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  1. 1. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO AULA 06 – DESCONTO COMPOSTO Olá, amigos! Espero que estejam todos bem! Vamos dar início à aula de hoje resolvendo as questões pendentes do nosso... ...Dever de Casa35. (FISCAL TRIB.-CE) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, a taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para reais).a) R$ 625,00 d) R$ 650,00b) R$ 630,00 e) R$ 676,00c) R$ 636,00Sol.: A leitura do enunciado revela a presença de elementos de uma operação de Juros. Jásabemos que só poderemos dar início à resolução quando tivermos certeza de estar trabalhandono regime simples ou no regime composto. Aqui o regime composto foi informado de maneira expressa, não restando qualquerdúvida de que estamos diante de uma operação de Juros Compostos! Se são Juros Compostos, trabalharemos com a Equação Fundamental, que é a seguinte: M = C.(1+i)n Estamos lembrados que essa fórmula faz uma única exigência, qual seja, a de que taxa etempo estejam na mesma unidade (exigência universal da matemática financeira!). Já estácumprida? Sim! Temos uma taxa mensal (4% ao mês) e o tempo em meses (12 meses). Resta-nos, pois, aplicar a equação. Teremos: M = C.(1+i)n 1000 = C.(1+0,04)12 C=1000/(1+0,04)12 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 . ... ... ... ... ... 12 ... ... ... 1,601032 Assim: C=1000/1,601032 C= 624,59 ≅ 625, Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 1
  2. 2. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO36. (IRB 2004 ESAF) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado.a) 30% d) 33,1%b) 31,3% e) 34%c) 32,2%Sol.: Este enunciado encontrou uma maneira um pouco diferente de revelar o regime: não usoua palavra simples e nem a palavra composto, mas sim capitalização! A mera presença da palavra capitalização imediatamente nos remeterá ao regimecomposto! Ok? Sempre assim! Agora atentem para a pergunta da questão: calcule os juros como porcentagem docapital. Ora, sempre que o formato da pergunta for este: calcule este elemento comoporcentagem deste outro, atribuiremos ao último o valor de 100 (cem). Se a pergunta foi: calcule os juros como porcentagem do capital, chamaremos o capitalde 100. Só isso! Teremos: C=100, n=3 períodos i=10% ao período J=? Vejam que taxa e tempo já estão compatíveis, na mesma unidade. Que unidade é essa?Período! Não importa! Poderia ser mês, ano, qualquer uma. O que importa é que a exigênciauniversal da matemática financeira já está cumprida! Ou seja, já estamos prontos para aplicar a equação fundamental dos Juros Compostos.Teremos: M = C.(1+i)n M = 100.(1+0,10)3 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% ... 10% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 ... 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 ... 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 ... 1,331000 Assim: M=100x1,33100 M=133,10 E uma vez conhecendo Capital e Montante, encontraremos também o valor dos Juros.Teremos: J= M-C J=33,10 Ora, mas a questão não quer saber o valor dos Juros apenas! Ela quer saber juros comoporcentagem do capital. Foi por isso que chamamos o capital de 100. Assim, bastaacrescentarmos aos Juros encontrados o sinal de porcentagem! Finalmente, diremos que: J=33,10% Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 2
  3. 3. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Consideremos que fosse X o valor dos juros encontrados. Ora, qualquer que fosse esseX, em relação a 100 seria sempre igual a X%. Ok? É por isso que chamamos o Capital de 100:para podermos apenas acrescentar o sinal de porcentagem no final! Adiante!37. (BACEN) A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros compostos, corresponde a uma taxa bimestral equivalente a:a) 8% d) 1,0816%b) 8,16% e) 16%c) 1,08%Sol.: Esta questão trabalha somente com os conceitos de taxa no regime composto! Foi fornecida uma taxa mensal (4% ao mês), e pede-se uma taxa bimestral. Ora, a questão nos deu uma taxa efetiva de Juros Compostos! Concordam? Já sabemos qual o conceito que deve ser adotado neste caso: o conceito de TaxasEquivalentes! E será sempre assim, quando quisermos alterar a unidade de uma taxa efetiva de juroscompostos. Aprendemos isso na aula passada! Fazendo uma prévia análise para utilização das Taxas Equivalentes, teremos: %a.b. = I (bimestre é maior que mês). %a.m.=i (mês é menor que bimestre). K=2 (cabem dois meses em um bimestre!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + I = (1 + 0,04)2 Consultando a Tabela Financeira, encontraremos que: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 Daí: 1 + I = 1,081600 E: I=0,0816 I=8,16% ao bimestre Resposta!38. (Banespa 97/ FCC) Receber juros compostos de 525% ao ano é equivalente a receber juros semestrais de:a) 175,0% d) 262,5%b) 206,25% e) 150,0%c) 218,5%Sol.: Questão semelhante à anterior: o enunciado nos deu uma taxa efetiva de juroscompostos, na unidade anual (525%a.a.), e nos pediu que a alterássemos para a unidadesemestral. Qual o conceito que usaremos? O conceito de Taxas Equivalentes, claro! Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 3
  4. 4. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO %a.a. = I (ano é maior que semestre). %a.s.=i (semestre é menor que ano). K=2 (cabem dois semestres em um ano!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + 5,25 = (1 + i)2 Trocando de lado, teremos: (1+i)2=6,25 O momento agora seria o de consultar a Tabela Financeira! Todavia, ao tentar fazer essaconsulta, veremos que a tabela não nos será útil para esses valores! E nem precisa! Senão, vejamos. Você sabe dizer qual é a raiz quadrada de 625? Não? Pois deveria! Aliás, deixa eu abrirum parêntese aqui nesta resolução, para falar em quadrados perfeitos. Convém, muitíssimo, que você conheça os quadrados de 11 a 25. Vejamos: 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 Mas, professor, eu preciso mesmo decorar tudo isso? Eu diria que você não precisafazer não é obrigado a nada neste mundo. Concorda? Mas que seria muito conveniente, issoseria! E por quê? Pelo seguinte: se eu sei que 252=625, então a raiz quadrada de 2,52=6,25. Assim, a raiz quadrada de 6,25 é igual a 2,5. Da mesma forma, teríamos que: 1,21 = 1,1 , ou que 1,44 = 1,2 , e assim por diante! Esse conhecimento serve também para a prova de Estatística! Na prova do AFRF-2003,uma das questões de Estatística Básica só seria resolvida se a pessoa soubesse quanto é a raizquadrada de 2,56. E aí? Você agora já saberia dizer quanto vale? Claro! Vejamos: Se 162=256, então 2,56 =1,6 www.pontodosconcursos.com.br 4
  5. 5. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Pois bem! Voltemos ao nosso enunciado. Chegamos a: (1+i)2=6,25 Daí: (1+i)= 6,25 (1+i)=2,5 i=1,5 i=150% ao semestre Resposta!39. (IRB 2004 ESAF) Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês.a) 24% d) 24,96%b) 24,24% e) 26,8242%c) 24,48%Sol.: Novamente a questão quer alteremos a unidade de uma taxa efetiva de juros compostos! Mais uma vez usaremos o conceito de Taxas Equivalentes. Teremos: %a.a. = I (ano é maior que mês). %a.m.=i (mês é menor que ano). K=12 (cabem doze meses em um ano!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + I = (1 + 0,02)12 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 . ... ... ... ... ... 12 ... 1,268242 ... 1,601032 Assim: 1 + I = 1,268242 I=0,268242 I=26,8242% a.a. Resposta!40. (IRB 2006 ESAF) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.a) 60% ao ano d) 10% ao trimestreb) 30% ao semestre e) 6% ao bimestrec) 24% ao semestreSol.: Essa questão é um pouquinho mais interessante. Há uma dica a ser aprendida! Vocês percebem que vamos partir de uma taxa efetiva de juros compostos mensal. E precisaremos chegar a uma taxa equivalente, em uma unidade ainda desconhecida! www.pontodosconcursos.com.br 5
  6. 6. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO O truque é o seguinte: vamos imaginar que a taxa fornecida pelo enunciado seja umataxa de juros simples. Vejam bem: é apenas uma suposição! Na realidade, conforme sabemos,a taxa é composta! Daí, pensaremos assim: Se a taxa 4% ao mês fosse uma taxa de juros simples, para transformá-la numa taxabimestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 2 (dois), jáque um bimestre tem dois meses. Assim, pelas taxas proporcionais, teríamos que: 4% ao mês = 8% ao bimestre! Ora, ocorre que a taxa 4%a.m. não é de juros simples, mas de juros compostos! Daí, mesmo antes de aplicarmos o conceito de Taxas Equivalentes, de antemão, umacerteza nós já temos: a taxa bimestral terá que ser maior que 8% ao bimestre! Conclusão: transformando uma taxa qualquer, de uma unidade menor para uma unidademaior, teremos que o resultado encontrado pelo conceito de taxas equivalentes serásempre maior que o encontrado pelo conceito de taxas proporcionais. Até aqui, a opção E de resposta já está descartada! Se a taxa de 4% ao mês fosse de juros simples, para transformá-la numa taxatrimestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 3 (três), jáque um trimestre tem três meses. Teríamos que: 4% ao mês = 12% ao trimestre! Todavia, essa taxa 4% é de juros compostos e não de juros simples, assim, de antemão,mesmo sem aplicar o conceito de taxas equivalentes, já sabemos que a taxa compostatrimestral terá que ser maior que 12%. Essa análise já nos fará descartar a opção D. Viram? Adiante! Se a taxa de 4% ao mês fosse de juros simples, para transformá-la numa taxasemestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 6 (seis), jáque um semestre tem seis meses. Teríamos que: 4% ao mês = 24% ao semestre! Assim, já sabemos que a taxa composta equivalente semestral terá que ser maiorque 24%. Com isso, descartamos a alternativa C. Por enquanto, estão sobrando duas possibilidades: 60% ao ano ou 30% ao semestre. Aqui, aplicaremos o conceito de Taxas Equivalentes. Vamos encontrar a taxa semestral,Ok? Teremos que: %a.s. = I (semestre é maior que mês). %a.m.=i (mês é menor que semestre). K=6 (cabem seis meses em um semestre!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + I = (1 + 0,04)6 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: www.pontodosconcursos.com.br 6
  7. 7. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 6 ... ... ... 1,265319 Assim: 1 + I = 1,265319 I=0,265319 I=26,5319% ao semestre. Com esse resultado, descartamos a letra B. Qual restou? Apenas a letra A: 60% ao ano Resposta! Há uma coisa que eu esqueci de pedir a vocês na aula passada. (Esqueci mesmo? Nãosei. Estou esquecido se esqueci... Memória prodigiosa essa minha!). Bem. Se já falei, vou falarde novo: EU QUERO MUITO QUE VOCÊS DECOREM DUAS COISAS: 1ª) 3% ao mês = 9,2727% ao trimestre. 2ª) 4% ao mês = 60,1032% ao ano. Essas duas taxas compostas – 9,2727% ao trimestre e 60,1032% ao ano –aparecem em prova o tempo inteiro! Em aparecendo na sua prova, você não vai perder maisnem um minuto aplicando o conceito de Taxas Equivalentes. Não vai mais precisar! Por quê?Porque você vai se lembrar que: 9,2727% ao trimestre = 3% ao mês. 60,1032% ao ano = 4% ao mês. Ok? Adiante!41. (ANEEL 2004 ESAF) A taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal corresponde a uma taxa efetiva anual dea) 26,82%. d) 24,00%.b) 25,51%. e) 22,78%.c) 25,44%.Sol.: Aqui uma questão mais completa, em se tratando de conceitos de taxas no regimecomposto! E por que isso? Porque está presente no enunciado uma Taxa Nominal. Sempreque isso ocorrer, já saberemos: nosso primeiro passo será transformar a Taxa Nominal em TaxaEfetiva. www.pontodosconcursos.com.br 7
  8. 8. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Na aula passada, aprendemos que essa transformação se fará mediante o conceito deTaxas Proporcionais. Lembrados? Teremos: 24% a.a. com capitalização mensal = (24/12) = 2% ao mês A questão agora pede que você encontre uma taxa efetiva anual. Temos uma taxa efetiva mensal, e encontraremos uma taxa efetiva anual. Ou seja,precisamos alterar a unidade de uma taxa efetiva. Por meio de qual conceito? Por meio doconceito de taxas equivalentes. Teremos: %a.a. = I (ano é maior que mês). %a.m.=i (mês é menor que ano). K=12 (cabem doze meses em um ano!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + I = (1 + 0,02)12 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 . ... ... ... ... ... 12 ... 1,268242 ... ... Assim: 1 + I = 1,268242 I=0,268242 I=26,8242% a.a. Resposta!42. (TCE-Piauí 2002/FCC) Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado considerando-se uma taxa anual nominal de 12%, capitalizada quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de(A) 12,49% (D) 15,12%(B) 12,55% (E) 16,99%(C) 13,00%Sol.: Mesmíssimo modelo da questão anterior! Aliás, há um desenho que aprendemos na aulapassada, e que vale perfeitamente para o caso. Relembremos: Taxa Taxa Taxa Efetiva em Nominal Efetiva outra unidade www.pontodosconcursos.com.br 8 Taxas Taxas Proporcionais Equivalentes
  9. 9. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Comecemos logo transformando a Taxa Nominal em Taxa Efetiva. Faremos: 12% a.a. com capitalização quadrimestral = (12/3) = 4% ao quadrimestre A questão agora pede que você encontre uma taxa efetiva anual. Teremos: %a.a. = I (ano é maior que quadrimestre). %a.q.=i (quadrimestre é menor que ano). K=3 (cabem três quadrimestres em um ano!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + I = (1 + 0,04)3 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 Assim: 1 + I = 1,124864 I=0,124864 I=12,49% ao ano Resposta!43. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal.a) 2,595% ao mês. d) 9,703% ao trimestre.b) 19,405% ao semestre. e) 5,825% ao bimestre.c) 18% ao semestre.Sol.: Outra semelhante. Iniciemos transformando a taxa nominal em efetiva. Teremos: 36% a.a. com capitalização mensal = (36/12) = 3% ao mês Só isso já nos leva a descartar a letra A. Concordam? De resto, precisaremos encontrar qual a taxa equivalente a 3% ao mês, numa dasunidades das opções de resposta! Como entre as alternativas há taxas na unidade bimestral, trimestral e semestral,usaremos o truque que aprendemos ainda hoje, de fazer de conta que a taxa 3%a.m. é dejuros simples. Olha lá, hein: não é verdade isso! É só faz de conta! Assim, passando 3% ao mês simples para bimestral, teríamos: 3x2=6% ao bimestre. E eliminamos a letra E. www.pontodosconcursos.com.br 9
  10. 10. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Passando 3% ao mês simples para semestral, teríamos 3x6=18% ao semestre. Assim, eliminamos a letra C, pois 3%a.m. sendo composta, teria que resultar numa taxaequivalente necessariamente maior que 18% ao semestre! (Jamais igual!). Há duas opções no páreo: 19,405% ao semestre e 9,703% ao trimestre. E aí? Precisaremos fazer as contas? Claro que não! E por que não? Porque aprendemos,agora há pouco, que 3% ao mês composta é equivalente a 9,2727% ao trimestre! Isso elimina a letra D, restando-nos, pois, apenas o seguinte: 3% ao mês = 19,405% ao semestre Resposta!44. (BC-94) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:a) 20% d) 23%b) 21% e) 24%c) 22%Sol.: Vamos nós outra vez! Transformando a taxa nominal em efetiva, teremos: 30% a.t. com capitalização mensal = (30/3) = 10% ao mês Essa taxa composta 10% ao mês também é muito comum em prova. Inclusive figurouem algum dos nossos exemplos da aula passada. Acho que podemos também memorizar essaalteração sem maiores problemas, e com economia de tempo na nossa resolução. Sendo assim, aprendamos de uma vez por todas: 10% ao mês = 21% ao bimestre! Será essa taxa bimestral que encontraremos aplicando o conceito de Taxas Equivalentes! Ok? Seguindo o mesmo cálculo, encontraremos também o seguinte: 10% ao bimestre = 21% ao quadrimestre 10% ao trimestre = 21% ao semestre 10% ao semestre = 21% ao ano Adiante!45. (AFC/STN 2005 ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60% ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:a) 69 % e 60 % d) 60 % e 69 %b) 60 % e 60 % e) 120 % e 60 %c) 69 % e 79 %Sol.: Eis aqui uma questão bastante interessante! Foram fornecidas duas taxas nominais. As seguintes: 60% ao ano, com capitalização semestral; e 30% ao semestre, com capitalização mensal. Teremos que transformá-las em taxas efetivas, aplicando duas vezes o conceito de taxasproporcionais. Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 10
  11. 11. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 60% ao ano, com capitalização semestral = (60/2) = 30% ao semestre 30% ao semestre, com capitalização mensal = (30/6) = 5% ao mês E agora, o que a questão nos pede? Pede-nos que encontremos taxas anuais! Ora, de posse de uma taxa efetiva de juros compostos, para alterar sua unidadeaplicaremos o conceito de Taxas Equivalentes! Certo? Só que antes disso, faremos uma consideração hipotética, para ver se podemos matar aquestão mais rapidamente. Comecemos trabalhando com a taxa de 30% ao semestre. Se ela fosse uma taxa de juros simples, para transformá-la para anual, aplicaríamos oconceito de taxas proporcionais, e teríamos que: 30% ao semestre = 30x2 = 60% ao ano. Assim, a taxa efetiva anual teria que ser, necessariamente, maior que 60% ao ano! Agora, façamos o mesmo com a taxa de 5% ao mês. Se ela fosse taxa simples, aplicaríamos o conceito de taxas proporcionais paratransformá-la em taxa anual, e teríamos que: 5% ao mês = 5x12 = 60% ao ano. Assim, a taxa efetiva anual também teria que ser, neste caso, necessariamente maiorque 60% ao ano! Conclusão: a resposta que procuramos tem que apresentar duas taxas maiores que60%! Dêem uma olhadinha nas alternativas! Viram? Somente uma opção de resposta atende essa condição! Daí: letra C Resposta! É isso! Espero que tenham resolvido bem essas questões! Ainda nos restou falar alguma coisa sobre os Juros Compostos. Um tema importante eque cai muito em prova. Vamos lá.# Convenção Linear: Na aula passada, aprendemos a resolver questões de Juros Compostos, mediante aaplicação da Equação Fundamental, que consistia no seguinte: M=C.(1+i)n Até aqui, nada de novo! Ocorre que existe uma forma alternativa para resolvermos questões de JurosCompostos! Essa forma alternativa tem um nome: Convenção Linear! Assim, a Convenção Linear nada mais é que um método diferente para trabalharmosoperações de Juros Compostos! Só isso! Precisamos saber que esse caminho alternativo é, na verdade, o caminho da exceção! E assim sendo, só iremos resolver uma questão de Juros Compostos pela ConvençãoLinear quando o enunciado mandar expressamente! Ok? Só nesse caso! No mais, temos que conhecer a equação da Convenção Linear. É a seguinte: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) Onde: www.pontodosconcursos.com.br 11
  12. 12. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO INT é a parte inteira do tempo; e Q é a parte quebrada do tempo. Pela própria fórmula, vocês vão deduzir o seguinte: nos enunciados de ConvençãoLinear, o tempo de aplicação do capital será sempre apresentado (ou convertido por nós) emduas partes: uma inteira e outra quebrada. Assim sendo, faremos neste exemplo uma adaptação à exigência universal damatemática financeira: na Convenção Linear, temos que a taxa tem que estar na mesmaunidade das duas partes do tempo (a parte inteira e a parte quebrada). Por exemplo: se a questão falar 3 meses e 15 dias e uma taxa mensal. Passando tudo para meses (a unidade da taxa), teremos que: 3 meses e 15 dias = 3 meses (parte inteira) + 0,5 mês (parte quebrada). Outro exemplo: se a questão falar em 5 meses e 10 dias, e uma taxa mensal.Teremos: 5 meses e 10 dias = 5 meses (parte inteira) + (1/3) mês (parte quebrada). Entenderam? Pois bem! Se a questão falar em Convenção Linear, só precisaremos nos lembrar daEquação apropriada, bem como de colocar a as duas partes do tempo na mesma unidade dataxa! Só isso! É uma das questões mais fáceis da prova!(ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final doprazo era de:a) $ 16.590 d) $ 16.705b) $ 16.602 e) $ 16.730c) $ 16.698Sol.: O enunciado falou expressamente em convenção linear, de sorte que já identificamos oassunto da questão! Teremos, pois, que aplicar a seguinte equação: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) Percebamos agora que a taxa é anual (15% ao ano) e que o tempo está anos e meses. O que teremos que fazer é transformar 8 meses em uma fração de ano. Nada mais fácil.Teremos que o tempo completo é o seguinte: 3 anos e (8/12) ano. Se quisermos, pode ficar só assim mesmo. Mas, se você preferir ainda simplificar maisaquela fração, teremos: 3 anos e (2/3) ano. Melhorou? Feito isso, e considerando que a taxa e as duas partes do tempo já estão na mesmaunidade, resta-nos, tão somente, aplicar a fórmula. Teremos: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) M=10000.(1+0,15)3.[1+0,15x(2/3)] M=16.729,63 ≅ 16.730,00 Resposta! Deixarei outras questões de Convenção Linear para resolvermos no Dever de Casa. Passemos agora a falar acerca do Desconto Composto! Para nossa sorte, um dos assuntos mais rápidos e mais fáceis do nosso Curso! Vejamos. www.pontodosconcursos.com.br 12
  13. 13. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO# DESCONTO COMPOSTO: O que vem a ser uma operação de Desconto? Já sabemos disso: é aquela em que seprojeta para o dia de hoje um valor monetário conhecido numa data futura. Já sabemostambém qual é o desenho básico de toda e qualquer operação de Desconto. (Não sabemos?) É o seguinte: N A Pois bem! Sabemos ainda quais são os cinco elementos do Desconto. Os seguintes: Valor Nominal: N Tempo de antecipação: n Valor Atual: A Desconto: D Taxa: i No estudo do Desconto Simples, aprendemos uma pequena equação, válida para todasas operações de Desconto, quer simples, quer composto. Alguém se lembra dela? É a seguinte: D=N-A. Isso é sempre verdade. Ok? No Desconto Composto, a exemplo do regime simples, haverá também duasmodalidades: Desconto Composto por Dentro ou Racional; Desconto Composto por Fora ou Comercial. A respeito disso, há uma ressalva a ser feita: a Esaf, elaboradora da prova da ReceitaFederal (e de tantas outras) não faz constar o Desconto Composto por Fora (Comercial) sequernos programas de seus editais. Isso porque existe uma linha de autores de matemática financeira, segundo o qual oDesconto Comercial Composto é uma ficção! Não existe, na verdade! Assim, há um verdadeiro facilitador neste assunto – Regime Composto – quando aelaboradora da prova for a Esaf. Qual? O de já sabermos que a operação de Desconto Compostoocorrerá, necessariamente, na modalidade de Desconto por Dentro. Todavia, esse entendimento restritivo do Desconto Composto não é absoluto. AFundação Carlos Chagas (FCC), por exemplo, explorou, em prova bastante recente, oconhecimento do Desconto Composto por Fora (Comercial). Assim, convém que conheçamostudo! Eu lhes digo que, a bem da verdade, o que a questão de Desconto Composto quermesmo saber, é se você conhece a equação que será empregada naquela resolução. www.pontodosconcursos.com.br 13
  14. 14. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Sendo assim, aprenderemos uma forma boa de memorizar tanto a equação do DescontoComposto por Dentro, quanto a do Desconto Composto por Fora. Vamos lá. Comecemos pelo Desconto Composto por Dentro: primeiramente, ao lermos oenunciado, descobriremos que se trata de uma questão de desconto, e que estamostrabalhando no regime composto! Ora, quais são as formas de identificarmos que estamos no regime composto (e não nosimples)? Primeira forma: quando o enunciado expressamente o disser. Aí é fácil. Se a questãoem algum momento falar “...usando o desconto composto...”, não restará duvida alguma sobreo regime da operação. A segunda forma de sabermos que o regime é o composto é a mera presença, noenunciado, de uma taxa nominal. Estamos lembrados do que é uma taxa nominal, certo? Seencontrarmos em nossa questão de desconto uma taxa no formato 48% ao ano comcapitalização mensal, por exemplo, saberemos que o desconto é o composto! Pois bem! Identificado que a questão é de desconto, e identificado que o desconto écomposto, restará ainda uma última conclusão a se chegar: qual é a modalidade desta operaçãode desconto composto? Agora suponhamos que o enunciado tenha dito: “... adote o desconto racionalcomposto.” Pronto! Essas três palavras nos informam tudo o que precisamos saber acerca destaquestão. Trata-se de uma questão de desconto, no regime composto, e na modalidade dedesconto racional, que é o desconto por dentro! Só nos falta aprender as fórmulas. Façamos um “passo-a-passo”: 1º) Faremos o desenho “genérico” de uma operação de desconto: N A 2º) Lembraremos daquele conceito que foi feito no capítulo de Desconto Simples,quando dissemos que haveria um dos lados que seria considerado o lado do desconto pordentro, e um que seria o lado do desconto por fora. Será que ainda lembramos disso? O lado do desconto por dentro é o lado do Atual; O lado do desconto por fora é o lado do Nominal. Como estamos em uma questão de desconto por dentro, teremos que: N A d Esse d é só para lembrar que o lado do Atual é o lado do desconto por dentro. www.pontodosconcursos.com.br 14
  15. 15. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 3º) Iremos lembrar de uma pequena frase, que nos auxiliará a formar a equação dodesconto composto. A frase é a seguinte: Composto rima com oposto. Ora, se composto rima com oposto, e o lado do desconto por dentro é o lado doAtual, então nossa fórmula começará pelo lado oposto. Ou seja: começará pelo Nominal: N A d Essa nossa fórmula é linear. Teremos que: N=A.(1......) Primeiramente colocaremos apenas isso: Nominal é igual a Atual vezes um parêntesecomeçando por 1. Feito isso, pensaremos: a fórmula começou pelo Nominal; esse Nominal é maior oumenor que o Atual? É claro que é maior! Logo, se é maior, então depois desse 1 vem um sinalde +. Teremos: N=A.(1+i)n É esta a equação fundamental do desconto composto por dentro! Como podemos ver, nela aparecem o valor nominal, o valor atual, a taxa composta e otempo que separa as datas do valor atual e nominal. Esta equação faz uma única exigência, antes de podermos aplicá-la. Qual? É issomesmo, a exigência universal: taxa e tempo terão de estar na mesma unidade! Suponhamos que um enunciado qualquer de desconto composto racional tenha nosfornecido o valor nominal (N), o valor da taxa (i) e o valor do tempo (n), e venha solicitar queencontremos o valor atual (A) desta operação. O que faríamos para aplicar a fórmula acima?Ora, apenas isolaríamos o valor atual, e passaríamos o parêntese famoso para o outro lado,dividindo. Teríamos, portanto: A=N/(1+i)n Obviamente que não precisaremos decorar essa segunda fórmula! Claro que não! É merodesdobramento da primeira! E ainda assim, esta acima é a segunda fórmula do descontocomposto por dentro. Passemos à construção da fórmula do Desconto Composto Comercial (Por Fora). Oraciocínio é muito semelhante ao que desenvolvemos acima. Começaremos fazendo o desenho“genérico” das operações de desconto. Teremos: N A www.pontodosconcursos.com.br 15
  16. 16. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Daí, lembraremos novamente daquele trato, só que agora no que diz respeito aodesconto por fora: o lado do desconto por fora é o lado do Nominal. Teremos: N A f Agora nos lembraremos da frase da rima, que nos diz que composto rima comoposto! Ora, se o lado do desconto por fora é o lado do Nominal, então nossa fórmulacomeçará pelo lado oposto, ou seja, começará pelo Atual. N A f Teremos, portanto, que: A=N.(1......) A princípio, escrevemos somente isso: Atual é igual a Nominal, que multiplica por umparêntese que começa por 1. E depois perguntamos: esse elemento que começa a fórmula (o Atual) é maior ou menorque o Nominal? Obviamente que é menor! Logo, após o 1 do parêntese surgirá um sinal desubtração (-). Teremos: A=N.(1-i)n Esta é a equação fundamental do desconto composto por fora! A exigência desta fórmula, estou certo disso, somos todos capazes de adivinhar: taxa etempo têm que estar na mesma unidade. Se esta exigência estiver cumprida, então é sójogar os dados da questão na fórmula. E se, por acaso, o enunciado fornecer o valor atual (A), o valor da taxa (i) e o valor dotempo (n), e solicitar que encontremos o Valor Nominal da operação. O que faríamos paraaplicar a fórmula acima? Ora, isolaríamos o valor nominal, passando o parêntese (que não é ofamoso!) para o lado contrário, dividindo. Teríamos: N=A/(1-i)n Ei-la: esta é a segunda equação do desconto composto por fora, cuja exigência deaplicação é aquela nossa velha conhecida: taxa e tempo na mesma unidade! Pois bem! Agora que conhecemos as equações todas do Desconto Composto, resta-noslembrar – mais uma vez – que: É preciso usar taxa e tempo na mesma unidade! www.pontodosconcursos.com.br 16
  17. 17. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO E se taxa e tempo estiverem em unidades diferentes, faremos duas tentativas naquelaordem já nossa conhecida: 1ª) Recorreremos ao tempo, tentado adaptá-lo para a mesmaunidade da taxa. E se falhar a primeira tentativa: 2ª) Recorreremos à taxa, e alteraremos sua unidade,adaptando-a à unidade do tempo. Neste recurso, e já dispondo de uma taxa composta efetiva,usaremos o conceito de taxas equivalentes! No mais, é só fazer as contas e acertar a questão! Uma perguntinha: vocês acham que é possível, no enunciado de uma questão deDesconto, estar presente uma taxa como 36% ao ano, com capitalização mensal? O que vocês acham? Claro que sim! Trata-se de uma taxa nominal. Aprendemos que apresença da Taxa Nominal, por si, já indica que estamos no Regime Composto! (Não precisará aquestão falar isso expressamente!). E já sabemos também o que fazer diante de uma taxanominal. Lembrados? Iremos transformá-la em Taxa Efetiva, por meio do conceito de TaxasProporcionais! Pronto! Já sabemos tudo sobre o Desconto Composto! Vejamos uma questão recente de prova.01.Obtenha o valor hoje de um título de $10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.a) $ 9.140,b) $ 9.151,c) $ 9.100,d) $ 9.126,e) $ 9.174,Sol.: Essa questão não ofereceu muita resistência. Facilmente identificamos o assunto, de umaforma completa e segura. Isso se fez por meio de três palavras presentes no enunciado:“...desconto racional composto...”! Pronto! É tudo o que precisamos saber para a resolvermos:a questão é de desconto; o regime é o composto; e a modalidade é a de desconto por dentro!Anotemos os dados que foram fornecidos: N=10.000,00 n=3 meses i=3% ao mês (juros compostos) A=? Ora, usaremos a equação fundamental do desconto composto racional, notando que aexigência universal já está cumprida pelo enunciado. Ou seja, taxa e tempo já estão na mesmaunidade. Em suma: aplicação direta da fórmula! Teremos: N 10000 N = A ⋅ (1 + i ) n Daí: A = E: A = (1 + i ) n (1 + 3%) 3 Aqui, podemos recorrer à Tabela Financeira do parêntese famoso, para encontrarmosque: (1+3%)3 =1,092727 Daí: A=10000/1,092727 Vamos usar um truque, do qual já falamos neste Curso, para facilitar a feitura destadivisão! O truque é o seguinte: com um olho você olha para a conta; com o outro, para asopções de resposta! Vejamos: www.pontodosconcursos.com.br 17
  18. 18. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 1º Passo) Temos que dividir 10.000 por 1,092727. Vamos decidir logo com quantascasas decimais iremos trabalhar essa divisão. Em geral, o trabalho com três casas decimaiscostuma ser satisfatório, e muito seguro! Podemos, então, optar por isso. Daí, nossa contaserá: 10.000 / 1,092 2º Passo) Agora igualaremos o número de casas decimais. Então vamos lá: 1,092 temquantas casas decimais? (Para os mais esquecidos, casa decimal é algarismo depois davírgula!). Então. Quantos? Tem 3 casas decimais. E o 10.000 tem quantas casas decimais?Nenhuma. Então, pegaremos os 10000, passaremos uma vírgula e acrescentaremos três zeros.Daí, teremos: 10.000,000 / 1,092 Perceba que conseguimos igualar o número de casas decimais: três para cada lado. Feitoisso, o arremate: excluímos as vírgulas! Nossa conta será, portanto, somente: 10.000.000 / 1.092 Agora, sim, vem a parte boa! É aqui que vocês vão perceber a importância de seresolver a conta de divisão olhando para as respostas! Vamos iniciar a nossa conta. Primeiramente, olhamos para as opções de resposta. Qual o algarismo que inicia todaselas? Olha lá!a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174, É um 9. Daí, você – gênio da matemática – começa colocando logo um 9 no quociente.Ficamos com: 10000’000 1092 9828 9 172 Agora desce um zero. Teremos: 10000’0’00 1092 9828 9 1720 E agora? Agora você olha para as respostas novamente. Qual é o segundo dígito (osegundo algarismo) que aparece em todas elas? Vejamos:a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174, Daí, nem precisa adivinhar quem será o próximo valor no nosso quociente! Obviamenteque será o 1. Teremos: 10000’0’00 1092 9828 91 1720 1092 628 Reparemos que nossa conta está quase no fim! Claro! Basta darmos uma outra olhadelanas opções de resposta, e conferirmos qual é o terceiro algarismo que aparece em cada umadelas. Façamos isso:a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174, www.pontodosconcursos.com.br 18
  19. 19. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Olha aí, minha gente! Em todas as opções, não houve terceiro algarismo repetido! Issosignifica que se encontrarmos no quociente agora um 4, a resposta será a letra a; seencontramos um 5, a resposta será a letra b; se encontrarmos um 0, será a letra c; seencontramos um 2, será a letra d; finalmente, se encontrarmos um 7, nossa resposta será aletra e. Sem medo de ser feliz! Voltando à nossa conta. Desce mais um zero. Teremos: 10000’0’0’0 1092 9828 91 1720 1092 6280 Ora, não ficou muito difícil perceber que caberá aí um 5 no nosso quociente! Vejamos: 10000’0’0’0 1092 9828 915 1720 1092 6280 5460 Não dava para ser um 7, porque 7x1092=7644, que já passava de 6280. Pronto! Nem precisamos mais levar adiante essa divisão. Podemos ter certeza absolutaque a resposta será a opção B. Daí: A = 9.151, Resposta! É isso! Creio que por hoje é só. Já estamos prontos para pôr em prática osensinamentos de hoje. Assim, seguem as questões do nosso... ... Dever de Casa01. (AFTN-85 ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de:d) $ 16.590 d) $ 16.705e) $ 16.602 e) $ 16.730f) $ 16.69802. (ACE MICT/1998/ESAF) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, juros compostos, do dia 10 de fevereiro ao dia 30 de maio. Obtenha os juros da aplicação, usando a convenção linear.a) R$ 110,00 d) R$ 114,58b) R$ 113,48 e) R$ 115,00c) R$ 114,4703. (Fiscal PA- 2002/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos durante dois períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Calcule o montante em relação ao capital inicial, considerando a convenção linear para cálculo do montante.a) 150% d) 160% www.pontodosconcursos.com.br 19
  20. 20. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHOb) 157,74% e) 162%c) 158,4%04. (TRF 2006 ESAF) Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de quinze meses usando a convenção linear.a) R$ 150.108,00 d) R$ 152.223,00b) R$ 151.253,00 e) R$ 152.510,00c) R$ 151.772,0005. (AFPS – 2002/ESAF) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do montante.a) 22,5% d) 26,906%b) 24% e) 27,05%c) 25%06. (Analista de Compras de Recife 2003/ESAF) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos. a) R$ 11.255,00 d) R$ 11.800,00 b) R$ 11.295,00 e) R$ 12.000,00 c) R$ 11.363,0007. (ATE–MS2001/ESAF) Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se houver). a) R$ 4.400,00 d) R$ 4.952,00 b) R$ 4.725,00 e) R$ 5.000,00 c) R$ 4.928,0008. (AFTN-91) Um “comercial paper” com valor de face de $1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional. Obtenha o valor do resgate: a) $ 751.314,80 d) $ 729.000,00 b) $ 750.000,00 e) $ 700.000,00 c) $ 748.573,0009. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00 , 60 (sessenta) dias antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final) Dados: (1,84)1/3= 1,22538514 (1,84)1/4= 1,1646742 (1,84)1/6= 1,10697115 a) $ 429.304,00 d) $ 449.785,00 b) $ 440.740,00 e) $ 451.682,00 c) $ 446.728,00 Bons estudos! Um forte abraço e fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 20

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