1. O documento apresenta conceitos fundamentais de matemática relacionados a ângulos, como classificação, propriedades e relações entre ângulos.
2. Inclui também exemplos de problemas envolvendo ângulos e suas soluções, abordando temas como ângulos entre retas paralelas, ângulos entre retas secantes e propriedades de ângulos.
3. Fornece respostas aos 13 problemas propostos no final, relacionados a ângulos entre retas paralelas e propriedades de ângulos.
1. Curso preparatório para concurso
bombeiros mg 2016
Disciplina: Matemática
Prof. Nicodemos
Material de aula em:
www.quimicaealgomais.blogspot.com.br
nicoquimica@yahoo.com.br
8. = 90º
+ = 180º
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SOMA
a) ÂNGULOS COMPLEMENTARES
b) ÂNGULOS SUPLEMENTARES
9.
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA POSIÇÃO
a) ÂNGULOS ADJACENTES b) ÂNGULOS CONSECUTIVOS
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
são congruentes
Pode formar mais ângulosUn lado comum
10. 01. Ângulos alternos internos:
m 3 = m 5; m 4 = m 6
02. Ângulos alternos externos:
m 1 = m 7; m 2 = m 8
03. Ângulos conjugados internos:
m 3+m 6=m 4+m 5=180°
04. Ângulos conjugados externos:
m 1+m 8=m 2+m 7=180°
05. Ângulos correspondentes:
m 1 = m 5; m 4 = m 8
m 2 = m 6; m 3 = m 7
ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
E UMA RETA SECANTE
1 2
34
5 6
78
11. + + = x + y
x
y
01- Ângulos que se formam por uma linha poligonal entre
duas retas paralelas.
PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS
15. O complemento da diferença entre o suplemento e o
complemento de um ângulo “X” é igual ao dobro do
complemento do ângulo “X”. Calcule a medida do ângulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°
RESOLUÇÃO
Problema Nº 01
A estrutura segundo o enunciado:
Desenvolvendo se obtem:
Logo se reduz a:
16. A soma das medidas dos ângulos é 80° e o complemento
do primeiro ângulo é o dobro da medida do segundo
ângulo. Calcule a diferença das medidas desses ângulos.
Sejam os ângulos: e
+ = 80°Dado: = 80° - ( 1 )
( 90° - ) = 2 ( 2 )
Substituindo (1) em (2):
( 90° - ) = 2 ( 80° - )
90° - = 160° -2
= 10°
= 70°
- = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
Dado:
Diferença das medidas
Resolvendo
17. A soma de seus complementos dos ângulos é 130° e a
diferença de seus suplementos dos mesmos ângulos é 10°.
Calcule a medida destes ângulos.
Sejam os ângulos: e
( 90° - ) ( 90° - ) = 130°+
+ = 50° ( 1 )
( 180° - ) ( 180° - ) = 10°-
- = 10° ( 2 )
Resolvendo: (1) e (2)
+ = 50°
- = 10°
(+)
2 = 60°
= 30°
= 20°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
Do enunciado:
Do enunciado:
18. Se têm ângulos adjacentes AOB e BOC (AOB<BOC), se traça
a bissetriz OM dol ângulo AOC; se os ângulos BOC e BOM
medem 60° e 20° respectivamente. Calcule a medida do
ângulo AOB.
A B
O
C
M
60°
20°X
Da figura:
= 60° - 20°
Logo:
X = 40° - 20°
= 40°
X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO
19. A diferença das medidas dos ângulos adjacentes AOB e BOC
é 30°. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz do
ângulo AOC com o lado OB.
A
O
B
C
X
(- X)
( + X) ( - X) = 30º
2X=30º
X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
M
Construção do gráfico segundo o
enunciado
Do enunciado:
AOB - OBC = 30°
-
Logo se substitui pelo que
se observa no gráfico
20. Se têm os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD tal que a
mAOC = mBOD = 90°. Calcule a medida do ângulo
formado pelas bissetrizes dos ângulos AOB e COD.
A
C
B
D
M
N
X
Da figura:
2 + = 90°
+ 2 = 90°
( + )
2 + 2 + 2 = 180°
+ + = 90°
X = + +
X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUÇÃO
Construção do gráfico segundo o enunciado
21. Se m // n . Calcule a medida do ângulo “X”
80°
30°
X
m
n
Problema Nº 07
22. 2 + 2 = 80° + 30°
Pela propriedade
Propriedade do quadrilátero
côncavo
+ = 55° (1)
80° = + + X (2)
Substituindo (1) em (2)
80° = 55° + X
X = 25°
80°
30°
X
m
n
RESOLUÇÃO
23. Se m // n . Calcular a medida do ângulo “X”
5
4 65°
X
m
n
Problema Nº 08
42. Importantes definições
•Postulados ou Axiomas: são propriedades aceitas sem
demonstração.
•P1: Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.
•P2: Dois pontos determinam uma única reta.
•P3: Pontos colineares pertencem à mesma reta.
43. •P4: Três pontos determinam um único plano.
•P5: Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está
contida neste plano.
Importantes definições
44. Posições relativas entre retas
•Concorrentes: quando tiverem apenas um ponto em
comum.
Perpendiculares Obliquas
•Paralelas: retas que estão no mesmo plano, porem não tem
pontos em comum.
Distintas Coincidentes
45. ÂNGULOS
Definição:É a ABERTURA formada por duas semirretas que
têm a mesma origem.
•Classificação
Ângulo Reto Ângulo Raso
Ângulo Obtuso Ângulo Raso
.
. .
49. exemplos
1.O dobro do complemento de um ângulo, aumentado de 40º é igual a
terça parte do suplemento do ângulo. Determine o valor do
suplemento do ângulo.
2.O triplo do complemento de um ângulo é igual ao suplemento do
dobro desse ângulo, mas 80º. Determine a medida desse ângulo.
50. Ângulos Opostos pelo Vértice
Dizemos que os ângulos são
chamados de congruentes.
ÂNGULOS
ˆa
ˆc
ˆb ˆd
ˆ ˆ
ˆ ˆ
a c
b d
ˆ ˆˆ ˆ, , ,a b c d
51. Duas retas Paralelas cortadas por uma transversa: Sendo
r//s e t uma transversal, geram os ângulos:
• Correspondentes:
• Alternos:
• Colaterais:
ÂNGULOS
:
:
Internos
Externos
r
s
t
ˆa
ˆb
ˆc ˆd
ˆe
ˆf
ˆg
ˆh
:
:
Internos
Externos
52. Definição: A medida do ângulo central é dada em radiano
pela razão entre o comprimento do arco e o raio.
Sistema circular
r
l
l
R
53. exemplos
1.Na figura, tem-se dois círculos concêntricos de raios 5
u.c e 3 u.c, respectivamente. Sendo s1 o comprimento do
arco AB e s2 o comprimento do arco A’B’, então o valor de
s2 – s1, em unidade de comprimento, é aproximadamente
igual a:
01) 0,52
02) 1,05
03) 1,57
04) 3,14
05) 4,71
A
B
A’
B’
6
54. 2-Dada a figura, qual o valor de x, y e z, sabendo que as retas r, s e
t são paralelas
a) x= 60º, y = 40º e z = 80º
b) x= 80º, y = 40º e z = 60º
c) x= 40º, y = 60º e z = 80º
d) x= 50º, y = 60º e z = 70º
e) N.d.a
exemplos
t
r
s
w v
120º
40º
y
x
z
55. 3-Na figura abaixo, são dados as retas r, s, x, y e t, tais que
r//s, x//y e t é uma transversal.
A medida , do ângulo assinalado, é:
01) 60º 02) 50° 03) 40° 04) 30° 05) 20º
exemplos
t
r
s
yx
60°
50°
56. Teorema de tales
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas
transversais, segmentos proporcionais.
' '
' '
AB A B
BC B C
57. 1-No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II
e III
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o
proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que
faz frente com a Rua das Rosas?
a) 30 c) 32 e) 34
b) 31 d) 33
exemplos
58. 2-Dois postes perpendiculares ao solo estão a uma
distância de 4 m um do outro, e um fio bem esticado de 5
m liga seus topos, como mostra a figura abaixo.
Prolongando esse fio até prende–lo no solo, são utilizados
mais 4 m de fio. Determine a distância entre o ponto onde
o fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele.
exemplos
59. Os triângulos podem ser classificados de 2 maneiras:
• Quanto aos lados:
triângulos
Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles Triângulo Escaleno
60
a
b
c
a = b = c b = c
a
bc
60. • Quanto aos ângulos:
triângulos
a
c
b
.
Triângulo Retângulo
a
c
b
Triângulo Obtusângulo
2 2 2
a b c
a
c
b Triângulo Acutângulo
2 2 2
a b c
.C O b
sen
H a
.
cos
C A c
H a
.
Tg =
.
C O b
C A c
2 2 2
a b c
Teorema de Pitágoras
61. exemplos
1-
Na figura acima, os valores de x e y, em u.c, são
respectivamente:
01) e 6 04) e 4
02) e 6 05) 8 e 4
03) e 4
L MP
N
y 4
x
.
60
4 3
8 7
4 7
8 7
4 7
62. exemplos2-Seu Carlos precisa chegar ao terraço do prédio, pois o
elevador esta quebrado e as escadas estão em reforma.
Como mostra a figura um edifício que tem 15 m de altura
e a distancia da escada para o prédio é de 8 m. Qual o
comprimento da escada que esta encostada na parte
superior do prédio.
63. exemplos3-Uma escada apoiada em uma parece, num ponto
distante de 4 m do solo, forma com essa parede um
ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em
metros?
01) 6 m
02) 7 m
03) 8 m
04) 9 m
05) 10 m
64. 4-Na figura abaixo, a medida do ângulo x é:
a) 80º
b) 100º
c) 110º
d) 130º
e) 260º
50º
15º
35º
x
exemplos
65. Definição: dois triângulos são semelhantes quando
possuem os ângulos congruentes, dois a dois, e os lados
correspondentes proporcionais.
Semelhança de triângulos
B C
A
a
c
b
B’ C’
A’
a’
c’
b’
' ' '
a b c
a b c
Lados Proporcionais
Ângulos Iguais ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆA=A' B=B' C=C'
66. exemplos
1-Os triângulos ABC e CDE da figura abaixo são retângulos.
Se AB=4 cm, BC=8 cm e a área do triangulo ABC é o dobro
da CDE, então DE mede, em centímetros,
01)
02)
03)
04)
05)
.
A
D
E C
.
B
2 2
2 3
3 2
3 3
4 2
67. 2-Na figura abaixo, um garoto está em cima de um banco.
Qual é a altura desse garoto que projeta uma sombra de
1,2 m, sabendo que o banco de 30 cm projeta uma sombra
de 40 cm ?
exemplos
68. 3-A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada
uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre
a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou
uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o
paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais
alto da rampa é:
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
exemplos
69. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Observe esta construção:
• Pontos A, B, B’ e B’’: colineares
• Segmentos BC, B’C’ e B”C”: perpendiculares a AB”
Consequência: triângulos retângulos ABC, AB’C’ e AB”C” semelhantes e lados
correspondentes proporcionais
Tendo como referência o ângulo :
• Lados CB, C’B’ e C”B”: catetos opostos a em cada triângulo
• Lados AB, AB’ e AB”: catetos adjacentes a em cada triângulo
• Lados AC, AC’ e AC”: hipotenusas de cada triângulo
I. Semelhança de triângulos retângulos
70. Para qualquer triângulo retângulo
semelhante a ABC, as razões
correspondentes serão iguais às
razões obtidas anteriormente. Essas três
razões trigonométricas recebem
os nomes de cosseno, seno e tangente do
ângulo e são definidas como:
II. Relações trigonométricas: seno, cosseno, tangente
Razões entre dois lados de cada
um dos triângulos:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
71. Construções que exibem ângulos notáveis (30º, 45º e 60º):
a) o quadrado de lados l e sua diagonal:
Os ângulos assinalados medem 45º:
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
72. b) o triângulo equilátero de lados l e altura
O ângulo mede 60º.
Valores de seno, cosseno e tangente:
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
73. O ângulo denominado na figura da imagem
anterior mede 30º. Valores de seno, cosseno e
tangente:
• Os valores das razões trigonométricas de ângulos
quaisquer são dados em calculadoras científicas.
• Ângulos complementares: valor do seno de um
deles é igual ao do cosseno; o valor da tangente de
um deles é o inverso do valor da tangente do outro.
• Os valores da tangente desses dois ângulos são
inversos um do outro.
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
74. IV. Relação fundamental da trigonometria
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2
Razões trigonométricas do ângulo assinalado:
75. Triângulo retângulo em que
a hipotenusa mede 1 unidade:
Triângulo ABC:
Reescrevendo o teorema de Pitágoras:
Relação que surge dessa nova configuração do triângulo ABC:
IV. Relação fundamental da trigonometria
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
76. Leis dos senos e cossenos
• Lei dos Senos
• Lei dos Cossenos
A
B C
bc
a
ˆ ˆ ˆBA C
a b c
sensen sen
A
B C
bc
a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
ˆ2 b c cos A
ˆ2 a c cos B
ˆ2 a b cos C
a b c
b a c
c a b
77. exemplos
1-Utilizando a lei dos senos e cossenos determine o valor de x, nas
figuras abaixo:
a) c)
b)
60º
x10
16
45º
12
x
30º
60º
79. Hipotenusa e catetos do triângulo
retângulo
Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.
hipotenusa
cateto
cateto cateto
cateto
hipotenusa
80. Outros segmentos do triângulo retângulo
a: é a hipotenusa.
b e c: são os catetos
h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa.
m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
a
mn
h
bc
81. B H
A
A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos
retângulos, ABH e ACH.
A
B H C
h
H C
A
82. Os triângulos ABC, ABH e ACH são
semelhantes. Veja:
h
(I)
+ = 90º
A
B H C
90. Teorema de Pitágoras
(5ª relação métrica)
a
mn
h
bc
2ª relação: b² = m . a
3ª relação: c² = n . a
Observe que a = m + n
Somando, membro a
membro, as duas
igualdades, tem-se:
anc
amb
2
2
222
22
22
22
acb
aacb
nmacb
anamcb
91. Teorema de Pitágoras
A
B Ca
bc
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
95. 1-Na figura abaixo, as medidas são dadas em centímetros.
A área da figura, em centímetros quadrados, é:
a)
b)
c)
d)
e)
4
33a²
2
33a²
4
36a²
2
36a²
36a²
exemplos
96. 2-Na figura, ABC é um triangulo equilátero de altura 5 u.c,
M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente. A
área do trapézio ACNM, em u.a, é:
a) e)
b)
c)
d)
4
35
5 3
2
5 3
75 3
2
75 3
4
A C
M N
B
exemplos
97. 3-O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo
94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular
ABCD, em que AB=BC/2, Antonio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua
residência de acordo com o desenho, no qual AE=AB/5.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele:
a) Duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) Triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) Triplicasse a área do quadrado
d) Ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%
e) Ampliasse a área do quadrado em 4%
exemplos
A B
CD
E
98. 4-A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos,
são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a
forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de
1.050m3/s. O cálculo da vazão, Q em m³/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água),
em m², pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as
dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois
da reforma na canaleta?
A) 90m³/s. C) 1.050m³/s. E) 2.009m³/s.
B) 750m³/s. D) 1.512m³/s.
99. 5-Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas
bancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai ser
repetido em toda a extensão do pátio.
As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor
preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de
A) R$ 8,20 B) R$ 8,40 C) R$ 8,60 D) R$ 8,80 E) R$ 9,00
Exemplos
100. circunferência
• Elementos da Circunferência
• Áreas
A
B
C
D
A B
O
DC
R
S
. RS
O
CD
AB
CRD
CORDA
DIÂMETRO
ARCO
DB
C
A
FLECHA
CENTRO
SEGMENTO CIRCULAR
SETOR CIRCULAR
ZONA CIRCULAR
COROA CIRCULAR
101. CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA
• Comprimento da Circunferência
• Comprimento de Arco (l)
O 2. . RC
O l
2. . R.
360
l
102. • Área do Círculo
• Área do Setor Circular
CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA
O
2
. RA
2
. R .
360
A
103. • Área do Segmento Circular
• Área da Coroa Circular
CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA
2
. R . .
360 2
b h
A
2 2
. R . rA r
104. exercícios
1-As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas
a linha do equador e em pontos diametralmente opostos
no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a
6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito,
voando em media 800 km/h, descontando as paradas de
escala, chega a Cingapura em aproximadamente:
a) 16 horas c) 25 horas e) 36 horas
b) 20 horas d) 32 horas
105. 2-Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a
partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa
grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas
dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para
efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir
que
a) A entidade I recebe mais material do que a entidade II.
b) A entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
c) A entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
d) As entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.
e) As três entidades recebem iguais quantidades de material.
exemplos
106. exemplos
3-Na figura, a área hachurada mede, em unidade de área:
a)
b)
c)
d)
e)
60 16
45 4
30 4
30 16
15 4
6 u.c
4 u.c
107. exemplos
4-A figura representa um hexágono retangular, inscrito
num circulo de centro O e raio . A área da região
assinalada na figura é:
a)
b)
c)
d)
e)
48 32 3
64 192 3
96 32 3
128 192 3
136 32 3
A
B
C
D
E
F
.
8 2
108. exemplos
5-Na figura ABC é um triângulo equilátero de lado igual a
2. MN, NP e PM são arcos de circunferência com centros
nos vértices A, B e C, respectivamente, e de raios todos
iguais a 1. A área da região sombreada é:
a) d)
b) e)
c)
3
3
4
3
2
2 3
2
4 3 2
8 3 3
A
BC
M N
P
109. exercícios
6-Quatro círculos de raio unitário cujos centros são
vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente
dois a dois. A área da parte sombreada é:
a)
b)
c)
d)
e)
2 3
3 2
2
4
5
110. CIRCUNFERÊNCIA- É um lugar geométrico de um
conjunto de infinitos pontos que equidistam de
um ponto situado no centro.
111. ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
A B
Reta
tangente
Reta
secante
Seguimento
de reta
Diâmetro
AB( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Raio
Arco BQ
Corda PQ
112. PROPRIEDADES BÁSICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
01- Raio traçado ao ponto de tangência é
perpendicular à reta tangente.
LR
113. 02- Raio ou diâmetro perpendicular a uma corda
bissetriz (divide em dois seguimentos congruentes).
P
Q
MQPMPQR
114. 03- Cordas paralelas determinam arcos congruentes
entre as paralelas.
A B
C D
mBDmACCD//AB:Si
115. 04- A cordas congruentes em uma mesma circunferência
lhes correspondem arcos congruentes.
A
B
C
D
Cordas congruentesArcos congruentes
As cordas
equidistam do
centro
mCDmABCDAB:Si
116. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS
CIRCUNFERÊNCIAS
01- CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS - Têm o mesmo centro.
r
d = Zero; d: distancia
118. d = R + r
03- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERIORES - Têm Um
ponto comum que é a de tangência.
R r
Ponto de tangência
Distância entre
os centros (d)
119. d
d = R - r
04- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERIORES - Têm um
ponto en comum que é a de tangência.
d: Distância entre os centros
R
r
Ponto de
tangência
120. 05- CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES - Têm dois pontos comuns
que são as intersecções.
( R – r ) < d < ( R + r )
Distância entre
os centros (d)
121. 06- CIRCUNFERÊNCIAS ORTOGONAIS - Os raios são
perpendiculares no ponto de intersecção.
d2 = R2 + r2
Distância entre
os centros (d)
123. 1 - Desde um ponto exterior a uma circunferência se pode
traçar dois raios tangentes que determinam dois
seguimentos congruentes.
PROPRIEDADES DAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R
124. 2 - TANGENTES COMUNS EXTERIORES - São congruentes
AB = CD
A
B
C
D
R
R
r
r
125. 3 - TANGENTES COMUNS INTERIORES - São congruentes.
AB = CD
A
B
C
DR
R
r
r
126. TEOREMA DE PONCELET - Em todo triângulo retângulo, a soma das
comprimentos dos catetos é igual ao comprimento da hipotenusa mais o
dobro do raio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
raio
Circunraio
127. TEOREMA DE PITOT - Em todo quadrilátero circunscrito a uma
circunferência, sabe-se que a soma do comprimento dos lados opostos são
iguais.
a + c = b + d
d
a
b
c
Quadrilátero circunscrito
128.
129.
1 - MEDIDA DO ÂNGULO CENTRAL - É igual à medida
do arco que se opõe.
A
B
C
r
r
= mAB
130.
A
C
B
D
2 - MEDIDA DO ÂNGULO INTERIOR - É igual à
semisoma das medidas dos arcos opostos
2
mCDmAB
131.
A
B
C
3 - MEDIDA DO ÂNGULO INSCRITO - É a metade da medida do
arco oposto.
2
mAB
132.
4 - MEDIDA DO ÂNGULO SEMI-INSRITO - É igual à medida do
arco oposto.
A
B
C
2
mAB
134.
A
B
C O
6 - ÂNGULOS EXTERIORES - São três casos:
a - Medida do ângulo formado por duas retas tangentes - É
igual à semidiferença das medidas dos arcos opostos.
+ mAB = 180°
2
mAB-mACB
135.
A
B
C
O
D
b - Ângulo formado por duas retas secantes - É igual à
semidiferença da medida dos arcos opostos.
2
mCD-mAB
136.
A
B
C
O
c - Medida do ângulo formado por uma reta tangente e outra
secante - É igual à semidiferença das medidas dos arcos
opostos.
2
mBC-mAB
137.
138. 50°
70º+x
X
R
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°
Pelo ângulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUÇÃO
P
xº70
2
x2º140
PQSm
Substituindo:
No triângulo PQS:
Resolvendo a equação:
PSQ = x
Se traça a corda SQ
2
mQRS
PQSm
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam a
tangente PQ e a secante PRS, se o arco RS mede 140º e o
ângulo QPS mede 50º. Calcule a medida do ângulo PSQ.
139. 20°
70°
X
X = 40°R
Q
No triângulo retângulo RHS
140° É propriedade, que:
140° + X = 180°
Pelo ângulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
P
S
m S = 70º
Resolvendo:
PSQ = x
2
mQR
º70 mQR = 140°
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam as
tangentes PQ e PR, logo no maior arco QR se localiza um
ponto “S”, se traça RH perpendicular à corda QS, se mHRS =
20º; calcule mQPR.
140. x
130°
A
C
B
D
X = 40°
2
50130
X
50°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
P
Resolvendo:
APD = x
Medida do ângulo interior
Medida do ângulo exterior
90
2
mBC130
mBC = 50°
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam as
secantes PBA e PCD tal que as cordas AC e BD sejam
perpendiculares entre si; calcule a medida do ângulo APD, se
o arco AD mede 130º.
141. x
X = 18°
2
X54
X
M
N
54°
x
x
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO
PA
B
APN = x
Se traçaa o raio OM:
o
Dado: OM(raio) = PM
Logo triângulo PMO é isósceles
Ângulo central igual ao arco
Medida do ângulo exterior
Resolvendo:
Em uma circunferência, o diâmetro AB se prolonga até um
ponto “P”, desde o qual se traça um raio secante PMN tal que
o comprimento de PM seja igual ao raio, se o arco AN mede
54º. Calcule a mAPN.
142. x
70°
Medida do ângulo inscrito:
X = 55°
2
110
X
A
B
C
P
Q
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
PRQ = x
Pela propriedade do ângulo exterior
formado por duas tangentes:
Resolvendo:
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
Em um triângulo ABC se inscreve uma circunferência tangente
aos lados AB, BC e AC nos pontos “P”, “Q” e “R”
respectivamente, se o ângulo ABC mede 70º. Calcule mPRQ.
143. Calcule a medida do ângulo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
A
X P
Resolução
144. RESOLUÇÃO
Pela propriedade do ângulo exterior
formado por duas tangentes:
Medida dol ângulo inscrito:
70°
B
A
X P
C
140º
140º + x = 180º Resolvendo: X = 40º
2
mAB
º70 mAB=140º
145. Calcular a medida do ângulo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P130º
Resolução
146. RESOLUÇÃO
B
A
X P130º C
Medida do ângulo inscrito:
Na circunferência:
260º
Pela propriedade do ângulo exterior
formado por duas tangentes:
X = 80º
2
mAB
º130 mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º
148. Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Logo o perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
RESOLUÇÃO
2
5 5
A
B
C
a b
a + b = 14 (1)
(2)
Substituindo (1) em (2) (2p) = 14 + 10
149. X
ABORDAGEM
Q
R
S
80º P
a
a
Problema Nº 09
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se
traçam a tangente PQ e a secante PRS de modo que os
arcos SQ e SR sejam congruentes. Se o arco QR mede
80º, calcular mQPR .
Resolução
150. 2a + 80º = 360º
a = 140º
Medida do ângulo exterior:
X
a
80
2
140 80
2
º º º
X = 30º
Na circunferência:
RESOLUÇÃO
X
Q
R
S
80º P
a
a
151. P
Q
R
S
2
3
ABORDAGEM
Problema Nº 10
Em um quadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traça a
diagonal PR. Os raios dos triângulos PQR e PRS medem 3 cm e
2 cm respectivamente. Se o perímetro do quadrilátero PQRS é
22 cm. Calcule o comprimento de PR
Resolução
152. Teorema de Poncelet:
a b
c
d
PQR a + b = PR+2(3) +
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6 cm
Dado:
a + b + c + d = 22 cm
PSR c + d = PR+2(2)
22 = 2PR + 10
RESOLUÇÃO
P
Q
R
S
2
3
153.
154. CONCEITO:
Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da
circunferência, a distância de C a P d(C,P) é o raio dessa
circunferência. Então:
155. Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência,
a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
156.
157. Como exemplo, vamos determinar a equação geral da
circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
16)3(2 22
yx
Desenvolvendo os quadrados dos binômios (x – a)² e (y – b)²,
temos:
² 4 4 ² 6 9 10 0x x y y
² 4 ² 6 3 0x x y y
158.
159.
160. Geometria Analítica:
Posições relativas entre ponto e circunferência
A aula a seguir traz demonstrações e alguns exercícios resolvidos
de posições que um determinado ponto pode assumir em relação a uma
circunferência.
Dispomos de três possibilidades:
1ª Ponto interno em relação a circunferência.
2ª Ponto pertencente a circunferência.
3ª Ponto externo à circunferência
164. Para determinar a interseção entre uma reta e uma circunferência , vamos fazer os seguintes
passos:
Passo 1: Obtenha a equação reduzida de r;
Passo 2: Substitua y (da equação reduzida de r) na equação de C;
Passo 3: Resolva a equação do 2º grau;
Passo 4: substitua X na equação de r:
165.
166.
167.
168. Geometria Analítica:
Posições relativas entre ponto e circunferência
Exercício 1: Qual a posição relativa do ponto P(3, 2) em relação à circunferência de equação
05622
xyx
Substituindo:
01818
051849
053623 22
Então o ponto P(3, 2) pertence a
circunferência uma vez que a
distância do centro ao ponto P é
igual ao raio.
169. Geometria Analítica:
Posições relativas entre ponto e circunferência.
Exercício 2: Qual a posição relativa do ponto P(-2, -3) em relação à circunferência de
equação 222
)5()4()1( yx
Substituindo:
222
)5()4()1( yx
03
0511
0)5()43()12( 222
Como a distância do centro ao
ponto P em questão é menor que
zero podemos concluir que o ponto
é interno a circunferência.
170. Geometria Analítica:
Posições relativas entre ponto e circunferência.
Exercício 3: Qual a posição relativa do ponto P(1, 4) em relação à circunferência de equação
0214222
yxyx
Substituindo:
010
02131
021162161
021441241 22
Nesse caso a distância do
ponto ao centro é maior que o
raio concluímos então que o
ponto é externo à
circunferência
171. Geometria Analítica:
Posições relativas entre ponto e circunferência.
Resumo final: Quando temos um ponto P(m, n) e uma circunferência
, de centro C(a, b) e raio r, podemos afirmar que:
0)()( 222
rbnamrdcp P
0)()( 222
rbnamrdcp
P é interno a
0)()( 222
rbnamrdcp P é externo a
172.
173. GEOMETRIA PLANA
Polígonos convexos
Polígonos não-convexos
Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.
Os vértices A, B, C, D, E e F.
Os ângulos internos A, B, C, D, E e
F.
é ângulo externo relativo ao
vértice A.
A diagonal BD.
A
B C
D
EF
174. Polígono regular
• Chama-se polígono regular qualquer polígono que tem
todos os lados congruentes e todos os ângulos internos
congruentes.
B
A
C
D
EF
175. Soma dos ângulos internos
• A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n
lados é dado por Si = (n – 2).180º.
Si = (n – 2).180º
A2
A3
A4
A5
An
A1
180. Exemplo
Calcular a medida de cada lado e de cada uma das
diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2.
L
LD
A = L2 ⇒ L2 = 18 ⇒ L = 3√2
D2 = L2 + L2 ⇒ D = L√2
⇒ D = 3√2.√2
⇒ D = 6 cm
182. Exemplo
Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de
área, sabendo que um de seus lados é o dobro do
outro.
2x
x
A = 18 ⇒ x.2x = 18
⇒ 2x2 = 18 ⇒ x2 = 9
⇒ x = 3
Os lados medem 3 m e 6 m.
P = 2.3 + 2.6 = 18 m
184. 6
4
60º
Exemplo
Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e
formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área.
h
sen 60º =
h
4
⇒ h = 4. sen 60º = 4.
2
√3
⇒ h = 2√3
A = b . h = 6. 2√3 ⇒ A = 12√3
195. Elementos de um poliedro
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes
especiais.
Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.
GEOMETRIA ESPACIAL
196. Elementos de um poliedro
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes
especiais.
Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do
poliedro.
197. Elementos de um poliedro
A
B C
D
E
F G
H
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes
especiais.
Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do
poliedro.
198. O PRISMA e suas formas
• Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de
poliedro, mas apresentam algumas características
comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro
muito especial: o prisma.
199. Definição
• Observe a animação.
r
O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado
prisma.
200. Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de
faces
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
bases
(polígonos congruentes).
faces laterais
(paralelogramos).
Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas
bases do prisma.
201. Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de
arestas
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
arestas das bases
(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).
arestas laterais
(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).
202. Elementos principais do prisma
h
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.
203. Classificação dos prismas
• Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que
constitui suas bases.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrado
P. triangulartriângulo
PrismaPolígonos das bases
206. Prisma regular
• Todo prisma reto cujas bases são polígonos
regulares é chamado de prisma regular.
O prisma é reto e
ABC é triângulo eqüilátero
⇒
A
B
C
Prisma triangular regular
O prisma é reto e a
Base é hexágono regular
⇒
Prisma hexagonal regular
207. Prismas quadrangulares
• Se as bases de um paralelepípedo reto são
retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-
retângulo ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo ou
ortoedro
208. Prismas quadrangulares
• Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo
são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou
hexaedro regular.
Cubo ou hexaedro regular
209. Estudo do cubo
• O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um
prisma quadrangular regular, cujas faces são
quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas
faces pode ser considerada como base.
a → medida de cada uma das
arestasa
a
a
210. a
a
a
Diagonais no cubo
• Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das
arestas
d
D
d → diagonal da face
D → diagonal do cubo
211. Diagonais no cubo
• Obtendo os valores d e D em função da medida a da
aresta.
a
a
a
d
D
a
d2 = a2 + a2
⇒ d = 2a2
⇒ d = a√2
212. Diagonais no cubo
• Obtendo os valores d e D em função da medida a da
aresta.
a
a
a
d
Da
D2 = a2 + d2
⇒ D = a2 + 2a2
⇒ D = 3a2
⇒ D = a√3
213. Área da superfície total do cubo
• Planificando a superfície total de um cubo de aresta
a, obtemos a figura.
a
a
a
a
a
a
a
AT = 6a2
215. Estudo do paralelepípedo retângulo
• O paralelepípedo retângulo é um prisma
quadrangular. Suas faces são duas a duas
congruentes.
a, b e c → As dimensões do
paralelepípedo.
a
c
b
Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas
dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.
216. b
a
Diagonal do paralelepípedo
• Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento
cujos extremos são dois vértices não-pertencentes
a uma mesma face.
d → diagonal da face inferior
D → diagonal do paralelepípedo
c
d
D
217. b
a
Cálculo da diagonal do paralelepípedo
• Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b
e c do paralelepípedo.
c D
d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2
d
D2 = a2 + b2 + c2
⇒ D = √a2 + b2 + c2
218. Exemplo
O comprimento e a largura de um paralelepípedo
medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13.
Obter a medida de sua altura?
D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2
⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160
⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3
219. Área da superfície total do paralelepípedo
• Planificando a superfície total de um paralelepípedo
de dimensões a, b e c obtemos a figura.
a
c
b
a
b
c
ab
ab
ac
ac
bc bc
AT = 2ab + 2ac + 2bc
AT = 2(ab + ac + bc)
220. Exemplo
A área da superfície total de um paralelepípedo é 248
cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5.
Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b
= 3k e c = 5k.
AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248
⇒ ab + ac + bc = 124
:(2)
⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124
⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124
⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2
221. Volume do paralelepípedo retângulo
• Analise as duas figuras a seguir.
cubo unitário
V = 1 u3
V = 5.3.4 = 60 u3
5 u
3 u
4 u
De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é
dado por
V = a.b.c
222. Exemplos
Uma das dimensões de um paralelepípedo é
aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a
terceira em 10%. O que ocorre com o volume do
paralelepípedo?
Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume
original é V = xyz.
Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.
Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.
Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.
V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V
Concluímos que o volume aumenta 40,4%.
223. Estudo geral do prisma
• Vamos aprender a calcular áreas e volumes em
prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar
prismas retos em que
As arestas laterais são alturas;
As faces laterais são retângulos;
A
B
C
224. Áreas no prisma
• No prisma as áreas.
Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;
Área da base (AB) – Área do polígono da base;
Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases
AT = AL + 2AB
225. Exemplo
A figura a seguir mostra um prisma triangular reto,
com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a
área total desse prisma.
3
5
6
4
AL = 3.6 + 4.6 + 5.6
AL = 18 + 24 + 30 = 72
AB = (3.4)/2 = 6
AT = AL + 2.AB
AT = 72 + 2.6 = 84
226. Exemplo
Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a
área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.
x
6
A = 24√3 ⇒
4
6x2√3
= 24√3
⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4
Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24
AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 192 m2
227. Princípio de Cavalieri
• Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do
século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou
contribuições importantes nas áreas de óptica e
geometria.
228. Princípio de Cavalieri
• Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo
plano , se
Todos têm a mesma altura;
Todo plano paralelo a e que corte os sólidos
determina, em todos eles, seções planas de
mesma área;
Então os sólidos têm o mesmo volume.
229. Volume do prisma
• Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do
volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o
princípio de Cavalieri.
V = AB.h
230. PIRÂMIDE
A pirâmide tem dois tipos de
faces
A base
(polígono ABCDEF).
Faces laterais (triângulos).
Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.
V
A
B C
D
EF
231. Elementos principais da pirâmide
A pirâmide tem dois tipos de
arestas
arestas da base
(AB, BC, CD, DE, EF e FA).
arestas laterais
(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
V
A
B C
D
EF
232.
Elementos principais da pirâmide
h
A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.
V
A
B C
D
EF
233. Classificação
• Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono
que constitui sua base.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrado
P. triangulartriângulo
PirâmidePolígono da base
235. Pirâmides regulares
A base da pirâmide é um
quadrado
⇒
Pirâmide quadrangular regular
A base da pirâmide é um
hexágono regular
⇒
Pirâmide hexagonal regular
V
h
O
V
h
O
237. Segmentos notáveis na pirâmide regular
VO = h, altura;
V
B
A
M
O
a
h
m
r
p
b
VA = a, aresta lateral;
AB = b, aresta da base;
238. Segmentos notáveis na pirâmide regular
OM = m, apótema da base;
V
B
A
M
O
a
h
m
r
p
b
OA = r, raio da base;
VM = p, apótema pirâmide;
239. A pirâmide e o teorema de Pitágoras
p2 = h2 + m2
V
B
A
M
O
h
m
p
240. A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
A
O
a
h
r
a2 = h2 + r2
241. A pirâmide e o teorema de Pitágoras
a2 = p2 + (b/2)2
V
B
A
M
a
p
b/2
242. Volume da pirâmide
• Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e
suas bases têm a mesma área, então o volume da
pirâmide é a terça parte do volume do prisma.
AB.hV =
3
1
243. Tronco de Pirâmide R
C
A
h
B
D
A’ B’
C’D’
h’
C
A
h – h’
B
D
A’ B’
C’D’
R
A’ B’
C’D’
h’
Tronco de
pirâmide
244. Razão de semelhança - Comprimentos
R
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’
h’
B
=
RA’
RA
A’B’
AB
=... =
h’
h
= k
Razão de
semelhança
245. Razão de semelhança - Áreas
R
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’
h’
B
=
A’B
AB
A’L
AL
=
A’T
AT
272. Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
2R
Seção
Meridiana
A
B
C
DO*
O’*h Se ABCD
é um quadrado
cilindro eqüilátero
Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R
Seção Meridiana
294. Áreas e Volumes
AL = 2 Rh
At = AL+ 2 Ab
V = R2. h
Área Lateral
( AL )
Área Total
( At )
Volume
( V )
Ab = R2Área Base
( Ab )
295. UFRGS 2012
Tomando a aresta da base a e a
altura h temos o volume V:
Dobrando a aresta da base e
reduzindo a altura a metade
teremos o novo volume V1:
300. Equação geral da reta
• A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas
cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas
variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos
da reta, e só eles.
Retas paralelas aos eixos;
Retas não-paralelas aos
eixos;
301. Retas paralelas aos eixos
• A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano
xOy.
x
y
O 4
2
r
s
Equação da reta r: x = 4
Equação da reta s: y = 2
302. Retas não-paralelas aos eixos
• A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy,
determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).
x
y
O 3
1
r
2
3
P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão
alinhados
x y 1
1 2 1
3 3 1
= 0
x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y =
0
⇒ y – 2x + 3 = 0
A
B
P(x, y)
303. Exemplos
• Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação
geral 5x + y – 9 = 0.
⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0
Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas
devem satisfazer a equação.
M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0
⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0
Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.
304. 40 m
Inclinação de uma reta
• Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura.
Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a
pista se eleve 6 m.
40 m
6 m
O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o
ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a
inclinação da rampa.
6 mInclinação = tg α = = 0,15
305. Inclinação de uma reta
• Vamos analisar agora duas situações extremas.
Quando o carro percorre um trecho horizontal,
dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo
de inclinação é 0º. (tg 0o = 0).
α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0
306. Inclinação de uma reta
• Vamos analisar agora duas situações extremas.
O auto não sobe uma rampa vertical.
Nesse caso, não se define a inclinação
da rampa e o ângulo de inclinação é 90º.
(tg 90º = Não é definido).
α = 90o
⇓
Inclinação não se define.
307. Q
Inclinação de uma reta
• Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no
plano cartesiano xOy.
x
y
O
yQ
yP
xQxP
P
M
xQ – xP
yQ – yP
Inclinação = tg α
yQ– yP
xQ– xP
a = tg α =
x
y
a =
r
308. Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 30º =
x
y
O
30ºM
3
√3
309. Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 45º = 1
x
y
O
45ºM
310. Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 60º = √3
x
y
O
60ºM
311. Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
x
y
O
120º
M
a = tg 120º = – tg 60º = –√3
312. Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 135º = – tg 45º = – 1
x
y
O
135º
M
313. Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 150º = – tg 30º =
x
y
O
150º
M
3
–√3
314. Exemplos
• Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
α
M
N
–2 1
3
5
xN – xM
yN – yM
a = tg α =
1 – (–2)
5 – 3
a =
3
2
a =
a > 0 e α é agudo
(α < 90º)
a) M(–2, 3) e N(1, 5)
315. Inclinação de uma reta - resumo
• O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.
• Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme
a medida do ângulo α (α ≠ 90º).
α = 0º ⇔ a = 0.
0º < α < 90º ⇔ a > 0.
α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida.
90º < α < 180º ⇔ a < 0.
316. Exemplos
• Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.
x
y
O
120º45º 45º
r s
t
ar = tg 45º = 1
as = tg 45º = 1 at = tg 120º – √3= – tg 60º =
317. Equação reduzida da reta
• Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e
um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que
passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.
• Vamos obter a equação da reta r.
x
y
O
135º
A
2
3
M(x, y)
xM – xA
yM – yA
a = tg 135º = –1.
x – 2
y – 3
–1 =a =
y – 3 = –1(x – 2)
y – 3 = –1x + 2
y = –1x + 5
⇒
y = –x + 5
318. Equação reduzida da reta – Caso Geral
• Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe
pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.
x
y
O
α
P
xP
yP
M (x,
y) xM – xA
yM – yA
x – xP
y – yP
a =a =
y – yP = a(x – xP)
⇒
⇒ y – yP = ax – axP⇒ y = ax + (–axP + yP)
⇒ y = ax + b Equação reduzida da reta
319. Equação reduzida da reta
• Na equação reduzida y = ax + b, temos:
Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.
x = 0 ⇒ y = a.0 + b ⇒ y = b
O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por
isso, coeficiente angular da reta.
O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y;
ele é chamado de coeficiente linear da reta.
320. Exemplos
• Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy.
x
y
O
r
–2
4
y = 2x + 4
321. Exemplos
• O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação
reduzida e uma equação geral para essa reta.
x
y
O
s
45º
2
y = ax + b
A reta corta o eixo y no
ponto de ordenada 2,
ponto (0, 2), logo b = 2.
α = 180º – 45º = 135º
a = tg 135º = –1.
y = – x + 2
⇒ x + y – 2 = 0
α
322. Exemplos
• Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos
A(–2, 6) e B(1, –3).
xA – xB
yA – yB
–2 – 1
6 –(–3)
a =
x
y
= =
Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.
–3
9
= ⇒ a = –3
Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação
fundamental, em seguida a equação reduzida da reta.
y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 6 = –3(x + 2)
⇒ y – 6 = –3x – 6 ⇒ y = –3x
323. GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
O que você deve saber sobre
O estudo da geometria analítica tem início na determinação das
distâncias entre entidades geométricas (pontos, retas, curvas)
colocadas sobre o plano cartesiano. A partir daí, diversas situações
podem surgir, como a definição de curvas complexas por meio de
equações em que se relacionam os valores das coordenadas de
seus pontos.
324. Dados dois pontos quaisquer,
A e B, de coordenadas (xA, yA)
e (xB, yB), respectivamente,
a distância entre os pontos
A e B pode ser obtida
pela aplicação do teorema
de Pitágoras.
II. Distância de ponto a ponto
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
325. As coordenadas xM e yM do
ponto médio do segmento
são, respectivamente, as médias
aritméticas das coordenadas
dos pontos A e B.
As coordenadas do ponto médio
M do segmento são:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
II. Distância de ponto a ponto
AB
AB
Coordenadas do ponto médio de um segmento
326. Coordenadas do baricentro G do triângulo ABC:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
II. Distância de ponto a ponto
Baricentro de um triângulo ABC
327. Área do triângulo
Dado um triângulo de vértices A, B e C, localizado no plano
cartesiano, sabe-se que a área do triângulo ABC é numericamente
igual à metade do módulo do determinante formado pelas
coordenadas dos pontos A, B e C:
• A 1a coluna é formada pelas abscissas dos pontos A, B e C.
A 2a coluna, pelos valores das ordenadas y desses pontos.
• Os elementos das entradas da 3a coluna são iguais a 1.
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
II. Distância de ponto a ponto
328. Da expressão obtida para a área de um triângulo,
podemos concluir que a condição de alinhamento para
que três pontos distintos, A, B e C, estejam alinhados é:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
II. Distância de ponto a ponto
Condição de alinhamento de três pontos
329. III. A equação da reta y = mx + n
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
330. Coeficiente ângular (m)
Está relacionado ao ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas.
Se as escalas dos eixos x e y no gráfico são iguais, identificamos o
coeficiente angular da reta com a tangente do ângulo entre a reta e o
eixo horizontal:
III. A equação da reta y = mx + n
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
331. Coeficiente linear (n)
Corresponde ao valor da ordenada do ponto em que a reta cruza
o eixo y.
Para obtê-lo, refazemos o cálculo da declividade.
Usando a expressão obtida para m e substituindo os pontos
por P e A:
III. A equação da reta y = mx + n
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
332. Coeficiente linear da reta
Isolando y, teremos: y = mx - mxA + yA
III. A equação da reta y = mx + n
Chamando o termo constante de n = – mxA + yA,
a equação da reta, agora equação
reduzida da reta, passa a ser escrita assim:
Outro formato em que a equação da reta aparece
(chamada equação segmentária da reta):
Nela, os coeficientes a e b são o valor de x no ponto em que y = 0 e
o valor de y no ponto em que x = 0. Ou seja, a e b são os chamados
cortes nos eixos x e y, respectivamente.
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
333. Duas retas r e s inclinadas (i.e., não verticais e não horizontais) e com
coeficientes angulares mr e ms respectivamente, quando consideradas
ao mesmo tempo sobre o plano cartesiano, podem ser, uma em relação
à outra:
Paralelas coincidentes: as duas retas possuem os coeficientes
m e n iguais e todos os pontos em comum:
Paralelas não coincidentes: os coeficientes angulares das duas retas
são iguais, mas os lineares são distintos, e elas não apresentam pontos
em comum:
IV. Posições relativas entre retas no plano
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
334. Caso particular de concorrência de retas: elas são perpendiculares. Além
de seus coeficientes serem diferentes, o produto entre eles é igual a 1,
i.e., o coeficiente angular de uma das retas é o inverso do oposto do
coeficiente angular da outra.
Concorrentes: têm coeficientes angulares diferentes. Como
consequência, as retas terão um único ponto em comum:
IV. Posições relativas entre retas no plano
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
335. (Unesp)
Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas
(-2, 1) e (1, -2), respectivamente, conforme a figura:
a) calcule a distância entre A e B.
b) sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro
do triângulo ABC são (xG, yG) = (2, 1), calcule as 3
coordenadas (xC, yC) do vértice C do triângulo.
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
336. (Uerj)
No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.
Em relação a esse triângulo:
a) demonstre que ele é retângulo;
b) calcule a sua área.
2
RESPOSTA:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR
337. (UFC-CE)
ABC é o triângulo, no plano cartesiano, com vértices A(0, 0), B(2, 1) e C(1, 5).
Determine as coordenadas do ponto P do plano, tal que a soma dos quadrados
das distâncias de P aos vértices de ABC seja a menor possível, e calcule o valor
mínimo correspondente da soma.
3
RESPOSTA:
338. RESPOSTA:
(Unifesp)
A figura representa, em um sistema ortogonal
de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas
em relação ao eixo Oy, uma circunferência com
centro na origem do sistema, e os pontos
A = (1, 2), B, C, D, E e F correspondentes às
interseções das retas e do eixo Ox com a
circunferência.
4
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR
339. (PUC-RJ)
Dadas a parábola
y = x2 + x + 1 e a reta y = 2x + m:
a) Determine os valores de m para os quais
a reta intercepta a parábola.
b) Determine para qual valor de m a reta
tangencia a parábola. Determine também
o ponto de tangência.
5
RESPOSTA:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR
340. (IBMEC-SP)
Considere, no plano cartesiano da figura, o triângulo de vértices A, B e C.
Se r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABC, então o coeficiente angular
de r é igual a:
6
RESPOSTA: B
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR
^
a)
b) 1.
c)
d)
e)
.
3
3
.
3
4
.
2
3
.3
346. Exemplo 1: Construa o gráfico da função f:
dado por f(x) = 2x + 1 e determine o conjunto imagem.
Análise de Gráficos
1º) Iremos montar uma tabela atribuindo os pontos
para o plano cartesiano:
x f (x) = 2.x + 1 (x ; y)
-2 2. (-2) + 1 = -3 (-2 ; -3)
-1 2. (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)
0 2. (0) + 1 = 1 (0 ; 1)
1 2. (1) + 1 = 3 (1 ; 3)
2 2. (2) + 1 = 5 (2 ; 5)
Como o domínio são
todos os reais, podemos
escolher qualquer valor
para “x”
347. Análise de Gráficos
x f (x) = 2.x + 1 (x ; y)
-2 2. (-2) + 1 = -3 (-2 ; -3)
-1 2. (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)
0 2. (0) + 1 = 1 (0 ; 1)
1 2. (1) + 1 = 3 (1 ; 3)
2 2. (2) + 1 = 5 (2 ; 5)
Domínio: R
Contradomínio: R
Imagem: R
f (x) = 2x + 1
y
x
348. Análise de Gráficos
Exemplo 2: O gráfico abaixo representa uma função.
Determine o que se pede.
y
x-2 0 1 2 3
1
3f (-2) =
f (0) =
f (2) =
Domínio:
Imagem:
3
3
1
[-2 ; 3]
[1 ; 3]
349. Análise de Gráficos
Exemplo 3: Determine entre os gráficos abaixo quais
deles representam uma função.
y
x
y
x
y
x
Não é
função
É função
É função
É funçãoÉ função
Não é
função
350. y
x
y
x
FUNÇÃO DO 1º GRAU
CRESCENTE E DECRESCENTE – GRÁFICO
FUNÇÃO CRESCENTE: a > 0 FUNÇÃO DECRESCENTE: a < 0
351. FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
ponto c
ponto c
Reta decrescente
b < 0
Reta crescente
b > 0
EXEMPLOS:
352. • EXEMPLO: (UFRGS – 2011) O gráfico do polinômio de
coeficientes reais p(x) = ax2 + bx + c está representado abaixo.
FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
Com base nos dados desse gráfico,
é correto afirmar que os coeficientes
a, b e c satisfazem as desigualdades
a) a > 0; b < 0; c < 0.
b) a > 0; b < 0; c > 0.
c) a > 0; b > 0; c > 0.
d) a > 0; b > 0; c < 0.
e) a < 0; b < 0; c < 0.
353. y = x2y = ( x + 1)2 y = ( x – 3)2
Translação Horizontal
354. y = x2y = x2 + 2
y = x2 - 1
Translação Vertical
355. y = x2
y = (x + 1)2 – 3 y = (x – 2)2 + 1
Translação Horizontal + Vertical