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Matemática financeira - CERS - CVM

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COMISSÃO DE VALORES IMOBOLIÁRIOS
Matemática Financeira
Marcos Luciano
1
OBSERVE O SEGUINTE PROBLEMA:
01. (AUDITOR PÚBLICO EXTERNO TCE MT
FMP 2011) Um loja financia a compra de um
eletrodoméstico no valor à vista de R$
1.300,00, em três prestações mensais
iguais, sem entrada, isto é, a primeira das
prestações com vencimento um mês após a
compra. Sabendo-se que a taxa de juros
utilizada é de 5% ao mês o valor da
prestação é:
a) R$ 454,63.
b) R$ 477,36.
c) R$ 498,33.
d) R$ 501,63.
e) R$ 3.540,16.
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES E
PERIÓDICOS (AMORTIZAÇÕES)
Existem três tipos de Amortizações (Rendas
Certas):
Classificação das Amortizações:
I. Postecipadas;
II. Antecipadas;
III. Diferidas ou com carência.
Observação: quando não for informado o
modelo de Amortização, deve-se considerar
a Amortização Postecipada.
Características das amortizações:
 Parcelas de mesmo valor (Sistema de
Amortização Francês - Tabela Price);
 Mesmo intervalo de tempo entre as
parcelas;
 Taxa de juros compostos (Desconto
composto racional).
Elementos das amortizações:
 A: valor atual (presente);
 P: valor da prestação (renda);
 i: taxa de juros compostos;
 n: número de prestações.
I. AMORTIZAÇÃO POSTECIPADA (MODELO
PRICE)
É a renda em que o primeiro pagamento ocorre
um período após a realização do negócio.
Assim sendo o nº de prestações é igual a n, a
primeira prestação será paga no final do
primeiro período (data 1) e a última prestação
será paga na data n.
Fórmula para o cálculo do Valor Atual
(Presente): sendo P o valor das prestações, A
o valor presente (valor atual) e i a taxa de juros
compostos, assim a fórmula para o cálculo de
A é:
𝑨 = 𝑷 ∙
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
− 𝟏
𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏
Importante:
O fator:
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
− 𝟏
𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏
é denominado de FATOR DE VALOR ATUAL
DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS e pode
ser indicado pela seguinte notação:
𝒂 𝒏¬𝒊
Assim, a fórmula acima pode ser escrita da
seguinte forma:
𝑨 = 𝑷 ∙ 𝒂 𝒏¬𝒊
(𝑨𝒕𝒖𝒂𝒍 = 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çõ𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒊𝒔 ∙ 𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓)
Para cada valor de i e n, se obtém um valor
diferente para tal fator. Dessa forma, o
mesmo pode ser obtido em uma tabela.
Segue a tabela para sua visualização:
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COMISSÃO DE VALORES IMOBOLIÁRIOS
Matemática Financeira
Marcos Luciano
2
Tabela II - Fator de Valor Atual de uma Série
de Pagamentos 𝒂 𝒏¬𝒊 =
(𝟏+𝒊) 𝒏−𝟏
(𝟏+𝒊) 𝒏×𝒊
Assim, a fórmula acima pode ser escrita da
seguinte forma:
𝑨 = 𝑷 ∙ 𝒂 𝒏¬𝒊
(𝑨𝒕𝒖𝒂𝒍 = 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çõ𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒊𝒔 ∙ 𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓)
Para cada valor de i e n, se obtém um valor
diferente para tal fator. Dessa forma, o
mesmo pode ser obtido em uma tabela.
Segue a tabela para sua visualização:
EXERCÍCIOS EM AULA:
01. (AUDITOR PÚBLICO EXTERNO TCE MT
FMP 2011) Um loja financia a compra de um
eletrodoméstico no valor à vista de R$
1.300,00, em três prestações mensais
iguais, sem entrada, isto é, a primeira das
prestações com vencimento um mês após a
compra. Sabendo-se que a taxa de juros
utilizada é de 5% ao mês o valor da
prestação é:
a) R$ 454,63.
b) R$ 477,36.
c) R$ 498,33.
d) R$ 501,63.
e) R$ 3.540,16.
RESOLUÇÃO:
02. (AFRF ESAF) Uma pessoa faz uma
compra financiada em doze prestações
mensais e iguais de R$ 210,00. Obtenha o
valor financiado, desprezando os centavos,
a uma taxa de juros compostos de 4% ao
mês, considerando que o financiamento
equivale a uma anuidade e que a primeira
prestação vence um mês depois de
efetuada a compra.
(A) R$ 3.155,00
(B) R$ 2.048,00
(C) R$ 1.970,00
(D) R$ 2.530,00
(E) R$ 2.423,00
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
03. (SUSEP ESAF) Um consumidor comprou
um automóvel no valor de R$ 25.000,00
pagou uma entrada à vista de R$ 5.000,00 e
financiou o restante em doze prestações
mensais de R$ 2.009,24, vencendo a
primeira ao fim do primeiro mês e assim
sucessivamente. Indique a taxa de juros
mensal do financiamento.
(A) 1%
(B) 2%
(C) 3%
(D) 4%
(E) 5%
RESOLUÇÃO:
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Matemática Financeira
Marcos Luciano
3
04. (AFRF ESAF) Uma compra no valor de
R$ 10.000,00 deve ser paga com uma
entrada de 20% e o saldo devedor
financiado em doze prestações mensais
iguais, vencendo a primeira prestação ao
fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês.
Considerando que este sistema de
amortização corresponde a uma anuidade
ou renda certa, em que o valor atual da
anuidade corresponde ao saldo devedor e
que os termos da anuidade correspondem
às prestações, calcule a prestação mensal,
desprezando os centavos:
(A) R$ 986,00
(B) R$ 852,00
(C) R$ 923,00
(D) R$ 900,00
(E) R$ 1.065,00
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
05. (AFRF ESAF) Na compra de um carro em
uma concessionária no valor de R$
25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de
50% e financia o saldo devedor em doze
prestações mensais a uma taxa de 2% ao
mês. Considerando que a pessoa consegue
financiar ainda o valor do seguro do carro e
a taxa de abertura de crédito, que custam
R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente,
nas mesmas condições, isto é, em doze
meses e a 2% ao mês, indique o valor que
mais se aproxima da prestação mensal do
financiamento global.
(A) R$ 1.405,51
(B) R$ 1.418,39
(C) R$ 1.500,00
(D) R$ 1.512,44
(E) R$ 1.550,00
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
06. (ANALISTA CMV ESAF 2010) Pretende-
se trocar uma série de oito pagamentos
mensais iguais de R$ 1.000,00, vencendo o
primeiro pagamento ao fim de um mês, por
outra série equivalente de doze pagamentos
iguais, vencendo o primeiro pagamento
também ao fim de um mês. Calcule o valor
mais próximo do pagamento da segunda
série considerando a taxa de juros
compostos de 2% ao mês.
(A) R$ 750,00
(B) R$ 693,00
(C) R$ 647,00
(D) R$ 783,00
(E) R$ 716,00
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
II. RENDA (AMORTIZAÇÃO) ANTECIPADA
É a renda em que o primeiro pagamento
ocorre ato da realização do negócio. Assim
sendo o nº de prestações é igual a n, a
primeira prestação será paga no início do
primeiro período (data zero) e a última
prestação será paga na data n – 1.
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COMISSÃO DE VALORES IMOBOLIÁRIOS
Matemática Financeira
Marcos Luciano
4
Fórmula para o cálculo do Valor Atual
(Presente): sendo P o valor das prestações,
A o valor presente (valor atual) e i a taxa de
juros compostos, assim a fórmula para o
cálculo de A é:
• Com tabela:
𝑨 = 𝑷[𝟏 + 𝒂 𝒏−𝟏¬𝒊]
• Sem tabela ou com a tabela do fator
de acumulação de capital (𝟏 + 𝒊) 𝒏
:
𝑨 = 𝑷 ∙
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
− 𝟏
𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏−𝟏
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
01. (TCM ESAF RJ) Uma compra foi paga
com 5 cheques pré-datados no valor de R$
5.000,00 cada, com vencimentos mensais e
consecutivos, o primeiro na data da
compra. Qual o valor da compra se a taxa
de juros efetiva composta cobrada pelo
financiamento é de 3% ao mês?
(A) R$ 19.275,25
(B) R$ 21.432,50
(C) R$ 22.575,00
(D) R$ 23.585,50
(E) R$ 27.000,00
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
02. (AFRFB ESAF) Uma casa pode ser
financiada em dois pagamentos. Uma
entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de
R$ 200.000,00 seis meses após a entrada.
Um comprador propõe mudar o esquema de
pagamento para seis parcelas iguais, sendo
a primeira parcela paga no ato da compra e
as demais vencíveis a cada trimestre.
Sabendo-se que a taxa contratada é de 6%
ao trimestre, sem considerar os centavos, o
valor de cada uma das parcelas será igual a:
(A) R$ 66.131,00.
(B) R$ 64.708,00.
(C) R$ 62.927,00.
(D) R$ 70.240,00.
(E) R$ 70.140,00.
RESOLUÇÃO:
III. AMORTIZAÇÃO DIFERIDA (COM
CARÊNCIA)
É a renda em que o primeiro pagamento
ocorre p períodos após a realização do
negócio. Assim sendo o nº de prestações é
igual a n, a primeira prestação será paga na
data p + 1 e a última prestação será quitada
na data n + p.
Fórmula para o cálculo do Valor Atual
(Presente): sendo P o valor das prestações,
A o valor presente (valor atual) e i a taxa de
juros compostos, assim a fórmula para o
cálculo de A é:
• Com tabela:
𝑨 = 𝑷[𝒂 𝒏+𝒑¬𝒊 − 𝒂 𝒑¬𝒊]
• Sem tabela ou com a tabela do fator
de acumulação de capital (𝟏 + 𝒊) 𝒏
:
𝑨 = 𝑷 ∙
(𝟏 + 𝒊) 𝒏
− 𝟏
𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏+𝒑
EXERCÍCIOS EM AULA:
01. (TCE PI ESAF) Uma operação de
financiamento de capital de giro no valor de
R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em doze
prestações mensais e iguais com carência
de quatro meses, ou seja, o primeiro
pagamento só será efetuado ao final do
quarto mês. Sabendo que foi contratada
uma taxa de juros de 4% ao mês, então o
valor de cada uma das prestações será
igual a:
(A) R$ 5.856,23
(B) R$ 5.992,83
(C) R$ 6.230,00
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Matemática Financeira
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5
(D) R$ 6.540,00
(E) R$ 7.200,00
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Aula 5

  • 1. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES IMOBOLIÁRIOS Matemática Financeira Marcos Luciano 1 OBSERVE O SEGUINTE PROBLEMA: 01. (AUDITOR PÚBLICO EXTERNO TCE MT FMP 2011) Um loja financia a compra de um eletrodoméstico no valor à vista de R$ 1.300,00, em três prestações mensais iguais, sem entrada, isto é, a primeira das prestações com vencimento um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 5% ao mês o valor da prestação é: a) R$ 454,63. b) R$ 477,36. c) R$ 498,33. d) R$ 501,63. e) R$ 3.540,16. RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES E PERIÓDICOS (AMORTIZAÇÕES) Existem três tipos de Amortizações (Rendas Certas): Classificação das Amortizações: I. Postecipadas; II. Antecipadas; III. Diferidas ou com carência. Observação: quando não for informado o modelo de Amortização, deve-se considerar a Amortização Postecipada. Características das amortizações:  Parcelas de mesmo valor (Sistema de Amortização Francês - Tabela Price);  Mesmo intervalo de tempo entre as parcelas;  Taxa de juros compostos (Desconto composto racional). Elementos das amortizações:  A: valor atual (presente);  P: valor da prestação (renda);  i: taxa de juros compostos;  n: número de prestações. I. AMORTIZAÇÃO POSTECIPADA (MODELO PRICE) É a renda em que o primeiro pagamento ocorre um período após a realização do negócio. Assim sendo o nº de prestações é igual a n, a primeira prestação será paga no final do primeiro período (data 1) e a última prestação será paga na data n. Fórmula para o cálculo do Valor Atual (Presente): sendo P o valor das prestações, A o valor presente (valor atual) e i a taxa de juros compostos, assim a fórmula para o cálculo de A é: 𝑨 = 𝑷 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏 − 𝟏 𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏 Importante: O fator: (𝟏 + 𝒊) 𝒏 − 𝟏 𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏 é denominado de FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS e pode ser indicado pela seguinte notação: 𝒂 𝒏¬𝒊 Assim, a fórmula acima pode ser escrita da seguinte forma: 𝑨 = 𝑷 ∙ 𝒂 𝒏¬𝒊 (𝑨𝒕𝒖𝒂𝒍 = 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çõ𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒊𝒔 ∙ 𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓) Para cada valor de i e n, se obtém um valor diferente para tal fator. Dessa forma, o mesmo pode ser obtido em uma tabela. Segue a tabela para sua visualização:
  • 2. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES IMOBOLIÁRIOS Matemática Financeira Marcos Luciano 2 Tabela II - Fator de Valor Atual de uma Série de Pagamentos 𝒂 𝒏¬𝒊 = (𝟏+𝒊) 𝒏−𝟏 (𝟏+𝒊) 𝒏×𝒊 Assim, a fórmula acima pode ser escrita da seguinte forma: 𝑨 = 𝑷 ∙ 𝒂 𝒏¬𝒊 (𝑨𝒕𝒖𝒂𝒍 = 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çõ𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒊𝒔 ∙ 𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓) Para cada valor de i e n, se obtém um valor diferente para tal fator. Dessa forma, o mesmo pode ser obtido em uma tabela. Segue a tabela para sua visualização: EXERCÍCIOS EM AULA: 01. (AUDITOR PÚBLICO EXTERNO TCE MT FMP 2011) Um loja financia a compra de um eletrodoméstico no valor à vista de R$ 1.300,00, em três prestações mensais iguais, sem entrada, isto é, a primeira das prestações com vencimento um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 5% ao mês o valor da prestação é: a) R$ 454,63. b) R$ 477,36. c) R$ 498,33. d) R$ 501,63. e) R$ 3.540,16. RESOLUÇÃO: 02. (AFRF ESAF) Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de R$ 210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra. (A) R$ 3.155,00 (B) R$ 2.048,00 (C) R$ 1.970,00 (D) R$ 2.530,00 (E) R$ 2.423,00 RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 03. (SUSEP ESAF) Um consumidor comprou um automóvel no valor de R$ 25.000,00 pagou uma entrada à vista de R$ 5.000,00 e financiou o restante em doze prestações mensais de R$ 2.009,24, vencendo a primeira ao fim do primeiro mês e assim sucessivamente. Indique a taxa de juros mensal do financiamento. (A) 1% (B) 2% (C) 3% (D) 4% (E) 5% RESOLUÇÃO:
  • 3. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES IMOBOLIÁRIOS Matemática Financeira Marcos Luciano 3 04. (AFRF ESAF) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos: (A) R$ 986,00 (B) R$ 852,00 (C) R$ 923,00 (D) R$ 900,00 (E) R$ 1.065,00 RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 05. (AFRF ESAF) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor do seguro do carro e a taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. (A) R$ 1.405,51 (B) R$ 1.418,39 (C) R$ 1.500,00 (D) R$ 1.512,44 (E) R$ 1.550,00 RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 06. (ANALISTA CMV ESAF 2010) Pretende- se trocar uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês, por outra série equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento da segunda série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês. (A) R$ 750,00 (B) R$ 693,00 (C) R$ 647,00 (D) R$ 783,00 (E) R$ 716,00 RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: II. RENDA (AMORTIZAÇÃO) ANTECIPADA É a renda em que o primeiro pagamento ocorre ato da realização do negócio. Assim sendo o nº de prestações é igual a n, a primeira prestação será paga no início do primeiro período (data zero) e a última prestação será paga na data n – 1.
  • 4. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES IMOBOLIÁRIOS Matemática Financeira Marcos Luciano 4 Fórmula para o cálculo do Valor Atual (Presente): sendo P o valor das prestações, A o valor presente (valor atual) e i a taxa de juros compostos, assim a fórmula para o cálculo de A é: • Com tabela: 𝑨 = 𝑷[𝟏 + 𝒂 𝒏−𝟏¬𝒊] • Sem tabela ou com a tabela do fator de acumulação de capital (𝟏 + 𝒊) 𝒏 : 𝑨 = 𝑷 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏 − 𝟏 𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏−𝟏 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 01. (TCM ESAF RJ) Uma compra foi paga com 5 cheques pré-datados no valor de R$ 5.000,00 cada, com vencimentos mensais e consecutivos, o primeiro na data da compra. Qual o valor da compra se a taxa de juros efetiva composta cobrada pelo financiamento é de 3% ao mês? (A) R$ 19.275,25 (B) R$ 21.432,50 (C) R$ 22.575,00 (D) R$ 23.585,50 (E) R$ 27.000,00 RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 02. (AFRFB ESAF) Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamento para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6% ao trimestre, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: (A) R$ 66.131,00. (B) R$ 64.708,00. (C) R$ 62.927,00. (D) R$ 70.240,00. (E) R$ 70.140,00. RESOLUÇÃO: III. AMORTIZAÇÃO DIFERIDA (COM CARÊNCIA) É a renda em que o primeiro pagamento ocorre p períodos após a realização do negócio. Assim sendo o nº de prestações é igual a n, a primeira prestação será paga na data p + 1 e a última prestação será quitada na data n + p. Fórmula para o cálculo do Valor Atual (Presente): sendo P o valor das prestações, A o valor presente (valor atual) e i a taxa de juros compostos, assim a fórmula para o cálculo de A é: • Com tabela: 𝑨 = 𝑷[𝒂 𝒏+𝒑¬𝒊 − 𝒂 𝒑¬𝒊] • Sem tabela ou com a tabela do fator de acumulação de capital (𝟏 + 𝒊) 𝒏 : 𝑨 = 𝑷 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏 − 𝟏 𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊) 𝒏+𝒑 EXERCÍCIOS EM AULA: 01. (TCE PI ESAF) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em doze prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só será efetuado ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a: (A) R$ 5.856,23 (B) R$ 5.992,83 (C) R$ 6.230,00
  • 5. www.cers.com.br COMISSÃO DE VALORES IMOBOLIÁRIOS Matemática Financeira Marcos Luciano 5 (D) R$ 6.540,00 (E) R$ 7.200,00 RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: