Logaritmo e Exponencial

Ana Maria Xavier
Pesquisadora Titular
Comissão Nacional de Energia Nuclear
A função f(x) = bx
é denominada função exponencial de base b, positiva,
sendo definida para todo número x real.
O conceito...
Quando se diz que 3 é o logaritmo de 8 na base 2, é o
mesmo que dizer que 23 = 8, ou seja,
log2 8 = 3

⇒

8 = 23

Assim, o...
Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são
números decimais onde a parte inteira é denominada
característica e a par...
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
As seguintes propriedades decorrem da própria definição
de logaritmo:
P1: O logaritmo da unida...
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
As seguintes propriedades decorrem da própria definição
de logaritmo:
P3: O logaritmo da própr...
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
PO1 - Logaritmo de um Produto
O logaritmo de um produto é igual à soma dos
logarit...
PO2 - Logaritmo de um Quociente
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a
diferença entre os logaritmos do numerador d...
PO3 - Logaritmo de uma Potencia
O logaritmo de uma potência pode facilmente ser
demonstrável como sendo:
logb Mk = k . log...
PO4 - Mudança de Base
Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade
de mudar a base de um sistema de logaritmos...
O logaritmo é a função inversa da função exponencial.

Os gráficos acima mostram que para a > 1, as funções
exponencial e ...
LOGARITMOS DECIMAIS
log(1)= 0
log(0) não existe
log(10) = log(101) = 1
log(1/10) = log(10-1) = -1
log(100) = log(102) = 2
...
LOGARITMO NEPERIANO OU LOGARITMO NATURAL

O logaritmo natural ou neperiano tem por base o
número irracional ε, o qual é de...
Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de
zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada
hipé...
O logaritmo natural (ou neperiano) de um dado número
real u, ln(u), pode ser definido do ponto de vista
geométrico, como a...
Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas
tomando u = 1, a região se reduzirá a uma linha vertical
(que não pos...
Os logaritmos neperiano têm as mesmas propriedades
operacionais que os demais logaritmos.
ln(1) = 0
ln(x.y) = ln(x) + ln(y...
Exemplos:
ln (5) + 4 . ln (3) = ln (5) + ln (34 ) = ln (5 . 34) =
ln(405)

ln (a) + ln (b) - ln (c) + ln (10) = ln (10a.b/...
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Logaritmo e exponencial

  1. 1. Logaritmo e Exponencial Ana Maria Xavier Pesquisadora Titular Comissão Nacional de Energia Nuclear
  2. 2. A função f(x) = bx é denominada função exponencial de base b, positiva, sendo definida para todo número x real. O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617), motivado pela necessidade de simplificar cálculos, tendo sido aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). Por meio dos logaritmos, podem-se transformar as operações de multiplicação em soma e de divisão em subtração, entre outras transformações. Na realidade, logaritmo é uma nova denominação para expoente.
  3. 3. Quando se diz que 3 é o logaritmo de 8 na base 2, é o mesmo que dizer que 23 = 8, ou seja, log2 8 = 3 ⇒ 8 = 23 Assim, o logaritmo de um número real e positivo N, na base b, positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve elevar b para se obter N. logb N = x ⇒ N = bx x – logaritmo de N na base b Pela definição de logaritmo, infere-se que somente os números reais positivos possuem logaritmo.
  4. 4. Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa. A característica dos logaritmos decimais de números entre 1 e 10 é 0 (zero); para números entre 10 e 100 é 1 (um); para números entre 100 e 1000 é 2 (dois) e assim sucessivamente. 1 = 100 10 = 101 100 = 102 1000 =103 As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.
  5. 5. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS As seguintes propriedades decorrem da própria definição de logaritmo: P1: O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja: logb 1 = 0 porque b0 = 1. P2: O logaritmo da própria base é sempre igual a 1, ou seja: logb b = 1 , porque b1 = b.
  6. 6. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS As seguintes propriedades decorrem da própria definição de logaritmo: P3: O logaritmo da própria base elevada a uma potência é igual ao valor dessa potência, ou seja, logb bk = k , porque bk = bk . P4: Se logaritmos na mesma base de dois números reais são iguais, esses números são também iguais, ou seja: Se logb M = logb N então M = N. P5: Quando o valor da base, b, é elevado ao logaritmo de M na base b, o resultado é igual a M. log M b b =M
  7. 7. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS PO1 - Logaritmo de um Produto O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, ou seja: logb(M.N) = logb M + logb N Exemplo: log 20 = log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, é estipulado que ela seja igual a 10.
  8. 8. PO2 - Logaritmo de um Quociente O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja: logb (M/N) = logb M - logb N Exemplo: log 0,02 = log (2/100) = log 2 – log 100 = 0,3010 – 2,0000 = - 1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log 0,02 = –1,6990, então 10-1,6990 = 0,02.
  9. 9. PO3 - Logaritmo de uma Potencia O logaritmo de uma potência pode facilmente ser demonstrável como sendo: logb Mk = k . logb M. uma vez que Mk = M.M.M.......k vezes, e o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores. Exemplo: log 34 = log (3 . 3 . 3 . 3) = log 3 + log 3+ log 3 + log 3 = = log 3 . ( 1 + 1 + 1+ 1) = 4 . log 3
  10. 10. PO4 - Mudança de Base Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a Exemplo: log2 3 = log 3/log 2 = 0,4771/0,3010 = 1,5850
  11. 11. O logaritmo é a função inversa da função exponencial. Os gráficos acima mostram que para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são crescentes e para 0 < a < 1, são decrescentes.
  12. 12. LOGARITMOS DECIMAIS log(1)= 0 log(0) não existe log(10) = log(101) = 1 log(1/10) = log(10-1) = -1 log(100) = log(102) = 2 log(1/100) = log(10-2) = -2 log(1000) = log(103) = 3 log(1/1000) = log(10-3) = -3 log(10n) = n log(10-n)= -n
  13. 13. LOGARITMO NEPERIANO OU LOGARITMO NATURAL O logaritmo natural ou neperiano tem por base o número irracional ε, o qual é definido como: ε = lim n →∞ (1 + 1/n)n = 2,7182818...... A notação empregada para o logaritmo neperiano de um número N, é ln N e significa o logaritmo, na base ε, de N, ou seja: log ε N = ln N
  14. 14. Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole eqüilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante. Esta curva tem importantes aplicações em ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.
  15. 15. O logaritmo natural (ou neperiano) de um dado número real u, ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y = 1/x, acima do eixo y = 0, entre as retas x = 1 e x = u, que está no desenho colorido de vermelho. A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por ln (u) . ln (u) = área (1,u)
  16. 16. Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u = 1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não possui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos ln(1)=área(1,1). Assim: ln (1) = 0 Quando os valores de u aumentam, esta função de u, f(u), também tem seus valores aumentados, o que significa que esta função é crescente para valores de u > 0.
  17. 17. Os logaritmos neperiano têm as mesmas propriedades operacionais que os demais logaritmos. ln(1) = 0 ln(x.y) = ln(x) + ln(y) ln(xk) = k ln(x) ln(x/y) = ln(x) - ln(y)
  18. 18. Exemplos: ln (5) + 4 . ln (3) = ln (5) + ln (34 ) = ln (5 . 34) = ln(405) ln (a) + ln (b) - ln (c) + ln (10) = ln (10a.b/c)

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