 = a1 . q2
a4 = a1 . q3 ou seja:
an =a1 . q (n – 1)
an = am . q (n – m)

7. Ex1: Determine o 8º termo da PG (5, 10, 20...)
an =a1 . q (n – 1)

8. Ex2: Em uma PG, temos que o 1º termo
equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine
o 8º termo.

9. Ex2: Em uma PG, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão
igual a 3. Determine o 8º termo.

10. Ex3: Achar o número de termos da PG (1, 4, 16, ... 1024)
RESOLUÇÃO:

11. Interpolar x meios geométricos
entre dois termos significa
descobrir esses mesmos termos
de tal forma que toda a sequência
seja uma PG.

12. Ex: Interpolar dois meios geométricos entre 5 e 40.

13. Numa PG, o termo médio é a média geométrica dos
termos equidistantes

14. O produto dos n termos de uma PG é dado por:

15. EX: Calcule o produto dos termos da PG (1, 2,
4, 8, ... 512)
1º Achar o número de termos: 2º Aplicar a fórmula do produto:

16. 1º CASO: (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) – A soma é
zero
2º CASO: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3) – note que a
soma = 3 . 8 = 24
Quando a razão é 1 vale aplicar:

18. Ex: Determine a soma dos 6 primeiros termos de uma
PG em que o sexto termo é 160 e a razão é igual a 2.
1° passo: achar o primeiro termo: 2° passo: determinar a soma

20. 1. Em uma progressão geométrica, temos que o
1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3.
Determine o 8º termo dessa PG.
a8 = 4 . 37
a8 = 4 . 2187
a8 = 8748
O 8º termo da PG descrita é o número 8748.
EXERCÍCIOS

21. 2.Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o
20º termo.
a20 = 3 * 319
a20 = 3 * 1.162.261.467
a20 = 3.486.784.401

22. 3. Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma
dos 20 primeiros elementos dessa PG.
(3, 9, 27, 81, ...),
a1 = 3
q = 3
n = 20

23. 4. Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os
valores foram os seguintes:
Janeiro: 98,00 / Fevereiro: 99,96 / Março: 101,96 / Abril: 104,00 / Maio: 106,08
Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice
inflacionário foi constante.
Os termos estão em progressão geométrica, observe:
106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02
A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02,
isto indica que a inflação entre os meses é de 2%.
Vamos determinar a soma
dos gastos dessa dona de casa, observe:
Os gastos da dona de casa com compras de
supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.314,39.

24. 5. Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2,
determine a soma dos 10 primeiros termos dessa
progressão.
6. A sequência seguinte é uma progressão geométrica,
observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa
progressão.

25. 7- Se somarmos os 7 primeiros termos da P.G. ( 7, 21, ... ) qual
será o valor obtido?
Para a solução do exercício temos então as seguintes variáveis:
Calculando temos:
𝑆𝑛
𝑎1(𝑞 𝑛 − 1
𝑞 − 1
=
7 (37 − 1)
3 − 1
=
7 . 2186
2
=
15302
2
= 7651
Logo:
O valor obtido ao somarmos os 7 primeiros termos da referida P.G. será
de 7651.
a1 = 7
q = 3
n = 7

26. 8- Qual é o produto da multiplicação dos 5 primeiros termos da
P.G. ( 6, 9, ... )?
Aplicando a fórmula para o cálculo do produto dos termos de uma
progressão geométrica temos:
Enfim:
O produto dos cinco primeiros termos da referida P.G. é
de 448403,34375.
a1 = 6
q = 1,5
n = 5
𝑃𝑛 = 𝑎1 𝑛 . 𝑞
𝑛 𝑛−1
2 = 65. 1,5
5 5−1
2 = 65. 1,510 = 448403,34375

27. 9. Vunesp – SP – Adaptado)
Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser
empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e,
em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha.
Por exemplo:
Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.
As tábuas são empilhadas de acordo com
uma progressão geométrica de razão 2.
Então:
an = a1 * q n–1
a12 = 1 * 2 12–1
a12 = 1 * 2 11
a12 = 1 * 2048
a12 = 2048
Na 12ª pilha teremos 2048 tábuas.

28. 10. Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem.
2, - - - -, 486
A1 = 2
an = 486
N = 6
𝑎 𝑛 = 𝑎1 . 𝑞 𝑛−1
486 = 2 . 𝑞5
𝑞5 =
486
2
𝑞 = 243
5
q = 3

29. 11. Determine a soma dos 12 primeiros termos da PG
(1, 2, 4, 8 ...)
𝑆12 =
1. (212−1)
2−1
𝑆12 =
1. (4096−1)
1
𝑆12 = 4095