Probabilidades esquemas de contagem

1. Agrupamento Vertical de Escolas do Viso
9º ANO
Escola E.B. 2/3 do Viso
FICHA DE TRABALHO Nº3
2010/2011
DISCIPLINA DE MATEMÁTICA
Nome do Aluno: ______________________________________________________ Data: __/___/____
Unidade Didáctica: Probabilidade e Estatística
Conteúdo (s): Cálculo da probabilidade de um acontecimento. Lei de Laplace
Esquemas auxiliares de contagem
Tabela de dupla entrada
(Utilizam-se nas experiências com apenas dois objectos, ou então, com um objecto do qual se
realizam duas experiências iguais e consecutivas)
Lançaram-se dois dados numerados de 1 a 6.
1 2 3 4 5 6
a) Quantos são os acontecimentos elementares possíveis?
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
Construindo uma tabela de dupla entrada facilmente podemos
concluir que temos 36 acontecimentos elementares possíveis. 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
b) Calcula a probabilidade de: 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
i) “sair dois 5”;
ii) “não sair 6”;
Observando a tabela temos:
i) Casos favoráveis: 1
Casos possíveis: 36
1
Logo, P (sair dois 5) =
36
ii) Casos favoráveis: 25
Casos possíveis: 36
25
Logo, P (não sair 6) =
36
EXERCÍCIOS
1. Em dois lançamentos sucessivos de uma moeda:
1.1 Indica o espaço de resultados.
1.2 Qual a probabilidade de «saírem duas faces diferentes»?
2. Antes de começar um determinado jogo, o Pedro e a Ana lançam dois dados. Se a soma obtida for 7
começa o Pedro e se a soma for 5 começa a Ana. Quem tem maior probabilidade de começar?
1/5

2. 3. A figura representa a planificação de um dado perfeito que tem duas faces em branco. Lançando-o
duas vezes seguidas,
3.1 Qual é a probabilidade de “obter soma 5”?
3.2 Qual é “a soma mais provável de obter”?
4. Fizemos o lançamento de uma moeda seguido da extracção de uma bola de um saco que contém 3
bolas numeradas de 1 a 3. Calcula a probabilidade de:
4.1 Tirar uma face comum seguida de um número primo.
4.2 Tirar uma face portuguesa seguida de um número composto.
5. Um saco contém 4 bolas numeradas de 1 a 4.
5.1 Extraem-se simultaneamente e ao acaso duas bolas. Calcula a probabilidade da soma dos
números dessas bolas ser igual a:
5.1.1 7
5.1.2 um número par
5.1.3 ser um número primo
5.2 Considera agora que se extraem sucessivamente duas bolas. Calcula a probabilidade da soma
dos números dessas bolas ser igual a:
5.2.1 7
5.2.2 um número par
5.2.3 ser um número primo
Diagrama de árvore
(Utilizam-se em experiências com dois ou mais objectos)
Exemplo 1:
Lançaram-se três moedas (ou equivalentemente, lançou-se uma moeda três vezes consecutivas).
a) Quantos são os acontecimentos elementares possíveis?
Para contabilizarmos os casos possíveis vamos construir um
diagrama de árvore:
Logo temos 8 casos possíveis.
b) Calcula a probabilidade de saírem 2 vezes face comum.
Casos favoráveis: (FN,FC,FC), (FC,FN,FC) e (FC,FC,FN). Logo os casos favoráveis são 3.
3
Temos então que: P (saírem 2 faces comuns) =
8
2/5

3. Exemplo 2:
Num saco há 5 rebuçados de café e 4 de morango. Um rebuçado é tirado ao acaso e, em seguida, sem
repor o primeiro é tirado um 2º rebuçado.
a) Constrói o diagrama de árvore.
Probabilidade
5 4 20 5
P(C, C) = × = =
9 8 72 18
5 4 20 5
P(C, M) = × = =
9 8 72 18
4 5 20 5
P(M, C) = × = =
9 8 72 18
4 3 12 1
P(M, M) = × = =
9 8 72 6
b) Determina a probabilidade:
i) de nenhum dos rebuçados ser de morango.
5
P (não sair morango) = P (C,C) =
18
ii) de pelo menos um rebuçado ser de morango.
20 20 12 52 13
P (sair pelo menos 1 morango) = P (C,M) + P (M,C) + P (M,M) = + + = =
72 72 72 72 18
Nota:
Sempre que os acontecimentos de cada ramo não forem equiprováveis, utilizamos o esquema do 2º
exemplo.
EXERCÍCIOS
1. Um casal tem 3 filhos. Calcula a probabilidade de o casal ter:
1.1 Uma rapariga e dois rapazes.
1.2 pelo menos uma rapariga.
1.3 só rapazes ou só raparigas.
2. Num saco há 4 berlindes brancos e 2 azuis. Um berlinde é tirado ao acaso e, em seguida, sem repor
o primeiro é tirado um 2º berlinde. Determina a probabilidade de:
2.1 apenas um dos berlindes ser branco;
2.2 pelo menos um dos berlindes ser branco.
3/5

4. 3. Um saco contém 8 bolas verdes e 4 amarelas. A Clara tira ao acaso 1 bola e anota a sua cor. Volta a
repor no saco e agita-o para misturar bem as bolas. Tira novamente uma bola e anota a cor.
3.1 Desenha um diagrama de árvore que mostre todos os casos possíveis;
3.2 Calcula a probabilidade de ambas as bolas serem amarelas;
3.3 Qual a probabilidade de as 2 bolas serem de cores diferentes?
1
4. O Tomás vai participar num torneio de ténis. Em cada jogo a probabilidade dele ganhar é e a
3
1
probabilidade de empatar é .
2
4.1 Qual é a probabilidade dele perder?
4.2 Designando por G (ganhar), E (empatar) e P (perder) constrói o diagrama de árvore e
determina a probabilidade do Tomás ganhar pelo menos 1 de dois jogos seguidos.
5. A Inês tem três pulseiras: uma azul, uma verde e uma roxa. A Teresa tem duas: uma azul e uma
preta. Cada uma das amigas só usa uma pulseira de cada vez. Qual é a probabilidade de
aparecerem na escola com pulseiras:
5.1 Da mesma cor?
5.2 De cores diferentes?
Diagrama de Venn
(Utilizam-se em experiências em que existe a intersecção de acontecimentos)
A Marta fez um inquérito a 200 sócios do Health Club que frequentava e obteve os seguintes resultados:
100 – praticam cardio-fitness (C)
50 – praticam musculação (M)
70 – só praticam natação
a) De acordo com os dados obtidos preenche o seguinte diagrama, relativo aos 200 sócios inquiridos:
• 200 – 70 = 130 (praticam cardio-fitness e/ou
musculação) C M
• 100 + 50 = 150 (os sócios que praticam as duas
modalidades foram contabilizados duas vezes) 80 20 30
• 150 – 130 = 20 (praticam cardio-fitness e musculação)
• 100 – 20 = 80 (praticam só cardio-fitness) 70
• 50 – 20 = 30 (praticam só musculação)
b) Qual é a probabilidade de escolher um dos inquiridos ao acaso e encontrar um que pratique:
i) musculação e cardio-fitness;
20 1
P (praticar musculação e cardio-fitness) = =
300 15
ii) só cardio-fitness;
80 4
P (praticar só cardio-fitness) = =
300 15
iii) só natação ou só musculação.
100 1
P (praticar só natação ou só musculação) = =
300 3
4/5

5. EXERCÍCIOS
1. Numa sondagem a 1000 pessoas, conclui-se que:
JN Público
• 670 lêem o JN;
• 390 lêem o Público;
• 150 não lêem nenhum dos jornais referidos.
1.1 Preencha o diagrama de Venn ao lado.
1.2 Se encontramos casualmente uma das 1000
pessoas inquiridas, determina a probabilidade de essa pessoa:
1.2.1 ler pelo menos um dos dois jornais;
1.2.2 não ler o JN.
2. Num grupo de 37 jovens, 25 gostam de música popular, 15 gostam de música clássica e dois não
gostam de nenhum destes tipos de música.
2.1 Esquematiza esta situação, recorrendo a um diagrama de Venn.
2.2 Escolhendo, ao acaso, um jovem deste grupo, qual é a probabilidade deste gostar apenas de
música clássica?
3. Dos 28 alunos da turma do 9º ano de uma Escola, 15 têm um gato e 18 têm um cão. Qualquer um
dos alunos tem pelo menos um dos animais domésticos referidos. Calcula a probabilidade de,
escolhido ao acaso um alunos da turma, ele:
3.1 Ter os dois animais.
3.2 Só ter gato.
3.3 Ter cão.
4. Numa escola de música há 120 alunos: 50 estudam piano, 80 estudam violino e 20 estudam piano e
violino.
4.1 Complete o esquema de acordo com o enunciado
4.2 Se escolher, ao acaso, um aluno desse curso, qual é a
probabilidade de que:
4.2.1 não estude nenhum dos dois instrumentos.
4.2.2 sabendo que estuda piano, também estuda violino.
4.2.3 estude apenas piano.
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