O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação, igualdade, tipos, operações e leis de formação. São descritas matrizes quadradas e retangulares, transpostas, nulas e identidade. São explicadas as operações de adição, subtração e multiplicação entre matrizes.

1. Matrizes Definição
Mat Fis Qui
João 7,0 5,0 6,0
Maria 9,0 4,0 5,0
Chama-se matriz a uma tabela de números dispostos em linhas e
colunas
7 5 6
A
9 4 5

2. Matrizes Classificação
Matriz Quadrada: número de linhas = números de colunas
2 1
4 0
Matriz Retangular : número de linhas é diferente do
números de colunas
4 1 2 0

3. Matrizes Notação
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij
onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse
elemento.
a11 a12
A a21 a22
a31 a32
Observação: Se a matriz é quadrada de ordem n, então os
elementos aij tal que i=j são chamados de diagonal principal e os
elementos aij tal que i + j = n + 1 são os elementos da diagonal
secundária.

4. Matrizes Igualdade de Duas Matrizes
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se
somente se os seus elementos são respectivamente iguais.
Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos:
A = B <=> aij=bij

5. Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Transposta
Dada uma matriz A do tipo mxn chama-se transposta de A, a
matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de linhas de A
serão as colunas de At e vice-versa
5 1
5 3 4 A t
3 0
A
1 0 2 4 2
Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é
do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A
será o elemento aji de At .

6. Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Nula
Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus
elementos são iguais a zero.
0 0 0
0
0 0 0

7. Matrizes Operações com Matrizes
Adição
Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam
do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de
linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij + bij
Exemplo:
2 5 1 1 6 0 3 11 1
A B A B
3 2 4 1 3 2 2 1 2

8. Matrizes Operações com Matrizes
Subtração
Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam
do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de
linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij - bij
Exemplo:
1 5 3 2 2 3
A 2 3 B 2 5 A B 4 2
1 4 0 1 1 5

9. Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação
Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p,
chama-se produto da matriz A pela matriz B que se
indica C = A . B a matriz m x p definida por
Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj
Observações:
1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o
número de colunas da matriz A for igual ao número de
linhas da matriz B.
2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p
respectivamente, então o produto C = A . B existe e é
uma matriz do tipo m x p,

10. Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação
Exemplo:
Dadas as matrizes
2 3
3 1
A 1 0 eB
2 4
4 5
2.3 3.2 2.1 3.4 12 14
C A.B 1.3 0.2 1.1 0.4 3 1
4.3 5.2 4.1 5.4 22 24

11. Matrizes Lei de formação de uma matriz
Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:
aij i 2 j se i j
bij 3i j se i j
a11 a12 a13
A
a21 a22 a23
1 2.1 3.1 2 3.1 3 1 5 6
A
3.2 1 2 2.2 3.2 3 7 2 9

12. Matrizes Exercício Resolvido
04.21. Quantas matrizes existem de
ordem 2 com elementos de números t 6 5
naturais tais que:
X X
5 8
Solução:
a b t a c
Chamaremos de X eX
c d b d
a b a c 6 5
Substituíndo temos
c d b d 5 8
2a b c 6 5
b c 2d 5 8

13. Matrizes Exercício Resolvido
04.21. Quantas matrizes existem de
ordem 2 com elementos de números t 6 5
naturais tais que:
X X
5 8
Solução:
2a = 6 a=3
2d = 8 d=4
b+c=5
Lembrando a análise combinatória
OOOOOO+
5,1 6!
p6 6
5! !
1

14. Matrizes Produto de Matrizes
Matriz Identidade
Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os
elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais
elementos são iguais a zero.
1 0 Obs: A matriz identidade é o
I2 elemento neutro da
0 1 multiplicação ou seja:
1 0 0 A.I=I.A=A
I3 0 1 0
0 1 0

15. Matrizes Operações com matrizes
Produto de número por uma Matriz
Definimos o produto de um número por uma matriz m x n como
sendo uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado
por cada um dos elementos da matriz dada.
Exemplo
2 1 4
A
0 3 5
6 3 12
3A
0 9 15

16. Matrizes Observações
 O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em
que A.B = B.A e quando isso acontece dizemos que A e B se
comutam.
 Quando A . B for diferente de B . A temos que
(A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2
 Quando A e B se comutam temos (A+B)2 = A2 + 2AB +B2

17. Matriz Inversa

18. Definição
• Dada uma matriz quadrada A, de ordem
n, se X é uma matriz tal que AX = In e
XA = In, então X é denominada matriz
inversa de A e é indicada por A-1. Quando
existe a matriz inversa de A, dizemos que
A é uma matriz inversível ou não-
singular.

19. • Verifique se existe e, em caso afirmativo,
determine a matriz inversa de A =

20. Resolução: Pela definição temos:
5 8 a b 1 0 5a 8c 5b 8d 1 0
2 3 c d 0 1 2a 3c 2b 3d 0 1
5a 8c 1 5b 8d 0
a 3ec 2 b 8ed 5
2a 3c 0 2b 3d 1
3 8
Então X = , para AX = I2.
2 5

21. Matrizes Elementares
Chamamos de operações elementares nas linhas de
uma matriz, às seguintes operações:
• i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;
• ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma
constante diferente de zero;
• iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma
com outra linha multiplicada por uma constante
diferente de zero.

22. Definição
• Uma matriz elementar é uma matriz obtida
por meio de operações elementares nas linhas
de uma matriz identidade.

23. Exemplo
1 0 0 0
0 1 0 0
1. Considere a matriz identidade I . Então as matrizes
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 5 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
E1 , E2 , E3 , são matrizes
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 1
elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar
em suas linhas.

24. • Se representa a i-ésima linha de I, então, estas
matrizes foram obtidas da seguinte maneira:
1 0 0 0 1 0 0 0
L2 5 L2
0 1 0 0 0 5 0 0
E1
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1

25. 1 0 0 0 0 0 1 0
L1 L3
0 1 0 0 0 1 0 0
E2
0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0
L4 L4 2L2
0 1 0 0 0 1 0 0
E3
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 2 0 1

26. Teorema
• Seja A uma matriz quadrada. Se uma
seqüência de operações elementares nas
suas linhas reduz A a I, então a mesma
seqüência de operações elementares
transforma I em .

27. Exemplo
1 2 1
1. Ache a inversa da matriz A 1 2 1
1 2 3
1 2 1  1 0 0 1 2 1  0 1 0 L L2 L1
L1 L2 2
1 2 1  0 1 0 1 2 1  1 0 0
1 2 3  0 0 1 1 2 3  0 0 1 L3 L3 L1

28. 1 2 1  0 1 0 1 1 2 1  0 1 0 L1 L1 2 L2
L2 L2 1 1 1
0 4 2  1 1 0 4 0 1  0
2 4 4
0 4 4  0 1 1 0 4 4  0 1 1 L3 L3 4 L2
1 1 1 1
1 0 0  0 1 0 0  0
2 2 1
L3 L3 2 2
1 1 1 2 1 1 1
0 1  0 0 1  0
2 4 4 2 4 4
0 0 2  1 0 1 1 1
0 0 1  0
2 2
1
L2 L2 L3
2

29. 1 1
1 0 0  0
2 2
. 1 1 1
0 1 0 
2 4 4
1 1
0 0 1  0
2 2
Assim 1 1
0
2 2
1 1 1 1
A
2 4 4
1 1
0
2 2