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O que é Logaritmo: Logaritmo é um estudo da matemática que depende
maciçamente do conhecimento sobre potenciação e suas propriedades, pois
para encontrar o valor numérico de um logaritmo, é preciso desenvolver uma
potência transformá-la em um logaritmo.

a x = b ↔ x = log a b

Onde: a é a base
b é logaritmando
x é o valor do logaritmo.

Propriedades gerais de logaritmo:

Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar
várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para
números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham
sentido as expressões matemáticas:

Propriedades básicas dos logaritmos naturais

   1.   Ln(1)=0
   2.   Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)
   3.   Ln(xk)=k.Ln(x)
   4.   Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)



Uma simples explicação:



Sabemos que 5 elevado à potência 2, resulta 25, agora mudamos o contexto e
vou fazer uma pergunta:

- Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25?

Você deve estar pensando:
-Mas isso eu resolvo com exponenciais!!!

Sim, porque essa é bem fácil, as difíceis não saem tão simples assim. Vamos
começar de baixo.

O logaritmo serve para isso!

Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma:
Onde "x" é o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25.

Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, à potência 2)
para obtermos 25, chegamos à conclusão que o logaritmo de 25 na base 5 é 2:




Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver:




No exemplo anterior,            , temos então que a base é 5, o logaritmando
é 25 e o logaritmo de 25 na base 5 é 2.

Note que, anteriormente, dissemos que "x" é o expoente de "b", e na figura
acima está escrito que "x" é o "logaritmo". Isso acontece pois o LOGARITMO É
UM EXPOENTE.

Agora, com esta breve introdução, podemos escrever uma primeira definção de
logaritmo (hei, ainda não é a oficial, mas é o que temos até agora):


           Logaritmo de um número N, na base b, é o
           número x ao qual devemos elevar a base b para
           obtermos N.


Esta é a apenas uma definição, você deve ter entendido bem o que está escrito
acima dela para ir ao próximo capítulo de estudo.

Veremos quais as condições que a base, o logaritmando e o logaritmo devem
satisfazer para termos um logaritmo.
Mudança de Base:

Algumas vezes é necessário fazer uma conversão dos logaritmos de bases
diferentes para uma mesma base, então encolhe-se um deles e transforma no
outro. Assim, temos:
       logb x = (logm x) / (logm b).


Propriedades operatórias dos logaritmos são:

    1 – O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos:
         logb (x.y) = logb x + logb y


    2 – O logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos:
        logb (x / y) = logb x – logb y


    3 – O logaritmo da potencia é igual ao expoente vezes o logaritmo:
        logb xm = m . logb x
Logaritmo decimal:

No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste
ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso
sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais
avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a
partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e
escrevemos:

                                        y = Log(x)

para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos
algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10

   1. Log(1)=0
   2. Log(0) não tem sentido
   3. Log(10)=Log(101)=1
   4. Log(1/10)=Log(10-1)=-1
   5. Log(100)=Log(10²)=2
   6. Log(1/100)=Log(10-2)=-2
   7. Log(1000)=Log(10³)=3
   8. Log(1/1000)=Log(10-3)=-3
   9. Log(10n)=n
   10. Log(10-n)=-n
A partir da propriedade

                                   Log 10n=n

temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar
que para todo x real positivo vale a relação:

                                  Log(10x) = x



1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a
expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos
somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x ,
devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem
a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos),
cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,
logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de
logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da
natureza.

Exemplos:
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde
a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é
denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a
mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) ,
podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos
decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século
XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela
definição de logaritmo que
101,6532 = 45.

3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números
reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-
9), log20, etc.

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O que é logaritmo matematica

  • 1. O que é Logaritmo: Logaritmo é um estudo da matemática que depende maciçamente do conhecimento sobre potenciação e suas propriedades, pois para encontrar o valor numérico de um logaritmo, é preciso desenvolver uma potência transformá-la em um logaritmo. a x = b ↔ x = log a b Onde: a é a base b é logaritmando x é o valor do logaritmo. Propriedades gerais de logaritmo: Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas: Propriedades básicas dos logaritmos naturais 1. Ln(1)=0 2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y) 3. Ln(xk)=k.Ln(x) 4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y) Uma simples explicação: Sabemos que 5 elevado à potência 2, resulta 25, agora mudamos o contexto e vou fazer uma pergunta: - Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25? Você deve estar pensando: -Mas isso eu resolvo com exponenciais!!! Sim, porque essa é bem fácil, as difíceis não saem tão simples assim. Vamos começar de baixo. O logaritmo serve para isso! Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma:
  • 2. Onde "x" é o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25. Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, à potência 2) para obtermos 25, chegamos à conclusão que o logaritmo de 25 na base 5 é 2: Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver: No exemplo anterior, , temos então que a base é 5, o logaritmando é 25 e o logaritmo de 25 na base 5 é 2. Note que, anteriormente, dissemos que "x" é o expoente de "b", e na figura acima está escrito que "x" é o "logaritmo". Isso acontece pois o LOGARITMO É UM EXPOENTE. Agora, com esta breve introdução, podemos escrever uma primeira definção de logaritmo (hei, ainda não é a oficial, mas é o que temos até agora): Logaritmo de um número N, na base b, é o número x ao qual devemos elevar a base b para obtermos N. Esta é a apenas uma definição, você deve ter entendido bem o que está escrito acima dela para ir ao próximo capítulo de estudo. Veremos quais as condições que a base, o logaritmando e o logaritmo devem satisfazer para termos um logaritmo.
  • 3. Mudança de Base: Algumas vezes é necessário fazer uma conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma mesma base, então encolhe-se um deles e transforma no outro. Assim, temos: logb x = (logm x) / (logm b). Propriedades operatórias dos logaritmos são: 1 – O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos: logb (x.y) = logb x + logb y 2 – O logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos: logb (x / y) = logb x – logb y 3 – O logaritmo da potencia é igual ao expoente vezes o logaritmo: logb xm = m . logb x Logaritmo decimal: No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos: y = Log(x) para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10 1. Log(1)=0 2. Log(0) não tem sentido 3. Log(10)=Log(101)=1 4. Log(1/10)=Log(10-1)=-1 5. Log(100)=Log(10²)=2 6. Log(1/100)=Log(10-2)=-2 7. Log(1000)=Log(10³)=3 8. Log(1/1000)=Log(10-3)=-3 9. Log(10n)=n 10. Log(10-n)=-n
  • 4. A partir da propriedade Log 10n=n temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação: Log(10x) = x 1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N. Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza. Exemplos: a) log100 = 2 porque 102 = 100. b) log1000 = 3 porque 103 = 1000. c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2. d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3. e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183... f) ln 7 = loge7 2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa . Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa. As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas. Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que 101,6532 = 45. 3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(- 9), log20, etc.