1. 1
LOGARITMOS Professor Cláudio Kaneko E-mail: claudiokaneko@hotmail.com
ESTUDO DOS LOGARITMOS
LOGARITMO DE UM NÚMERO REAL
Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1. Conclusão: a base de um logaritmo não pode ser
Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um.
x
que b = a.
Ou seja: d) Não existe log 2 (-8) , pois não existe x real para que
x x
log b a = x ⇔ b = a se tenha 2 = -8.
Onde: e) Não existe log 5 0, pois não existe x real para que se
x
a → logaritmando ou antilogaritmo tenha 5 = 0.
b → base Conclusão: o logaritmando não pode ser negativo e
x → logaritmo nem igual a zero.
a > 0
Exemplo: C.E. : 
0 < b ≠ 1
Determine:
a) log 2 8
Resolução: CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Exemplo:
Representando por x o valor procurado, temos:
x x 3 Considerando a definição e as condições de existên -
log 2 8 = x ⇔ 2 = 8 ⇔ 2 = 2 ⇔ x = 3
cia de um logaritmo, calcule:
Portanto, log 2 8 = 3
a) log 5 1
Resolução:
b) log 3 9
Representando por x o valor procurado, temos:
Resolução: x x 0
Representando por x o valor procurado, temos: log 5 1 = x ⇔ 5 = 1 ⇔ 5 = 5 ⇔ x = 0
x x 2 Ou seja: log 5 1 = 0
log 3 9 = x ⇔ 3 = 9 ⇔ 3 = 3 ⇔ x = 2
Portanto, log 3 9 = 2
b) log 3 3
Resolução:
APLICAÇÕES
Representando por x o valor procurado, temos:
x 1
01. Calcule: log 3 3 = x ⇔ 3 = 3 ⇔ x = 1
a) log 2 16 e) log 2 2 Ou seja: log 3 3 = 1
b) log 3 243 f) log 17 1 5
c) log 7 (1/49) g) log (5/3) 0,6 c) log 2 2
d) log 10 1000 Resolução:
Representando por x o valor procurado, temos:
5 x 5
log 2 2 = x ⇔ 2 = 2 ⇔ x = 5
02. Calcular o valor de x na igualdade: log 9 3 27 = x. 5
Ou seja: log 2 2 = 5
03. Determine o valor de: d) 5 log5 25
3
2 Resolução:
a) log 5 5 5 c) log 4
2 Analisando o expoente temos:
2
b) log 0,2 0,04 d) log 0,04 0,2 log 5 25 ⇔ log 5 5 ⇔ log 5 25 = 2
Substituindo o valor encontrado temos:
5 log5 25 = 5 = 25
2
04. O valor de log 8 3 16 é:
a) 4/9 b) 4/3 c) 1/3 d) 3 e) 4 Ou seja: 5 log5 25 = 25
CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA A partir dos exemplos acima é possível observar
A partir dos exemplos abaixo, vamos estabele - que:
cer alguns critérios para a existência de um logaritmo.
Exemplos: log b 1 = 0 log a a = 1
a) Não existe log –3 27, pois não existe x real para que
x
se tenha (-3) = 27.
b) Não existe log 0 7, pois não existe x real para que se
x
tenha 0 = 7. n
log a a = n b logba = a
c) Não existe log 1 3, pois não existe x real para que se
x
tenha 1 = 3.
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APLICAÇÕES Então:
05. Qual é o logaritmo de 49 na base 7? E o logaritmo log b a = log b c ⇔ a = c
de 1/8 na base 4?
Exemplo:
06. Calcular com o auxílio da definição: Sendo log 3 x = log 3 9, encontre o valor de x.
a) log 1 27 b) log 3 27 Resolução:
3
9 log 3 x = log 3 9 ⇔ x = 9
07. Determinar o valor de base n que verifica a igualda -
de log n 16 = 4 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Os logaritmos apresentam algumas proprieda -
08. Calcule os seguintes logaritmos: des que tornam fundamental a sua utilização, principal -
mente na simplificação de cálculos. Dentre elas
a) log 1 3 3 f) log16 3 8
teremos:
9
P1) Logaritmo de Um Produto
7 3
b) log 7 g) log 1 5
3 log a (M . N) = log a M + log a N
49 25
P2) Logaritmo de Um Quociente
c) log 125 0,6 h) log 2 16 2
27 log a (M : N) = log a M - log a N
 93 
d) log1,4  2 +  i) log100 0,001 P3) Logaritmo de Uma Potência
 125 
144 k
log a n = k . log a n
e) log 13 j) log 1 77 7
12
169 7
Exemplos:
09. Calcule o valor dos logaritmos abaixo: a) log 3 (4 . 5) = log 3 4 + log 3 5
a) log 2 32 h) log 3 (1/81) b) log 2 3 + log 2 7 = log 2 (3 . 7)
b) log 3 81 i) log 0,01 1000 c) log 5 (10 : 5) = log 5 10 - log 5 5
c) log 25 125 j) log 0,01 0,0001 d) log 3 27 - log 3 9 = log 3 (27 : 9)
3
e) log 2 8 = 3 . log 2 8
d) log 4 2 k) log 0,0625 (1/1024) f) 2 . log 5 125 = log 5 125
2
 12 2 
e) log 10 0,001 l) log 5  2 4 
3 .2  APLICAÇÕES
 
f) log 5 625 13. Determinar o valor de log 6, sabendo que log 2 = a e
g) log 7 343 log 3 = b.
 2  14. Se log a b = 1, então calcular log a (a . b).
10. O valor de log 4  
 log 4  é:
 16 
15. Se log 2 b – log 2 a = 5, então determinar o quociente
a) 4 b) 1/2 c) 10 d) 1 e) 16 b / a.
11. Calcule a soma S em cada caso: 16.(Fuvest-SP) Resolvendo-se 3 log x = 2 log 8, iremos
1 obter:
a) S = log 2 8 + log 3 + log 5 5 2/3
9 a) x = ± 4 c) x = 4 e) x = ( 8 )
b) S = log100 0,1 + log 25 3 5 - log 2 b) x = ± 1/4 d) x = 1/4
2
c) S = log 3 0,6 - log 10
0,001 + log 1 2 17. Considerando log a 2 = 0,69 e log a 3 = 1,10, calcular
5 8 log a 4 12 .
12.(IME-RJ) Calcule o valor do logaritmo de 625 na ba-
18. Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, cal-
se 53 5 . cular:
a) log 8 g) log 0,0001
IGUALDADE ENTRE LOGARITMOS b) log 12 h) log 200
Dois logaritmos na mesma base serão iguais, c) log 72 i) log 3000
se, e somente se seus logaritmandos também forem d) log 2 j) log 3 60
iguais.
e) log 108 k) log 4 1,2
0,5
f) log 5 l) log (0,54)
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19. Calcule log 24, sabendo que log 2 = a e log 3 = b. 27. Considere log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 e mostre
que colog 3 2 = log 1/3 2.
20.(FAAP-SP) Ache y real sabendo-se que:
28. Qual é a base de um sistema logarítmico, onde o
log 2 y = log 2 3 + log 2 6 – 3 log 2 4 2
logaritmo é 1/2 e o antilogaritmo é .
2
21.(Objetivo-SP) Se log x y = 2, então log x (xy) é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
22.(FGV-SP) Considerando o valor de log 10 2 = 0,3010 São equações que apresentam a incógnita
e log 10 3 = 0,4771, então poderemos afirmar que o valor localizada no logaritmando e/ou na base do logaritmo.
de log 10 0,6 será igual a: Exemplos:
a) 1,7781 d) – 0,2219 a) log 3 (log 2 x) = 2
b) – 0,7781 e) 0,2219 b) log x (x + 6) = 2
c) 0,7781 As equações logarítmicas podem se apresentar
em dois tipos básicos que são:
23.(PUC-SP) O valor de log 0,04 125 é igual a: Aquelas em que aplicaremos apenas a defini-
a) –2/3 b) –4/3 c) –3/2 d) 2/3 e) 4/3 1º TIPO ção de logaritmo para sua resolução.
2 2
24.(Fuvest-SP) Sabendo-se que a + b = 70ab, calcule Exemplos:
Determinar o conjunto solução das seguintes equa -
log 5
(a + b )2 em função de m = log 2 e n = log 3. ções logarítmicas:
5 5
ab a) log 5 (log 2 x) = 0
Resolução:
log x + log 2 y = 1 Aplicando a definição, duas vezes, obtemos:
25.(PUCCAMP-SP) O sistema  2 tem so log 5 (log 2 x) = 0
4x - 3y = 5
lução, tal que x + y seja igual a:
a) 3 b) 1 c) –11/7 d) 41/12 0
log 2 x = 5 C.E: x > 0
log 2 x =1
1
MUDANÇA DE BASE x = 2 ⇔ x =2
S={2}
log c b
log a b mudando para
base “c” log c a b) log x (x + 6) = 2
Inicialmente aplicaremos a definição de logarit -
mo e, em seguida, resolveremos a equação do 2º grau.
Exemplo:
Resolução:
Mudar para base “2” os logaritmos:
log x (x + 6) = 2
a) log 4 5 C.E: x + 6 > 0 ⇔ x > -6
Resolução: 1≠x>0
log 2 5 2
x =x+6
log 4 5 = 2
log 2 4 x –x–6=0
b) log 1/8 9 a = 1; b = -1 e c = -6
2
Resolução ∆ = (-1) – 4 . 1 . (-6) = 25
log 2 9 1 ± 5 x' = - 2 (não convém, pois contraria a C.E.)
log 1 9 = x= 
8
log 2 (1/8) 2 x" = 3
S={3}
COLOGARITMO
APLICAÇÕES
colog a b = - log a b
29. Resolver as equações:
Exemplo: a) log 1/2 (log 9 x) = 1
a) colog 2 8 = - log 2 8 = -3 b) log 3 (2x – 1) = 4
b) colog 3 1/9 = - log 3 1/9 = -(-2) = 2
30. Resolver a equação log 2 [log x (x + 2)] = 1
APLICAÇÕES
31. Determine o conjunto verdade das seguintes equa -
26. Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, ções logarítmicas:
calcule: a) log 7 (log 2 x) = 0
b) log 3 (log 5 x) = 1
a) log 6 4 c) log 3 12 e) colog 3 108
c) log 2 (x + 4) = 3
-1
b) log 6 d) colog 72 f) colog 15
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Aquelas em que aplicaremos as proprie - QUESTÃO 25: A
2º TIPO dades do logaritmo para a resolução.
QUESTÃO 26: a) 0,7736 b) 0,3890 c) 0,3597 d) –1,8572
Exemplo: e) –0,6777 f) 1,1761
Determinar o conjunto solução da equação logarítmi - QUESTÃO 27: -0,630 QUESTÃO 28: 1/2
ca:
log 3 (x + 7) + log 3 (x – 1) = 2 QUESTÃO 29: a) 3 b) 41 QUESTÃO 30: 2
Resolução:
QUESTÃO 31: a) 2 b) 125 c) 4 QUESTÃO 32: 3
Inicialmente aplicaremos a propriedade relativa
ao logaritmo do produto, ou seja: QUESTÃO 33: 2 QUESTÃO 34: 4 QUESTÃO 35: 1
log 3 (x + 7) + log 3 (x – 1) = 2
log 3 [(x + 7) . (x – 1)] = 2
C.E: x + 7 > 0 ⇔ x > -7
x–1>0⇔x>1 AS MARAVILHAS DA MATEMÁTICA!
2
(x + 7) . (x – 1) = 3
2
x – x + 7x – 7 – 9 = 0 ACÚSTICA E LOGARITMO
2
x + 6x – 16 = 0
a = 1; b = 6 e c = -16 A ciência, nas suas várias ramificações, foi
∆ = 100 beneficiada pelo advento do logaritmo. A título de exemplo,
- 6 ± 10 x' = - 8 (não convém) descreveremos uma dessas aplicações.
x=  Ao estudar ondas sonoras, percebe-se que o som
2 x" = 2
apresenta características como: altura, intensidade e timbre.
S={2} No caso da intensidade (I), que representa a potência
de uma onda sonora por unidade de área (W/m2),
APLICAÇÕES encontraremos detalhes interessantes como é o caso da
limitação
32. Resolver a equação log 2 (x – 1) + log 2 (x – 2) = 1. auditiva.
Para
33. Qual é o conjunto verdade da equação logarítmica a perceber a on
seguir log x (3x + 4) = log x (4x + 2)? da sonora, o
tímpano hu
34. Resolver a equação log 4 x + log 4 (x + 12) = 3. mano neces
sita que ela
35. Encontre o conjunto solução da equação abaixo: tenha, no mí
log 3 (2x + 1) + log 3 (x + 8) = 3 nimo, uma in
tensidade I0 = 10-12 (W/m2), chamado de limiar de
audibilidade e, no máximo, de 1 (W/m2), chamado de limiar
GABARITO da dor.
QUESTÃO 01: a) 4 b) 5 c) –2 d) 3 e) 1 f) 0 g) -1 O nível sonoro (N) representa a comparação entre a
intensidade sonora (I) e o limiar da audibilidade (I0). A sua
QUESTÃO 02: x = 5/4 unidade usual chama-se decibel (dB).
A grandeza nível sonoro (N) obedece a uma escala
QUESTÃO 03: a) 3/2 b) 2 c) –1/3 d) 1/2
logarítmica, sendo definida por:
QUESTÃO 04: A QUESTÃO 05: 2 e –3/2
I
QUESTÃO 06: a) –3/4 b) 2 QUESTÃO 07: n = 2 N = 10 . log
I0
QUESTÃO 08: a) –3/4 b) 1/3 c) –1/3 d) 3 e) –2 f) 1/4
g) –1/6 h) 9/2 i) –3/4 j) –8/7
É possível relacionar esses conceitos com diversas
QUESTÃO 09: a) 5 b) 4 c) 3/2 d) 1/4 e) –3 f) 4 g) 3 situações do cotidiano.
h) –4 i)-3/2 j) 2 k) 5/2 l) 0
- O ouvido humano apresenta lesões irrecuperáveis
QUESTÃO 10: D QUESTÃO 11: a) 3/2 b) –14/6 c) 41/6 sempre que é exposto, por um determinado tempo, a
níveis sonoros (N) superiores a 80 (dB).
QUESTÃO 12: 3 QUESTÃO 13: a + b QUESTÃO 14: 2 - As unidades bel (B) e decibel (dB) representam uma
QUESTÃO 15: 32 QUESTÃO 16: C QUESTÃO 17: 0,62 homenagem ao físico escocês Alexander Graham Bell
(1847 – 1922).
QUESTÃO 18: a) 0,9030 b) 1,0791 c) 1,8572 d) 0,1505
e) 1,0167 f) 0,6990 g) –4 h) 2,3010 i) 3,4771 j) 0,5927
k) 0,0198 l) –0,13385
QUESTÃO 19: 3a + b QUESTÃO 20: 9/32 QUESTÃO 21: D
QUESTÃO 22: D QUESTÃO 23: C QUESTÃO 24: 3m + 2n
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