Ft 12-probabilidades-revisao

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  1. 1. Ficha de Trabalho Matemática12º AnoAssunto: Probabilidades – Revisão 1. Capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda dá o mesmo número natural. Considera todas as capicuas com sete algarismos. 1.1 Quantas são? 1.2 Quantas têm quatro algarismos diferentes? 2. De quantas maneiras se podem colocar quatro bolas diferentes em sete caixas diferentes, 2.1 se puder haver mais do que uma bola por caixa? 2.2 se não puder haver mais do que uma bola por caixa? 3. Quantos números naturais, escritos com algarismos todos diferentes, existem entre os números 800 e 1300? 4. Numa turma de vinte alunos, um professor pretende escolher um grupo de três alunos para desempenharem três tarefas distintas, uma tarefa por aluno. De quantas maneiras pode fazer a escolha? 5. Seis casais posam em fila para uma fotografia. De quantas maneiras se podem colocar as doze pessoas, 5.1 se não houver qualquer restrição? 5.2 se os dois membros de cada casal ficarem juntos? 5.3 se pelo menos um casal ficar separado? 6. A Joana pretende arrumar 5 dos seus dez livros numa estante. De quantas maneiras o pode fazer? 7. De quantas maneiras podemos colocar seis ovos num frigorífico com doze lugares? 8. Com moedas de 1, 2, 5, 10, 20 e 50 cêntimos, uma moeda de cada quantia, quantos totais diferentes posso obter utilizando duas moedas? 9. No roupeiro do Rui existem quatro camisas brancas de diferentes modelos e mais sete camisas de cores diferentes, nenhuma delas branca. O Rui vai viajar e quer levar na mala de viagem quatro camisas de quatro cores diferentes. De quantas maneiras pode fazer a escolha dessas quatro camisas? 10. Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores.Pág. 1 de 6
  2. 2. 10.1 Supondo que participaram no torneio 8 jogadores, quantas partidas foram disputadas? 10.2 Supondo que foram disputadas 120 partidas, quantos jogadores participaram no torneio? 11. Para cada n natural, quantos elementos tem a linha do Triângulo de n Pascal que contém os elementos da forma C k ? 12. A soma de todos os termos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 1 048 576. Qual é a soma de todos os termos da linha seguinte? 13. A soma dos quatro elementos centrais de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 6006. O maior valor da linha seguinte é 3432. Qual é o valor de cada um dos quatro elementos centrais referidos? 14. Simplifica o mais possível ( x +1) 3 − ( x −1) 3 . 21  2  15. Um dos termos do desenvolvimento de  3 x + 2  não depende da  x  variável x. Qual é esse termo? 16. Um dos termos do desenvolvimento de ( x +1) n é 45x 2 . Qual é o valor de n? 17. Considera um cubo com as faces numeradas de 1 a 6. Pretende-se colorir as faces do cubo, dispondo-se para o efeito de seis cores distintas. De quantas maneiras diferentes se pode colorir o cubo, supondo que duas das faces têm de ter a mesma cor, e as restantes, cores todas diferentes? 18. Considera o seguinte problema: Consideremos dez pontos: cinco marcados sobre uma recta e outros cinco marcados sobre uma outra recta estritamente paralela à primeira. Quantos triângulos, diferentes, é possível definir com os dez pontos marcados? Uma resposta correcta a este problema é: C 3 − 2× C 3 . 10 5 Numa pequena composição explica porquê e apresenta outra resposta possível, diferente da dada. 19. Considere o problema: “Vinte e quatro amigos, 12 rapazes e 12 raparigas, resolveram formar uma comissão de 4 elementos, para preparar uma festa. Quantas comissões mistas diferentes se poderão formar?” Duas respostas correctas para este problema são: 24 C 4 − 2×12 C 4 e ( 12C 2 ) 2 + 2 ×12×12 C3 Numa pequena composição explique as duas respostas. 20. Escolhem-se ao acaso dois vértices de um cubo. Qual é a probabilidade de o centro do cubo ser o ponto médio do segmento por eles definido?Pág. 2 de 6
  3. 3. 21. Considere um tabuleiro quadrado com 9 casas numeradas de 1 a 9. Dispomos de seis peças, das quais três são brancas (indistinguíveis) e as outras três são distintas (uma verde, uma vermelha e uma azul). Considere a experiência aleatória que consiste em colocar, ao acaso, as seis peças sobre o tabuleiro, uma peça por casa. Determine a probabilidade de as peças brancas ficarem todas nas casas com número ímpar. 22. Considere um prisma hexagonal regular com uma das bases assente sobre uma mesa. Cada conjunto de dois vértices deste prisma define uma recta. Considera todas as rectas assim definidas. 22.1 Quantas dessas rectas não pertencem ao plano da mesa? 22.2 Escolhendo uma dessas rectas ao acaso, qual é a probabilidade de ela ser perpendicular ao plano da mesa? 23. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A, B e C três acontecimentos. Prova que: P ( A ∪B ) + P ( B ) = P ( A) + P ( A ∪ B ) 24. Numa empresa trabalham homens e mulheres. Alguns trabalhadores da empresa são licenciados, outros não. Escolhe-se, ao acaso, um trabalhador dessa empresa. Sejam H e L os acontecimentos: H:” O trabalhador é um homem” e L:” O trabalhador é licenciado” Utilizando os conceitos de probabilidade e de probabilidade condicionada, bem como os símbolos de intersecção e de complementar, traduz simbolicamente cada uma das seguintes afirmações: 24.1 52% dos trabalhadores da empresa são mulheres. 24.2 8% dos trabalhadores da empresa são mulheres licenciadas. 24.3 40% dos trabalhadores da empresa são homens licenciados. 24.4 Metade dos licenciados são homens. 24.5 Um sexto dos homens são licenciados. 25. Uma fábrica produz diariamente baterias para telemóveis, de dois tipos (lítio e níquel). 55% das baterias produzidas são de lítio e 45% são de níquel. No controle de qualidade, verifica-se que, em média, 2% das baterias de lítio são defeituosas e 1% das baterias de níquel são defeituosas. De todas as baterias produzidas num certo dia, escolhe-se uma ao acaso. 25.1 Qual é a probabilidade de a bateria escolhida ser defeituosa?Pág. 3 de 6
  4. 4. 25.2 Verificou-se que a bateria escolhida era defeituosa. Qual é a probabilidade de ser de níquel? 26. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos. Sabendo que A e B são independentes, indica o valor de : P ( A ∩B ) + P ( A) × P (B ) − P ( A) 27. Na região a que uma escola pertence operam três redes de telemóvel: A, B e C. Numa turma dessa escola, oito alunos são assinantes da rede A, sete da rede B, cinco da rede C e há três que não possuem telemóvel. Escolhem-se dois alunos dessa turma ao acaso. Seja X o número de alunos escolhidos com telemóvel na rede A. Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. 28. Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades: xi 1 2 3 P( X = xi ) 0,1 a b Sabe-se que o valor médio desta variável aleatória é 2,5. Qual é o valor de a e qual é o valor de b? 1 29. Na roleta dos casinos, a probabilidade de sair o número zero é . 37 Um dia o Jaime vai ao casino e aposta 50 vezes no número zero. Seja X o número de vezes que o Jaime ganha, nas 50 jogadas. Determina os valores seguintes, apresentando-os aproximados às centésimas. 29.1 P( X = 2 ) 29.2 P( X = 0 ) 29.3 P( X ≥1) 29.4 P( 2 ≤ X ≤ 4) 30. Admite que a altura das crianças de uma escola de dança é uma variável aleatória com distribuição norma, de valor médio 70 cm. Escolhe-se uma criança ao acaso. Considera os acontecimentos: C:”a criança tem altura inferior a 70 cm” D:” a criança tem altura superior a 80 cm” Sabendo que P( D ) = 30% , qual é o valor de P (D ∩C ) ?Pág. 4 de 6
  5. 5. Assunto: Probabilidades – Revisão SOLUÇÕES1.1 9 ×10 3 ×13 = 9000 9 × 9 × 8 × 7 = 45362.1 7 = 2401 4 7 × 6 × 5 × 4 = 840 2 × 9 × 8 + 1 × 2 × 8 × 7 = 256 20 A3 = 68405.1 12! = 4790016005.2 6!×2 6 = 460805.3 479001600 − 46080 = 478955520 10 A5 = 30240 12 C 6 = 924 6 C 2 = 15 7 C 4 + 4×7 C 4 = 17510.1 8 C 2 = 2810.2 n C 2 = 120 ⇔ n = 16 São 16 jogadores. n+1 2 ×1048576 = 2097152 …. 1287 1716 1716 1287 …. ( x + 1) 3 − ( x − 1) = 6 x + 2 3 2 10640 n=10 6 C 2 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 10800 10 Há C 3 maneiras diferentes de escolher 3 pontos de entre os 10 referidos. Cada uma destas escolhas define um triângulo exceto no caso em que os 3 pontos são colineares. 5 Há C 3 maneiras diferentes de escolher 3 pontos de entre os 5 de cada reta, pelo que há 2× C 3 conjuntos de 3 pontos colineares. 5 Por isso, o número de diferentes maneiras de escolher 3 pontos não colineares de entre os dez referidos é C 3 − 2× C 3 . 10 5 Outro processo: escolher 2 pontos da primeira reta e 1 da segunda ou vice-versa: 5C 2 × 5+5C 2 × 5 . Primeira resposta: Há 24 C 4 maneiras de escolher 4 jovens de entre os 24 presentes. De entre estas escolhas há que retirar as que só têm raparigas (12 C 4 ) e as que só têm rapazes (12 C 4 ) . O número de comissões mistas é portanto 24 C 4 − 2×12 C 4 . Segunda resposta: Uma comissão mista de 4 jovens pode ter 2 rapazes e 2 raparigas ou 1 jovem de um sexo e 3 do outro. O número é, então C 2 × C 2 + 2 ×12× C 3 . 12 12 12 4 1 8 = C2 7Pág. 5 de 6
  6. 6. C 3 ×6 A3 5 5 C3 ou 9 9 A3 × C 3 6 C322.1 12 C 2 − C 2 = 51 6 6 122.2 12 = C 2 11 ( ) P A ∪ B + P ( B ) = P ( A) + P A ∪ B ⇔ ) ( ⇔1 − P ( A ∪B ) + P ( B ) = P ( A) + P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩B ) ⇔ ⇔ − P ( A ∩B ) + P ( B ) =1 + P ( B ) − P ( A ∩B )c.q.d . ( faltam as 1 justificações!)24.1 ( ) P H = 52%24.2 ( ) P H ∩L = 8%24.3 P ( H ∩ L ) = 40%24.4 P( H / L ) = 50% 124.5 P( L / H ) = 625.1 1,55% 925.2 31 ( ) P( A ∩ B ) + P ( A) × P B − P( A) = P ( A) × P ( B ) + P ( A) ×(1 − P ( B) ) − P ( A) = = P ( A) × P ( B ) + P ( A) − P ( A) × P ( B ) − P ( A) = 0 xi 0 1 2 P( X = xi ) 105 120 28 253 253 253 a=0,3 2 48  1   36  29.1 P ( X = 2 ) =50 C 2     ≈ 0,24  37   37  50  36 29.2 P ( X = 0 ) =   ≈ 0,25  37 29.3 P ( X ≥ 1) = 1 − P( X = 0) ≈ 0,7529.4 P( 2 ≤ X ≤ 4) = P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) ≈ 0,38 ( ) ( ) P D ∩C = P D ∪C =1 − P ( D ∪C ) =1 − P ( D ) − P (C ) + P ( D ∩C ) = = 1 − 0,3 − 0,5 + 0 = 0,2Pág. 6 de 6
  7. 7. C 3 ×6 A3 5 5 C3 ou 9 9 A3 × C 3 6 C322.1 12 C 2 − C 2 = 51 6 6 122.2 12 = C 2 11 ( ) P A ∪ B + P ( B ) = P ( A) + P A ∪ B ⇔ ) ( ⇔1 − P ( A ∪B ) + P ( B ) = P ( A) + P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩B ) ⇔ ⇔ − P ( A ∩B ) + P ( B ) =1 + P ( B ) − P ( A ∩B )c.q.d . ( faltam as 1 justificações!)24.1 ( ) P H = 52%24.2 ( ) P H ∩L = 8%24.3 P ( H ∩ L ) = 40%24.4 P( H / L ) = 50% 124.5 P( L / H ) = 625.1 1,55% 925.2 31 ( ) P( A ∩ B ) + P ( A) × P B − P( A) = P ( A) × P ( B ) + P ( A) ×(1 − P ( B) ) − P ( A) = = P ( A) × P ( B ) + P ( A) − P ( A) × P ( B ) − P ( A) = 0 xi 0 1 2 P( X = xi ) 105 120 28 253 253 253 a=0,3 2 48  1   36  29.1 P ( X = 2 ) =50 C 2     ≈ 0,24  37   37  50  36 29.2 P ( X = 0 ) =   ≈ 0,25  37 29.3 P ( X ≥ 1) = 1 − P( X = 0) ≈ 0,7529.4 P( 2 ≤ X ≤ 4) = P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) ≈ 0,38 ( ) ( ) P D ∩C = P D ∪C =1 − P ( D ∪C ) =1 − P ( D ) − P (C ) + P ( D ∩C ) = = 1 − 0,3 − 0,5 + 0 = 0,2Pág. 6 de 6
  8. 8. C 3 ×6 A3 5 5 C3 ou 9 9 A3 × C 3 6 C322.1 12 C 2 − C 2 = 51 6 6 122.2 12 = C 2 11 ( ) P A ∪ B + P ( B ) = P ( A) + P A ∪ B ⇔ ) ( ⇔1 − P ( A ∪B ) + P ( B ) = P ( A) + P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩B ) ⇔ ⇔ − P ( A ∩B ) + P ( B ) =1 + P ( B ) − P ( A ∩B )c.q.d . ( faltam as 1 justificações!)24.1 ( ) P H = 52%24.2 ( ) P H ∩L = 8%24.3 P ( H ∩ L ) = 40%24.4 P( H / L ) = 50% 124.5 P( L / H ) = 625.1 1,55% 925.2 31 ( ) P( A ∩ B ) + P ( A) × P B − P( A) = P ( A) × P ( B ) + P ( A) ×(1 − P ( B) ) − P ( A) = = P ( A) × P ( B ) + P ( A) − P ( A) × P ( B ) − P ( A) = 0 xi 0 1 2 P( X = xi ) 105 120 28 253 253 253 a=0,3 2 48  1   36  29.1 P ( X = 2 ) =50 C 2     ≈ 0,24  37   37  50  36 29.2 P ( X = 0 ) =   ≈ 0,25  37 29.3 P ( X ≥ 1) = 1 − P( X = 0) ≈ 0,7529.4 P( 2 ≤ X ≤ 4) = P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) ≈ 0,38 ( ) ( ) P D ∩C = P D ∪C =1 − P ( D ∪C ) =1 − P ( D ) − P (C ) + P ( D ∩C ) = = 1 − 0,3 − 0,5 + 0 = 0,2Pág. 6 de 6
  9. 9. C 3 ×6 A3 5 5 C3 ou 9 9 A3 × C 3 6 C322.1 12 C 2 − C 2 = 51 6 6 122.2 12 = C 2 11 ( ) P A ∪ B + P ( B ) = P ( A) + P A ∪ B ⇔ ) ( ⇔1 − P ( A ∪B ) + P ( B ) = P ( A) + P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩B ) ⇔ ⇔ − P ( A ∩B ) + P ( B ) =1 + P ( B ) − P ( A ∩B )c.q.d . ( faltam as 1 justificações!)24.1 ( ) P H = 52%24.2 ( ) P H ∩L = 8%24.3 P ( H ∩ L ) = 40%24.4 P( H / L ) = 50% 124.5 P( L / H ) = 625.1 1,55% 925.2 31 ( ) P( A ∩ B ) + P ( A) × P B − P( A) = P ( A) × P ( B ) + P ( A) ×(1 − P ( B) ) − P ( A) = = P ( A) × P ( B ) + P ( A) − P ( A) × P ( B ) − P ( A) = 0 xi 0 1 2 P( X = xi ) 105 120 28 253 253 253 a=0,3 2 48  1   36  29.1 P ( X = 2 ) =50 C 2     ≈ 0,24  37   37  50  36 29.2 P ( X = 0 ) =   ≈ 0,25  37 29.3 P ( X ≥ 1) = 1 − P( X = 0) ≈ 0,7529.4 P( 2 ≤ X ≤ 4) = P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) ≈ 0,38 ( ) ( ) P D ∩C = P D ∪C =1 − P ( D ∪C ) =1 − P ( D ) − P (C ) + P ( D ∩C ) = = 1 − 0,3 − 0,5 + 0 = 0,2Pág. 6 de 6

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