Estatística, Gráficos em escalas logarítmicas

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Estatística, Gráficos em escalas logarítmicas

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA Gráficos em escalas logarítmicas  Professor: Josué Gomes da Silva  Acadêmicos:  Denison Naino Moreira Gandra  Ednelson Oliveira Santos  Joaquim Araújo Costa Neto  Nelson Poerschke  Vitor Thawa Arruda Mateus  Wellington Kennedy Gomes da Silva
  2. 2. Introdução A apresentação de dados em uma escala logarítmica é útil quando os dados cobrem uma grande gama de valores – o logaritmo reduz a representação a uma escala mais fácil de ser visualizada e manejada. Na escala linear, duas graduações cuja diferença vale 10 estão a uma distância constante. Na escala logarítmica, duas graduações cuja razão vale 10 estão a distância constante.
  3. 3. Gráficos em escalas logarítmicas  Monologarítmicas - apresentam uma escala logarítmica e uma escala linear.  Dilogarítmicas. - apresentam duas escalas logarítmicas.
  4. 4. Se o gráfico dos valores tabelados em uma experiência for uma curva, a sua função pode não ser de fácil determinação. Algumas vezes, funções deste tipo podem ser determinadas pelo uso adequado dos papéis logarítmicos: papel mono-logarítmico (mono-log); e papel dilogarítmico (log-log). O papel monolog possui escala linear no eixo das abscissas e escala logarítmica no eixo das ordenadas. Já o papel log-log possui escala logarítmica nos dois eixos. O melhor papel a ser utilizado dependerá dos dados obtidos experimentalmente.
  5. 5. Numa escala linear (papel milimetrado), a distância entre os traços consecutivos representa sempre o mesmo intervalo da grandeza a ser representada. Numa escala logarítmica, isto não acontece. As distâncias entre os traços não são lineares, ou seja, o passo é variável. A escala logarítmica é constituída de DÉCADAS. Uma década é uma escala contida em um comprimento L, iniciando pelo número 10N e terminando no número 10N+1, sendo N um número inteiro negativo, nulo ou positivo. Entre estes números são colocados os algarismos inteiros de 2 a 9, representando os múltiplos de 10N.
  6. 6. No papel logaritmo, os pontos estarão representando os logaritmos dos números, portanto, para se construir o gráfico basta marcar diretamente os pontos correspondentes aos valores de x e y nos eixos logarítmicos. Então, com o uso do papel logarítmico não é necessário extrair os logaritmos dos valores de x e y.
  7. 7. Escalas Monologarítmicas  São usadas para evidenciar as comparações relativas entre dois ou mais fatos.  São denominadas monologarítmicas por apresentarem uma escala logarítmica e uma linear.  São também úteis para o estudo de funções exponenciais que se linearizam por uma transformação logarítmica.
  8. 8. Exemplo 1  Y = ABX (exponencial)  - aplicando logaritmo temos: Y = log A + X log B  - chamando: log Y de Y’ log A de A’ log B de B’ * - teremos: Y’=A’+B’X (reta)
  9. 9. Exemplo 2 Deseja-se verificar a evolução relativa da produção de café entre o País X e o Estado Y que apresentaram os seguintes números:
  10. 10. Se utilizarmos uma escala linear ou aritmética, teremos o seguinte gráfico: Gráfico 1
  11. 11. Se utilizarmos uma escala logarítmica, teremos o seguinte gráfico: Gráfico 2
  12. 12.  A observação do Gráfico 1 dá a impressão que o crescimento da produção do País X foi muito maior que a do Estado Y quando na realidade a produção cresceu exatamente na mesma porcentagem.  Desta forma verifica-se que a escala linear não se presta para acompanhar a evolução de séries, sendo mais apropriada a escala monologarítmica.  Ao convertermos os dados para a escala monologarítmica, no gráfico 2, verifica-se que a fidelidade do gráfico com os dados da tabela.
  13. 13. Papel monologarítmico
  14. 14.  Conforme se pode observar no papel monologaritmo, o eixo das ordenadas está dividido em camadas logarítmicas. Elas são denominadas deck ou década.  Como a escala é logarítmica, os valores crescem de uma década para a outra em potências da base utilizada, normalmente a base 10.  Exemplo: 1ª década – valores de 1 a 10 100 2ª década – valores de 10 a 100 101 3ª década – valores de 100 a 1000 102 4ª década – valores de 1000 a 10000 103  O valor inicial da escala pode ser adequado às necessidades impostas pelos dados que se quer representar.
  15. 15.  Observe que no gráfico monologarítmico a escala do eixo das abscissas permanece linear.  Voltando ao exemplo da comparação relativa entre as produções do País X e do Estado Y, vimos que os dados foram representados em uma escala linear, no eixo das abscissas, e em uma escala logarítmica, no eixo das ordenadas.  Verificando aquele gráfico, nota-se que os segmentos de reta que unem os pontos são paralelos, confirmando o fato de crescerem a uma mesma razão.
  16. 16. Escalas Dilogarítmicas  Essas escalas têm uma aplicação mais restrita que as monologarítmicas, uma das quais é o teste gráfico, que é feito para saber se uma variável de nosso interesse obedece a uma função potência.  Isso pode ser feito, pois a escala dilogarítmica transforma as parábolas e hipérboles em retas.
  17. 17. Exemplo 1  Y = AXB (parábola)  - aplicando logaritmo temos: log Y = log A + B log X  - chamando: log Y de Y’ log A de A’ log X de X’ * - teremos: Y’=A’+BX’ (reta)
  18. 18. Exemplo 2  (hipérbole)  - aplicando logaritmo temos: log Y = log A - B log X  - chamando: log Y de Y’ log A de A’ log X de X’ * - teremos: Y’=A’-BX’ (reta)
  19. 19. Exemplo 3  Representando em uma escala dilogarítmica a seguinte função: X=f(Y) expressa por X=5Y2, para valores de Y compreendidos entre 0,1 e 1,3.  Realizando os cálculos chegamos à seguinte tabela:  A variável Y ocupará 2 décadas: 1ª - de 0,1 a 1,0 2ª - de 1,0 a 10  A variável X ocupará 3 décadas: 1ª - de 0,01 a 0,1 2ª - de 0,1 a 1,0 3ª - de 1,0 a 10

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